上海初高中生對(duì)平面向量的理解上海市南洋模范中學(xué)艾曉云一、研究背景和意義向量有著重要的地位和價(jià)值，它的工具性特點(diǎn)在數(shù)學(xué)的許多分支中都有體現(xiàn)，作為一種工具、一種思想方法與三角函數(shù)、平面幾何、空間幾何、代數(shù)及其它學(xué)科領(lǐng)域都有著密切聯(lián)系。另一方面，2005年向量首次被編入上海初中數(shù)學(xué)教材，2012年正值第一屆初中學(xué)習(xí)過(guò)平面向量的學(xué)生高中畢業(yè)。作為一個(gè)初中數(shù)學(xué)的新內(nèi)容，在教師教和學(xué)生學(xué)方面都有很多問(wèn)題亟待解決，本文就在這一背景下應(yīng)運(yùn)而生——從學(xué)生角度出發(fā)，將初中生與高中生對(duì)平面向量的理解作對(duì)比研究，試圖發(fā)現(xiàn)他們對(duì)平面向量的理解水平的具體差異和各自的認(rèn)知特點(diǎn)，從而為平面向量教材的螺旋式編寫提供參考依據(jù)，為平面向量部分的教學(xué)提供建議。研究問(wèn)題主要圍繞四個(gè)問(wèn)題展開：1.初中生、高中生對(duì)平面向量的概念表象是什么？2.初中生、高中生對(duì)平面向量幾何形式的理解水平如何？各自的認(rèn)知特點(diǎn)是什么？3.初中生、高中生對(duì)平面向量代數(shù)形式的理解水平如何？各自的認(rèn)知特點(diǎn)是什么？4.初中生是否具備對(duì)平面向量坐標(biāo)的認(rèn)知能力？高中生對(duì)平面向量坐標(biāo)形式的理解水平如何？研究方法與實(shí)施本文通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查的方法，采用定量加定性的研究架構(gòu)，對(duì)本文提出的4個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究，對(duì)上海市182名高中學(xué)生和180名初中學(xué)生對(duì)平面向量的理解情況進(jìn)行了調(diào)查研究，并針對(duì)問(wèn)卷測(cè)試題中學(xué)生的回答情況，挑選了特定學(xué)生12名（其中初中組6名，高中組6名）及教師6名（其中初中教師3名，高中教師3名），圍繞測(cè)試問(wèn)卷進(jìn)行訪談。采用問(wèn)卷調(diào)查法，個(gè)別訪談法，案例研究法進(jìn)行。數(shù)據(jù)分析均采用Excel2003軟件。文獻(xiàn)研究→確定研究問(wèn)題并制定研究計(jì)劃→編制預(yù)測(cè)問(wèn)卷→實(shí)施預(yù)研究→修改問(wèn)卷并生成正式問(wèn)卷→正式問(wèn)卷調(diào)查→數(shù)據(jù)初步處理、個(gè)別學(xué)生與教師訪談分析及對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行實(shí)錄→數(shù)據(jù)分析、定性的問(wèn)卷分析及課堂實(shí)錄分析→綜合分析并得出結(jié)論→提出建議。數(shù)據(jù)整理與分析初高中生對(duì)平面向量的概念表象(1)、初中組較高中組學(xué)生更具直觀性的認(rèn)知特點(diǎn)。檢測(cè)結(jié)果顯示，從數(shù)量上初高中組有很大差異——初中組多于高中組，一方面筆者通過(guò)Biggis和Collis的認(rèn)知理論分析，另一方面通過(guò)訪談，發(fā)現(xiàn)這是由于初中組較高中組學(xué)生更具直觀性的認(rèn)知特點(diǎn)造成的差異。(2)、與物理情境有關(guān)的成為學(xué)生的向量概念表象中的重要部分。從縱向（初中到高中）上看，隨著物理知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，學(xué)生的向量概念表象中與物理有關(guān)的增多，另外從高中組的向量概念表象來(lái)看，物理情境的占了一半多（一共54種，其中有關(guān)物理的28種），說(shuō)明無(wú)論從縱向還是橫向看，物理情境對(duì)學(xué)生的向量概念表象起著作用。(3)、初中生學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)是可以進(jìn)行嘗試的。在初中組學(xué)生的概念表象中有平面直角坐標(biāo)系、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)的概念表象，這說(shuō)明初中生學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)還是可以嘗試的。初高中生對(duì)平面向量幾何形式的理解水平及各自的認(rèn)知特點(diǎn)(1)、初高中生對(duì)平面向量幾何形式的認(rèn)知水平差異不大。