專題03函數(shù)的基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用（單調(diào)性與奇偶性）A組基礎(chǔ)鞏固1．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合二次函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由可得或，函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則，是單調(diào)遞增函數(shù)，在定義域上的減區(qū)間，即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷可以綜合考查兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，因此也是命題的熱點(diǎn)，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性要注意把握兩點(diǎn)：一是要同時(shí)考慮兩個(gè)函數(shù)的的定義域；二是同時(shí)考慮兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，正確理解“同增異減”的含義（增增增，減減增，增減減，減增減）.2．（2019·全國(guó)高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】結(jié)合絕對(duì)值的含義與二次函數(shù)的性質(zhì)，可畫出函數(shù)的圖象，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，如圖所示，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·深圳市龍華高級(jí)中學(xué)高一期中）已知在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，在各自的區(qū)間上均應(yīng)是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，求解即可．【詳解】由已知，在上單減，∴，①在上單調(diào)遞減，∴，解得②且當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，即，∴

③，由①②③得，的取值范圍是，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，嚴(yán)格根據(jù)定義解答，本題保證隨的增大而減?。貏e注意的最小值大于等于的最大值，屬于中檔題.4．（2020·四川省瀘縣第四中學(xué)高一月考）下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】.顯然該函數(shù)為奇函數(shù)；時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為增函數(shù)，且該函數(shù)在R上為增函數(shù)，即該選項(xiàng)正確；.，為冪函數(shù)，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，不符合題意；.為一次函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；.為反比例函數(shù)，為奇函數(shù)，在區(qū)間以及上都是減函數(shù)，不符合題意；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，定義是解決該類題目的基本方法熟記基本函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題基礎(chǔ)，是基礎(chǔ)題.5．（2020·凌海市第三高級(jí)中學(xué)高二月考）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知區(qū)間在對(duì)稱軸的右面，即，即可求得答案.【詳解】函數(shù)為對(duì)稱軸開口向上的二次函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間在對(duì)稱軸的右面，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，明確二次函數(shù)的對(duì)稱軸、開口方向與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系是解題關(guān)鍵.6．（2021·黑龍江鶴崗一中高二期末（文））設(shè)函數(shù),則使成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，定義域?yàn)?，∵，∴函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.考點(diǎn)：抽象函數(shù)的不等式.【思路點(diǎn)晴】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和利用偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)牢記．根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)在大于零的單調(diào)性為遞增，根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越大，把可轉(zhuǎn)化為，解絕對(duì)值不等式即可．7．（2020·黃岡市黃州區(qū)第一中學(xué)高二月考）定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，有，則（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由對(duì)任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上單獨(dú)遞減，所以，選A.點(diǎn)睛：利用函數(shù)性質(zhì)比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小，首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小，要注意轉(zhuǎn)化在定義域內(nèi)進(jìn)行8．（2019·廣西大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以.故應(yīng)選A.考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì).9．（2020·福建省羅源第二中學(xué)高一月考）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，且，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知在上是減函數(shù)，再根據(jù)對(duì)稱性和得出在各個(gè)區(qū)間的函數(shù)值的符號(hào)，從而可得出答案．【詳解】解：∵對(duì)任意的恒成立，∴在上是減函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又是偶函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的解為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．10．（2020·陜西西安一中高一月考）已知是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，且，則不等式的解集為A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，由f（3）＝0，可得f（1﹣2x）＞0?f（1﹣2x）＞f（3）?|1﹣2x|＜3，解得x的取值范圍即可．【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)閒（x）是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（一∞，0]為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，由f（3）＝0，則不等式f（1﹣2x）＞0?f（1﹣2x）＞f（3）?|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x＜2，即不等式的解集為（﹣1，2）.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．11．（2020·廣東高一期末）函數(shù)在是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______【答案】【分析】根據(jù)單調(diào)性確定二次函數(shù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以對(duì)稱軸，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12．（2020·黑龍江建三江分局第一中學(xué)高一月考）函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)所以滿足解不等式組可得即所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．