《北航數(shù)理統(tǒng)計》課件2024-02-02課程概述與引入概率論基礎(chǔ)知識回顧統(tǒng)計量及其抽樣分布參數(shù)估計方法論述假設(shè)檢驗原理與實踐方差分析與回歸分析拓展時間序列分析與預(yù)測技術(shù)課程總結(jié)與展望contents目錄01課程概述與引入數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學(xué)的一個分支，研究如何有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)。在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟管理等眾多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。幫助人們從數(shù)據(jù)中提取信息、形成結(jié)論，并進(jìn)行預(yù)測和決策。數(shù)理統(tǒng)計定義與重要性01掌握數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、原理和方法。02學(xué)會如何運用數(shù)理統(tǒng)計方法分析和解決實際問題。03培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計推斷的能力。04學(xué)習(xí)內(nèi)容涵蓋概率論基礎(chǔ)、統(tǒng)計量及其分布、參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析、回歸分析等。課程目標(biāo)與學(xué)習(xí)內(nèi)容采用講授、討論、案例分析等多種教學(xué)方法相結(jié)合。強調(diào)理論與實踐相結(jié)合，注重培養(yǎng)學(xué)生的實際應(yīng)用能力。評估方式包括平時作業(yè)、期中考試、期末考試等。教學(xué)方法與評估方式《數(shù)理統(tǒng)計》（第X版），XX作者，XX出版社。教材包括相關(guān)領(lǐng)域的經(jīng)典著作、學(xué)術(shù)論文、網(wǎng)絡(luò)資源等，以豐富和拓展學(xué)生的知識面。參考資料教材及參考資料介紹02概率論基礎(chǔ)知識回顧隨機試驗與樣本空間隨機事件概率的定義及性質(zhì)古典概型與幾何概型隨機事件及其概率明確隨機試驗的特點，理解樣本點和樣本空間的概念。理解概率的公理化定義，掌握概率的基本性質(zhì)。掌握隨機事件的定義，了解事件的運算及性質(zhì)。了解古典概型和幾何概型的計算方法，能應(yīng)用概率加法公式和乘法公式計算復(fù)雜事件的概率。理解條件概率的概念，掌握條件概率的計算方法。條件概率了解乘法公式在條件概率計算中的應(yīng)用。乘法公式理解全概率公式和貝葉斯公式的含義，能應(yīng)用它們解決一些實際問題。全概率公式與貝葉斯公式理解事件獨立性的概念，能判斷事件的獨立性并應(yīng)用獨立性進(jìn)行概率計算。事件的獨立性條件概率與獨立性檢驗理解隨機變量的定義及其分類（離散型、連續(xù)型）。隨機變量的概念了解常見的離散型隨機變量（如0-1分布、二項分布、泊松分布等）及其分布律。離散型隨機變量及其分布律了解常見的連續(xù)型隨機變量（如均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等）及其概率密度函數(shù)。連續(xù)型隨機變量及其概率密度理解分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)，能計算隨機變量的分布函數(shù)。分布函數(shù)隨機變量及其分布函數(shù)理解數(shù)學(xué)期望的概念，掌握數(shù)學(xué)期望的計算方法。數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣?yán)斫夥讲畹母拍睿莆辗讲畹挠嬎惴椒?，了解方差的意義。理解協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念，掌握它們的計算方法，了解它們在描述隨機變量之間關(guān)系方面的應(yīng)用。了解矩和協(xié)方差矩陣的概念及其在多元統(tǒng)計分析中的應(yīng)用。