通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，初高中組學(xué)生對(duì)有向線段與向量的概念、有直觀圖形的相等向量的概念、以幾何形式（有向線段）呈現(xiàn)的平面向量的模、平面向量加、減法及數(shù)乘的運(yùn)算法則的作圖的認(rèn)知水平基本一致。而對(duì)于平行向量、無(wú)幾何形式（有向線段）呈現(xiàn)的平面向量的模的認(rèn)知水平存在較大差異。但從整體看，較之對(duì)平面向量的代數(shù)形式的認(rèn)知水平，可以認(rèn)為兩組學(xué)生對(duì)平面向量幾何形式的認(rèn)知水平差異不大。要說(shuō)明的是，初高中組學(xué)生對(duì)有向線段與向量的概念認(rèn)知水平都比較低，都存在對(duì)向量只有大小和方向兩個(gè)本質(zhì)屬性及區(qū)別于有向線段向量沒(méi)有固定起點(diǎn)這一概念的認(rèn)知困難，并通過(guò)訪談與對(duì)課堂實(shí)錄的分析筆者發(fā)現(xiàn)原因與教材的編寫有關(guān)。(2)、對(duì)平面向量幾何形式的認(rèn)知特點(diǎn)，初中組學(xué)生呈現(xiàn)出過(guò)程性思維傾向、幾何型傾向、具象型思維傾向；而高中組學(xué)生則呈現(xiàn)出結(jié)果性思維傾向、代數(shù)型傾向的特點(diǎn)。具體表現(xiàn)為：對(duì)用有向線段表示圖形的平移的認(rèn)知，初中組有過(guò)程性思維傾向，高中組則更傾向于結(jié)果性；對(duì)于平行向量的認(rèn)知，在有直觀圖形情境下初高中兩組學(xué)生呈現(xiàn)出認(rèn)知差異，初中組學(xué)生更具幾何傾向型，兩直線平行的概念對(duì)初中組學(xué)生對(duì)平行向量的理解帶來(lái)了負(fù)遷移。初中組學(xué)生對(duì)用代數(shù)形式表示的的認(rèn)知水平低；兩組學(xué)生在對(duì)平面向量加、減法及數(shù)乘的運(yùn)算法則的作圖中的認(rèn)知水平基本一致。初中組學(xué)生對(duì)減法的作圖更傾向于轉(zhuǎn)化為加法作，而高中組學(xué)生在作圖中則有代數(shù)型傾向——轉(zhuǎn)化為求出坐標(biāo)再作圖；對(duì)以幾何形式（有向線段）呈現(xiàn)的平面向量的模的認(rèn)知，兩組學(xué)生理解水平基本一致，對(duì)于無(wú)幾何形式（有向線段）呈現(xiàn)的平面向量的模的認(rèn)知，初中組學(xué)生顯示出具象型思維傾向，而在高中組學(xué)生中有相當(dāng)一部分選擇用坐標(biāo)做，事實(shí)上，此類學(xué)生在認(rèn)知特點(diǎn)上具有代數(shù)型傾向。(3)、在對(duì)這一點(diǎn)的調(diào)查中，通過(guò)對(duì)師生的訪談，筆者還了解到，在教學(xué)中存在：教師將向量減法法則一律轉(zhuǎn)化為向量加法法則的講授的情況，這阻礙了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的多樣性和整體性，不利于學(xué)生自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自我建構(gòu)。初高中生對(duì)平面向量代數(shù)形式的理解水平及各自的認(rèn)知特點(diǎn)(1)、初高中生對(duì)平面向量代數(shù)形式的認(rèn)知水平存在非常大的差異。具體表現(xiàn)在：對(duì)用代數(shù)形式表示的、對(duì)平面向量的代數(shù)形式中線性組合形式的認(rèn)知，初中組認(rèn)知水平明顯低于高中組。(2)、對(duì)平面向量代數(shù)形式的認(rèn)知特點(diǎn)，初中組學(xué)生較高中組學(xué)生缺乏抽象型思維的能力，呈現(xiàn)局部性過(guò)程性的特點(diǎn)。具體表現(xiàn)為：對(duì)于用代數(shù)形式表示的的認(rèn)知初中組學(xué)生缺乏抽象型思維的能力，由于沒(méi)有給出圖形，初中組學(xué)生對(duì)：中點(diǎn)D在線段BC上的位置存在認(rèn)知困難，有些學(xué)生甚至由都無(wú)法得到點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)共線的結(jié)論，在這一點(diǎn)的認(rèn)知上高中組學(xué)生明顯認(rèn)知水平高于初中組。對(duì)于平面向量的代數(shù)形式中線性組合形式及的理解水平差異較大，高中組水平明顯高于初中組。初中組學(xué)生在對(duì)這一點(diǎn)的認(rèn)知上呈現(xiàn)局部性過(guò)程性的特點(diǎn)，不會(huì)從整體及最終結(jié)果上認(rèn)知。