初中數(shù)學(xué)三角形專題訓(xùn)練50題含答案

（單選、填空、解答題）

一、單選題

1.根據(jù)下列圖中所給定的條件，找出全等的三角形（）

①②③④

A.①和②B.②和③C.①和③D.①和④

2.在,中，作BC邊上的高，以下作圖正確的是（）

3.在YABCD中，NABC=30。，AB=8,AC=5,則的周長(zhǎng)是（）

A.11+4百B.10+8^C.11+46或5+4石

D.22+86或10+8力

4.如圖，在A48c中，NA=3O,NABC=50,若=且AC。在同一條

A.20B.30C.40D.50

5.如圖，在ABC中，/。=90。,/3=70。，點(diǎn)。、E分別在48、AC上，將VADE沿

DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處.則NBDF-NCEP=（）

B

D

A.20°B.30°C.40°D.50°

6.415。中，.西=ac,BF=CD,BD=CE,_FDE=a，則下列結(jié)論正確的

是()

A.婚外處@=3齷B.a+—一：

c.'等出=繃產(chǎn)D.跋周占單=：卸『：

7.如圖，在四邊形ABC。中，ZA=90°,AD=4,連接8。，BD±CD,

ZADB=ZC.若尸是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則。P長(zhǎng)的最小值為（)

C.5D.6

8.如圖，在四邊形ABCD中/A=NC=90。，AB=CD<AD,則下列說(shuō)法中不正確

的是（）

BC=CDC.AD=BCD.AB〃CD

9.已知：如圖，△ABC中，8。為△A8C的角平分線，且BO=8C,E為延長(zhǎng)線上

的一點(diǎn)，BE=BA,過(guò)E作EEL4B,尸為垂足.下列結(jié)論：①△48。畛△EBC；②BE

平分NFEC；?AE=AD=EC；④S承形ABCE=BFxEF.其中正確的個(gè)數(shù)是（)

C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖，已知△ABCW^DEF,若AC=22,CF=4,則CD的長(zhǎng)是()

A.22B.18C.16D.4

11.已知放AABC的周長(zhǎng)是4+4&,斜邊上的中線長(zhǎng)是2,貝1”“8。為（）

A.16B.8C.4D.12

12.下列結(jié)論中，正確的有（）

①△4BC的三邊長(zhǎng)分別為“，b,c,若爐+/=/,則是直角三角形;

②在RSA8C中，已知兩邊長(zhǎng)分別為6和8,則第三邊的長(zhǎng)為10；

③在△ABC中，若乙4：NB：NC=1：5：6,則△ABC是直角三角形；

④若三角形的三邊長(zhǎng)之比為1：2：73.則該三角形是直角三角形.

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

13.如圖，AC與8。相交于點(diǎn)O,且。4=OC,OB=OD,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

A.AB=CDB.ZA=NCC.ABIICDD.OA=OD

14.下列說(shuō)法正確的是（）

A.所有的等邊三角形是全等形

B.面積相等的三角形是全等三角形

C.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三邊中線的交點(diǎn)

D.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的是三邊中垂線的交點(diǎn)

15.如圖：在AABC中，G是它的重心，AG±CG,如果BG?AC=32,則AAGC的面

積的最大值是（）

A.20B.8C.4A/3D.6

16.如圖，在中，AB=AC,A尸是NBAC的角平分線，DE是邊AB上的中垂

線.連接BE、EF,若BE_LAC,EF=FC,則NBEF的度數(shù)是（）

A.30°B.20°C.22.5°D.15°

17.如圖，正方形A8CD中，E為8c的中點(diǎn)，CGLDE于G,延長(zhǎng)8G交C。于點(diǎn)

F,延長(zhǎng)CG交8。于點(diǎn)H,交AB于N下列結(jié)論：①DE=CN；②黑=：;③

SADEC=3SXBNH；④ZBGN=45。；⑤GN+EG=6BG;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有

（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題

18.如圖，在△ABC中，ZABC=ZACB,AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)M,交AB

于點(diǎn)N.連接MB,若AB=8,AMBC的周長(zhǎng)是14,則BC的長(zhǎng)為.

A

19.如圖，△ABC中，NACB=90。，D,E是邊AB上兩點(diǎn)，且C。垂直平分BE,CE

平分NACQ,若BC=2,則AC的長(zhǎng)為.

20.用同樣粗細(xì)、同種材料的金屬線，制作兩個(gè)全等的△ABC和△DEF.已知

NB=NE,若AC邊的質(zhì)量為20千克，則DF邊的質(zhì)量為千克.

21.等邊AA8C的高為3”〃，則以AB為邊的正方形面積為.

