§11.2二項(xiàng)式定理高考數(shù)學(xué)

(北京專(zhuān)用)A組自主命題·北京卷題組五年高考1.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案60解析

Tr+1=

·16-r·(-2x)r=(-2)r

·xr(r=0,1,…,6),令r=2,得T3=(-2)2

x2=60x2.故x2的系數(shù)為60.

方法點(diǎn)撥

求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)及特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題,一般抓住通項(xiàng),并進(jìn)行整理,令字母的指數(shù)符合要求,解出項(xiàng)數(shù),代回通項(xiàng)即可.2.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案40解析(2+x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=

25-r·xr(r=0,1,…,5),則x3的系數(shù)為

×22=40.B組統(tǒng)一命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1.(2019課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為

()A.12

B.16

C.20

D.24答案

A本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,通過(guò)求解二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)考查學(xué)生對(duì)公

式的運(yùn)用能力,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1+x)4的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=

xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為

+2

=12.故選A.

解題關(guān)鍵

掌握多項(xiàng)式乘法的展開(kāi)式,熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵.2.(2018課標(biāo)Ⅲ,5,5分)

的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為

()A.10

B.20

C.40

D.80答案

C本題考查二項(xiàng)式定理.

的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=

(x2)5-r·(2x-1)r=2r

·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系數(shù)為22×

=40.故選C.3.(2017課標(biāo)Ⅰ,6,5分)

(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為

()A.15

B.20

C.30

D.35答案

C本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生應(yīng)用二項(xiàng)式定理解決與展開(kāi)式系數(shù)

有關(guān)問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力.解法一:

(1+x)6=1·(1+x)6+

·(1+x)6,(1+x)6的展開(kāi)式中的x2的系數(shù)為

=15,

·(1+x)6的展開(kāi)式中的x2的系數(shù)為

=15,所以所求展開(kāi)式中x2的系數(shù)為15+15=30.解法二:因?yàn)?/p>

(1+x)6=

,所以

(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)等于(1+x2)(1+x)6展開(kāi)式中x4的系數(shù),而(1+x2)(1+x)6展開(kāi)式中x4的系數(shù)為

+

=30,故

(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為30.方法總結(jié)對(duì)于幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題,一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律,

結(jié)合組合思想求解,但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法,以免重復(fù)或遺漏.4.(2017課標(biāo)Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為()A.-80

B.-40

C.40

D.80答案

C本題考查二項(xiàng)式定理,求特定項(xiàng)的系數(shù).(2x-y)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=

·(2x)5-r·(-y)r=(-1)r·25-r

·x5-ryr.其中x2y3項(xiàng)的系數(shù)為(-1)3·22·

=-40,x3y2項(xiàng)的系數(shù)為(-1)2·23·

=80.于是(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為-40+80=40.5.(2016四川,2,5分)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為

()A.-15x4

B.15x4C.-20ix4

D.20ix4

答案

A

T3=

x4i2=-15x4,故選A.易錯(cuò)警示

易誤認(rèn)為i2=1而致錯(cuò).評(píng)析

正確應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.6.(2015陜西,4,5分)二項(xiàng)式(x+1)n(n∈N+)的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為15,則n=

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

C因?yàn)?x+1)n的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為

,所以

=15,即

=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).7.(2015湖南,6,5分)已知

的展開(kāi)式中含

的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a=

()A.

B.-

C.6

D.-6答案

D

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=

(

)5-r·

=(-a)r

·

.依題意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1·

=30,a=-6,故選D.8.(2019浙江,13,6分)在二項(xiàng)式(

+x)9的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)是

,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是

.答案16

;5解析本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用,通過(guò)通項(xiàng)公式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算確定其中

的特定項(xiàng),以此考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力和核心素養(yǎng),以及用方程思想解決求值問(wèn)題的能力.(

+x)9展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=

(

)9-rxr=

·

·xr(r=0,1,2,…,9),令r=0,得常數(shù)項(xiàng)T1=

·

·x0=

=16

,要使系數(shù)為有理數(shù),則只需

∈Z,則r必為奇數(shù),滿足條件的r有1,3,5,7,9,共五種,故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5.解后反思

