Chapter1DecisionAnalysis決策分析1.1ADecisionTreeModelanditsAnalysis1.2AnotherDecisionTreeModelanditAnalysis1.3TheNeedforaSystematicTheoryofProbability1.4Exercises1.1ADecisionTreeModelanditsAnalysis

Decisionanalysisisalogicalandsystematicwaytoaddressawidevarietyofproblemsinvolvingdecision-makinginanuncertainenvironment.

決策分析是在不確定環(huán)境下進(jìn)行決策時(shí)對(duì)面臨的眾多問(wèn)題描述處理的一種邏輯和系統(tǒng)的方法。

BillSampras’SummerJobDecision

BillSamprasisinthethirdweekofhisfirstsemesterattheSloanSchoolofManagementattheMassachusettsInstituteofTechnology(MIT).Inadditiontospendingtimepreparingforclasses,Billhasbeguntothinkseriouslyaboutsummeremploymentinthenextsummer,andinparticularaboutadecisionhemustmakeinthenextseveralweeks. BillSampras在第一學(xué)期第三周考慮明年夏天的暑假打工計(jì)畫(huà)，在以後幾個(gè)星期中要做出決策。

Salaries

1.OfferfromJohn$12,0002.Table1.1onPage73.OfferfromVanessa$14,000theprobabilitiesscenarioOfferNoofferProbability60%40%DecisionTree

AcceptVanessa’sOfferRejectVanessa’sOffer$12,000ACBDEAcceptJohn’sOfferRejectJohn’sOfferOfferfromVanessaNoOfferfromVanessa$16,800$6,0000.050.250.400.250.05$21,600$12,000$00.60.40.050.250.400.250.05$21,600$12,000$0$6,000$16,800$14,000Figure1.6:ThecompleteddecisiontreeTheexpectedmonetaryvalue(EMV)

TheEMVofanuncertaineventistheweightedaverageofallpossiblenumericaloutcomes,withtheprobabilitiesofeachofthepossibleoutcomesusedastheweights. EMV是所有可能結(jié)果的加權(quán)平均值，其中權(quán)重是各個(gè)可能結(jié)果的發(fā)生概率。

EMV=0.05×$21,600+0.25×$16,800+0.40×$12,000+0.25×$6,000+0.05×$0=$11,5801.2AnotherDecisionTreeModelanditsAnalysis

ContinuetoillustratethemethodologyofdecisionanalysisbyconsideringastrategicdevelopmentdecisionproblemencounteredbyanewcompanycalledBio-imagine,Incorporated.

通過(guò)思考Bio-imaging公司在戰(zhàn)略發(fā)展決策中所遇到的一個(gè)問(wèn)題繼續(xù)闡述決策分析方法。

Bio-imagingDevelopmentStrategies

現(xiàn)狀

●

Thesoftwareprogramhasnotbeentestedfully.該軟體尚未通過(guò)完整的性能測(cè)試●

Thesoftwareprogramismoreadvancedandmuchmoreaccuratethanothermethodsindiagnosinglesions.比現(xiàn)有的其他診斷機(jī)能障礙的方法更先進(jìn)、更準(zhǔn)確

TableofestimatedrevenuesofBio-imagingunderdifferentsituation

ScenarioProbabilityTotalRevenuesHighProfit20%$3,000,000MediumProfit40%$500,000LowProfit40%$0Table1.2:EstimatedrevenuesofBio-Imaging,ifthree-dimensionalprototypeisoperational,andifBio-ImagingisawardedSBIRgrant.ScenarioProbabilityTotalRevenuesHighProfit20%$10,000,000MediumProfit40%$3,000,000LowProfit40%$0Table1.2:EstimatedrevenuesofBio-Imaging,ifthree-dimensionalprototypeisoperational,underfinancingfromNugrowthdevelopment.AContinueDevelopmentAcceptMedtechTable1.12:RepresentationofthefirstdecisionfacedbyBio-Imaging.AContinueDevelopmentAcceptMedtechBC3DSuccessful3DNotSuccessful0.60.4ApplyforSBIRAcceptNugrowthDApplyforSBIRAbandon-$200HighProjectEWinSBIRLoseSBIR$1500.700.20$2,800$300-$200G0.400.40MediumProjectLowProject0.20$1,800$400-$200H0.400.40MediumProjectLowProjectHighProject0.30FWinSBIRLoseSBIR0.25$1,200-$300I0.75LowProjectHighProject-$3000.200.80-$200Table1.17:thecompletedecisiontreeforBio-Imaging.EMVofthenodes

