PAGEPAGE1山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測評2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由集合，又因為，可得.故選：C.2.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由復(fù)數(shù)，所以.故選：A.3.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，∴，即，，故，∴，又∵，∴．故選：C4.將半徑為3，圓心角為的扇形卷成一個圓錐的側(cè)面，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，扇形的弧長為，則，母線，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.故選：B5.設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則（且），當(dāng)時，在定義域內(nèi)遞增，因為區(qū)間單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．當(dāng)時，在定義域內(nèi)遞減，因為區(qū)間單調(diào)遞減，所以需要在區(qū)間單調(diào)遞增，則，顯然不滿足要求，綜上，故選：B．6.設(shè)函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)的最大值為2，則在上的最小值為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵的最大值為2，∴．∴，，∴，∴，即，的最小值為．故選：D.7.記非常數(shù)數(shù)列的前n項和為，設(shè)甲：是等比數(shù)列；乙：（，1，且），則（）A.甲是乙的充要條件 B.甲是乙的充分不必要條件C.甲是乙的必要不充分條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則（），∴，，．∵，1，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．又，∴，∴，此時，1，，所以甲是乙的充要條件．故選：A．8.已知，，，且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以．因為，所以，因為，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故選：C.二、多項選擇題9.已知一組數(shù)據(jù)，，…，是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則所剩下的數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.標(biāo)準(zhǔn)差不變 D.極差不變〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，，…，的平均數(shù)為，可知，故A正確．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故B正確．原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為且新數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為，故C錯誤．因為最大值和最小值不變，故極差不變，故D正確．故〖答案〗為：ABD．10.根據(jù)《中華人民共和國噪聲污染防治法》，城市噪音分為工業(yè)生產(chǎn)噪音，建筑施工噪音、交通運輸噪音和生活環(huán)境噪音等四大類.根據(jù)不同類型的噪音，又進一步細(xì)化了限制標(biāo)準(zhǔn).通常我們以分貝（dB）為單位來表示聲音大小的等級，30～40分貝為安靜環(huán)境，超過50分貝將對人體有影響，90分貝以上的環(huán)境會嚴(yán)重影響聽力且會引起神經(jīng)衰弱等疾病.如果強度為v的聲音對應(yīng)的分貝數(shù)為（dB），那么滿足：.對幾項生活環(huán)境的分貝數(shù)要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商業(yè)、工業(yè)混合區(qū)：50～60dB，安靜住宅區(qū)、療養(yǎng)院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商業(yè)混合區(qū)、安靜住宅區(qū)測得聲音的實際強度分別為，，，則（）A.B.C.若聲音強度由降到，需降為原來的D.若要使分貝數(shù)由40提高到60，則聲音強度需變?yōu)樵瓉淼?00倍〖答案〗AD〖解析〗由題意可知，，即，得，，即，得，，即，得，則，所以，與大小關(guān)系不確定，由此可知A正確，B錯誤；因為，，所以，C錯誤；當(dāng)聲音強度的等級為60dB時，有，即，得，此時對應(yīng)的強度.當(dāng)聲音強度等級為40dB時，有，即，得，此時對應(yīng)的強度，所以60dB的聲音與40dB的聲音強度之比，D正確.故選：AD11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.為奇函數(shù)C.關(guān)于點對稱 D.〖答案〗ACD〖解析〗由對于任意都滿足，令，則，所以A正確；令，可得，即，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，所以C正確，B錯誤；又由為偶函數(shù)知關(guān)于直線對稱，即，可得，則，所以，所以函數(shù)的周期為，令，則，可得，，所以，所以D正確．故選：ACD．12.已知正四棱錐的側(cè)棱長是x，正四棱錐的各個頂點均在同一球面上，若該球的體積為，當(dāng)時，正四棱錐的體積可以是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗因為球的體積為，所以球的半徑為．設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，則，即，又因為，即，整理得，可得，令，則，因為，，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，取到最大值；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以正四棱錐體積．因為，，所以正四棱錐的體積可以是，.故選：BD．三、填空題13.2024年第6屆U23亞洲杯將在卡塔爾舉行．