/合作探究探究點1(高頻考點)點和圓的位置關(guān)系知識講解設(shè)⊙0的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,那么有:點P在圓外?d>r;點P在圓上?d=r;點P在圓內(nèi)?d<r.(1)由點的位置可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系,反過來,點到圓心的距離與半徑的關(guān)系,可以確定該點與圓的位置關(guān)系(2)符號“?〞讀作“等價于〞,它表示從符號“?〞的左端可以得到右端,從右端也可以得到左端.典例剖析例1

在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以B為圓心、BC為半徑作⊙O,問:點A、C及AB、AC的中點D、E與⊙B有怎樣的位置關(guān)系?解析

先分別求出點A、C、D、E到圓心B的距離,再與半徑比擬.答案在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,∴AB=AC2∵⊙B的半徑為3cm,AB=5cm>3cm∴點A在⊙B外.∵BC=3cm,點C在⊙B上,∵DB=52∴點D在⊙B內(nèi)。EB>BC=3cm,點E在⊙B外,點撥判斷點與圓的位置關(guān)系時,只需比擬該點到圓心距離d與半徑r的大小類題突破1如圖,矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm(1)以點A為圓心、4cm為半徑作⊙A,那么點B、C、D與⊙A的位置關(guān)系如何?(2)假設(shè)以點A為圓心作⊙A,使B、C、D三點中至少有一點在圓內(nèi),且至少有一點在圓外,那么⊙A的半徑r的取值范圍是什么?答案∵(1)AB=3cm<4cm∴點B在⊙A內(nèi).∵AC=32∴點C在⊙A外?！逜D=4cm∴點D在⊙A上.

(2)AB<AD<AC,滿足條件的⊙A的半徑r的取值范圍是3cm<r<5cm.點撥(1)根據(jù)勾股定理求出AC的長,進而得出點B、C、D與⊙A的位置關(guān)系;(2)利用(1)中所求,即可得出半徑r的取值范圍。探究點2

過三點的圓知識講解不在同一條直線上的三個點確定一個圓注意

這里的“三個點〞不是任意的三點,而是不在同一條直線上的三個點,而過同一條直線上的三個點不能畫一個圓?！按_定〞一詞應(yīng)理解為“有且只有〞,即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓,過一點可畫無數(shù)個圓,過兩點也能畫無數(shù)個圓,過不在同一條直線上的三個點能畫且只能畫一個圓典例剖析例2如下圖,這是一塊殘缺的圓鐵片,請畫出它所在圓的圓心,并把這個圓畫完整.(不寫作法,保存作圖痕跡)解析要確定殘缺的圓鐵片的圓心,可根據(jù)“不在同一直線,上的三個點確定一個圓〞在殘缺的圓鐵片的弧形邊緣取三個不同的點A、B、C,再作線段AB、BC的垂直平分線,其交點就是圓心O,以O(shè)為圓心、OA為半徑畫圓,便得完整的圓,答案如上圖所示,類題突破2如圖,點A、B、C表示三個村莊,現(xiàn)要建一座深水井泵站,向三個村莊分別供水,為使三條輸水管線長度相等,水泵站應(yīng)建在何處?請畫出示意圖,并說明理由。答案如圖,連接AB、BC,分別作AB、BC國的垂直平分線l和l',l和1’交于點O,那么水泵站建在點O處。由以上作法知,OA=OB=OC點撥因為向三個村莊分別送水,三條輸水管長度相同,所以水泵站應(yīng)在AB、BC的中垂線的交點處探究點3三角形的外接圓知識講解經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,叫做這個三角形的外心。(1)“接〞是說明三角形的頂點在圓上,或者圓經(jīng)過三角形的三個頂點。(2)銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部;直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點;鈍角三角形的外心在三角形的外部典例剖析例3

如下圖,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求其外接圓的半徑

解析

根據(jù)外心性質(zhì)可知,外心在BC的垂直平分線上,因此作AD⊥BC,設(shè)外心為O,連接0C,構(gòu)造直角三角形求解。答案

如下圖,作AD⊥BC于點D.因為AB=AC,所以AD垂直平分BC,且外心在AD上,設(shè)為0CD=BD=12BC=6,所以在Rt△BDA中,AD=AB即AD=102-6∴在Rt△ODC中,OD2+DC2=OC.∴(8-r)2+62=r2,解得r=254,即該三角形外接圓的半徑是方法提示由圖形及條件可知,等腰三角形ABC的外接圓的圓心在△ABC的內(nèi)部,并且在底邊BC的高上,故通過添加輔助線,轉(zhuǎn)化為直角三角形,運用勾股定理及外心的性質(zhì),可求出△ABC外接圓的半徑.

