專題14.1冪運(yùn)算與整式的乘（除）法目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1、掌握正整數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法、除法、冪的乘方、積的乘方）；2、能用代數(shù)式和文字語(yǔ)言正確地表述這些性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；3、.會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，多項(xiàng)式的乘法計(jì)算；4、掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。5、會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算，會(huì)進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01冪運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1）同底數(shù)冪的乘法：同底冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即：am·an=am+n，（m，n為正整數(shù)）拓展：①am·an·ap=am+n+p，（m，n，p為正整數(shù)；②(a+b)n(a+b)m=a+b)m+n（m，n為正整數(shù)）.同底數(shù)冪的乘法技巧①計(jì)算同底數(shù)冪時(shí)，要求底數(shù)必須完全一樣。當(dāng)?shù)讛?shù)不相同時(shí)，可以通過化異底為同底，然后計(jì)算；②逆用法則：am+n=am×an2）冪的乘方運(yùn)算法則冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即：(am)n=amn，其中m，n為正整數(shù)拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p為正整數(shù);(am)n=amn=(an)m，其中m，n為正整數(shù).((a+b)m)n=(a+b)mn，其中m，n為正整數(shù).3）積的乘方運(yùn)算法則積的乘方，等于把積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即：(ab)m=ambm，其中m為正整數(shù)。拓展：(abc)m=ambmcm，其中m為正整數(shù)?！局R(shí)拓展1】同底數(shù)冪的乘法及其逆運(yùn)算例1．（2022·成都市·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【即學(xué)即練】1．（2022·浙江·寧波市七年級(jí)期中）已知，，則的值為___．2．（2022·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【知識(shí)拓展2】?jī)绲某朔郊捌淠孢\(yùn)算例2．（2022·湖南·七年級(jí)期中）下列選項(xiàng)中正確的有（）個(gè)．①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【即學(xué)即練】3．（2022·湖南·株洲七年級(jí)期中）已知，，則等于（

）A．1 B．72 C． D．4．（2022·山東·聊城市七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算(1)已知：＝5，＝3，計(jì)算的值．(2)已知：3x+5y＝8，求的值．【知識(shí)拓展3】積的乘方及其逆運(yùn)算例3．（2022·四川·眉山八年級(jí)階段練習(xí)）【即學(xué)即練】5.（2022·山東淄博·期末）的計(jì)算結(jié)果是（

）A． B． C． D．6.（2022·山西臨汾·八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C．1 D．知識(shí)點(diǎn)02整式乘法知識(shí)點(diǎn)1）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式:單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注：①單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，結(jié)果仍為單項(xiàng)式；②單項(xiàng)式相乘時(shí)，注意不要漏掉無相同之母的項(xiàng)。2）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:根據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc注：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式的積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；如果式中含有乘方運(yùn)算，仍應(yīng)先算乘方，在算乘法。3）多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。注：運(yùn)算過程中，需要關(guān)注符號(hào)的變化（負(fù)負(fù)得正，正負(fù)為負(fù)）；乘法運(yùn)算的結(jié)果中，如果有同類項(xiàng)，需要合并同類項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式?！局R(shí)拓展1】整式乘法基本運(yùn)算例1．（2022·安徽·八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值；其中．【即學(xué)即練1】1．（2022·福建八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)2．（2022·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算(1)(2)【知識(shí)拓展2】不含某項(xiàng)問題例2．（2022·福建·晉江八年級(jí)階段練習(xí)）如果的結(jié)果中不含x的五次項(xiàng)，那么m的值為（

