.（2023·江蘇揚州高中期末）在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列的前項和為，且___________，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若選擇①，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，聯(lián)立方程，求和，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式，列首項和公差的方程組，即可求得通項公式；若選擇②，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，列式求首項和公式，即可求得通項公式；若選擇③，利用數(shù)列與的關(guān)系，求數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用裂項相消法求和.【詳解】解：（1）若選擇①，由與解得：或（由于，舍去），設(shè)公差為，則，解得，所以數(shù)列的通項公式為若選擇②，設(shè)公差為，由，得；則，解得，所以數(shù)列的通項公式為若選擇③，因為，解得，所以數(shù)列的通項公式為（2）由題意得：所以14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，a1＝1．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知可得，從而，由此能證明數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）由數(shù)列{an}的通項公式求出，再由，由此利用裂項相消法即可證明.【小問1詳解】因為，所以.兩式相減，得，即，所以當時，，在中，令，得，所以，又滿足，所以，所以，故數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，且.【小問2詳解】，所以，當時，，當時，，所以.15.（2023·江蘇灌南高級中學(xué)期末）在等差數(shù)列中，已知公差，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）an=n（2）【解析】【分析】（1）由已知條件可得（d+2）2=2d+7，從而可求出公差，進而可求得數(shù)列的通項公式，（2）由（1）得，然后利用錯位相減法求【小問1詳解】因為a1，a2+1，a3+6成等比數(shù)列，所以，又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d=（舍），所以an=n；【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，所以16．（2023·江蘇淮安期末）小張計劃連續(xù)十年向某公司投放資金，第一年年初投資10萬元，以后每年投資金額比前一年增加2萬元，該公司承諾按復(fù)利計算，且年利率為10%，第十年年底小張一次性將本金和利息取回，則小張共可以取得______萬元．（結(jié)果用數(shù)字作答）．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】305【分析】根據(jù)給定信息，構(gòu)建數(shù)列，再利用錯位相減法求和作答.【詳解】依題意，小張每年向公司投資金額構(gòu)成以10為首項，2為公差的等差數(shù)列，，因此每年的投資到第十年年底的本金和利息和為，10次投資到第十年年底本金和利息總和為，則，于是得，兩式相減得，則有，所以小張共可以取得305萬元.故答案為：30517.（2023·江蘇灌云期末）已知數(shù)列的前n項和，遞增等比數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和為.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求，再由求出，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求【小問1詳解】，當時，，也滿足上式，∴，則.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因為是遞增等比數(shù)列，所以，.【小問2詳解】，①①①②：∴18．（2023·江蘇連云港期末）已知等差數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求和：.【答案】（1）（2）【分析】（1）由求和公式列方程組解得基本量，即可求通項公式；（2）使用錯位相減法求和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.【小問2詳解】設(shè)，由（1）可知則兩式相減，得所以19.（2023·江蘇常州第一中學(xué)期末）已知數(shù)列滿足為等比數(shù)列.（1）證明：是等差數(shù)列，并求出的通項公式.（2）求的前項和為.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，進而根據(jù)等差數(shù)列定義證明，并結(jié)合通項公式求解即可；（2）根據(jù)錯位相減法求解即可；【小問1詳解】證明：因為數(shù)列滿足為等比數(shù)列，所以的公比，首項為所以，即，所以是以為公差的等差數(shù)列，首項為，所以，，所以，小問2詳解】根據(jù)錯位相減法有：，，所以，，所以20.（2023·江蘇常州第一中學(xué)期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一；享有“數(shù)學(xué)王子“的稱號.