22.如圖所示，AD〃BC,BD平分/ABC.若NABD=30。，ZBDC=90°,CD=2,則

BC=.

B

23.小敏設(shè)計(jì)了一種掛衣架，在掛衣服的時(shí)候可以任意角度收擾兩個(gè)掛衣桿。4和

OB,然后套進(jìn)衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB.如圖2,若衣架收攏時(shí)衣服領(lǐng)

口寬48=22。*,且乙408=60。，那么這個(gè)衣架桿的長(zhǎng)04=03=cm.

24.如圖，直線E/〃GH,點(diǎn)A在EF上，AC交GH于點(diǎn)8,若/用C=72°,ZACD

=58°,點(diǎn)。在，上，則NBOC的度數(shù)為

25.兩根長(zhǎng)度分別為3,5的木棒，若想釘一個(gè)三角形木架，第三根木棒的長(zhǎng)度可以是

.（寫一個(gè)值即可）

26.如圖，點(diǎn)C是線段A8的中點(diǎn)，DAIIEC.請(qǐng)你只添加一個(gè)條件，使得△D4C會(huì)

ECB.

(1)你添加的條件是;(要求：不再添加輔助線，只需填一個(gè)答案即可)

(2)依據(jù)所添?xiàng)l件，判定△D4C與ECB全等的理由是.

27.如圖，在中，已知AB=AC=80,N2=15。，那么N1的度數(shù)為

28.在AABC中，點(diǎn)E、尸分別為邊AB、4C上的點(diǎn)，把AABC沿E/翻折，翻折后的

圖形如圖所示.若Nl+N2=110。，則/A的度數(shù)為.

BD

30.如圖，將月牙①繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到月牙②，線段AB與線段AC重合,

連接BC,過(guò)B點(diǎn)作于點(diǎn)。，若C。長(zhǎng)為3,BC長(zhǎng)為3癡，則4。的長(zhǎng)為

31.如圖，在△ABC中，中線AD、BE交于O,若SABOD=5,貝USABOA=

32.已知一個(gè)菱形的周長(zhǎng)為24cm,有一個(gè)內(nèi)角為60。，則較長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為

_________cm.

33.如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別是AB,CD的

中點(diǎn)，AD=BC,NPEF=35。，則NPFE的度數(shù)是.

34.如圖，在E1ABC中，AD平分I3BAC,ADEIBD于點(diǎn)D,DEEIAC交AB于點(diǎn)E,若

AB=8,則DE=

35.如圖，在平行四邊形A8CO中，ZA=45°,AD=?,則A8與CD之間的距離為

36.在直角坐標(biāo)系中有過(guò)點(diǎn)《3,4)的反比例函數(shù)y=&(x>0),在x軸上有一點(diǎn)P(1,O),

X

在反比例函數(shù)圖象上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q,以PQ為一邊作一個(gè)正方形PQRS,當(dāng)正方形PQRS

有兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，點(diǎn)s坐標(biāo)為.

37.如圖，在AABC中，AB=AC,BC=6,AFJ_BC于點(diǎn)F,BE1.AC于點(diǎn)E,且點(diǎn)D

是AB的中點(diǎn)，△DEF的周長(zhǎng)是11,則AB=.

三、解答題

38.如圖，在AABC中，ZACB=9Q°,乙4=30。，A8的垂直平分線分別交AB和AC于

點(diǎn)、D,E.

⑴求證:AE=2CE;

(2)連接8,請(qǐng)判斷ABC。的形狀，并說(shuō)明理由.

39.已知：如圖，在△ABC中，AD平分NBAC,CE_LAD于點(diǎn)E,EF〃AB交AC于

點(diǎn)F.求證：4FEC是等腰三角形.

40.如圖，已知ABC中，AC=BC,/4cB=90。，點(diǎn)。與點(diǎn)￡都在射線AP上，且

CD=CE,ZDCE=90°.

(1)說(shuō)明AD=3E的理由；

(2)說(shuō)明把工隹的理由.

41.如圖，在AABC中，AB=BC,點(diǎn)。在邊AB上，AE//CD,C4平分NBCE,連

接。E,交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形AOCE是平行四邊形；

(2)當(dāng)QE〃BC,AC=10,BC=13時(shí)，sinZAED的值為.

42.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊A8為邊作等邊AA8D,連接。C,以。C當(dāng)

邊作等邊ADCE,B、E在C、。的同側(cè)，若AB=g，求BE的長(zhǎng).

43.已知：如圖，ABC和一CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上，AD

與BE相交于點(diǎn)P,AD與BC相交于點(diǎn)M,BE與CD相交于點(diǎn)N.

