第5講函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)通關(guān)】通關(guān)一、函數(shù)單調(diào)性的定義及幾何意義項(xiàng)目增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).圖像描述自左向右看，圖像是上升的自左向右看，圖像是下降的要點(diǎn)詮釋(1)函數(shù)單調(diào)性的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值的變化與自變量的變化是否一致，一致則為增函數(shù)，不一致則為減函數(shù).(2)函數(shù)單調(diào)性“數(shù)”的表現(xiàn)是函數(shù)值的增大與減小，“形”的表現(xiàn)是函數(shù)圖像的上升與下降(3)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念，顯然.(4)一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“”連接.(5)增(減)函數(shù)定義中的三個(gè)特征：①任意性；②有大小，即或；③同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間.通關(guān)二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足條件(1)對(duì)于任意的，都有；(2)存在，使得.(1)對(duì)于任意的，都有；(2)存在，使得.結(jié)論為最大值為最小值結(jié)論一、定義法證明函數(shù)單調(diào)性1.取值：即設(shè)1.取值：即設(shè)是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且.2.作差(商)變形：通過(guò)因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差(商)的符號(hào)的方向變形.3.定號(hào)：確定差的符號(hào)(與的大小)，若符號(hào)不確定，可以進(jìn)行分類討論.4.下結(jié)論：即根據(jù)定又得出結(jié)論，注意下結(jié)論時(shí)不要忘記說(shuō)明區(qū)間.【例1】已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，且當(dāng)時(shí).試判斷的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.【解析】設(shè)且，則，故.所以.所以.故在上為增函數(shù).【變式】已知給定函數(shù)對(duì)于任意正數(shù)都有，且，當(dāng)時(shí).試判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.【解析】對(duì)于有，又，所以.設(shè)，且，則，所以.故在上為減函數(shù).結(jié)論二、函數(shù)單調(diào)性的正向與逆向理解1.正向結(jié)論:若在給定區(qū)間上是增函數(shù),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;2.逆向結(jié)論:若在給定區(qū)間上是增函數(shù),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.【例2】已知在區(qū)間上是增函數(shù),且,則下列表達(dá)正確的是（）. A. B. C. D.【答案】B【解析】可轉(zhuǎn)化為和，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù),所以且,根據(jù)同向不等式相加性質(zhì)得.故選B.【變式】已知是定義在上的增函數(shù),若,則的取值范圍是_________.【答案】【解析】由已知可得，故的取值范圍是.結(jié)論三、單調(diào)性結(jié)論設(shè)那么在上是增函數(shù);在上是減函數(shù).【例3】定義在上的函數(shù)滿足:對(duì)任意的,有,則（）. A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閷?duì)任意的,有,所以函數(shù)在上是減函數(shù),因?yàn)?所以.故選D.【變式】已知函數(shù),若對(duì)任意,均滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由可知在上為增函數(shù),所以在上恒成立,而,所以,即.故的取值范圍是.結(jié)論四、單調(diào)性性質(zhì)若函數(shù)在區(qū)間上具有單詞性,則在區(qū)間上具有以下性質(zhì):1.與為常數(shù)具有相同的單調(diào)性.2.當(dāng)非負(fù)時(shí),與具有相同的單調(diào)性.3.與在時(shí)具有相同的單調(diào)性,在時(shí)具有相反的單調(diào)性.4.當(dāng)恒不為0時(shí),函數(shù)與單調(diào)性相反.【例4】已知函數(shù),則（）. A.是偶函數(shù),且在上是增函數(shù) B.是奇函數(shù),且在上是增函數(shù) C.是偶函數(shù),且在上是減函數(shù) D.是奇函數(shù),且在上是減函數(shù)【答案】【解析】,所以,即函數(shù)為奇函數(shù),以函數(shù)為增函數(shù),為減函數(shù),故函數(shù)為增函數(shù).故選B.【變式】若函數(shù)在上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】解法一：.任取,則因?yàn)?所以,以.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,所以1,解得.所以的取值范圍是.解法二：,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,解得.所以的取值范圍是.結(jié)論五、單調(diào)性求最值1.若函數(shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù),則在上的最小值為,最大值為；2.若函數(shù)在閉區(qū)間上是減函數(shù),則在上的最小值為,最大值為.【例5】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ? A. B. C. D. 【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知,恒成立,解得.因此,該函數(shù)的定義域?yàn)?原函數(shù)是由對(duì)數(shù)函數(shù)和組合成的復(fù)合函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性定義同增異減)知道,原函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增的.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,,所以,,所以.故選A.【變式】已知函數(shù),