期望、方差及相關(guān)性質(zhì)03統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它不依賴于任何未知參數(shù)，只依賴于樣本本身的信息。常見的統(tǒng)計量包括樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本極差、樣本偏度、樣本峰度等。這些統(tǒng)計量可以從不同的角度描述樣本的特征。統(tǒng)計量定義及常見類型常見類型統(tǒng)計量定義抽樣分布概念抽樣分布是指樣本統(tǒng)計量的概率分布，它描述了樣本統(tǒng)計量在不同樣本下的可能取值及其概率。性質(zhì)抽樣分布具有隨機性，其形狀和參數(shù)取決于總體分布和樣本量。當(dāng)樣本量足夠大時，一些樣本統(tǒng)計量的抽樣分布會趨于正態(tài)分布。抽樣分布概念及性質(zhì)t分布t分布是一種連續(xù)型概率分布，其形狀取決于自由度參數(shù)。當(dāng)樣本量較小且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，樣本均值的抽樣分布服從t分布。正態(tài)分布正態(tài)分布是一種常見的連續(xù)型概率分布，其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線。在統(tǒng)計推斷中，許多統(tǒng)計量都服從或近似服從正態(tài)分布。F分布F分布是一種連續(xù)型概率分布，常用于方差分析和回歸分析中。它描述了兩組數(shù)據(jù)的方差比值的概率分布。正態(tài)分布、t分布和F分布抽樣誤差是指由于抽樣而引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異。抽樣誤差是不可避免的，但可以通過增加樣本量來減小。抽樣誤差置信區(qū)間是指由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間。在給定置信水平下，可以認(rèn)為總體參數(shù)落在該區(qū)間內(nèi)的概率較大。置信區(qū)間的寬度反映了估計的精確程度。置信區(qū)間抽樣誤差和置信區(qū)間04參數(shù)估計方法論述點估計原理點估計是用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)，因為樣本統(tǒng)計量為數(shù)軸上某一點值，估計的結(jié)果也以一個點的數(shù)值表示，所以稱為點估計。評價標(biāo)準(zhǔn)點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)主要包括無偏性、有效性和一致性。無偏性要求估計量的期望值等于被估計的總體參數(shù)；有效性要求估計量的方差盡可能小；一致性要求當(dāng)樣本容量增大時，估計量依概率收斂于被估計的總體參數(shù)。點估計原理及評價標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計原理及實現(xiàn)步驟區(qū)間估計原理區(qū)間估計是在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差得到。實現(xiàn)步驟首先選擇合適的統(tǒng)計量，然后利用該統(tǒng)計量的抽樣分布求出置信區(qū)間，最后根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出置信區(qū)間的具體范圍。最大似然估計法是一種在總體分布類型已知但參數(shù)未知的情況下，通過構(gòu)造似然函數(shù)并最大化似然函數(shù)來估計總體參數(shù)的方法。最大似然估計法原理例如，在正態(tài)分布中，如果我們知道樣本的均值和方差，就可以利用最大似然估計法來估計正態(tài)分布的均值和方差參數(shù)。應(yīng)用舉例最大似然估計法應(yīng)用舉例最小二乘法原理最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。在回歸分析中，最小二乘法被用來估計回歸方程的系數(shù)。應(yīng)用舉例例如，在簡單線性回歸中，我們可以利用最小二乘法來估計回歸直線的斜率和截距。通過最小化預(yù)測值與實際觀測值之間的殘差平方和，可以得到最優(yōu)的斜率和截距估計值。