專題32順序排位問(wèn)題例1．2014年，為了研究根治埃博拉病毒疫苗，醫(yī)務(wù)人員需進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室完成某項(xiàng)具有高危險(xiǎn)的實(shí)驗(yàn)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只被派一次，工作時(shí)間不超過(guò)60分鐘，如果某人60分鐘不能完成實(shí)驗(yàn)則必須撤出，再派下一個(gè)人，現(xiàn)有甲、乙、丙三人可派，他們各自完成實(shí)驗(yàn)的概率分別為、、，且假定各人能否完成實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立．（1）求實(shí)驗(yàn)?zāi)鼙煌瓿傻母怕?；?）若規(guī)定最先派丙去，則以后按怎樣的先后順序派人，才比較合理（派出人員最少最合理），并說(shuō)明理由．【解析】解：（1）求得實(shí)驗(yàn)不能被完成的概率為，實(shí)驗(yàn)?zāi)鼙煌瓿傻母怕蕿椋?）若規(guī)定最先派丙去，設(shè)派出人數(shù)為，以后若先派甲后派乙，則的分布列為123的數(shù)學(xué)期望為．若規(guī)定最先派丙去，設(shè)派出人數(shù)為，以后若先派乙后派甲，則的分布列為123的數(shù)學(xué)期望為．由于，故應(yīng)先派乙后派甲．例2．工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只需一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，，，假設(shè)，，互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立．（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否會(huì)發(fā)生變化？（2）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，，，其中，，是，，的一個(gè)排列，求所需要派出人員數(shù)目為3的概率．【解析】解：（1）任務(wù)不能被完成的概率是為定值，故任務(wù)能被完成的概率是為定值，此值與三個(gè)人的派出順序無(wú)關(guān)．（2）派出人員數(shù)目為3，說(shuō)明前2個(gè)人沒(méi)有完成任務(wù)，故此事的概率為．例3．一次圍棋擂臺(tái)賽，由一位職業(yè)圍棋高手設(shè)擂做擂主，甲、乙、丙三位業(yè)余圍棋高手攻擂．如果某一業(yè)余棋手獲勝，或者擂主戰(zhàn)勝全部業(yè)余棋手，則比賽結(jié)束．已知甲、乙、丙三人戰(zhàn)勝擂主的概率分別為，，，每人能否戰(zhàn)勝擂主是相互獨(dú)立的．（1）求這次擂主能成功守擂（即戰(zhàn)勝三位攻擂者）的概率；（2）若按甲、乙、丙順序攻擂，這次擂臺(tái)賽共進(jìn)行了次比賽，求得數(shù)學(xué)期望；（3）假定，試分析以怎樣的先后順序出場(chǎng)，可使所需出場(chǎng)人員數(shù)的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最小，并證明你的結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)擂主能成功守擂的事件為，三人攻擂獲勝的事件為，，2，3，則，三人攻擂均失敗的概率為．所以，擂主守擂成功的概率是（A）．（2）比賽場(chǎng)數(shù)，2，3．，比賽一場(chǎng)結(jié)束，則第一位業(yè)余棋手就獲勝，其概率為；，比賽二場(chǎng)結(jié)束，則第一位業(yè)余棋手攻擂失敗，第二位勝利，其概率是；，比賽三場(chǎng)結(jié)束，則第一，二位業(yè)余棋手攻擂失敗，其概率為，．（3）答按獲勝概率從大到小的順序出場(chǎng)，則所需出場(chǎng)人員數(shù)的均值為最小．下面證明以上結(jié)論．設(shè)，，是，，的一個(gè)排列，如果按，，有順序出場(chǎng)，由（2）可得期望．因?yàn)榈忍?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，．所以，按獲勝概率從大到小的順序出場(chǎng)，所需出場(chǎng)人員數(shù)的均值為最小．例4．由甲、乙、丙三個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)參加某項(xiàng)闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個(gè)人依次進(jìn)行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個(gè)人．3個(gè)人中只要有一人能解開(kāi)密碼鎖，則該團(tuán)隊(duì)進(jìn)入下一關(guān)，否則淘汰出局．根據(jù)以往100次的測(cè)試，分別獲得甲、乙解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間的頻率分布直方圖．（1）若甲解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47，求、的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開(kāi)密碼鎖的頻率；（2）若以解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開(kāi)密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開(kāi)密碼鎖相互獨(dú)立．①求該團(tuán)隊(duì)能進(jìn)入下一關(guān)的概率；②該團(tuán)隊(duì)以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，并說(shuō)明理由．【解析】解：（1）甲解開(kāi)密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47，，解得；，解得；甲在1分鐘內(nèi)解開(kāi)密碼鎖的頻率是；乙在1分鐘內(nèi)解開(kāi)密碼鎖的頻率是；（2）由（1）知，甲在1分鐘內(nèi)解開(kāi)密碼鎖的頻率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，且各人是否解開(kāi)密碼鎖相互獨(dú)立；①不能進(jìn)入下一關(guān)的概率為，能進(jìn)入下一關(guān)的概率與三個(gè)人被排除的順序無(wú)關(guān)，該團(tuán)隊(duì)能進(jìn)入下一關(guān)的概率為；②設(shè)甲、乙、丙三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率分別，，，且，，互不相等，根據(jù)題意知的取值為1，2，3；則，若交換前兩個(gè)人的派出順序，則變?yōu)?，由此可?jiàn)，當(dāng)時(shí)，交換前兩人的派出順序可增大均值，應(yīng)選概率大的甲先開(kāi)鎖；若保持第一人派出的人選不變，交換后兩人的派出順序，可寫(xiě)為，交換后的派出順序則變?yōu)椋?dāng)時(shí)交換后的派出順序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，這樣能使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最?。?．