類題突破3

如右圖,小穎同學(xué)在手工制作中,把一邊長為12cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上,假設(shè)三角形的三個頂點恰好都在這個圓上,那么該圓的半徑為A.32cm

B.33cm

C.42cm

D.43cm答案

D點撥作等邊三角形任意兩條邊上的高,交點即為圓心,將等邊三角形的邊長用含半徑的代數(shù)式表示出來,進行求解即可探究點4反證法知識講解(1)先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,然后由此出發(fā)通過邏輯推理,推出與公理、已證的定理、定義或條件相矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立,這種方法叫做反證法(2)反證法主要解決的問題是用直接證法不易證明或不能證明的命題,主要有:①命題的結(jié)論是否認型的②命題的結(jié)論是無限型的③命題的結(jié)論是“至多〞或“至少〞型的典例剖析例4

用反證法證明:過直線外一點,有且只有一條直線與直線垂直答案:點O在直線AB外,如下圖求證:過O點只有一條直線垂直于AB證明:假設(shè)過點O有兩條或兩條以上的直線與AB垂直,那么這些與AB垂直的直線互相平行,這與它們交于一點O相矛盾,所以假設(shè)不能成立,故過直線外一點,有且只有一條直線與直線垂直

類題突破4用反證法證明:等腰三角形的底角必定是銳角答案

:△ABC中,AB=AC.求證:∠B,∠C為銳角證明:如圖,假設(shè)∠B,∠C都不為銳角,那么∠B,∠C為直角或鈍角

(1)當(dāng)∠B,∠C都為直角時,∠B+∠C=90°+90°=180°,那么∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾,.∠B,∠C不可能都為直角

(2)當(dāng)∠B,∠C都為鈍角時,即90°<∠B<180°,90°<∠C<180°∵AB=AC,∴∠B=∠C∵180°<∠B+∠C<360°.∴∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾,∴∠B,∠C不可能都為鈍角。

(3)當(dāng)∠B,∠C一個為直角,一個為鈍角時,證法同(2).

綜合(1)(2)(3)可知∠B,∠C必為銳角

點撥

欲證∠B,∠C為銳角,用反證法證明,先假設(shè)∠B,∠C不是銳角,那么∠B,∠C為直角或鈍角。重點難點重難點1點和圓的位置關(guān)系的判斷(1)根據(jù)圓的定義可知:圓上各點到定點(圓心)的距離等于定長(半徑);到定點的距離等于定長的點都在圓上(2)從畫圖的過程,我們可知道：①圓內(nèi)各點到圓心的距離都小于半徑,反之,到圓心的距離小于半徑的點都在圓內(nèi);②圓外各點到圓心的距離都大于半徑,反之,到圓心的距離大于半徑的點都在圓外(3)點和圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離和半徑之間的數(shù)量關(guān)系,也可以由數(shù)量關(guān)系判斷點和圓的位置關(guān)系(4)注意“?〞讀作“等價于〞,“A?B〞具有兩方面的含義:一方面表示“A=B〞,另一方面表示“B=A〞例1在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別是AB,AC的中點,AC=6,BC=8,假設(shè)以C為圓心、4為半徑作圓,試判斷點D,E與⊙C的位置關(guān)系解析判斷點D,E與⑨C的位置關(guān)系,只需比擬CE,CD的長與日C半徑的大小,答案

如圖:∵AC=6,BC=8,∠C=90°∴AB=62又D,E分別是AB,AC的中點∴CE=3,CD=5又∵⊙C的半徑為4,∴點D在⊙C外,點E在⊙C內(nèi)方法提示在直角三角形中,利用勾股定理等知識計算出點到圓心的距離,然后進行判斷.類題突破1

矩形ABCD中,AB=8,BC=3、5,點P在邊AB上,且BP=3AP,如果圓P是以點P為圓心、PD為半徑的圓,那么以下判斷正確的選項是A.點B,C均在圓P外B.點B在圓P外,點C在圓P內(nèi)C.點B在圓P內(nèi),點C在圓P外D.點B,C均在圓P內(nèi)答案

C

點撥∵AB=8,點P在邊AB上,且BP=3AP∴∴r=PD=(35)2+22=7∵PB=6<r,PC=9>r,

∴點B在圓P內(nèi)重難點2

圓確實定(1)我們知道,經(jīng)過一個點A作圓很容易,只要以點A以外的任意一點為圓心,以這一點與點A的距離為半徑就可以作出如圖(1)所示的圓,這樣的圓有無數(shù)個(2)如果要作經(jīng)過兩個點A,B的圓,那么就要以與點A,B距離相等的點為圓心,即以線段AB的垂直平分線上任意一點為圓心,以這一點與點A或點B的距離為半徑,就可以作出如圖(2)所示的圓,這樣的圓也有無數(shù)個(3)經(jīng)過三點一定能畫出一個圓嗎?如圖(3)所示,過不在同一條直線上的A、B、C三點距離相等的點為圓心,即AB、BC或AC任意兩條線段垂直平分線的交點為圓心,以這一到點A或點B或點C的距離為半徑作圓,這樣的圓只能作一個例2

