PAGEPAGE9空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、知識(shí)要點(diǎn)：

1.平面的基本性質(zhì)：

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

公理2：過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系：

空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：

如圖：AB與BC相交于B點(diǎn)，AB與A′B′平行，AB與B′C′異面。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

3.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)……有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；

（2）直線與平面相交……有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）直線與平面平行……沒有公共點(diǎn)。

其中直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。注意，我們不提倡如下畫法．4.平面與平面之間的位置關(guān)系：

（1）兩個(gè)平面平行……沒有公共點(diǎn)；

（2）兩個(gè)平面相交……有一條公共直線。二、例題講解：

例1、根據(jù)圖形，寫出圖形中點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系．圖1可以用幾何符號(hào)表示為：___________________________________________．

圖2可以用幾何符號(hào)表示為：___________________________________________．

分析：本題關(guān)鍵是找出圖中基本元素點(diǎn)、直線、平面，然后再仔細(xì)分析點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與平面的位置關(guān)系，最后用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言寫出．

解：圖1可以用幾何符號(hào)表示為：

即：平面與平面相交于直線AB，直線a在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，直線a平行于直線AB，直線b平行于直線AB．

圖2可以用幾何符號(hào)表示為：，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件

即：平面與平面相交于直線MN，△ABC的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B在內(nèi)但不在直線MN上，點(diǎn)C在平面內(nèi)但不在直線MN上．

例2、觀察下面的三個(gè)圖形，說(shuō)出它們有何異同．分析：圖1既可能是平面圖形，也可能是一個(gè)空間圖形的直觀圖；圖2、圖3均用了一條直線襯托，它們都是空間圖形的直觀圖．

解：圖1可能是平面圖形，也可能是空間圖形的直觀圖；圖2是MN凸在外面的一個(gè)空間圖形的直觀圖；圖3是MN凹在里面的一個(gè)空間圖形的直觀圖．

點(diǎn)評(píng)：（1）本題隱含了三個(gè)平面兩兩相交的直觀圖畫法及平面的畫法、立體幾何圖的畫法．而這些畫法的掌握程度將影響對(duì)空間結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)、對(duì)空間圖形的分析和對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)．

（2）與本題類似的其它變形還有：

用虛線畫出圖4正方體和圖5三棱錐中被遮擋的棱，完成圖形．

例3、正方體ABCD-A1B1C1D1中，

（1）DD1和A1B1的位置關(guān)系如何？

D1B和AC的位置關(guān)系如何？

A1C和D1B的位置關(guān)系如何？

（2）和AD成異面直線的棱所在直線有幾條？

（3）和BD1成異面直線的棱所在直線有幾條？

（4）六個(gè)面的正方形對(duì)角線共12條，這些對(duì)角線所在直線中，異面直線共有多少對(duì)？解析：我們知道空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種，判斷的依據(jù)是看兩條直線是共面還是異面及是否有公共點(diǎn)。

（1）異面直線；異面直線；相交直線；

（2）4條．分別是A1B1、B1B、C1D1、C1C；

（3）6條．分別是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD；

（4）30對(duì)。

例4、已知：如圖，立體圖形A—BCD的四個(gè)面分別是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD，E、F、G分別為線段AB、AC、AD上的點(diǎn)，EF∥BC，F(xiàn)G∥CD．

求證：△EFG∽△BCD．證明：∵在平面ABC中，EF∥BC，∴＝．

又在平面ACD中，F(xiàn)G∥CD，∴=．

∴=．

∴EG∥BD．

∴∠EFG=∠BCD．

同理∠FGE=∠CDB，

∴△EFG∽△BCD．

與本例類似變形還有：

已知：將一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD對(duì)折一次，EF為折痕再打開豎直在桌面上，如圖所示，連結(jié)AD、BC．

求證：ADBC，∠ADE＝∠BCF．（證明略）三、練習(xí)：

1．下列圖形中，滿足的圖形是（）．

（A）（B）

（C）（D）

2．已知A、B表示點(diǎn)，b表示直線，、表示平面，下列命題和表示方法都正確的是（）．

（A）（B）

（C）（D）

3．用符號(hào)表示“若A、B是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，C是直線AB上的點(diǎn)，則C必在內(nèi)”，即是________________．

4．“a，b為異面直線”是指：

（1）且a不平行于b；

（2）且；

（3）且；

（4）；

（5）不存在平面，使且成立．

上述結(jié)論中，正確的是（）．

（A）（1）（4）（5）（B）（1）（3）（4）

（C）（2）（4）（D）（1）（5）

5．一條直線和兩條異面直線的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）．

（A）平行或異面（B）異面（C）相交（D）相交或異面

6．如圖，空間四邊形ABCD中，M、N分別是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，則MN＝__________．7.如圖，是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AF、BC、DE這三條線段所在直線是異面直線的是__________，它們所成的角為________度。四、練習(xí)答案：