求證：(l)/APB=60。；

(2)CM=CN.

5

D

C

44.已知，如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為直線BC上的一點(diǎn)(不與

點(diǎn)B,C重合)，連接AD,將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AE,連接DE,過(guò)點(diǎn)E作

交直線AB于點(diǎn)F.

(1)如圖1,點(diǎn)D在線段BC上，

①猜想線段AC,DC,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②求出EF的長(zhǎng)度.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論.

45.如圖1,在邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿著4B以2cm/s的速

度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從8點(diǎn)出發(fā)沿著BC以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)出

發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

(1)當(dāng)仁1時(shí)，試判斷△P8Q的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)PQLBC時(shí)，求，的值；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作垂足為H,連接尸。，以尸。為邊向左作等邊△PQE,

連接BE.

①用含，的代數(shù)式表示QH的長(zhǎng)；

2

②當(dāng)叱江彳時(shí)，BE的長(zhǎng)度能否為2cm?若能，求出此時(shí)Q"的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

46.如圖，在正方形ABC。中，AB=\,延長(zhǎng)BC至〃，使BM=5.以8M為鄰

邊作DBMN.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)短出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿ON向終點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)

P作PQ，交8M或8M的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，以尸。為邊向右作正方形PQRS.設(shè)正方

形PQRS.設(shè)正方形PQRS與O8MN的重疊部分的面積為V,點(diǎn)產(chǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x

(x>0.單位：秒).

(1)用含*的代數(shù)式表示線段PN為；

(2)當(dāng)點(diǎn)S與點(diǎn)N重合時(shí)，求x的值；

(3)當(dāng)正方形PQRS與.例N的重疊部分不是正方形時(shí)，求)與x之間的函數(shù)關(guān)系

式；

(4)當(dāng)△OQS或是直角三角形時(shí)，直接寫出x的值.

47.在：A8C中，/54C=90。，點(diǎn)。是斜邊8c上的一點(diǎn)，連接A。，點(diǎn)。是A。上一

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。分別作。皮DF//AC,交BC于點(diǎn)、E、F.

(1)如圖1,若點(diǎn)。為斜邊8c的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)。是線段EF的中點(diǎn).

圖1

(2)如圖2,在(1)的條件下，將“DE尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，連接

AD,CF,請(qǐng)寫出線段AO和線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖3,若點(diǎn)。是斜邊BC的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)8,當(dāng)NASC=30。時(shí)，將

BE

.。即繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，連接A。、BE、CF,請(qǐng)求出二k的值.

AD

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理，結(jié)合已知條件，判斷條件與定理相一致的即可.

【詳解】???①和④符合了SAS,

???①和④兩個(gè)三角形全等；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，熟練掌握判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.A

【分析】根據(jù)三角形高的定義，即可求解.

【詳解】解：解：在.ABC中，畫出邊BC上的高，即是過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線段，正確的

是A.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵，經(jīng)過(guò)三角形

的頂點(diǎn)（與底相對(duì)的點(diǎn)）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段就是三角形的一條

題

3.D

【分析】根據(jù)題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾

股定理求出即可.

【詳解】解：作BC邊上的高AELBC于E,分兩種情況：AE在平行四邊形的內(nèi)部和外

部..

①如圖所示：AE在平行四邊形的內(nèi)部，

?.?在,ABCD中，NABC=30。，AB=8,AC=5,AE±BC

.,.AE=1AB-4,EC=JAC?-毋=3，

BE=yjAB2-AE2=4^/3

.”ABCD的周長(zhǎng)等于：2（A8+BC）=2（A8+8E+EC）=22+86；

答案第1頁(yè)，共39頁(yè)

②如圖所示：AE在平行四邊形的外部,

,在，ABCD中，ZABC=30°,AB=8,AC=5,AE±BC

.-.AE=|AB=4,EC=JAC2-AS=3，

?*-BE=7AB2-AE2=

.?.□ABCD的周長(zhǎng)等于：2(A8+BC)=2(A8+BE-EC)=10+86.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)，利用分類討論

得出是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NACB的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

ZDC￡=ZACB=100°,由A、C、。在同一條直線上，得到NACD=180。，根據(jù)角的和差即

可得到結(jié)論.

【詳解】；NA=30。，NABC=50。，

N4CB=180°-30°-50°=100°.

■:XEDCQXABC,

AZDCE-ZACB=100°.

VA>C、。在同一條直線上，

Z4CD=180°,

AZBCE=ZACB+ZDCE-ZACD=20°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的性質(zhì)，平角的定義，熟記全等三角

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】先利用平角用N1表示出再利用三角形的內(nèi)角和定理及推論用N1表示出

NCEF,兩式相減可得結(jié)論.

