向量的數(shù)量積1、了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力的作用下產(chǎn)生位移所做的功；2、掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積；3、掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及常用的公式；4、會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算進(jìn)行進(jìn)行或證明。一、向量的數(shù)量積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個(gè)非零向量，，是平面上的任意一點(diǎn)，作，，則（）叫做向量與的夾角．（2）性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向．（3）向量垂直：如果與的夾角是，我們說與垂直，記作．2、向量的數(shù)量積的定義（1）定義：非零向量與，它們的夾角為，數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)；（2）記法：向量與的數(shù)量積記作，即；零向量與任一向量的數(shù)量積為0；3、向量在上的投影向量（1）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，考慮如下變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，過點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．（3）注意：數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影向量的“長度”的乘積，也等于的長度||與在的方向上的投影向量的“長度”的乘積3、向量數(shù)量積的物理背景如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功就等于力與位移的數(shù)量積，即，其中是與的夾角。二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律1、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則（1）；（2）；（3）當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；特別地，或；（4）cosθ＝；（5）2、平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）；（3）(λ為實(shí)數(shù))；（3）；（4）兩個(gè)向量，的夾角為銳角?且，不共線；兩個(gè)向量，的夾角為鈍角?且，不共線．（5）平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式三、求平面向量數(shù)量積的方法（1）定義法：若已知向量的模及夾角，則直接利用公式，運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件；（2）運(yùn)算律轉(zhuǎn)化法：由可得如下運(yùn)算公式：；；；（3）利用向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化法：涉及平面圖形中向量的數(shù)量積的計(jì)算時(shí)，要結(jié)合向量的線性運(yùn)算，將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量求解。題型一平面向量數(shù)量積的概念【例1】（2023·高一單元測試）以下關(guān)于兩個(gè)非零向量的數(shù)量積的敘述中，錯(cuò)誤的是（）A．兩個(gè)向量同向共線，則他們的數(shù)量積是正的B．兩個(gè)向量反向共線，則他們的數(shù)量積是負(fù)的C．兩個(gè)向量的數(shù)量積是負(fù)的，則他們夾角為鈍角D．兩個(gè)向量的數(shù)量積是0，則他們互相垂直【變式11】（2023·四川樂山·高一期末）（多選）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（）A．B．C．若，，則D．，則【變式12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論中正確的有．①“與共線”是“存在實(shí)數(shù)使”的必要非充分條件②；③或；④；⑤，其中；⑥若，則為鈍角；【變式13】（2023·四川成都·高二成都七中?？计谥校ǘ噙x）下列說法正確的是（）A．對任意向量，都有B．若且，則C．對任意向量，都有D．對任意向量，都有題型二平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【例2】（2024·山東濟(jì)南·高二期末）在三角形中，，，，則（）A．10B．12C．D．【變式21】（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（）A．B．C．D．12【變式22】（2023·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期中）設(shè)，為單位向量，且，的夾角為，若，，則．【變式23】（2023·福建廈門·高一廈門一中?？茧A段練習(xí)）是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則．題型三平面向量模的相關(guān)運(yùn)算【例3】（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┮阎?，，且，的夾角為，則（）A．1B．C．2D．【變式31】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知平面向量，且與的夾角為，則（）A．B．4C．2D．0【變式32】（2023·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量的夾角為，，則.【變式33】（2023·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量、滿足，，則.題型四平面向量的夾角問題【例4】（2023·河南焦作·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)非零向量，滿足，，則向量的夾角等于（）A．B．C．D．【變式41】（2023·寧夏吳忠·高一期末）若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°【變式42】（2023·廣東湛江·高一湛江市第二中學(xué)校考期中）在平行四邊形中，，，若，，則與夾角的余弦值是.【變式43】（2023·安徽蕪湖·高一無為襄安中學(xué)?？计谥校┮阎蛄颗c的夾角為，且，．向量與共線，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求向量與的夾角．題型五平面向量的垂直問題【例5】（2023·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知非零向量滿足：向量與向量垂直，且向量與向量垂直，則與的夾角為（）A．B．C．D．【變式51】（2023·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知單位向量，，則使成立的充分條件是（）A．B．C．D．【變式52】（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）是邊長為2的等邊三角形，已知向量、滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（）．A．為單位向量B．C．D．【變式53】（2023·河南·高一濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，與的夾角是.（1）計(jì)算；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，？題型六求平面向量的投影向量【例6】（2023·河北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為單位向量，，當(dāng)，的夾角為時(shí)，在上的投影向量為（）A．B．C．D．【變式61】（2023·天津·高一薊州區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【變式62】（2023·黑龍江大慶·高一大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄浚瑵M足，則在上的投影向量為．【變式63】（2023·浙江金華·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則在上投影向量為，則．題型七由數(shù)量積判斷多邊形形狀【例7】（2023·四川自貢·高一校考期中）若四邊形滿足，，則該四邊形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形【變式71】（2023·北京·高一?？计谥校┰谄叫兴倪呅沃校?，則平行四邊形一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．不確定【變式72】（2023·山東青島·高一統(tǒng)考期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（）A．一定為鈍角三角形B．一定不為直角三角形C．一定為銳角三角形D．可為任意三角形【變式73】（2023·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）中，，，則為（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形題型八平面向量數(shù)量積的最值【例8】（2023·河北衡水·高一武邑中學(xué)?？计谀┤鐖D，在邊長為的等邊中，點(diǎn)為中線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式81】（2023·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)都在單位圓上，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式82】（2