二項(xiàng)式的展開(kāi)式中特定項(xiàng)的確定需寫(xiě)出其通項(xiàng)公式,并化簡(jiǎn)整理,根據(jù)特定項(xiàng)的特

點(diǎn)列方程確定r的值,進(jìn)而可求解特定項(xiàng).9.(2019天津理,10,5分)

的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

.答案28解析本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的求解考查學(xué)生的運(yùn)算能力,從

而體現(xiàn)運(yùn)算法則及運(yùn)算對(duì)象選擇的素養(yǎng)要素.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k+1=

(2x)8-k

=(-1)k·

28-k·2-3k·x8-4k=(-1)k·

·28-4k·x8-4k,令8-4k=0,得k=2,即T3=(-1)2×

×20=

=28,故常數(shù)項(xiàng)為28.

解題關(guān)鍵

熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵.10.(2018天津,10,5分)在

的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)為

.答案

解析本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù).由題意得Tr+1=

x5-r

=

,令5-

=2,得r=2,所以

=

=

.故x2的系數(shù)為

.方法總結(jié)

求二項(xiàng)展開(kāi)式中的某一項(xiàng)的系數(shù)時(shí),直接利用展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=

an-rbr進(jìn)行求解.11.(2018浙江,14,4分)二項(xiàng)式

的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是

.答案7解析本小題考查二項(xiàng)式定理,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)和相關(guān)計(jì)算.

的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1=

·

·x-k=

·

,要使Tk+1為常數(shù),則

=0,∴k=2,此時(shí)T3=

×

=7,故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為7.思路分析

(1)求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng).(2)令通項(xiàng)中x的指數(shù)為0,得k的值.(3)計(jì)算此時(shí)的Tk+1.12.(2017浙江,13,6分)已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=

,a5=

.答案16;4解析本題考查二項(xiàng)式定理,求指定項(xiàng)系數(shù),組合數(shù)計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力.設(shè)(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,則a4=b2c2+b3c1=

×12×22+13×

×2=16,a5=b3c2=13×22=4.13.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,14,5分)(2x+

)5的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是

.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)答案10解析

Tr+1=

(2x)5-r·(

)r=25-r

·

,令5-

=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系數(shù)為10.14.(2016天津,10,5分)

的展開(kāi)式中x7的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案-56解析

Tr+1=

x16-2r(-x)-r=(-1)-r

x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系數(shù)為(-1)-3

=-56.

易錯(cuò)警示

本題中,展開(kāi)式的通項(xiàng)易寫(xiě)錯(cuò),尤其是符號(hào),正負(fù)易混,需引起注意.評(píng)析

本題主要考查二項(xiàng)式定理,對(duì)運(yùn)算求解能力要求較高.屬中檔題.15.(2015天津,12,5分)在

的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)為

.答案

解析

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=

x6-r

=

x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系數(shù)為

×

=

.16.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)等于

.(用數(shù)字作答)答案80解析

Tr+1=

x5-r·2r(r=0,1,…,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系數(shù)為

×23=80.17.(2015重慶,12,5分)

的展開(kāi)式中x8的系數(shù)是

.(用數(shù)字作答)答案

解析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=

(x3)5-r·

=

·

,令15-3r-

=8,得r=2,于是展開(kāi)式中x8的系數(shù)為

×

=

×10=

.C組教師專(zhuān)用題組1.(2015課標(biāo)Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2的系數(shù)為()A.10

B.20

C.30

D.60答案

C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展開(kāi)式中只有

(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系數(shù)為

=30,故選C.2.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二項(xiàng)展開(kāi)式中,x2項(xiàng)的系數(shù)為

(結(jié)果用數(shù)值表示).答案21解析本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式.(1+x)7的二項(xiàng)展開(kāi)式中,x2項(xiàng)的系數(shù)為