）A．1 B．0 C．-1 D．【即學(xué)即練2】3．（2022·福建八年級(jí)期中）如果的展開式中不含項(xiàng)，則a的值是（

）A．5 B． C．0 D．4．（2022·四川·渠縣七年級(jí)階段練習(xí)）若展開后不含x的一次項(xiàng)，則m的值是（

）A． B．1 C．3 D．0【知識(shí)拓展3】整式乘法的運(yùn)用例3．（2022·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）一塊長(zhǎng)方形硬紙片，長(zhǎng)為米、寬為米，在它的四個(gè)角上分別剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為米的小正方形，然后折成一個(gè)無蓋的盒子．(1)這個(gè)盒子的長(zhǎng)為，寬為，高為；(2)求這個(gè)無蓋盒子的外表面積．【即學(xué)即練3】5．（2022·江蘇·鹽城市初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）長(zhǎng)為a，寬為的長(zhǎng)方形，它的面積為____．（結(jié)果為最簡(jiǎn)）知識(shí)點(diǎn)03整式除法知識(shí)點(diǎn)1）同底數(shù)冪的除法運(yùn)算同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減（與冪的乘法為逆運(yùn)算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n為正整數(shù)）。2）與的應(yīng)用零指數(shù)冪：=1()；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：=（，p為正整數(shù)）。注意：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)，即“底倒指反”，即==；eq\o\ac(○,3)在混合運(yùn)算中,始終要注意運(yùn)算的順序。3）單項(xiàng)式除單項(xiàng)式通常分為三個(gè)步驟：（1）將它們的系數(shù)相除作為上的系數(shù)；（2）對(duì)于被除式和除式中都含有的字母，按同底冪的除法分別相除，作為商的因式；（3）被除式中獨(dú)有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的因式。4）多項(xiàng)式除單項(xiàng)式多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，然后再把所得的商相加。注：計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式各項(xiàng)要包含它前面的符號(hào)，結(jié)果所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；當(dāng)被除式的某一項(xiàng)與除式相同時(shí)，商為1，注意不能漏除某一項(xiàng)?！局R(shí)拓展1】同底數(shù)冪的除法及其逆運(yùn)算例1．（2022·成都市·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列4個(gè)算式中，計(jì)算錯(cuò)誤的有（

）（1）（2）（3）（4）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【即學(xué)即練1】1．（2022·四川·渠縣七年級(jí)階段練習(xí)）已知：，，求的值．2．（2022·江蘇·七年級(jí)期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【知識(shí)拓展2】整式的除法例2．（2022·陜西·七年級(jí)期中）若關(guān)于x的多項(xiàng)式除以，所得商恰好為，則_____．【即學(xué)即練2】3．（2022·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí)）已知一個(gè)多項(xiàng)式的2倍與的和等于，則這個(gè)多項(xiàng)式是（

）A．B．C．D．4．（2022·山東淄博·期末）若a＝2，則______．能力拓展能力拓展考法01（）的應(yīng)用注：，可能有三種情況：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n為偶數(shù)）【典例1】（2022·綿陽(yáng)市·八年級(jí)期中）當(dāng)x=____________時(shí)，代數(shù)式的值為1.變式1.（2022.成都市錦江區(qū)初一期中）已知,則x=變式2．（2022·浙江杭州市·七年級(jí)其他模擬）已知，則______．考法02運(yùn)用冪運(yùn)算比較大小【典例2】（2022·河北石家莊·七年級(jí)期中）閱讀：已知正整數(shù)，，，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有>，根據(jù)上述材料，回答下列問題．[注（2），（3）寫出比較的具體過程](1)比較大?。篲_____，______；（填“>”、“<”或“=”）(2)比較與的大??；(3)比較與的大?。兪?．（2021·浙江·嵊州市七年級(jí)期中）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．變式2．（2022·湖南·郴州七年級(jí)階段練習(xí)）在比較和的大小時(shí)，我們可以這樣來處理：∵==，==，16＜27，∴＜，即＜．請(qǐng)比較以下兩組數(shù)的大?。?1)與；(2)與．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.（2022·江蘇·蘇州七年級(jí)期末）的結(jié)果是（

）A．a(chǎn) B．a(chǎn)5 C．a(chǎn)6 D．a(chǎn)92．（2021·甘肅·蘭州七年級(jí)階段練習(xí)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b33．（2022·遼寧·朝陽(yáng)七年級(jí)期中）光在真空中的速度約為，太陽(yáng)光照射到地球上大約需要．地球距離太陽(yáng)大約有多遠(yuǎn)？（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇·七年級(jí)期中）要使成立，則，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，5．（2022·陜西·西安交大附中浐灞右岸學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）小明在做作業(yè)的時(shí)候，不小心把墨水滴到了作業(yè)本上，■，陰影部分即為被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一項(xiàng)是（）A． B． C． D．6．（2022·浙江紹興·一模）計(jì)算的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．7．（2022·廣東惠州·八年級(jí)期末）計(jì)算：______．8．（2022·福建·福州市雙安中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若，求_____．9．（2022·內(nèi)蒙古七年級(jí)階段練習(xí)）若的展開式中不含和項(xiàng)，則的值為______．10．（2022·四川·仁壽縣書院初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若，則________．11．（2022·吉林·測(cè)試·編輯教研五八年級(jí)階段練習(xí)）已知，那么的值是_______．12．（2022·江蘇·開明中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算：＝________．13．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市中雅培粹學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．14．（2022·江蘇·南通市海門區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）（1）已知，求x的值.

