專題突破練19專題五立體幾何過關(guān)檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.(2020山東德州一模,4)在正方體ABCDA1B1C1D1中,P是C1D1的中點(diǎn),且AP=AD+xAB+yAA1,則實(shí)數(shù)x+yA.32 B.12 C.122.(2020山西晉中一模,5)給定下列四個(gè)命題,其中真命題是()A.垂直于同一直線的兩條直線相互平行B.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面相互平行C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行D.若兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直3.(2020山東臨沂一模,7)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中《商功》有如下問題:“今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,問積及為粟幾何?”,意思是“有粟若干,堆積在平地上,底面圓周長(zhǎng)為12丈,高為2丈,問它的體積和粟各為多少?”如圖,主人意欲賣掉該堆粟,已知圓周率約為3,一斛粟的體積約為2700立方寸(單位換算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米賣270錢,一兩銀子1000錢,則主人賣后可得銀子()A.800兩 B.1600兩C.2400兩 D.3200兩4.(2020福建廈門質(zhì)量檢查,8)如圖,在圓柱OO1中,OO1=2,OA=1,OA⊥O1B,則AB與下底面所成角的正切值為()A.2 B.2C.22 D.5.(2020湖南懷化三模,7)已知一塊形狀為正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面是正方形,側(cè)棱與底面垂直的四棱柱)的實(shí)心木材,AB=2,AA1=3.若將該木材經(jīng)過切割加工成一個(gè)球體,則此球體積的最大值為()A.92π B.823π C.43π6.(2020青海西寧一模,10)某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí),制作了一個(gè)工藝品,如圖所示,該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為43的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合),若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為4π,則該球的半徑是()A.2 B.4 C.26 D.467.(2020廣東湛江二模,7)我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算幾何體體積的祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是兩個(gè)同高的幾何體,如果在等高處的截面積都相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件,若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的圓的三分之一,則該幾何體的體積為()A.223π B.423π C.42π8.已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)定點(diǎn),∠ABC=60°,AC=2,P為球O的球面上的動(dòng)點(diǎn),記三棱錐PABC的體積為V1,三棱錐OABC的體積為V2,若V1V2的最大值為3,則球O的表面積為A.16π9 B.64π9 C.3二、多項(xiàng)選擇題9.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),其中正確的結(jié)論為()A.直線AM與C1C是相交直線B.直線AM與BN是平行直線C.直線BN與MB1是異面直線D.直線MN與AC所成的角為60°10.(2020山東濰坊三模,10)已知m,n是兩條不重合的直線,α,β,γ是三個(gè)兩兩不重合的平面,則下列命題正確的是()A.若m⊥α,n⊥β,α∥β,則m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βC.若m∥β,n∥β,m,n?α,則α∥βD.若n?α,n⊥β,則α⊥β11.(2020山東青島二模,11)如圖,正方形SG1G2G3的邊長(zhǎng)為1,E,F分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn),SG2交EF于點(diǎn)D,現(xiàn)沿SE,SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1,G2,G3三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G,則在四面體SGEF中必有()A.SG⊥平面EFGB.設(shè)線段SF的中點(diǎn)為H,則DH∥平面SGEC.四面體SGEF的體積為1D.四面體SGEF的外接球的表面積為3212.(2020山東濟(jì)寧三模,10)線段AB為圓O的直徑,點(diǎn)E,F在圓O上,AB∥EF,矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直,且AB=2,AD=EF=1.則()A.DF∥平面BCEB.異面直線BF與DC所成的角為30°C.△EFC為直角三角形D.VCBEF∶VFABCD=1∶4三、填空題13.(2020寧夏銀川聯(lián)考,14)《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺,術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是說:圓堡瑽(圓柱體)的體積為V=112×底面圓的周長(zhǎng)的平方×高,則由此可推得圓周率π的取值為.14.一豎立在水平面上的圓錐物體的母線長(zhǎng)為2m,一只螞蟻從圓錐的底面圓周上的點(diǎn)P出發(fā),繞圓錐表面爬行一周后回到P點(diǎn),螞蟻爬行的最短路徑為23m,則圓錐的底面圓半徑為.