=

=21.3.(2015廣東,9,5分)在(

-1)4的展開(kāi)式中,x的系數(shù)為

.答案6解析

(

-1)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=

(

)4-r(-1)r=(-1)r·

·

,令

=1,得r=2,從而x的系數(shù)為

(-1)2=6.4.(2015安徽,11,5分)

的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是

.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)答案35解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=

(x3)7-k·x-k=

x21-4k,令21-4k=5,得k=4,則展開(kāi)式中x5的系數(shù)為

=35.5.(2014課標(biāo)Ⅰ,13,5分)(x-y)(x+y)8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為

.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)答案-20解析由二項(xiàng)展開(kāi)式公式可知,含x2y7的項(xiàng)可表示為x·

xy7-y·

x2y6,故(x-y)(x+y)8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為

-

=

-

=8-28=-20.6.(2014課標(biāo)Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展開(kāi)式中,x7的系數(shù)為15,則a=

.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)答案

解析

Tr+1=

x10-rar,令10-r=7,得r=3,∴

a3=15,即

a3=15,∴a3=

,∴a=

.7.(2014大綱全國(guó),13,5分)

的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案70解析

Tr+1=

·

·

=(-1)r·

·

·

,令

得r=4.所以展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)為(-1)4·

=70.8.(2014山東,14,5分)若

的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,則a2+b2的最小值為

.答案2解析

Tr+1=

(ax2)6-r

=

a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,則r=3.∴

a3b3=20,即ab=1.∴a2+b2≥2ab=2,即a2+b2的最小值為2.評(píng)析

本題考查二項(xiàng)式定理及基本不等式的綜合應(yīng)用.考查學(xué)生推理論證及運(yùn)算求解能力.9.(2014安徽,13,5分)設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),

的展開(kāi)式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點(diǎn)Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則a=

.

答案3解析根據(jù)題意知a0=1,a1=3,a2=4,結(jié)合二項(xiàng)式定理得

即

解得a=3.10.(2014湖北,2,5分)若二項(xiàng)式

的展開(kāi)式中

的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a=

()A.2

B.

C.1

D.

答案

C

Tr+1=

·(2x)7-r·

=27-r

ar·

.令2r-7=3,則r=5.由22·

a5=84得a=1,故選C.11.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展開(kāi)式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f

(0,3)=()A.45

B.60

C.120

D.210答案

C在(1+x)6的展開(kāi)式中,xm的系數(shù)為

,在(1+y)4的展開(kāi)式中,yn的系數(shù)為

,故f(m,n)=

·

.從而f(3,0)=

=20,f(2,1)=

·

=60,f(1,2)=

·

=36,f(0,3)=

=4,故選C.12.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展開(kāi)式中,含x3項(xiàng)的系數(shù)為()A.30

B.20

C.15

D.10答案

C在(1+x)6的展開(kāi)式中,含x2的項(xiàng)為T(mén)3=

·x2=15x2,故在x(1+x)6的展開(kāi)式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)為15.評(píng)析

本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中求指定項(xiàng)的系數(shù),屬容易題.但在(1+x)6前面乘以x后,易誤求T4=

x3.三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1.(2017北京海淀二模,2)二項(xiàng)式

的展開(kāi)式的第二項(xiàng)是

()A.6x4

B.-6x4C.12x4

D.-12x4

答案

D展開(kāi)式的第二項(xiàng)為T(mén)2=

x5

=-12x4,故選D.2.(2019北京朝陽(yáng)一模,3)

的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

()A.-12

B.-6C.6

D.12答案

C∵Tr+1=

·

·(-x)r=

·(-1)r·x2r-4,∴當(dāng)2r-4=0,即r=2時(shí),此項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),即T3=

·(-1)2=6,故選C.3.(2019北京豐臺(tái)期末,10)(2x-1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為

.答案-40解析

Tr+1=

(2x)5-r(-1)r=

·(-1)r·25-r·x5-r,令r=3,得系數(shù)為-22

=-40.4.(2019北京西城二模,9)在二項(xiàng)式(1-x)5的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)是