EMV(H)=0.20×$1,800,000+0.40×$400,000+0.40×(-$200,000)=$440,000EMV(G)=0.20×$2,800,000+0.40×$300,000+0.40×(-$200,000)=$600,000EMV(E)=0.70×$600,000+0.30×(-$200,000)=$440,000 (continued)EMV(I)=0.25×$1,200,000+0.75×(-$300,000)=$75,000EMV(F)=0.2×$75,000+0.8×(-$300,000)=$225,000EMV(B)=0.6×$440,000+0.40×(-$200,000)=$184,000 (end)1.3TheNeedforaSystematicTheoryofProbability

The probabilitynumberspresentedintheproblemwereexactlyintheformneededinordertoconstructandsolvethedecisiontree.

要建立決策樹(shù)並進(jìn)行解答，必須給出各事件發(fā)生的概率。

DevelopmentofaNewConsumerProductScenarioProbabilityTotalProfitsStrongmarket30%$18,000,000Weakmarket70%-$8,000,000兩種選擇

●NottoproduceSuds-Away,toconductthemarketsurveytestpriortodecidingwhetherornottoproduce.

先進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查再?zèng)Q定是否生產(chǎn)該產(chǎn)品?！?/p>

ortogoaheadwithproductionwithoutconductingsuchamarketsurveytest.

不進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查直接投產(chǎn)。

Resultof$2,400,000marketsurveyPositionNegativeStrongmarket80%20%Weakmarket10%90%A DonotproducerPositivesurveyresultsNosurvey,produceDProduceDonotproduce$18million-$8millionB0.70Strong0.30CEStrongWeekWeek$15.6million-$10.4million-$2.4millionFProduceDonotproduceGStrongWeek$15.6million-$10.4million-$2.4millionConductmarketsurveytestNegativesurveyresultsP3=?P4=?P1=?P2=?P5=?P6=?$0Chapter2數(shù)據(jù)整理及數(shù)據(jù)的描述2.1統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)源：統(tǒng)計(jì)報(bào)表（制度）

2.2頻數(shù)（率）分佈直方圖

-適當(dāng)分組，確定組限、組中值

-編織頻數(shù)分佈表重點(diǎn)調(diào)查典型調(diào)查抽樣調(diào)查非全面調(diào)查：全面調(diào)查：如第五次人口普查專(zhuān)門(mén)調(diào)查例共50人50—605人60—7011人

70—8017人80—9011人

90—1006人

成績(jī)（分）頻數(shù)（次）頻率（%）累計(jì)頻率（%）50—60510.010.060—701122.032.070—801734.066.080—901122.088.090—100612.0100.0合計(jì)50100直方圖頻率(%)頻數(shù)(人)11225105565758595●分佈特徵從直方圖到分佈曲線●直方圖給出一種“分佈”的直觀形式●鐘型分佈如身高、體重、成績(jī)●

U型分佈如人群健康（生?。裾碕型●勞倫茲曲線

本世紀(jì)初將兩種累計(jì)頻率對(duì)應(yīng)圖示前例50人總分3770分010326688100100856026.57.3●基尼係數(shù) A/(A+B) 越小越均勻(公平)●思考：與ABC分類(lèi)法的關(guān)係？●例6，9，12，15，18