15.(2019天津,文12)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均為5.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.

16.(2020江西南昌三模,16)已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1,AB=32,AD=2,AA1=23,已知P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),PA1與平面ABCD所成角為π3,設(shè)點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為α,則tanα=四、解答題17.(2020廣東珠海三模,19)如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,平面CDEF⊥平面ABCD,且四邊形CDEF為矩形,BC=2AD=2,CF=23,AB=13,BE=26.(1)求證:AD⊥平面BDE;(2)求點(diǎn)D到平面BEF的距離.18.(2020山東濟(jì)南三模,17)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=12BC,將直角梯形ABCD(及其內(nèi)部)以AB所在直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,形成如圖所示的幾何體,其中M為CE的中點(diǎn)(1)求證:BM⊥DF;(2)求異面直線BM與EF所成角的大小.19.(2020河北唐山二模,18)如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2AB=2BC=2,AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,CF=2AE.(1)求證:CD⊥EF;(2)若二面角BEFD是直二面角,求AE的長(zhǎng).20.(2020江西重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體第一次聯(lián)考,18)如圖所示,正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,將△ABD沿BD翻折到△PBD的位置,使得二面角PBDA的大小為120°.(1)證明:平面PAC⊥平面PBD;(2)點(diǎn)M在直線PD上,且直線BM與平面ABCD所成角的正弦值為32,求二面角MBCP的余弦值21.(2019北京,理16)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn),點(diǎn)F在PC上,且PFPC(1)求證:CD⊥平面PAD;(2)求二面角FAEP的余弦值;(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上,且PGPB=23,判斷直線AG是否在平面AEF22.(2020天津靜海一中期中,18)如圖所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四邊形EDCF為矩形,DE=2,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求證:DF∥平面ABE;(2)求二面角BEFD的正弦值;(3)在線段BE上是否存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面BEF所成角的正弦值為66?若存在,求出線段BP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由專題突破練19專題五立體幾何過關(guān)檢測(cè)1.D解析AP=AD+DD1+D1P=AD+2.D解析正方體同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直,則垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,故A錯(cuò)誤;若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面互相平行,故B錯(cuò)誤;正方體的前面和側(cè)面都垂直于底面,這兩個(gè)平面不平行,故C錯(cuò)誤;若兩個(gè)平面α,β垂直,假設(shè)一個(gè)平面α內(nèi)與它們的交線l不垂直的直線l1與另一個(gè)平面β垂直,因?yàn)閘1⊥β,且平面α,β的交線l?β,所以可得l1⊥l,這與題設(shè)l與l1不垂直相互矛盾,所以假設(shè)不成立,原命題成立,故D正確.3.A解析底面半徑為r=122×3=2(丈),V=13×3×22×2=8(立方丈)=8×106(立方寸)=8000027(斛),故8000027×4.B解析由題意,作BB'垂直于底面,連接OB',AB',如圖所示.