用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（）A.999 B.749 C.499 D.249【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得為等比數(shù)列，進而可得，由累加法可求解，進而根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得，根據(jù)裂項求和即可求解.【詳解】由得，因此數(shù)列為公比為5，首項為的等比數(shù)列，故，進而根據(jù)累加法得，由于，又，因此，則，故，所以，故選：A【點睛】方法點睛：常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.21.（2023·江蘇南京師范大學(xué)附中期末）已知數(shù)列的各項均不為0，且滿足（1）求通項公式（2）令，求數(shù)列的前n項和為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，當時，直接求，當時，用前n項積除以前n-1項積的方法化簡，可求通項公式；（2），然后利用分組求和的方法即可求解．【小問1詳解】當時，解得，當時，由得，兩式相除得：，即，當時滿足，所以.【小問2詳解】由（1）可知，所以.所以22.（2023·江蘇響水清源高中期末）數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過等差數(shù)列的通項公式得到關(guān)于的方程組，解出即可.（2）分和，討論，結(jié)合等差數(shù)列前項和的公式即可得到答案.【小問1詳解】設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差，因為，，所以，解得，或（舍去），所以.【小問2詳解】設(shè)，則.由，即，解得.當，時，.當，時，.故.23.（2023·江蘇響水清源高中期末）已知數(shù)列的前n項和滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】當，，故，因為，當時，,兩式相減得：，即，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以．【小問2詳解】，故，故，令①，②，①-②得即，故．24.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法即可求；（2）分別討論，由的單調(diào)性及零點存在定理判斷零點即可.【小問1詳解】，時，恒成立，在上是增函數(shù)；時，時，是減函數(shù)，時，是增函數(shù)，綜上，時，在上是增函數(shù)，時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；【小問2詳解】i.時，由(1)得在上是增函數(shù)，，故只有一個零點；ii.時，由(1)得.①當時，，只有一個零點，符合題意；②當時，，故在有一個零點，又在上是增函數(shù)，設(shè)，，，∴在單調(diào)遞增，，∴在單調(diào)遞增，，設(shè)，由知，當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增，∴，即，故有一個零點，不合題意；③當時，，故有一個零點，又在上是減函數(shù)，，由②得，故在有一個零點，不合題意.綜上，的取值范圍是.【點睛】方法點睛：1.零點個數(shù)可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理判斷；2.對于含參函數(shù)，難點在于找到合適的自變量滿足零點存在定理，本題中可根據(jù)函數(shù)形式，構(gòu)造函數(shù)說明時，及；時，及.25.（2023·江蘇常州第一中學(xué)期末）記等差數(shù)列的前項和為，公差為，等比數(shù)列的公比為，已知，，.（1）求，的通項公式；（2）將，中相同的項剔除后，兩個數(shù)列中余下的項按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列，求的前100項和.【答案】（1），.（2）15080【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等比數(shù)列的通項公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；（2）由題意，求得等差數(shù)列的第100項，逐項求解等比數(shù)列，利用等差數(shù)列建立方程，找出相同項，分組求和，可得答案.【小問1詳解】由，得，因為，所以.結(jié)合，可得，，，解得，，所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可知，當時，.又，所以，，，，，，，，，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以數(shù)列的前100項中與數(shù)列中相同的項共有4項，即4，16，64，256，即為的前8項中的偶數(shù)項.將，中相同的項剔除后，兩個數(shù)列中余下的項按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，則的前100項為數(shù)列的前100項中剔除與數(shù)列相同的4項后剩余的96項與的前8項中剔除與數(shù)列相同的4項后剩余的4項，所以的前100項和為.26.（2023·江蘇鹽城高中期末）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，求．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由題知，進而得等差數(shù)列的公差為，進而根據(jù)等差數(shù)列通項公式和指對互化即可得答案；（2）由題知數(shù)列的前50項是由數(shù)列的前55項去掉數(shù)列的前5項后構(gòu)成的，進而根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式求解即可.