最小二乘法在回歸分析中應(yīng)用05假設(shè)檢驗原理與實踐建立假設(shè)根據(jù)實際問題，提出原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$。確定拒絕域根據(jù)顯著性水平$alpha$和檢驗統(tǒng)計量的分布，確定拒絕域。選擇檢驗統(tǒng)計量根據(jù)樣本數(shù)據(jù)選擇合適的檢驗統(tǒng)計量，并確定其分布。做出決策根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的值，并判斷是否落在拒絕域內(nèi)，從而做出接受或拒絕原假設(shè)的決策。假設(shè)檢驗基本思想和步驟單側(cè)和雙側(cè)檢驗策略選擇當(dāng)只關(guān)心某一方向的可能性時，采用單側(cè)檢驗。例如，只關(guān)心新藥是否有效，而不關(guān)心是否比舊藥更差。單側(cè)檢驗當(dāng)關(guān)心兩個方向的可能性時，采用雙側(cè)檢驗。例如，關(guān)心新藥是否與舊藥有顯著差異，無論更好還是更差。雙側(cè)檢驗03錯誤控制通過選擇合適的顯著性水平$alpha$和增大樣本容量等方法來控制兩類錯誤。01第一類錯誤拒絕正確的原假設(shè)，即“棄真”錯誤，其概率用$alpha$表示。02第二類錯誤接受錯誤的原假設(shè)，即“取偽”錯誤，其概率用$beta$表示。第一類錯誤和第二類錯誤控制VS表示在原假設(shè)為假時，拒絕原假設(shè)的概率，即$1-beta$，也稱為檢驗的效力或把握度。樣本容量確定根據(jù)預(yù)期效應(yīng)大小、顯著性水平、功效等參數(shù)，通過計算或查表確定所需樣本容量。功效函數(shù)功效函數(shù)和樣本容量確定06方差分析與回歸分析拓展方差分析是一種統(tǒng)計方法，用于研究不同組別間均值差異的顯著性。它通過比較組內(nèi)變異和組間變異來判斷因素對結(jié)果的影響是否顯著。方差分析廣泛應(yīng)用于科學(xué)實驗、市場調(diào)研、醫(yī)學(xué)研究等領(lǐng)域，用于分析不同處理組或不同因素對實驗結(jié)果的影響。方差分析概念應(yīng)用場景方差分析概念及應(yīng)用場景模型構(gòu)建步驟收集數(shù)據(jù)、繪制散點圖、確定回歸方程、進(jìn)行假設(shè)檢驗、預(yù)測和控制等。關(guān)鍵參數(shù)解釋一元線性回歸模型中的關(guān)鍵參數(shù)包括斜率、截距和相關(guān)系數(shù)，它們分別表示自變量和因變量之間的線性關(guān)系、回歸直線在Y軸上的截距以及自變量和因變量之間的相關(guān)程度。一元線性回歸模型構(gòu)建模型優(yōu)化方法逐步回歸、嶺回歸、主成分回歸等。這些方法可以通過剔除不重要變量、處理多重共線性等方式優(yōu)化模型，提高預(yù)測精度和穩(wěn)定性。要點一要點二模型評價指標(biāo)多元線性回歸模型的評價指標(biāo)包括決定系數(shù)、調(diào)整決定系數(shù)、均方誤差等，它們用于評估模型的擬合優(yōu)度和預(yù)測能力。多元線性回歸模型優(yōu)化非線性回歸概念非線性回歸是指因變量與自變量之間不存在直線關(guān)系，而是呈現(xiàn)出某種曲線關(guān)系的回歸分析。轉(zhuǎn)換技巧常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)換技巧包括對數(shù)轉(zhuǎn)換、指數(shù)轉(zhuǎn)換、冪轉(zhuǎn)換等。這些技巧可以將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系，從而應(yīng)用線性回歸方法進(jìn)行分析和預(yù)測。同時，也可以考慮使用多項式回歸、樣條回歸等非線性回歸方法直接擬合數(shù)據(jù)。非線性回歸模型轉(zhuǎn)換技巧07時間序列分析與預(yù)測技術(shù)數(shù)據(jù)按時間順序排列01時間序列數(shù)據(jù)是按照時間順序排列的一系列數(shù)據(jù)點，反映了某一現(xiàn)象或指標(biāo)隨時間的變化情況。