在圓柱OO1中,OO1=2,OA=1,OA⊥O1B,則∠BAB'即為AB與下底面所成角,而OA⊥OB',所以AB'=12所以tan∠BAB'=BB5.C解析根據(jù)題意,當(dāng)球內(nèi)切于棱長(zhǎng)為2的正方體時(shí),球的體積最大,故該球體積最大時(shí),半徑為1,體積為V=43πR36.B解析設(shè)截面圓半徑為r,球的半徑為R,則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半即23,根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得4π=2πr,得r=2,故由題意知R2=r2+(23)2,即R2=22+(23)2=16,所以R=4.7.A解析由題意可知,該幾何體的體積等于圓錐的體積,∵圓錐的側(cè)面展開圖恰為一個(gè)半徑為3的圓的三分之一,∴底面周長(zhǎng)為2π×33=2π.∴圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,∴高為∴體積V圓錐=13×π×12×8.B解析如圖,設(shè)△ABC的外接圓圓心為O',其半徑為r,球O的半徑為R,當(dāng)球心O在三棱錐PABC內(nèi)時(shí),由題意可知,V1V2max=R+R2-r2∵2r=ACsin∴r=23,∴R=43,∴S球=4π×169=64π9.當(dāng)球心O在三棱錐9.CD解析結(jié)合圖形,顯然直線AM與C1C是異面直線,直線AM與BN是異面直線,直線BN與MB1是異面直線,直線MN與AC所成的角即直線D1C與AC所成的角.在等邊三角形AD1C中,∠ACD1=60°,所以直線MN與AC所成的角為60°.綜上正確的結(jié)論為CD.10.AD解析∵m⊥α,α∥β,∴m⊥β.又n⊥β,∴m∥n,故A正確;B選項(xiàng)中,α,β可能平行,也可能相交,故B不正確;C選項(xiàng)中,當(dāng)m∥n時(shí),α,β可能相交,故C不正確;由面面垂直判定定理,知D正確.11.ABD解析如圖所示,SG⊥GF,SG⊥GE,GE∩GF=G,∴SG⊥平面EFG,故A正確;∵DH為△SEF的中位線,則DH∥SE,DH?平面SGE,∴DH∥平面SGE,故B正確;由題知,SG=1,GE=GF=12,VSGEF=13×S△GEF×SG=13×12×∵GE,GF,GS兩兩垂直,故外接球直徑2R=12+122+122=62,所以12.BD解析因?yàn)锳B∥EF,AB∥CD,所以四邊形CDEF確定一個(gè)平面,由于DC,EF長(zhǎng)度不相等,則DF,CE不平行,即DF與平面BCE有公共點(diǎn),故A錯(cuò)誤;連接OF,OE,OE交BF于點(diǎn)G,因?yàn)镺B∥EF,OB=EF,OB=OF=1,所以四邊形OBEF為菱形,則BE=OF=1,所以△OBE為等邊三角形,由于G為OE的中點(diǎn),則∠OBG=12∠OBE=30°,因?yàn)锳B∥CD,所以異面直線BF與DC所成的角為∠ABF=∠OBG=30°,故B由于四邊形OBEF為菱形,則BF=2BG=212由面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)可知,BC⊥BE,BC⊥BF,所以CF=12+(3)又因?yàn)镋F2+CE2=3≠CF2,所以△EFC不是直角三角形,故C錯(cuò)誤;因?yàn)锽F=3,BE=1,EF=1,所以S△BEF=12由面面垂直的性質(zhì)可知,BC⊥平面BEF,所以VCBEF=13×34過點(diǎn)F作AB的垂線,垂足為H,則FH=12BF=3根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知HF⊥平面ABCD,則VFABCD=13×2×1×32=33,即VCBEF∶VFABCD=13.3解析設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,圓柱的高為h,由題意知112×(2πr)2h=πr2h,解得π=14.23m解析將圓錐側(cè)面展開得半徑為2m的一扇形,螞蟻從P爬行一周后回到P(記作P作OM⊥PP1,如圖所示.由最短路徑為23m,即PP1=23m,OP=2m,由圓的性質(zhì)可得∠POM=∠P1OM=π3,即扇形所對(duì)的圓心角為2π3,則圓錐底面圓的周長(zhǎng)為l=2π3×2=415.π4解析如圖,由底面邊長(zhǎng)為2,可得OC=設(shè)M為VC的中點(diǎn),則O1M=12OC=12,O1O=12VO,VO=∴O1O=1.∴V圓柱=π·O1M2·O1O=π×122×1=π416.37解析因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,所以PA1與平面ABCD所成角為∠APA1.因?yàn)镻A1與平面ABCD所成角為π3,所以∠APA1=因?yàn)锳A1=23,所以AP=2.從而點(diǎn)P形成的軌跡為以A為圓心,2為半徑的圓在矩形ABCD內(nèi)一段圓弧DM,設(shè)其圓心角為θ,則sinθ=322=34,所以tanθ=37.所以tanα=17.(1)證明∵ED⊥CD,平面EDCF⊥平面ABCD,且平面EDCF∩平面ABCD=CD,ED?平面EDCF,∴ED⊥平面ABCD.又AD,BD?平面ABCD,∴ED⊥BD,AD⊥ED.∵在Rt△BDE中,ED=23,BE=26,∴BD=23在△ABD中,BD=23,AD=1,AB=13,∵AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.又ED∩BD=D,ED,BD?平面BDE,∴AD⊥平面BDE.