1.提示:根據(jù)平面的無(wú)限延展性及平面畫法來(lái)判斷．

答案:（C）．

2.提示：根據(jù)點(diǎn)與平面應(yīng)用“”“”連接排除A；根據(jù)公理兩個(gè)平面相交為一條直線，排除B；再跟據(jù)圖形可排除D，因?yàn)锳有可能在平面上．

答案：（C）．

3.提示:熟悉點(diǎn)與線，點(diǎn)與平面的關(guān)系，正確使用“”、“”等符號(hào)．

答案:.

4.提示：根據(jù)異面直線定義“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條直線叫異面直線”，結(jié)合圖形可排除（2）、（3）、（4）．（∵（2）中可能有a∥b，（3）中可能有a∥b，（4）可能有a與b相交或平行．）（5）是正確的，再由直線位置關(guān)系可得（1）也是正確的．

答案：（D）．

5.提示：由公理可排除（A），再結(jié)合圖形可利用平移方法驗(yàn)證．答案：（D）．

6.提示：重心是三條中線的交點(diǎn)，并分每條中線的比為2∶3．連結(jié)AM并延長(zhǎng)交BC于E，連結(jié)AN并延長(zhǎng)交CD于F，再連結(jié)MN、EF，根據(jù)三角形重心性質(zhì)得BE＝EC，CF＝FD．