寬度定為1時(shí)，所繪圖形上可以面積表示頻率大小任何一個(gè)關(guān)於頻率的直方圖，可以經(jīng)適當(dāng)度量變換，以分佈形狀的面積大小來(lái)度量頻率大小。如某地區(qū)2010075%0.31.642.12.3分佈的數(shù)字特徵均值：X＝(∑Xi)/n離散趨勢(shì)方差：S2＝[∑(Xi－X)2]／(n-1)例：6，9，12，15，18均值：X＝(6+9+12+15+18)/5＝12

方差：S2＝[36+9+0+9+36]／4=22.5Chapter3從直方圖描述到分佈描述3.1隨機(jī)變數(shù)及其概率分佈前例6，9，12，15，18可以看作一種客觀存在的分佈從另一個(gè)觀點(diǎn)，如果5個(gè)數(shù)中每次取一個(gè)，則有P(X=6)=1/5,P(X=9)=1/5,…,P(X=18)=1/5.

由6，9，12，15，18等可能的隨機(jī)產(chǎn)生的性質(zhì)，我們得到了概率分佈圖。若適當(dāng)選取度量單位，如使每個(gè)直方條的寬度為1，則可以用面積大小表示概率大小，如P(9<=X<=15)=0.6，即途中三個(gè)直方條的面積總和。於是現(xiàn)在我們可以用函數(shù)描述與處理隨機(jī)現(xiàn)象。概率意義上的平均值，稱(chēng)數(shù)學(xué)期望

(有時(shí)我們不再區(qū)分兩者，其意自明)3.2伯努利分佈拋硬幣正面X=1,P(X=1)=1/2

反面X=0,P(X=0)=1/210個(gè)產(chǎn)品中2個(gè)次品，取一件，得正品為1，次品為0。有P(X=1)=8/10，P(X=0)=1/5，一般設(shè)P(X=1)=pP(X=0)=q=1-p(0<p<1)可以計(jì)算E(X)=1*p+0*q=pVar(X)=(1-p)2p+(1-p)2q=q2p+p2q=pq二項(xiàng)分佈(N重伯努利分佈)設(shè)產(chǎn)品中正品率位p,次品率為q=1-p,抽後放回，重複n此，以k表示n池中得到正品的次數(shù)，則有重要結(jié)果

E(X)=npVar(X)=npq3.4正態(tài)分佈前例，某地區(qū)身高分佈同樣可做兩種理解：大量數(shù)據(jù)整理後的頻率直方圖任取一人，其身高的概率分佈圖身高、體重、成績(jī)、加工零件的尺寸等均服從這種分佈，稱(chēng)“正態(tài)分佈”?？傮w兩大，分組越細(xì)越近於曲線，為便於用數(shù)學(xué)手段進(jìn)行分析，有其“理論模式”應(yīng)用例

P188,example3.7理解正態(tài)分佈及其普遍性機(jī)會(huì)均等的情況下出現(xiàn)的不均等現(xiàn)象

P198,P188,example3.11

例6，9，12，15，18Chapter4抽樣分佈與抽樣定理4.1抽樣與抽樣分佈總體與樣本總體：所論全體，大集合樣本：抽取部分，子集目的：以樣本去反映，“代表”總體?？傮w分佈是最全面的資訊，往往不知道；通過(guò)抽樣，取得數(shù)據(jù)，如樣本均值、方差得去看主題。重要的是分析的分佈與總體分佈之間或與總體參數(shù)、等的關(guān)係。

2抽樣分佈就是抽樣均值所遵循的分佈。如抽樣一次，但理論上應(yīng)付從某種與總體參數(shù)有關(guān)的分佈P9101112131415樣本均值與樣本方差

==

P237公式nＳ2n-14.2抽樣定理總體為正態(tài)時(shí)成立，均值不變，密集度增加一般總體，但n足夠大時(shí)亦近似成立(可進(jìn)一步理解正態(tài)分佈的成因)二項(xiàng)“類(lèi)”，如“贊成，反對(duì)”抽樣，有～