.答案10解析

Tk+1=

15-k(-x)k,令k=2,從而有T2+1=

13(-x)2=10x2,所以x2的系數(shù)是10.易錯(cuò)警示

二項(xiàng)式定理的考查中注意“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別.5.(2018北京海淀二模,10)在

的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)為

.答案10解析

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=

x5-r(2·x-1)r=

2rx5-2r,當(dāng)5-2r=3,即r=1時(shí),

·2r=5×2=10.故x3的系數(shù)為10.解后反思

關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確,主要從以下幾個(gè)方面命題:(1)考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=

an-rbr(可以考查某一項(xiàng),也可考查某一項(xiàng)的系數(shù));(2)考查各項(xiàng)系數(shù)和與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;(3)二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用.6.(2019北京通州期末,12)

的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)是

.答案15解析

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=

·(-1)r·x6-2r,令6-2r=2,解得r=2.故展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為

·(-1)2=15.思路分析

根據(jù)題意列出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,令x的冪指數(shù)為2,求出r的值,即可求出展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù).7.(2019北京大興期末,10)

的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)的值為

.答案84解析

Tr+1=

(x2)9-r

=

·x18-2r·x-r=

x18-3r,令r=6,得常數(shù)項(xiàng)為

=84.8.(2019北京東城一模,9)在(

-x)6的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)是

.(用數(shù)字作答)答案60解析

Tr+1=

(

)6-r(-x)r,令r=2得,T3=

(

)4(-x)2=60x2,∴系數(shù)為60.9.(2017北京順義二模,10)在

的展開(kāi)式中,x7的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案7解析由題意可得Tr+1=

(x2)8-r·

=

x16-3r,令16-3r=7,得r=3,∴x7的系數(shù)為

×

=7.B組2017—2019年高考模擬·專(zhuān)題綜合題組時(shí)間:30分鐘分值:55分一、選擇題(每小題5分,共15分)1.(2018北京東城二模,3)在

的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)為10,則實(shí)數(shù)a等于

()A.-1

B.

C.1

D.2答案

D∵Tr+1=

x5-r

=

arx5-2r,∴當(dāng)5-2r=3時(shí),r=1,∴a

=10,∴a=2.故選D.思路分析

準(zhǔn)確地掌握二項(xiàng)式定理的內(nèi)容及有關(guān)概念,正確運(yùn)用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.2.(2019清華中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力試卷,6)在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為

()A.119

B.120

C.164

D.165答案

C根據(jù)二項(xiàng)式定理,展開(kāi)式的通項(xiàng)中x2的系數(shù)為

+

+

+…+

=

+

+

+

+…+

-1=

+

+

+…+

-1=……=

-1=164,故選C.3.(2019北京海淀二模,4)在(x-2)5的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)是

()A.-80

B.-10

C.5

D.40答案

A

Tk+1=

x5-k(-2)k,令5-k=2,得k=3,從而有T3+1=

x5-3(-2)3=-80x2,所以x2的系數(shù)是-80,故選A.二、填空題(每小題5分,共40分)4.(2018北京通州摸底,10)二項(xiàng)式

的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

.答案-160解析

的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

(2x)3

=-160.5.(2018北京門(mén)頭溝一模,9)在

的展開(kāi)式中,x6的系數(shù)是

.答案15解析根據(jù)通項(xiàng)公式Tr+1=

(-1)rx12-3r,令12-3r=6,得r=2,所以x6的系數(shù)為

(-1)2=15.6.(2018北京海淀期末,12)已知(5x-1)n的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為

64∶1,則n=

.答案6解析當(dāng)x=1時(shí),各項(xiàng)系數(shù)的和為(5×1-1)n=4n,二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n,易得

=64,所以n=6.7.(2018北京石景山期末,12)設(shè)常數(shù)a∈R,若

的二項(xiàng)展開(kāi)式中x7項(xiàng)的系數(shù)為-10,則a=

.答案-2解析

的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=

x10-2r

=

x10-3rar,