(3)、通過(guò)對(duì)師生的訪談也了解到，目前在初中教學(xué)中存在：重點(diǎn)教中考考的，中考不考的少花時(shí)間甚至不教的功利的情況，及允許學(xué)生在沒(méi)有理解推導(dǎo)過(guò)程的情況下直接用公式的情況。初高中生對(duì)平面向量坐標(biāo)形式的理解(1)、初中組學(xué)生具備了認(rèn)知平面向量坐標(biāo)形式的能力。通過(guò)測(cè)試題及對(duì)教師的訪談，筆者認(rèn)為初中組學(xué)生是具備了認(rèn)知平面向量坐標(biāo)的能力的。(2)、高中組學(xué)生對(duì)平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算的認(rèn)知水平較高，而對(duì)有向量概念、向量平行及有物理背景的向量坐標(biāo)形式的認(rèn)知水平較低。具體為：在對(duì)坐標(biāo)表示的點(diǎn)-有向線段-向量之間的關(guān)系的認(rèn)知中，高中組只有不到半數(shù)(43.41%)的學(xué)生正確認(rèn)知了兩向量相等就是大小和方向相同這兩個(gè)本質(zhì)屬性，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)這一概念。檢測(cè)表明，高中組大部分學(xué)生準(zhǔn)確建構(gòu)了向量的點(diǎn)積運(yùn)算，對(duì)解題方法的分析中筆者得到：在給出坐標(biāo)系的情境下，大部分學(xué)生傾向于選擇坐標(biāo)法。而若加上物理情境，高中組學(xué)生則有更多的人選擇公式法計(jì)算向量的點(diǎn)積，說(shuō)明物理知識(shí)對(duì)學(xué)生對(duì)向量點(diǎn)積運(yùn)算的認(rèn)知起了負(fù)遷移。由檢測(cè)結(jié)果及對(duì)學(xué)生的訪談可知，高中組學(xué)生對(duì)于的坐標(biāo)形式的認(rèn)知水平較低(正確率僅為35.71%)。同時(shí)通過(guò)對(duì)典型錯(cuò)誤的分析筆者發(fā)現(xiàn)，高中組學(xué)生對(duì)向量平行的代數(shù)形式與坐標(biāo)形式間的轉(zhuǎn)換的認(rèn)知水平不高。結(jié)論與啟示1、對(duì)教材編寫的建議：(1)、在高中教材中加入自由向量概念。鑒于本研究的發(fā)現(xiàn)，筆者建議可以將自由向量的概念加入高中數(shù)學(xué)教材平面向量的第一部分，這樣既考慮了初中生幾何型、具象型思維傾向（因此初中教材可以模糊處理），又完善了對(duì)平面向量幾何形式認(rèn)知的螺旋建構(gòu)。(2)、減少初中教材中向量代數(shù)形式的內(nèi)容，相應(yīng)增加向量坐標(biāo)的內(nèi)容?；诒狙芯康陌l(fā)現(xiàn)，筆者建議將較為抽象的平面向量的代數(shù)形式表示的向量?jī)H要求學(xué)生掌握到：給出基向量能作圖得到或?qū)⒃诨蛄肯路纸?，而?duì)于較為抽象的基向量的轉(zhuǎn)換則可不作要求放至高中的平面向量分解定理這一節(jié)中繼續(xù)學(xué)習(xí)。這樣不但照顧了初中生的認(rèn)知能力，也符合對(duì)這部分內(nèi)容的螺旋建構(gòu)，而且還解決了本研究中發(fā)現(xiàn)的教師“只教中考考的，中考不考的不教”的現(xiàn)象。另一方面，可以適當(dāng)增加平面向量坐標(biāo)的內(nèi)容，建議將重點(diǎn)放在平面向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)計(jì)算上而輕向量坐標(biāo)的概念，向量坐標(biāo)的概念可以放在高中繼續(xù)學(xué)習(xí)。這即符合初中生的認(rèn)知特點(diǎn)，也滿足螺旋建構(gòu)的原則。(3)、在空間向量里加入及的代數(shù)形式的內(nèi)容。鑒于本研究的發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)在空間向量里加入及的代數(shù)形式的內(nèi)容的再學(xué)習(xí)符合認(rèn)知結(jié)構(gòu)的螺旋建構(gòu)，也避免了目前高中教材中空間向量部分僅為坐標(biāo)計(jì)算，單純?yōu)榻档土Ⅲw幾何空間思維量為目的的怪象。(4)、調(diào)整高中教材中整個(gè)平面向量?jī)?nèi)容的教學(xué)順序。鑒于本研究的發(fā)現(xiàn)，建議應(yīng)調(diào)整高中教材中平面向量的教學(xué)順序。