～

由E()由，可以說(shuō)明計(jì)算(定義式)的緣由。ParametersEstimating

參數(shù)估計(jì)

Chapter55.1點(diǎn)估計(jì)5.2區(qū)間估計(jì)概述

5.3區(qū)間估計(jì)的例子5.4

小樣本與T分佈5.5

總體比率的估計(jì)5.6樣本容量的問(wèn)題5.7兩正態(tài)總體問(wèn)題5.8抽樣的方法HypothesisTest假設(shè)檢驗(yàn)Chapter6例：飛機(jī)的最大速度有設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)450m/s檢驗(yàn)進(jìn)口鋼板平均厚度定為5mm我國(guó)出口一批罐頭，標(biāo)稱(chēng)重量500g，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，標(biāo)準(zhǔn)公差為20g；現(xiàn)抽100罐，X=505g，問(wèn)是否可以認(rèn)為合乎標(biāo)準(zhǔn)？美國(guó)法律：原假設(shè)H0：被告無(wú)罪備擇假設(shè)H1：被告有罪注：不能證明其有罪便認(rèn)為無(wú)罪6.1概述特點(diǎn)：有標(biāo)準(zhǔn)值、經(jīng)驗(yàn)值或者根據(jù)其他途徑所導(dǎo)引的假設(shè)及猜測(cè)值，並欲對(duì)此做進(jìn)一步的檢驗(yàn)“慎重”的態(tài)度，不輕易否定：參考西方法律，重證據(jù)，不能證明其有罪，便判為無(wú)罪6.2關(guān)於均值的雙側(cè)檢驗(yàn)例：檢驗(yàn)一批罐頭，重要的指標(biāo)之一是其均值是否與標(biāo)稱(chēng)值500g有明顯的差異？辦法一：普查，求出m，即可知標(biāo)稱(chēng)值的差異有多大（或可判定差異是否在給定的許可範(fàn)圍之內(nèi)）。但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，有時(shí)甚至不可行。辦法二：因尚無(wú)證據(jù)表明存在明顯差異，所以取慎重態(tài)度，先作假設(shè)H0:m=m0=500

注：此處的“=”是表意的，應(yīng)理解為“差不多”如H0成立，則應(yīng)該在500的周?chē)?。於是，在H0：m與m0差不多的假設(shè)下，有圖6-1：圖6-1500當(dāng)距離m較遠(yuǎn)（一般可先給定兩角各a/2的面積，當(dāng)進(jìn)入該面積時(shí)，則判定為“較遠(yuǎn)”）。見(jiàn)圖6-2：a/2a/2臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)圖6-2對(duì)此有兩種解釋?zhuān)海?）由於偶然的原因，雖然m=m0

，但出現(xiàn)了“小概率事件”（2）m並不等於m0

，所以出現(xiàn)在m的周?chē)h(yuǎn)離m0權(quán)衡兩者，假設(shè)檢驗(yàn)的設(shè)計(jì)中傾向於（2）於是，可作如下的設(shè)計(jì)：對(duì)前例給出的數(shù)據(jù)，在顯著性水準(zhǔn)α=0.05下：有=505，進(jìn)入了拒絕域，所以我們傾向於認(rèn)為“m與m0差異顯著”的結(jié)論，因此判定這批罐頭不符合要求例:368gm.H0:m=368

H1:m

368檢驗(yàn)箱包是否重

368

克：抽取容量為25的樣本，均值為

X=372.5.

