【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題17.6勾股定理與弦圖問題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．（2022春·江蘇無錫·八年級?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab=24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

）A．13 B．10 C．15 D．92．（2022春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列三個結(jié)論：①xA．①②③ B．①② C．①③ D．②③3．（2021秋·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成一個大的正方形，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長為（

）

A．5 B．13 C．4 D．34．（2022秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC=6,BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（

）A．52 B．68 C．72 D．765．（2022春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME?7)的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2=AA．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2022春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為（

）

A．8 B．9 C．10 D．117．（2022秋·江西·八年級?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則EF的長為（

）A．9 B．92 C．328．（2022秋·福建福州·八年級?？计谥校├萌鐖D所示的方法驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC9．（2022春·浙江衢州·八年級校聯(lián)考期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，連接AC，交BE于點P，如圖所示，若正方形ABCD的面積為28，AE+EB=7，則S△CFP

A．3 B．3.5 C．4 D．710．（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，這個直角三角形三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4:3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（

）A．225 B．250 C．275 D．300二、填空題11．（2022春·陜西西安·八年級西安市曲江第一中學(xué)校考期中）中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀(jì)我國漢代的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個全等的直角三角形可以圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則a+b212．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將圖1中的菱形紙片沿對角線剪成4個全等的直角三角形，拼成如圖2的四邊形ABCD（相鄰紙片之間不重處，無縫隙）．若四邊形ABCD

的面積為13，中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，則a+b213．（2022秋·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谥校┯伤膫€全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．過點D作DF的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G，連接CG．若AE＝2BE＝25cm，則線段CG＝_____cm．14．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．15．（2022春·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個全等的直角三角形，BD與CH、EG、AF分別交于點M、O、N，且滿足DN=DC，則兩個陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為___________．

16．（2022春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形．如圖，若拼成的大正方形為正方形ABCD，面積為9，中間的小正方形為正方形EFGH，面積為2，連結(jié)AC，交BG于點P，交DE于點M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP?S△CGP=17．（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ肀挥涊d于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周碑算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S18．（2022春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖，如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，下列四個說法：①a2+b2=49,②a?b=4,

19．（2022秋·北京·八年級101中學(xué)?？计谥校﹫D①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個銳角為30°，將各三角形較短的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，設(shè)AB＝2，則圖中陰影部分面積為__________．20．（2021春·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2??????，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則三、解答題21．（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和

(1)請利用這個圖形證明勾股定理；(2)圖2所示的徽標(biāo)，是我國古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個Rt△ABC繞中心點O順時針連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個圖形的總面積為113cm222．（2022春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”）．(1)弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖1，試驗證勾股定理；(2)如圖2，將四個全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風(fēng)車”，已知外圍輪廊（粗線）的周長為24，OC=3，求該“勾股風(fēng)車”圖案的面積；(3)如圖3，將八個全等的直角三角形（外圍四個和內(nèi)部四個）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S23．（2019秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若圖中大正方形的面積為42，小正方形的面積為5，求(a+b)

24．（2022春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形．(1)用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長；(2)已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？25．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論．像3、4、5這樣為三邊長能構(gòu)成直角三角形的3個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．請你觀察下列三組勾股數(shù)：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．當(dāng)勾為3時，股4=12×(9?1)當(dāng)勾為5時，股12=12×(25?1)當(dāng)勾為7時，股24=12×(49?1)(1)如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝，弦＝，則據(jù)此規(guī)律第四組勾股數(shù)是．(2)若a=m2?1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且26．（2022春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．

(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）27．（2022春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請你用等面積法來探究下列兩個問題：(1)如圖①是著名的“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成，請用它驗證勾股定理；(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD(3)如圖①，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求a+b228．（2022春·福建泉州·八年級泉州七中?？计谥校┪覀冎?，有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角所對的邊叫斜邊（（如圖①所示）．?dāng)?shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)：在一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方，即如果一個直角三角形的內(nèi)條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么a2

(1)直接填空：如圖①，若a=3，b=4，則(2)觀察圖②，其中兩個相同的直角三角形邊AE、EB在一條直線上，請利用幾何圖形的之間的面積關(guān)系，試說明a2(3)如圖③所示，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8，BC=10，利用上面的結(jié)論求29．（2022秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期中）我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用了“弦圖”．如圖，由4個全等的直角三角形(RtΔAFB?RtΔBGC?RtΔCHD?RtΔDEA)和與一個小正方形EFGH恰好拼成一個大正方形(1)根據(jù)題意，寫出下列數(shù)量關(guān)系（用a，b表示）：AE=BF=CG=DH=，AF=BG=CH=DE=，EF=FG=GH=HE=；(2)現(xiàn)假設(shè)你未知勾股定理，請證明：a230．（2022秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的