13．（2020·隨州市第一中學(xué)高一期中）已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】由，及可得．【詳解】因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)在定義域上單調(diào)，需滿足所有段同單調(diào)，相鄰端點(diǎn)處的函數(shù)值滿足相應(yīng)的不等關(guān)系．14．（2020·江西鷹潭一中）函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為______________.【答案】【詳解】由已知為二次函數(shù)且對(duì)稱軸為軸，∴，即．再根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞增，可得．令，求得或，故由，可得或，故解集為．15．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則=________【答案】【分析】根據(jù)，即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)f(x)為奇函可得，,∴=，∴,∴,∴,即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.16．（2020·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)）已知，若，則_________．【答案】【解析】試題分析：設(shè)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由，則，則，則，所以．考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性應(yīng)用．17．（2020·北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校高一月考）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為；小值為【詳解】試題分析：（1）利用單調(diào)性的定義，任取，且，比較和0即可得單調(diào)性；（2）由函數(shù)的單調(diào)性即可得函數(shù)最值.試題解析：（1）解：在區(qū)間上是增函數(shù).證明如下：任取，且，.∵，∴，即.∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式,判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題目.證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個(gè)式子符號(hào)為止）；（3）定號(hào)：和0比較；（4）下結(jié)論.18．（2019·陜西高一期中）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最大值.【答案】（1）減區(qū)間，增區(qū)間；（2）.【分析】（1）分析二次函數(shù)圖象的開口方向和對(duì)稱軸可得出該函數(shù)的減區(qū)間和增區(qū)間；（2）分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值的求解，要結(jié)合二次函數(shù)圖象的開口方向和對(duì)稱軸來(lái)分析二次函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.B組能力提升19．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝________．【答案】【解析】【分析】f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，x＜0時(shí)，f（x）=﹣f（﹣x）即可求解f（x）的解析式【詳解】∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)∴f（0）=0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2﹣4x；那么：x＜0時(shí)，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣4（﹣x）]=﹣x2﹣4x，∴f（x）=【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查了函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題.20．（2020·西安市閻良區(qū)關(guān)山中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對(duì)于，都有．（1）求的值；（2）解不等式.【答案】（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)，令，即可得出的值；（2）由，都有知為上的減函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，列出不等式解出的范圍即可.【詳解】（1）令，則，.（2）解法一：由，都有知為上的減函數(shù)，且，即.∵，且，∴可化為，即＝，則，解得.∴不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、不等式的解法，屬于中檔題.定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對(duì)實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域由不等式求出.21．（2020·黑龍江大慶中學(xué)高一期中）若非零函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，且當(dāng)時(shí)（1）求證：；（2）求證：為R上的減函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）通過賦值法求得，然后令，利用“時(shí)，”這一條件，可證得.（2）令，通過賦值法得，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，由此證得函數(shù)為減函數(shù).（3）通過賦值法求得，將題目所給不等式右邊變形為后，利用函數(shù)的單調(diào)性可區(qū)間函數(shù)符號(hào)，變?yōu)橐辉尾坏仁皆趨^(qū)間上恒成立的問題來(lái)解決.【詳解】(1)證明：證法1：令y＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>1，－x>0.f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，則．故對(duì)于x∈R恒有f(x)>0.證法2:.∵f(x)為非零函數(shù)，∴f(x)>0.(2)證明：令x1>x2且x1，x2∈R，有f(x1)·f(x2－x1)＝f(x2)，又x2－x1<0，則f(x2－x1)>1，故，又f(x)>0.∴f(x2)>f(x1)．故f(x)為R上的減函數(shù)．(3)f(4)＝＝f(2＋2)＝f2(2)?f(2)＝，則原不等式可變形為f(x2－2ax＋2)≤f(2)，依題意有x2－2ax≥0對(duì)a∈[－1,1]恒成立．∴∴x≥2或x≤－2或x＝0.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．【點(diǎn)睛】本小題主要考查抽象函數(shù)單調(diào)的證明，考查利用抽象函數(shù)單調(diào)性解決不等式恒成立問題.屬于中檔題.22．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)．(1)求b的值；(2)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)；(3)解關(guān)于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.【答案】(1)b＝0；(2)見解析；(3)【分析】(1)根據(jù)，求得的值；(2)由(1)可得，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；(3)由題意可得，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，可得，由此求得的范圍．【詳解】(1)∵函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證b＝0符合題意；(2)由(1)可得，下面證明函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．證明:設(shè)，則有，，可得，，，,即函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．(3)由不等式可得，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)，可得1＋x2＜x2－2x＋4，解得：，故不等式的解集為.23．（2020·福建省平和第一中學(xué)高一期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）用定義證明在上為增函數(shù)；（Ⅲ）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）．.【分析】（Ⅰ）可