公司確定標(biāo)準(zhǔn)方差

s為15

克.置信水準(zhǔn)

a=0.05StepsofHypothesisTest

假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

提出原假設(shè)H0與備選假設(shè)H1；

選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；

給定顯著性水準(zhǔn)α，確定拒絕域；

由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值；

作判斷，確定接受還是拒絕H0。a=0.05n=25臨界值:±1.96檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:決策:結(jié)論:箱包重量與386差不多a=.05下，不拒絕01.96-1.96Z.025拒絕.025H0:m=386

H1:m

3866.3假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的異同1、理論基礎(chǔ)相同：分佈規(guī)律X~N(μ,σ2/n)2、設(shè)計(jì)思想不同：

區(qū)間估計(jì)

假設(shè)檢驗(yàn)

對(duì)m無(wú)先驗(yàn)資訊有經(jīng)驗(yàn)值或標(biāo)準(zhǔn)值抽樣定區(qū)間抽樣看是否差不多理論嚴(yán)格不嚴(yán)格，不能避免犯錯(cuò)誤3、對(duì)的進(jìn)一步理解“＝”表示差異不大、不明顯、差不多；“≠”表示有顯著差異。這裏的“＝”與“≠”僅有形式上等與不等的邏輯互補(bǔ)關(guān)係，但只能借其形式表達(dá)“差不多”與“差異顯著”兩種傾向。4、兩類(lèi)錯(cuò)誤：

I類(lèi)（棄真）：P(棄真)=a

即P(拒絕H0|)=aII類(lèi)（取偽）：即P(接受H0|)，常為?拒絕H0α/2１－αα/2拒絕H0接受H06.4單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題單側(cè)問(wèn)題：一批產(chǎn)品，供給方稱(chēng)其平均壽命不小於1000小時(shí)。抽樣，驗(yàn)證是否可信標(biāo)準(zhǔn)值為“效益”類(lèi)：越大越好標(biāo)準(zhǔn)值為“成本費(fèi)用”類(lèi)：越小越好難點(diǎn)：如何定為方便計(jì)，先設(shè)s已知。據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)：s=80小時(shí)產(chǎn)品壽命應(yīng)不小於1000小時(shí)抽樣，n=100，X=1010小時(shí)，取a=0.025試檢驗(yàn)是否達(dá)標(biāo)分兩種方式討論、對(duì)比：1、H0:μ

μ

0=1000H1:μ

＜μ

0=1000有統(tǒng)計(jì)量：又Za=1.96，－Za=－1.96(臨界點(diǎn))由1.25>－1.96故接受H0，即認(rèn)為可以相信已達(dá)標(biāo)2：H0:μ

μ

0

=1000H1:μ>μ

0=1000有統(tǒng)計(jì)量：又Za=1.646故應(yīng)取H0，即認(rèn)為未能達(dá)標(biāo)思考：如何處理為好？如何理解矛盾的結(jié)論？LinearRegression

線性回歸Chapter77.1概述

函數(shù)關(guān)係與相關(guān)關(guān)係y銷(xiāo)售額廣告費(fèi)趨勢(shì)線x圖7－1相關(guān)關(guān)係例：散點(diǎn)圖相關(guān)關(guān)係的度量：上圖，廣告費(fèi)增加時(shí)銷(xiāo)售額有增長(zhǎng)的趨勢(shì)（正相關(guān)）。此外還有負(fù)相關(guān)，不相關(guān)：

xy圖7－2a：負(fù)相關(guān)yx圖7－2b：不相關(guān)如何設(shè)法使之能定量說(shuō)明？yxY－X－圖7－3新座標(biāo)下的散點(diǎn)圖先算出與，平移座標(biāo)原點(diǎn)至（,）I象限X->0,Y->0.∴∑(X-)(Y-)>0II象限X-<0,Y->0.∴∑(X-)(Y-)<0III象限X-<0,Y-<0.∴∑(X-)(Y-)>0IV象限X->0,Y-<0.∴∑(X-)(Y-)<0正相關(guān)時(shí)，I,III兩象限的點(diǎn)比較多，於是∑(X-)(Y-)>0負(fù)相關(guān)時(shí)，II,IV兩象限的點(diǎn)比較多，於是∑(X-)(Y-)<0但是，用∑(x-)(y-)來(lái)度量相關(guān)性，會(huì)因量綱的改變（如從百萬(wàn)元改為億元）引起數(shù)值的急劇變化，為克服這一缺點(diǎn),可用的方法之一是“歸一”化（化為無(wú)量綱的係數(shù)，且該系數(shù)在-1至1之間）：記為相關(guān)係數(shù)可以證明-1≤R≤1趨勢(shì)線記為（參見(jiàn)圖7－1）注意參數(shù),雖然可認(rèn)識(shí)到它的存在，但是是未知的?？杀磉_(dá)為此處E~N(0,)，常稱(chēng)為“噪音”7.2關(guān)於B0、B1估計(jì)的最小二乘法圖7.4ei2與最小二乘法yixiyxeib0+b1xi高斯“定義”了最好的估計(jì)直線即整體上最貼近所有點(diǎn)的直線的標(biāo)準(zhǔn)與方法：min∑，即挑選b0,b1,使∑最小者為最佳的b0,b1即minQ(b0,b1)=∑=由{