（2）已知＝2，＝3求的值.題組B能力提升練1．（2021·山東淄博·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A．B．C． D．2．（2021·河南·八年級(jí)階段練習(xí)）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇相城區(qū)）若，，，則（）A． B． C． D．4．（2022·浙江杭州市·七年級(jí)其他模擬）計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)設(shè)備中常用等作為儲(chǔ)存容量的單位，例如，老師常用的U盤的容量是，一張比較清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存儲(chǔ)量最大的移動(dòng)硬盤存儲(chǔ)量可以達(dá)到，那么它的容量是（）個(gè)B．A． B． C． D．5．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）在等式中，括號(hào)內(nèi)的代數(shù)式應(yīng)是（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）若，則的值是（）A． B．16 C．20 D．247．（2022·安徽·定遠(yuǎn)七年級(jí)階段練習(xí)）已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．8.（2022.成外初一月考）若，則x的值為9．（2022·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)期末）數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，小麗在練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一道題：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一項(xiàng)是_____．10．（2022·浙江七年級(jí)期中）我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為：am?an＝am+n（其中a≠0，m，n為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m，n的一種新運(yùn)算：f（m+n）＝f（m）?f（n），請(qǐng)根據(jù)這種新運(yùn)算填空：（1）若f（1）＝，則f（2）＝_____；（2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）?f（2022）＝_____（用含n和k的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）11．（2022·河南金水·）如果那么我們規(guī)定．例如；因?yàn)樗裕?）根據(jù)上述規(guī)定填空：__，__，__；（2）若．判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．（2022·廣東·七年級(jí)期中）已知，則m=________．13．（2022·天津市八年級(jí)階段練習(xí)）已知，，則的值等于______.14．（2022·江西·永豐縣恩江中學(xué)七年級(jí)期中）歡歡與樂樂兩人共同計(jì)算（2x＋a）（3x＋b），歡歡抄成2x（3x＋b），得到的結(jié)果為6x2＋4x；樂樂抄成（2x－a）（3x＋b），得到的結(jié)果為6x2－5x－6．(1)求出式子中的a、b的值？(2)請(qǐng)計(jì)算出原題的正確答案．15．（2022·重慶）求下列各式中x的值．（1）；（2）．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·浙江·溫州七年級(jí)階段練習(xí)）從前，一位地主把一塊長(zhǎng)為a米，寬為b米(a＞b＞100)的長(zhǎng)方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對(duì)張老漢說：“我把這塊地的長(zhǎng)增加10米，寬減少10米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積將（

）A．變小了 B．變大了 C．沒有變化 D．可能變大也可能變小2．（2022·河南·南陽(yáng)市第十三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）長(zhǎng)方形的面積為，若它的一邊長(zhǎng)為，則它的周長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．3．（2022·浙江八年級(jí)期末）我們知道下面的結(jié)論：若（，且），則．利用這個(gè)結(jié)論解決下列問題：設(shè)．現(xiàn)給出三者之間的三個(gè)關(guān)系式：①，②，③．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①4．（2022·浙江嘉興·一模）已知，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·陜西寶雞·七年級(jí)期末）如圖，王老師把家里的WIFI密碼設(shè)置成了數(shù)學(xué)問題．吳同學(xué)來王老師家做客，看到WIFI圖片，思索了一會(huì)兒，輸入密碼，順利地連接到了王老師家里的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是_____．6．（2022·浙江湖州·七年級(jí)期末）小王和小明分別計(jì)算同一道整式乘法題：，小王由于抄錯(cuò)了一個(gè)多項(xiàng)式中的符號(hào)，得到的結(jié)果為，小紅由于抄錯(cuò)了第二個(gè)多項(xiàng)式中的的系數(shù)，得到的結(jié)果為，則這道題的正確結(jié)果是_________．7．（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若x，y均為實(shí)數(shù)，，則：（1）＝______x