【小問1詳解】因為等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，所以，所以等差數(shù)列的公差為，所以，，，所以，，，【小問2詳解】由（1），即是數(shù)列中的第項．設(shè)數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，因為，所以數(shù)列的前50項是由數(shù)列的前55項去掉數(shù)列的前5項后構(gòu)成的，所以．27.（2023·江蘇南大附中期末）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前n項和，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列定義求解；(2)利用錯位相減法求和即可證明.小問1詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，又因為數(shù)列的公比為2，所以，即，解得，所以．【小問2詳解】由（1）知，則，所以，①，②①②得．所以．又因為，所以是遞增數(shù)列，所以，所以．28.（2023·江蘇鹽城大豐期末）已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）寫出當時的等式，再與原式兩式相除求解即可；（2）由（1），再根據(jù)錯位相減求解可得，再化簡不等式可得，再設(shè)，根據(jù)作差法判斷的單調(diào)性，進而可得最大值.【小問1詳解】，當時，，兩式相除得；，又符合上式，故；【小問2詳解】，，，錯位相減得：，即，由，得，設(shè)，則，故，由，由可知，隨著的增大而減小，故，故恒成立，知單調(diào)遞減，故的最大值為，則29.（2023·江蘇徐州期末）在①,②,③這三個條件中選擇兩個,補充在下面問題中,并進行解答.已知等差數(shù)列的前項和為,______,______.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.注:如果選擇多組條件分別解答,按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)是等差數(shù)列,設(shè)出公差為,選擇兩個選項,將首項公差代入,解方程組,即可求得基本量,寫出通項公式;(2)根據(jù)(1)中的通項公式,寫出的通項,利用裂項相消即可求得前項和.【小問1詳解】由于等差數(shù)列,設(shè)公差為,當選①②時:,解得,所以的通項公式.選①③時:,解得,所以的通項公式.選②③時:,解得,所以的通項公式.【小問2詳解】由(1)知,,所以,所以.30.（2023·江蘇蘇州期末）已知數(shù)列中的各項均為正數(shù)，，點在曲線上，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為.（1）求的前項和；（2）求滿足不等式的正整數(shù)的取值集合.【答案】（1）；（2）正整數(shù)的取值集合為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的條件，求出數(shù)列和的通項公式，再利用分組求和法并結(jié)合等差等比數(shù)列前n項和公式求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論建立不等式，再構(gòu)造數(shù)列并判斷單調(diào)性即可作答.【小問1詳解】依題意，，即有，而，因此數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，則有，，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，由，得，即，設(shè)，則，顯然，當時，，即數(shù)列從第3項起是遞減的，因為，則當時，有，所以正整數(shù)的取值集合為.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列的最大項和最小項問題，綜合性較強，難度較大，利用作差或作商的方法，構(gòu)造新數(shù)列是解決問題的關(guān)鍵.等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題1.（2023·江蘇揚州江都高中期末）在數(shù)列中，，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】判斷出數(shù)列周期性，由此求得.【詳解】依題意，，所以，，，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，所以.故答案為：2.（2023·江蘇南京外國語中學(xué)期末）已知遞增等差數(shù)列中，且是，的等比中項，則它的第4項到第11項的和為（）A.180 B.198 C.189 D.168【答案】A【解析】【分析】由條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及等比中項的定義列方程求數(shù)列的公差和首項，再利用求和公式求它的第4項到第11項的和.【詳解】設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，則，且是，的等比中項，，解得，第4項到第11項的和為，所以，即數(shù)列的第4項到第11項的和為180.故選：A．3.（2023·江蘇常州第一中學(xué)期末）已知數(shù)列的前n項和為Sn，，若存在兩項，，使得，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.