具有趨勢性和周期性02時間序列數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)出一定的趨勢性，即長期上升或下降趨勢；同時，也可能存在周期性變化，即數(shù)據(jù)在特定時間段內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)相似的波動模式。受多種因素影響03時間序列數(shù)據(jù)的變化可能受到多種因素的影響，包括長期趨勢、季節(jié)性變化、周期性波動、隨機擾動等。時間序列數(shù)據(jù)特點描述平穩(wěn)時間序列模型構(gòu)建平穩(wěn)性檢驗在構(gòu)建平穩(wěn)時間序列模型之前，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗，以確保數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)性要求。自回歸模型（AR）自回歸模型是一種基于時間序列數(shù)據(jù)自身歷史值進(jìn)行預(yù)測的模型，通過擬合歷史數(shù)據(jù)中的自相關(guān)性來預(yù)測未來值。移動平均模型（MA）移動平均模型是一種基于時間序列數(shù)據(jù)中的隨機擾動項進(jìn)行預(yù)測的模型，通過擬合歷史數(shù)據(jù)中的移動平均性質(zhì)來預(yù)測未來值。自回歸移動平均模型（ARMA）自回歸移動平均模型是自回歸模型和移動平均模型的組合，同時考慮了數(shù)據(jù)中的自相關(guān)性和移動平均性質(zhì)。差分法是一種常用的非平穩(wěn)時間序列處理方法，通過計算相鄰時間點的差值來消除趨勢性和季節(jié)性影響，使得數(shù)據(jù)變得平穩(wěn)可預(yù)測。差分法季節(jié)調(diào)整法是一種針對具有季節(jié)性變化的時間序列數(shù)據(jù)的處理方法，通過分離出季節(jié)性成分來消除其對預(yù)測結(jié)果的影響。季節(jié)調(diào)整法趨勢分解法是一種將時間序列數(shù)據(jù)分解為趨勢項、季節(jié)性項和隨機項的方法，以便更好地理解和預(yù)測數(shù)據(jù)的長期趨勢和周期性變化。趨勢分解法非平穩(wěn)時間序列處理方法預(yù)測誤差評估指標(biāo)選擇均方誤差（MSE）均方誤差是衡量預(yù)測誤差大小的常用指標(biāo)之一，計算預(yù)測值與實際值之差的平方的平均值。平均絕對誤差（MAE）平均絕對誤差是預(yù)測值與實際值之差的絕對值的平均值，可以更好地反映預(yù)測誤差的實際情況，尤其是對于存在個別極端誤差的情況。均方根誤差（RMSE）均方根誤差是均方誤差的平方根，可以更好地反映預(yù)測誤差的實際情況。預(yù)測準(zhǔn)確率預(yù)測準(zhǔn)確率是預(yù)測正確的樣本數(shù)占總樣本數(shù)的比例，可以直觀地反映預(yù)測模型的性能。08課程總結(jié)與展望關(guān)鍵知識點回顧總結(jié)事件、概率、條件概率、獨立性等概念；參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析等統(tǒng)計方法；回歸分析、主成分分析、因子分析等多元統(tǒng)計方法；隨機變量序列、馬爾科夫鏈、泊松過程等隨機過程理論。概率論基礎(chǔ)統(tǒng)計推斷多元統(tǒng)計分析隨機過程醫(yī)學(xué)領(lǐng)域案例利用統(tǒng)計方法對醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，如臨床試驗數(shù)據(jù)、流行病學(xué)調(diào)查數(shù)據(jù)等；經(jīng)濟金融領(lǐng)域案例應(yīng)用多元統(tǒng)計分析方法對金融市場、企業(yè)經(jīng)營等數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測；工程技術(shù)領(lǐng)域案例運用概率論和隨機過程理論對工程技術(shù)中的不確定性問題進(jìn)行分析和建模。典型案例分析分享數(shù)理統(tǒng)計與其他學(xué)科的交叉融合數(shù)理統(tǒng)計將與計算機科學(xué)、生物學(xué)、社會學(xué)等其他學(xué)科進(jìn)行更深入的交叉融合，形成新的研究方向和應(yīng)用領(lǐng)域；數(shù)理統(tǒng)計在解決實際問題中的