工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，如果前一個(gè)人10分鐘不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為，，，假設(shè)，，互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立．（1）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能完成的概率．若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（2）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最?。窘馕觥拷猓海?）按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，任務(wù)被完成的概率為：；若甲在先，丙次之，乙最后的順序派人，任務(wù)被完成的概率為：，發(fā)現(xiàn)任務(wù)被完成的概率是一樣的，同理可以驗(yàn)證，不論如何改變3人的先后順序，任務(wù)能被完成的概率不會(huì)發(fā)生變化；（2）由題意得的可能取值為1，2，3，按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，所需派出的人員數(shù)目的分布列為：123所以．因?yàn)?，且，其它情況同理可得，所以要使所需派出的人員數(shù)目的均值得到最小，只能先派甲乙中的一人，若先派甲，再派乙，最后派丙，則．若先派乙，再派甲，最后派丙，則；所以，所以先派甲，再派乙，最后派丙時(shí)，派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最?。?．一支擔(dān)負(fù)勘探任務(wù)的隊(duì)伍有若干個(gè)勘探小組和兩類勘探人員，甲類人員應(yīng)用某種新型勘探技術(shù)的精準(zhǔn)率為0.6，乙類人員應(yīng)用這種勘探技術(shù)的精準(zhǔn)率為.每個(gè)勘探小組配備1名甲類人員與2名乙類人員，假設(shè)在執(zhí)行任務(wù)中每位人員均有一次應(yīng)用這種技術(shù)的機(jī)會(huì)且互不影響，記在執(zhí)行任務(wù)中每個(gè)勘探小組能精準(zhǔn)應(yīng)用這種新型技術(shù)的人員數(shù)量為.（1）證明：在各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率中，概率的值最大.（2）在特殊的勘探仼務(wù)中，每次只能派一個(gè)勘探小組出發(fā)，工作時(shí)間不超過(guò)半小時(shí)，如果半小時(shí)內(nèi)無(wú)法完成任務(wù)，則重新派另一組出發(fā).現(xiàn)在有三個(gè)勘探小組可派出，若小組能完成特殊任務(wù)的概率，且各個(gè)小組能否完成任務(wù)相互獨(dú)立.試分析以怎樣的先后順序派出勘探小組，可使在特殊勘探時(shí)所需派出的小組個(gè)數(shù)的均值達(dá)到最小.【解析】（1）證明：由已知，的所有可能取值為0,1,2,3.∴概率的值最大.（2）解：由（1）可知，由有的值最大，且∴應(yīng)當(dāng)以的順序派出助探小組，可使在特殊勘探時(shí)所需派出的小組個(gè)數(shù)的均值達(dá)到最小，即優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的小組可減少所需派出的小組個(gè)數(shù)的均值.證明如下：假定為的任意一個(gè)排列，即若三個(gè)小組按照某順序派出，該順序下三個(gè)小組能完成特殊任務(wù)的概率依次為，記在特殊助探時(shí)所需派出的小組個(gè)數(shù)為，則，且的分布列為：123P下面證明成立.方法一：若，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)派出的前兩個(gè)小組的順序不變時(shí)，第一個(gè)派出的小組完成的概率越大，越??；若，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)派出的第一個(gè)小組不變，后兩個(gè)小組的順序變換時(shí)，則第二個(gè)派出的小組完成的概率越大，越小.可見(jiàn)，按照完成任務(wù)概率從大到小的的小組順序派出勘探小組，可使在特殊勘探時(shí)所需派出的小組個(gè)數(shù)的均值達(dá)到最小.方法二:∴按照完成任務(wù)概率從大到小的的先后順序派出勘探小組，可使在特殊勘探時(shí)所需派出的小組個(gè)數(shù)的均值達(dá)到最小.例7．在“挑戰(zhàn)不可能”的電視節(jié)目上，甲、乙、丙三個(gè)人組成的解密團(tuán)隊(duì)參加一項(xiàng)解密挑戰(zhàn)活動(dòng)，規(guī)則是由密碼專家給出題目，然后由3個(gè)人依次出場(chǎng)解密，每人限定時(shí)間是1分鐘內(nèi)，否則派下一個(gè)人個(gè)人中只要有一人解密正確，則認(rèn)為該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失?。鶕?jù)甲以往解密測(cè)試情況，抽取了甲100次的測(cè)試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖．（1）若甲解密成功所需時(shí)間的中位數(shù)為47，求、的值，并求出甲在1分鐘內(nèi)解密成功的頻率；（2）在“挑戰(zhàn)不可能”節(jié)目上由于來(lái)自各方及自身的心理壓力，甲，乙，丙解密成功的概率分別為，2，，其中表示第個(gè)出場(chǎng)選手解密成功的概率，并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替，各人是否解密成功相互獨(dú)立．①求該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率；②該團(tuán)隊(duì)以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個(gè)人上場(chǎng)解密，求團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】解：（1）甲解密成功所需時(shí)間的中位數(shù)為47，，解得，．解得．甲在1分鐘內(nèi)解密成功的頻率是．（2）①由題意及（1）可知第一個(gè)出場(chǎng)選手解密成功的概率為，第二個(gè)出場(chǎng)選手解密成功的概率為，第三個(gè)出場(chǎng)選手解密成功的概率為，該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率為．②由①知按從小到大的順序的概率分別為，，，根據(jù)題意知的可能取值為1，2，3，則，，，團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列為：1230.90.0910.009．例8．工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，，，假設(shè)，，互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，，，其中，，是，，的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）；（Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最