可得到關(guān)於b0與b1的二元一次線性方程組，從而求出b0，b1，這樣構(gòu)成的y=b0+b1x稱(chēng)回歸直線。於是得到了一組關(guān)於B0，B1的估計(jì)值，即可以證明，（,）在回歸線上軟體Excel可以計(jì)算回歸問(wèn)題,·最小二乘法的啟示：適當(dāng)定義“貼近”即定義距離，進(jìn)行實(shí)證性數(shù)據(jù)處理，多目標(biāo)綜合評(píng)估。例：評(píng)委給選手打分例：仲介服務(wù)、餘缺調(diào)劑等。

·有關(guān)線性回歸模型的幾個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題

·變數(shù)的選擇

·線性關(guān)係

·相關(guān)性大?。≧2）

·異方差性LinearOptimization線性?xún)?yōu)化Chapter8例：兩產(chǎn)品：甲乙單位利潤(rùn)：2個(gè)單位3個(gè)單位生產(chǎn)約束：總量限制單位消耗能源I:128

單位消耗能源II:4016

單位消耗能源III:04128.1建模初步建模如下：maxz=2x1+3x2s.t.x1+2x2≤84x1≤16

4x2≤12x1,x2≥0(非負(fù)約束)8.2基本概念目標(biāo)函數(shù)：z(x1,x2)=2x1+3x2決策變數(shù)：x1,x2約束條件：資源約束：x1+2x2≤84x1≤16

4x2≤12變數(shù)非負(fù)約束：x1,x2≥0

模型的一般表示法：

minCXC:價(jià)值向量(目標(biāo)函數(shù)係數(shù)向量)

X:決策變數(shù)(列向量)，n維

s.t.AX≤bX≥0A：m行n列矩陣表示m個(gè)約束條件

b：常數(shù)(右端)列向量FeasibleSolution

任一滿足AX≤b的解XX≥0OptimalSolution

使目標(biāo)函數(shù)取最優(yōu)值的可行解有不等號(hào)：用圖解法，僅限兩維處理方法：將不等式化為等式，再結(jié)合線性方程組處理，求解maxz=2x1+3x2從等值線看變化

s.t.x1+2x2＋x3＝84x1＋x4＝16

4x2＋x5＝12x1,x2,x3,x4,x5≥0

鬆弛變數(shù)x3,x4,x5≥0表達(dá)不等式方向圖解法的啟示：可行解：無(wú)窮點(diǎn)集最優(yōu)解必在邊界上(常在頂點(diǎn)處)