如下圖,破殘的圓形輪片上,弦AB的垂直平分線交AB于點C.交弦AB于點D,AB=24cm,CD=8cm(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法,保存作圖痕跡);(2)求(1)中所作圓的半徑解析求作此殘片所在的圓,關(guān)鍵是確定圓心位置,然后確定半徑.我們知道,不在同一直線上的三點確定一個圓,故再連接AC.作AC的垂直平分線,與CD的交點即為圓心,OA就為圓的半徑答案(1)如上圖所示(2)連接OA,設(shè)OA=OC=x∵CO⊥AB,AB=24,CD=8∴AD=12,OD=x-8在Rt△AOD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2即x2=122+(x-8)2.解得x=13(cm)∴此殘片所在的圓的半徑為13cm方法歸納要確定殘片所在圓的圓心,如能轉(zhuǎn)化為求AB所在圓的圓心問題就會迎刃而解。要注意思維轉(zhuǎn)移,同時學(xué)會用解方程的思想解決幾何問題

類題突破2一條公路彎道處是一段圓弧AB,點O是這條弧所在圓的圓心,點C是AB的中點,0C與AB相交于點D.AB=120m,CD=20m,那么這段彎道的半徑為A.200m

B.2003mC.100mD.1003m答案C點撥連接OA,由垂徑定理求出AD的長,判斷出△AOD的形狀,再設(shè)OA=r,利用勾股定理即可得出r的長重難點3三角形的外接圓和三角形的外心(1)經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做用形的外接圓,三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心,外心到三角形三個頂點的距離相等,而這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形(2)注意:①“接〞是說明三角形的頂點與圓的關(guān)系,圓經(jīng)過三角形的各頂點(或三角形的各頂點都在圓上),而“內(nèi)〞“外〞定相對位置關(guān)系,是以一個圖形為準,說明另一個圖形在它的里的或外面,如“圓的內(nèi)接三角形“是以圓為準,說明三角形在它的內(nèi)部.②銳角三角形〞是以圓為準,說明三角形在它的內(nèi)部,直角三角形角形的外心是斜邊中點,鈍角三角形的外心在三角形外部,無論哪種三角形,它們的外心都是三角形兩邊垂直平分線的交點,它各頂點的距離相等,只要三華意兩邊垂直平分線的交點,它到三角形半徑就確定了例3

在△ABC中,AB=AC=5且△ABC的面積為12,那么△ABC外接圓的半徑為

解析連接OB,OA,OA交BC于D,如下圖,設(shè)BC=l,AD=h

那么BD=12l,由題意得1①+②×2得(12l+h)2=49①-②×2得(12l-h)2=1,所以所以12l解得l=8在Rt△BOD中,OB=R,OD=(R-h),BD=12l所以R2=42+(R-3)2或R2=32+(R-4)2,解得R=25答案R=256或R=25規(guī)律總結(jié)此題考查三角形外接圓半徑的求法,方法為作輔助線,放入直角三角形中,運用勾股定理計算類題突破3

如圖,△ABC的外心坐標是_____

.

答案

(-2,-1)點撥

△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點∴作圖得:∴EF與MN的交點O'即為所求的△ABC的外心∴△ABC的外心坐標是(-2,-1)重難點4

反證法的應(yīng)用(1)對于一個命題,當(dāng)使用直接證法比擬困難時,可以采用間接證法,反證法就是一個間接證法(2)反證法的一般步驟是:①假設(shè)命題的結(jié)論不成立②從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾③由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定原命題的結(jié)論正確反證法是一種重要的證明方法,在以后的學(xué)習(xí)中,將會進一步體會到它的價值例4

求證:在同一平面內(nèi),一條直線和兩條平行線中的一條相交,也必然和另一條相交,:如下圖,直線l1、l2、l3在同一平h-面內(nèi),l1∥l2且l3與l1交于點P.求證:l3與l2相交

解析先假設(shè)l3與l2相交不成立,即它的反面l3//l2成立,然后從這個假設(shè)出發(fā)推下去,找出矛盾,從而說明l3//l2不成立答案

假設(shè)l3與l2不相交,那么l3//l2因為l1//l2,這就是說過直線l2外一點P有兩條直線都和l2平行,這與“經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與直線平行〞相矛盾,所以假設(shè)不成立,故要求證的原命題正確類題突破4:如圖,直線a∥c,b//c.求證:a//b答案假設(shè)直線a,b不平行,那么它們一定相交如圖,設(shè)交點為P,這樣過點P就有兩條直線a,b與直線c平行,這與“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與直線平行〞矛盾所以a//b

點撥利用反證法,先假設(shè)直線a,b不平行,然后再加以證明易錯指導(dǎo)易錯點1對不在同一條直線上的三個點確定一個理解不透例1以下命題錯誤的選項是()A.經(jīng)過三點可以畫一個圓B.三角形的外心可能在三角形的外部C.任何一個三角形都有外接圓D.三角形的外心是三邊垂直平分線的交點錯解B或C或D錯因分析對于過三點確定圓的條件理解不透徹,沒有正確理解三角形的外接圓和外心的定義及性質(zhì)正解

A糾錯心得任意三個點可能在同一條直線上,也可能不在同一條直線上,由“不在同一條直線上的三個點確定一個圓〞可知A錯誤易錯點2根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求d或r的值時出錯例2點P到