(2)解由(1)可知△BCD為直角三角形,且BD=23,BC=2,∴CD=BD2+BC2=4,作BH⊥CD由已知平面EDCF⊥平面ABCD,且平面EDCF∩平面ABCD=CD,BH?平面ABCD,∴BH⊥平面CDEF,∴VBDEF=13S△DEF×BH=13×在△BEF中,BF=BC2+CF2=4,EF=CD=4,BE=26,∴S△BEF=12×26×42-(6)2=215.設(shè)點(diǎn)D到平面BEF的距離為h,則13S△BEFh=VBDEF18.(1)證明(方法一)連接CE,CE與BM交于點(diǎn)N,根據(jù)題意,該幾何體為圓臺(tái)的一部分,且CD與EF相交.故C,D,F,E四點(diǎn)共面.因?yàn)槠矫鍭DF∥平面BCE,所以CE∥DF.因?yàn)镸為CE的中點(diǎn),所以∠CBM=∠EBM,所以N為CE的中點(diǎn),又BC=BE,所以BN⊥CE,即BM⊥CE,所以BM⊥DF.(方法二)如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BE,BC,BA所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,則AD=AF=1,BC=BE=2,所以B(0,0,0),M(2,2,0),D(0,1,1),F(1,0,1),所以BM=(2,2,0),DF=(1,1,0),所以BM·DF=(2)解如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BE,BC,BA所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,則AD=AF=1,BE=2,所以B(0,0,0),M(2,2,0),E(2,0,0),F(1,0,1),所以BM=(2,2,0),EF=(1,0,1),所以cos<BM,EF>=BM·EF|BM|19.(1)證明連接AC,∵CF⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴CF⊥CD.∵AD=2,AB=BC=1,∴AC=CD=2,∴AC2+CD2=AD2,可得AC⊥CD.∵AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,∴AE∥CF,∴A,C,F,E四點(diǎn)共面.又AC∩CF=C,∴CD⊥平面ACFE.∵EF?平面ACFE,∴CD⊥EF.(2)解如圖所示,以A為原點(diǎn),AB,AD,AE分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AE=t,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,0,t),則BE=(1,0,t),BF=(0,1,2t),DE=(0,2,t),DF=(1,1,2t).設(shè)平面BEF的法向量為m=(x1,y1,z1),則m即-x1+tz1=0,y1+2tz1=0,取z1=1,x1=t,y1設(shè)平面DEF的法向量為n=(x2,y2,z2),則n取z2=2,x2=3t,y2=t,則平面DEF的一個(gè)法向量n=(3t,t,2).由二面角BEFD是直二面角,則m·n=0,即5t2=2,解得t=10所以AE=1020.(1)證明設(shè)AC交BD于點(diǎn)E,連接PE,即E為BD中點(diǎn),又AB=AD,∴AE⊥BD,∵PD=PB,∴PE⊥BD.∵AE?平面PAC,PE?平面PAC,AE∩PE=E,∴BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD,∴平面PAC⊥平面PBD.(2)解∵AE⊥BD,PE⊥BD,∴∠PEA即為二面角PBDA的平面角,即∠PEA=120°,得∠PEC=60°.∵AB=2,∴EP=EC=PC=2以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P12,32,62.設(shè)DM=λDP=12λ,32λ,62λ,∴BM=BD+DM=12λ2,32λ2,∴|cos<n,BM>|=n=32,解得λ=∴BM=(1,1,6),CB=(2,0,0)設(shè)平面MBC的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n即-x1+y1+6z1=0,2x1=0,令y1=6,得平面MBC的一個(gè)法向量n1=(0,6,1).∵CP=12,12,62,CB即1令y2=6,得平面PBC的一個(gè)法向量n2=(0,6,1).設(shè)二面角MBCP的平面角為θ,∴cosθ=n1·n2|n121.(1)證明因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因?yàn)锳D⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.(2)解過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以E(0,1,1).所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,2),AP=(0,0,2)所以PF=13PC=23,23,23設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則n即y令z=1,則y=1,x=1.于是平面AEF的一個(gè)法向量n=(1,1,1).又