整個(gè)內(nèi)容可以放在高中一年級(jí)一開始的時(shí)候教，一方面由于平面向量有形的特征，所以較之集合與函數(shù)而言對(duì)剛進(jìn)入高中階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)平面向量沒(méi)那么抽象，能使學(xué)生順利過(guò)渡到高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；更為重要的是，物理學(xué)科在進(jìn)入高中伊始就要用到大量的平面向量知識(shí)，為了更好地發(fā)揮向量的工具性作用并盡可能地避免物理學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)中向量學(xué)習(xí)的負(fù)遷移，平面向量應(yīng)當(dāng)被編在高一年級(jí)數(shù)學(xué)課本第一章。這樣，也有利于向量應(yīng)用于本學(xué)科的后續(xù)知識(shí)（例如：三角、函數(shù)、立幾）。(5)、調(diào)整平面向量教學(xué)課時(shí)。鑒于本研究對(duì)教師的訪談的發(fā)現(xiàn)，建議調(diào)整平面向量教學(xué)課時(shí)，由于教材編寫的螺旋建構(gòu)的原則，初中教材中向量的概念、平面向量的加法、減法法則、線性運(yùn)算等被編在了高中教材的附錄部分，而這一部分內(nèi)容課表上沒(méi)有預(yù)留課時(shí)，而事實(shí)上，高中教師在上平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算前都會(huì)再上一遍附錄部分內(nèi)容，這勢(shì)必會(huì)影響其它內(nèi)容的教學(xué)時(shí)間。2、對(duì)教學(xué)的建議(1)、教師應(yīng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)不同的情境來(lái)幫助學(xué)生形成概念表象。Vinner（1991）提出“獲得概念就是形成概念表象”。表象是我們心理上最活躍的因素，形成好的概念表象，會(huì)對(duì)把握和運(yùn)用概念有幫助。對(duì)于表象我們應(yīng)采取的合理態(tài)度是：積極地提倡利用表象，發(fā)揮它的功能，以減輕思維的負(fù)荷，同時(shí)抑制它的缺點(diǎn)和弱點(diǎn)。向量概念表象的貧乏非常不利于我們對(duì)向量概念的理解。所以，在教學(xué)中教師應(yīng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)不同的情境來(lái)幫助學(xué)生形成概念表象，以使學(xué)生能靈活地掌握向量概念。(2)、教師應(yīng)在教學(xué)中通過(guò)創(chuàng)設(shè)不同的情境避免其它概念對(duì)學(xué)生理解平面向量帶來(lái)的負(fù)遷移。鑒于本研究發(fā)現(xiàn)兩直線平行對(duì)向量平行概念的理解造成了負(fù)遷移，及物理情境對(duì)學(xué)生反應(yīng)產(chǎn)生的負(fù)遷移。筆者建議教師在教學(xué)中，首先應(yīng)對(duì)這些產(chǎn)生負(fù)遷移情境的情況全面了解并在教學(xué)中通過(guò)創(chuàng)設(shè)不同情境使學(xué)生建立正確的表象，以幫助學(xué)生正確理解平面向量。主要參考文獻(xiàn)陳雪梅：《中學(xué)向量課程與教學(xué)的研究》，上海，華東師范大學(xué)博士，2007年李善良：《現(xiàn)代認(rèn)知觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)》，南京，江蘇教育出版，2005年李善良：《數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤分析》，天津，載《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》第11卷第三期，2005年李士錡：《PME：數(shù)學(xué)教育心理》，上海，華東師范大學(xué)出版社，2001年邱萬(wàn)作主編：《九年義務(wù)教育課本數(shù)學(xué)（試用本）八年級(jí)（下）》，上海，上海教育出版社，2007年邱萬(wàn)作主編：《九年義務(wù)教育課本數(shù)學(xué)（試用本）九年級(jí)（上）》，上海，上海教育出版社，2007年上海市教育委員會(huì)：《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試用稿）》，上海，上海教育出版社，2004年10月11、袁震東主編：《高級(jí)中學(xué)課本（試用本）數(shù)學(xué)》，上海，上海教育出版社，2007年12、張奠宙，袁震東：《話說(shuō)向量》，上海，載《數(shù)學(xué)教學(xué)》，2007年09月13、中華人民共和國(guó)教育部制定：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，北京，人民教育出版社，2005年10月1