為定值【答案】BD【解析】【分析】由和的關(guān)系求出數(shù)列為等比數(shù)列，所以選項A錯誤，選項B正確；利用等比數(shù)列前項和公式，求出，故選項C錯誤，由等比數(shù)列的通項公式得到，所以選項D正確.【詳解】由題意，當時，，解得，當時，，所以，所以，數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，，故選項A錯誤，選項B正確；數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，所以，故選項C錯誤；，所以為定值，故選項D正確.故選：BD【點睛】本題主要考查由和的關(guān)系求數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式和前項和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.4.（2023·江蘇蘇州期末）在①；②，且成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題.記等差數(shù)列公差為，前項和為，已知__________.（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）選條件①：；選條件②：；選條件③：（2）選條件①：；選條件②：；選條件③：【解析】【分析】（1）若選條件①，即可得到關(guān)于、的方程組，從而求出、，即可得解；若選條件②，依題意可得，即可求出，即可得解；若選條件③，根據(jù)，作差計算可得；（2）由（1）得到的通項公式，再利用裂項相消法計算可得.【小問1詳解】若選條件①，（1）由題意得，解得，得，所以數(shù)列的通項公式為.若選條件②，依題意，由，得，解得，又因為，所以，所以數(shù)列的通項公式為.若選條件③，當時，；當時，.因為滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】選條件①②，由（1）知，則，所以數(shù)列的前項和..若選條件③，由（1）知，則，所以數(shù)列的前項和5.（2023·江蘇鹽城大豐期末）已知數(shù)列的通項公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個4，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項和為，則的值為______．【答案】370【解析】【分析】依題意，確定前60項所包含數(shù)列的項，以及中間插入4的數(shù)量即可求和.【詳解】因為與之間插入個4，，，，，，其中，之間插入2個4，，之間插入4個4，，之間插入8個4，，之間插入16個4，，之間插入32個4，由于，，故數(shù)列的前60項含有的前5項和55個4，故.故答案為：370.6.（多選）（2023·江蘇鹽城新豐高中期末）已知數(shù)列{an}各項均是正數(shù)，a4，a6是方程x2－4x＋a＝0(0<a<4)的兩根，下列結(jié)論正確的是（）A.若{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}前9項和為18B.若{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差為2C.若{an}是等比數(shù)列，{an}公比為q，a＝1，則q4－14q2＋1＝0D.若{an}是等比數(shù)列，則a3＋a7的最小值為2【答案】AC【解析】【分析】對于選項A，計算得，所以A正確；對于選項B，數(shù)列公差滿足，故B錯誤；對于選項C，分析推理得到，故C正確；對于選項D，不等式中，等號不成立，故D錯誤．【詳解】由條件得，．如果是等差數(shù)列，則，，∴，所以A正確；又，∴數(shù)列公差滿足，故B錯誤；如果是等比數(shù)列，由得，∴，∴，即，∴，故C正確；由已知得，由于，所以，即數(shù)列的公比不為，∴，∴在不等式中，等號不成立，故D錯誤．故選：AC7.（2023·江蘇鹽城實驗高中期末）已知公差為3的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為40，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列通項公式求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求解.【小問1詳解】因為，所以，即，整理得，所以，所以，【小問2詳解】，令得，解得（負值舍去）.8.（多選）（2023·江蘇南京師范大學(xué)附中期末）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則下列結(jié)論正確的有（）A.若{an}為等比數(shù)列，公比為q，則S2n=（1+）SnB.若{an}為等比數(shù)列，s，t，p，q∈N，且asat=apaq，則s+t=p+qC.若{an}為等差數(shù)列，則（p為常數(shù)）仍為等差數(shù)列D.若{an}為等差數(shù)列，則必存在不同的三項ap，aq，ar，使得ap2=aqar【答案】AC【解析】【分析】對于A：直接公式代入驗證即可；對于B：當公比q=1時，可排除；對于C：公式代入，再定義證明即可；對于D：假設(shè)成立，推出可判斷.詳解】對于A：當時，，，；當時，，故A正確；對于B：當公比q=1時，顯然不成立，故B錯誤；對于C：因為{an}為等差數(shù)列，設(shè)(是常數(shù))，令，則，，則為等差數(shù)列.故C正確；對于D：假設(shè)必存在不同的三項ap，aq，ar，使得ap2=aqar.，，，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等，可得，且，，即，即，與不同矛盾.故D錯誤.故選：AC.9.（2023·江蘇鎮(zhèn)江丹陽高中期末）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足