頂點(diǎn)＝某線性方程組的解常用的演算法有單純形法(簡(jiǎn)單的幾何圖形)AX＝bX≥08.3建模的有關(guān)討論B1B2B3供給量A1A2A3x11x12x13x21x22

x23x31x32x33846需求量

9541818運(yùn)輸問(wèn)題舉例：三個(gè)供應(yīng)源Ai，三個(gè)需求源Bj供需平衡的問(wèn)題：如何安排運(yùn)量可使總費(fèi)用最?。繂挝贿\(yùn)價(jià)(Cij)B1B2B3A1A2A32452681建模：minc11x11+c12x12+c13x13=8s.t.x11+x12+x13=8

x21+x22+x23=4

x31+x32+x33=6

x11+x21+x31=9

x12+x22+x32=5

x13+x23+x33=4xij≥0

供需不平衡：供給>需求B4：就地入庫(kù)B1B2B3

B4A1A2A332404520681084

76

954318+318+3供需不平衡：供給<需求A4：打白條B1B2B3A1A2A3A4333100846

4

954

818+418+4作平衡(問(wèn)題)表，給出對(duì)應(yīng)的單位運(yùn)價(jià)表解：平衡表B’1B’’1B’2B’3B’’3A1A2A3A4X11X12X13X14X15X21X22X23X24X24X31X32X33X34X35X41X42X43X44X458466

2646618+624單價(jià)運(yùn)輸表：B’1B’’1B’2B’3B’’3A1A2A3A4332444452266811M0MM0

特殊需求問(wèn)題：b1b2b3

最低246

最高84不限B1B2B3A1A2A3X11X12X13X21X22X23X31X32X33846

9541818供需平衡表（Bi’為最低需求，Bi’’為剛性需求）：B’1B’’1B’2B’3B’’3A1A2A3A4332444452266811M0MM08466

264662424（8+4+6）－（2+4）－6=68.4ShadowPrices

影子價(jià)格(P499)前例：最優(yōu)解為：w=12p=9

最優(yōu)值為：130x12+100X9=2460(見(jiàn)P481之圖8.9、P480之圖8.8)“緊約束”為：1.5w+p=27①

w+p=21②若將①式中的27增加1單位至28，則得w=14p=7相應(yīng)的，z＝130×14＋100×7＝2520∴△z＝2520－2460＝60(百$),即60$/lb（1000lb→60000$）ShadowPriceontheSteelConstraint若將②式中的21增加1單位至22，則得w=10p=12→△z＝40(百$),即60$/hour（moldingmachineconstraint）“松約束”的影子價(jià)格為0.Chapter9Nonlinearoptimization

非線性?xún)?yōu)化9-1概述

●例P531組合投資的最優(yōu)收益管理

P532投資三項(xiàng)，數(shù)據(jù)Table9.1 min組合方差

s.t.P+R+I=1.0 1.80P+1.35R+1.65I≥1.60P,R,I≥0●金融管理中常以方差為風(fēng)險(xiǎn)的度量●第二項(xiàng)約束右端的1.60為給定或期望的回報(bào)率●投資中的兩個(gè)基本問(wèn)題：（1）給定回報(bào)率（收益），使組合風(fēng)險(xiǎn)最小

min風(fēng)險(xiǎn)(σ2) s.t.收益≥C

（2）給定風(fēng)險(xiǎn)限制，使回報(bào)盡可能大

max收益

s.t.風(fēng)險(xiǎn)≤a9-2關(guān)於組合風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算●設(shè)xi為隨機(jī)變數(shù) 有E(X)=∑pixi,σx2=∑pi(xi

－E(x))2例.P109夏季酬金 pi

21,600 0.02 16,8000.10 14,000 0.60 12,000 0.16 6,000 0.1000.02μx=21600×0.02+16800×0.10+…+0×0.02=13,032σx2=0.02×(21600－13032)2+…+0.02×

(0－13032)2=11,962.176,σx=3,458.6●隨機(jī)變數(shù)的線性函數(shù)

例Y=0.75X+135

則 E(Y)=0.75E(X)+135

一般，若Y=aX+b

則 E(Y)=aE(X)+b σy2=a2σx2●協(xié)方差 討論兩個(gè)平行變數(shù)X,Y之間的關(guān)聯(lián) COV(X,Y)=∑pi(xi

－μx)(yi

－μy)=σxy2 (注：可類(lèi)比回歸中的(xi

－x)(yi

－y))