現(xiàn)將甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6個項目中參加志愿活動，且每名志愿者只能參加1個項目的志愿活動，則有且只有3人分到同一項目中的情況有__________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗120〖解析〗可分三步完成，第一步，從四名志愿者中選取三名志愿者，有種選法；第二步，從6個項目中選取2個項目有種不同的選法；第三步，把志愿者分配到兩個項目中有種分配方法；故共有（種）不同的分配方法．故〖答案〗為：120.14.若將上底面半徑為2，下底面半徑為4的圓臺型木塊，削成體積最大的球，則該球的表面積為__________．〖答案〗〖解析〗依題意，削成的球體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)該球為圓臺的內(nèi)切球，設(shè)球半徑為，過圓臺軸的截面截球所得大圓是圓臺軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓，則梯形的高為，由圓的外切四邊形性質(zhì)可知，等腰梯形的腰長為，因此，解得，所以球的表面積.故〖答案〗為：15.設(shè)函數(shù)（）在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗由題知，又因為，所以．因為，所以，當(dāng)或，或時，，要滿足函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰兩個零點，則，解得．故〖答案〗為：.16.函數(shù)的所有零點之和為______．〖答案〗15〖解析〗令，．顯然與的圖象都關(guān)于直線對稱．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖所示：由圖象知：它們的圖象有6個公共點，其橫坐標(biāo)依次為，，，，，，這6個點兩兩關(guān)于直線對稱，∴，則．∴函數(shù)所有零點之和為15．故〖答案〗為：15.四、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求內(nèi)角B的大??；（2）若的面積為，，，求線段BM的長．解：（1）因為，所以由正弦定理邊化角得，所以因為所以，因為，所以，因為，所以．（2）因為的面積為，，所以，所以．因，所以，，所以，所以，即為直角三角形，因為，所以，所以．18.某班級為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理的興趣，組織了一次答題比賽活動，規(guī)定每位學(xué)生共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供學(xué)生任意選擇，甲方案：只選數(shù)學(xué)問題；乙方案：第一次選數(shù)學(xué)問題，以后按如下規(guī)則選題，若本次回答正確，則下一次選數(shù)學(xué)問題，若回答錯誤，則下一次選物理問題．?dāng)?shù)學(xué)問題中的每個問題回答正確得50分，否則得0分；物理問題中的每個問題回答正確得30分，否則得0分．已知A同學(xué)能正確回答數(shù)學(xué)問題的概率為，能正確回答物理問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答順序無關(guān)．（1）求A同學(xué)采用甲方案答題，得分不低于100分的概率；（2）A同學(xué)選擇哪種方案參加比賽更加合理，并說明理由．（1）解：張同學(xué)采用甲方案答題，得分不低于100分的情況為至少答對兩道試題，所以其概率為．（2）解：張同學(xué)選擇乙方案參加比賽更加合理．理由如下：若采用甲方案，則其得分X的可能取值為0，50，100，150，，，，．所以的概率分布列為050100150所以X的數(shù)學(xué)期望為．若采用乙方案，則其得分Y的可能取值為0，30，50，80，100，150，所以，，，，，．所以Y的概率分布列為0305080100150所以的數(shù)學(xué)期望為．因為，所以張同學(xué)選擇乙方案參加比賽更加合理.19.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的點，設(shè)，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，平面與平面的夾角的余弦值最大．（1）證明：因為直三棱柱，底面，又因為底面，所以，因為，且，所以AB⊥BF，又因為，且平面，所以平面，所以，，兩兩垂直，以為原點，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，又由，則，所以，，因為，所以，即．（2）解：因為平面，可得平面的一個法向量為，由，，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，，所以，設(shè)平面與平面DEF所成二面角的平面角為，則，當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為，此時．20.已知正項數(shù)列的前n項和為，；數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項為10，，的等比中項為8．（1）求，的通項公式；（2）設(shè)，為的前n項和，若能成立，求實數(shù)的最大值．解：（1）由可得，當(dāng)時，，兩式相減得，∴，即．∵，∴（），即可得是等差數(shù)列．由，得，∴，即．由題意得，即，解得或．∵是遞增的等比數(shù)列，∴，所以，得，∴．所以和的通項公式為，．（2）由（1）得：．能成立，等價于能成立，化簡得能成立，即．設(shè)， 則，∴是遞減數(shù)列，故的最大值為．∴，因此的最大值為．21.某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物，會開出粉紅色或黃色的花．這種植物第1代開粉紅色花和黃色花的概率都是，從第2代開始，若上一代開粉紅色的花，則這一代開粉紅色的花的概率是，開黃色花的概率是；若上一代開黃色的花，則這一代開粉紅色的花的概率為，開黃色花的概率為．設(shè)第n代開粉紅色花的概率為．（1）求第2代開黃色花的概率；（2）證明：．（1）解：設(shè)事件表示第i代開粉紅色花，事件表示第i代開黃色花，由題意可得，所以第2代開黃色花的概率為．（2）證明：由題可知，，即．設(shè)（），則，，解得，即，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；可得，即；因此，由累加法可得：．所以可得.22.設(shè)（其中）．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，令得，，當(dāng)時，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，則在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，恒成立，故單調(diào)遞增；當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，