∴MNEF，EFBD．

∴MNBD∴MN＝m．

答案：m．

7.解析：展開圖還原成正方體如圖所示（C點(diǎn)與D點(diǎn)重合），成異面直線的是AF與BC（或BD)，AF與BC所成角即為CE與BC所成角，為60度。空間幾何體的表面積和體積能夠熟練運(yùn)用柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積公式計(jì)算一些組合體的表面積和體積；用聯(lián)系、類比的方法解決一些有關(guān)空間幾體的實(shí)際問題．一、展開圖定義一些簡(jiǎn)單的多面體可以沿著多面體的某些棱將它剪開而成平面圖形，這個(gè)平面圖形叫做該多面體的平面展開圖．二、特殊幾何體的定義1.直棱柱：__________的棱柱叫做直棱柱．2.正棱柱：__________的直棱柱叫做正棱柱．3.正棱錐：底面是_________，并且頂點(diǎn)在底面的_______是底面的中心的棱錐叫正棱錐．正棱錐的性質(zhì)：（1）正棱錐的側(cè)棱相等；（2）側(cè)面是全等的等腰三角形；（3）側(cè)棱、高、底面構(gòu)成直角三角形．4.正棱臺(tái)：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分角正棱臺(tái)．正棱臺(tái)的性質(zhì)：（1）正棱棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)相等（2）側(cè)面是全等的等腰三角形；（3）高，側(cè)棱，上、下底面的邊心距構(gòu)成直角梯形．三、側(cè)面積與表面積公式1.正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積公式(1)設(shè)直棱柱高為h，底面多邊形的周長(zhǎng)為c，則直棱柱側(cè)面積計(jì)算公式：S直棱柱側(cè)＝ch，即直棱柱的側(cè)面積等于它的______和___的乘積．(2)設(shè)正n棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，底面周長(zhǎng)為c，斜高為h′，則正n棱錐的側(cè)面積的計(jì)算公式：S正棱錐側(cè)＝12nah'=12(3)設(shè)正n棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為a、周長(zhǎng)為c，上底面邊長(zhǎng)為a′、周長(zhǎng)為c′，斜高為h′，則正n棱臺(tái)的側(cè)面積公式：S正棱臺(tái)側(cè)＝12n((4)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積(或全面積)等于底面積與側(cè)面積的和，即S表＝_______＋_____.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積與表面積公式(1)S圓柱側(cè)＝2πrl(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)(2)S圓錐側(cè)＝πrl(r為底面圓半徑，l為母線長(zhǎng))(3)S圓臺(tái)側(cè)＝π(R+r)l(R、r分別為上、下底面半徑，l(4)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積等于它的側(cè)面積與底面積的和，即S表＝S底＋S側(cè).(5)若圓錐底面的半徑為，側(cè)面母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為則，3.由球的半徑R計(jì)算球表面積的公式：S球＝4πR2.即球面面積等于它的大圓面積的四、體積1.長(zhǎng)方體的體積：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為a、b、c，長(zhǎng)方體的體積V長(zhǎng)方體＝_____.2．棱柱和圓柱的體積：(1)柱體(棱柱、圓柱)的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積，即V柱體＝____.(2)底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積計(jì)算公式是V圓柱＝______.3．棱錐和圓錐的體積：(1)如果一個(gè)錐體(棱錐、圓錐)的底面積為S，高是h，那么它的體積V錐體＝_____h.(2)如果圓錐的底面半徑是r，高是h，則它的體積是V圓錐＝_______.4．棱臺(tái)和圓臺(tái)的體積：(1)如果臺(tái)體的上、下底面面積分別為S′、S，高是h，則它的體積是V臺(tái)體＝_______________.(2)如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r′、r，高是h，則它的體積是V圓臺(tái)＝________________.5．球的體積：如果球的半徑為R，那么球的體積V球＝__________.6．祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異．這就是說(shuō)，夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．應(yīng)用祖暅原理可說(shuō)明：等______、等______的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等．7.球面距離：在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的______在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度．我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離．類型一表面積例1：(2014·江西九江三中高一月考)已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和6，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則該正四棱臺(tái)的高是()A．2B.eq\f(5,2)C．3D.eq\f(7,2)練習(xí)1：某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是()A．32 B．16＋16eq\r(2)C．48 D．16＋32eq\r(2)練習(xí)2：若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個(gè)圓錐的全面積是()A．3π B．3eq\r(3)πC．6π D．9π練習(xí)3：3．(2014·甘肅天水一中高一期末測(cè)試)球的表面積與它的內(nèi)接正方體的表面積之比是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π例2：(2014·陜西寶雞園丁中學(xué)高一期末測(cè)試)用長(zhǎng)為4，寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，此圓柱的軸截面面積為()A．8B.eq\f(8,π)C.eq\f(4,π)D.eq\f(2,π)練習(xí)1：(2014·浙江理，3)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2練習(xí)2：(2014·河南洛陽(yáng)高一期末測(cè)試)已知圓錐的表面積為12πcm2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為()A.eq\r(3)cm B．2cmC．2eq\r(3)cm D．4cm練習(xí)3：(2014·浙江理，3)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2練習(xí)4：(2014·陜西漢中市南鄭中學(xué)高一期末測(cè)試)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是3、4、5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是________．類型二體積 例3：(2014·江西九江三中高一月考)正三棱錐底面三角形的邊長(zhǎng)為eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(9,4)練習(xí)1：(2014·陜西寶雞園丁中學(xué)高一期末測(cè)試)已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，求四棱錐P－ABCD的體積和側(cè)面積．練習(xí)2：(2014·四川文，4)某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．3B．2C.eq\r(3)D．1例4：將長(zhǎng)為a，寬為b(a>b)的長(zhǎng)方形以a為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得柱體的體積為V1，以b為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得柱體的體積為V2，則有()A．V1>V2 B．V1<V2C．V1＝V2 D．V1與V2的大小關(guān)系不確定練習(xí)1：如圖，某幾何體的主視圖是平行四邊形，左視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()A．6eq\r(3) B．9eq\r(3)C．12eq\r(3) D．18eq\r(3)練習(xí)2：一個(gè)圓柱的高縮小為原來(lái)的eq\f(1,n)，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的n倍，則所得的圓柱的體積為原來(lái)的________．例5：在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA＝PB＝PC＝a，求這個(gè)球的體積．練習(xí)1：體積為8的一個(gè)正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于________．練習(xí)2：平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)π B．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π1．將一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了()A．6a2 B．12C．18a2 D．24a2．正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰為正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的全面積與正四面體的全面積之比為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(6),2) D.eq\f(2\r(3),3)3．正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)為6，側(cè)面對(duì)角線長(zhǎng)為3eq\r(3)，則它的側(cè)面積是________．4．若一棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為示)是邊長(zhǎng)為3、3、2的三角形，則該圓錐的側(cè)面積為________．5．(2014·沈陽(yáng)高一檢測(cè))已知某幾何體的俯視圖是如圖所示矩形．主視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，左視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)判斷該幾何體形狀；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.6.若長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別為，則長(zhǎng)方體的體積為；其對(duì)角線長(zhǎng)為．答案：，7.若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為的半圓，則這個(gè)圓錐的體積是．8.正四棱臺(tái)的斜高與上、下底面邊長(zhǎng)之比為，體積為，則棱臺(tái)的高為．基礎(chǔ)鞏固1.如果圓錐底面半徑為，軸截面為等腰直角三角形，那么圓錐的全面積為（）A．B．C．D．2．一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上．下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是，則母線長(zhǎng)為（）A．B．C．D．3．軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積與全面積的比是（）A．B．C．D．4.(2014·山東威海市高一期末測(cè)試)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為(