可用COV(X,Y)檢查X與Y是否獨(dú)立

●兩隨機(jī)變數(shù)和（P123）如Z=5X+8Y

一般 Z=aX+bY 可得出 E(Z)=aE(X)+bE(Y) σz2=a2σx2+b2σy2+2abσxy2●凸組合

Z=αX+(1－α)Y,稱(chēng)Z為X與Y的凸組合，其中0≤α≤1。此時(shí),σz2=α2σx2+(1-α)2σy2+2α(1-α)σxy2P128畫(huà)有曲線，為下凸，表示存在最佳α使σz2最小ασz2●P532例的計(jì)算 用Table9.1的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù) 建模min Var(R)=190P2+110R2+150I2+ 2×34PR+2×103PI－2×27RI s.t. P+R+I=1.0 1.80P+1.35R+1.65I≥1.60 P,R,I≥0

可用軟體求解，得P=0.285，R=0.309，I=0.406

其最優(yōu)收益方差為8.585。P,R,I即為投往三處的份額。

●若希望控制組合風(fēng)險(xiǎn)在11.5%之內(nèi)，則有相應(yīng)的問(wèn)題：

max 1.80P+1.35R+1.65I s.t. P+R+I=1.0 190P2+110R2+150I2+68PR+206PI －54RI≤11.52 P,R,I≥0

可得P=0.635，R=0.061，I=0.304

其最大收益為1.727●其他非線性?xún)?yōu)化的例子●P534 max130W+100P→(130－2W)W+(100－4P)P

目標(biāo)被修改的原因：產(chǎn)量對(duì)價(jià)格有影響●P536 例9.3選址問(wèn)題

A、B、C、D四處有需求9、7、2、5，選一處，使之與4處最“貼近”。

P537下，用加權(quán)距離和為最小化的目標(biāo) 得x=6.95，y=7.47●例P538min同上

s.t.選址在梯形域內(nèi)9-3幾何初步

●例

minf(x,y)=

s.t. (x-2)2+(y-9)2≤49 x≥2 y≤13 x+y≤24P541圖9.5可見(jiàn)：最優(yōu)點(diǎn)在邊角處。（思考：是否對(duì)任何凸目標(biāo)函數(shù)都如此）●局部最優(yōu)與全局最優(yōu) K－T條件9-4關(guān)於搜索最優(yōu)解的說(shuō)明●一維搜索

0.618法，兩分法●二維搜索 最速下降法（牛頓法）●不動(dòng)點(diǎn)原理

Chapter10Discreteoptimization

離散型優(yōu)化10.1建模例P578投資預(yù)算問(wèn)題

1500萬(wàn)可投於4個(gè)專(zhuān)案

專(zhuān)案ⅠⅡⅢⅣ投資額8654淨(jìng)限值12876●離散型問(wèn)題中，上例中“投於不投”（或“有與無(wú)”）的“二項(xiàng)”決策問(wèn)題，常引入0-1變數(shù)，有時(shí)又稱(chēng)0-1規(guī)劃：

令xj=0不往j處投資；xj=1投往j處專(zhuān)案●模型

max12x1+8x2+7x3+6x4 s.t. 8x1+6x2+5x3+4x4≤15(百萬(wàn)美元) x1,2,3,4為0或1

該模型尚可根據(jù)實(shí)際情況（約束）而進(jìn)一步處理，如若再要求：

a.最多只投兩項(xiàng)： x1+x2+x3+x4≤2 b.如果投專(zhuān)案（4），則必須投專(zhuān)案（3）：x3-x4≥0 c.若投專(zhuān)案（1），則不允許投專(zhuān)案（3）：x1+x3≤1（注：x1+x3≤1更貼近邏輯關(guān)係是兩者至多只許投其1或不許兩項(xiàng)兩項(xiàng)一起投，但其內(nèi)容涵蓋了要求c。）軟體求解得：x1=1，x2=1，x3=x4=0， 最大NPV為2（千萬(wàn)美元）