答案第2頁(yè)，共39頁(yè)

【詳解】如圖,

B

D

C

???△￡>￡/是由△DE4折疊成的，

AZ1=Z2,Z3=Z￡)EF.

VZBDF4-Z1+Z2=18O°,

AZBDF=18O°-2Z1.

■:NCEF+/CED=/DEF,ZCED=Z\+ZAfZ34-Z1+ZA=18O°,

：.ZCEF=Z3-ZCED

=18O°-Z1-ZA-Z1-ZA

=180°-2Zl-40°

=14O°-2Z1.

；?NBDF-NCEF=18O°?2N1-(14O°-2Z1)

=18O°-2Z1-14O°+2Z1

=40°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和等于180?！?、折疊的

性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

6.A

【詳解】試題分析：由AB=AC,根據(jù)等邊對(duì)等角，即可得NB=NC,又由BF二CD,

BD=CE,可證得ABDF絲ACED(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得NB=NC=a,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求得答案.

VAB=AC,

AZB=ZC,

VBF=CD,BD=CE,

.?.△BDF^ACED(SAS),

答案第3頁(yè)，共39頁(yè)

.\ZBFD=ZEDC,

a+ZBDF+ZEDC=180°,

Ja+NBDF+NBFD=180。，

ZB+ZBDF+ZBFD=180°,

ZB=a,

/.ZC=ZB=a,

VZA+ZB+ZC=180°,

.?.2a+ZA=180°.

故選A.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：全等三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考

中比較常見的知識(shí)點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.

7.B

【分析】當(dāng)OP,8c時(shí)，DP最短,通過(guò)等角的余角相等，得出NA3O=NQ5O,即可得

出8。平分/ABC,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作OPLBC于點(diǎn)尸，此時(shí)。P最短.

VZA=90°,BD工CD,

：.ZABD+ZADB=90°,ZCBD+ZC=90°,

Vz64DB=ZC,

:?ZABD=/CBD,即30平分/ABC,

VZA=90°,DP上BC,4)=4,

:.DP=AD=4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“垂線段最短”，“等角的

余角相等”，“角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等

8.B

答案第4頁(yè)，共39頁(yè)

【分析】先根據(jù)HL證明RSA3。絲RtA88,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可進(jìn)一步判斷

各項(xiàng).

\BD=DB

【詳解】解：在RIAAB。和RSCOB中，，八「八，

[AB=CD

ARtAABD^Rt^CDB(HL),

：.AD=BC,NABANCDB,ZADB=ZCBD,

J.AB//CD,AD//BC；所以A、C、D三項(xiàng)是正確的，錯(cuò)誤的是B項(xiàng).

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌

握直角三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

9.C

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EGLBC,通過(guò)證明△絲和△AFE絲△CGE,結(jié)合割補(bǔ)法求

面積即可求解；

【詳解】解：在△ABO和△EBC中，

AB=BE

.=(角平分線定義)

BD=BC

故①正確；

?；BE=BA,BD=BC,

：.NAEB=-(180°-ZABE),4ADE=ZBDC=■(180。-NCBE),

22

又：ZABE=ZCBE,

：.ZAEB=ZADE,

：.AE=AD,

又△ABO絲△EBC,

：.AD=EC

."E=A￡)=EC；

故③正確；

過(guò)點(diǎn)E作EGLBC,交BC于點(diǎn)G,

：BO平分/ABC,

答案第5頁(yè)，共39頁(yè)

：.EF=EG,

在Rt4AFE和Rt&CGE中，

[AE=EC

\EF=EG'

：.RtLAFE空RtACGE(HL),

同理可證：RtXBFEmRtABGE

S瞰影ABCE=SAEF+S四邊形￡FBC=SCGE+S四邊形EFBC=2SBEF=EFxBF

故④正確，

由RmBFE迫Rt4BGE,

：.ZFEB=ZBEG,

：.NFEB片NBEC,

.?.BE不平分/FEC,

故②不正確；

綜上，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故選擇：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判

定，證明線段AE=AO=CE是解題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AC=DF,則依據(jù)CF=4可得CD的長(zhǎng).

【詳解】△ABCWZ\DEF,NA與ND是對(duì)應(yīng)角，AB與DE是對(duì)應(yīng)邊，

，AC=DF=22,

又：CF=4,

.\CD=DF-CF=22-4=18,

答案第6頁(yè)，共39頁(yè)

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的性質(zhì)是

證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.

11.C

【分析】由斜邊上的中線長(zhǎng)是2,可以得到斜邊長(zhǎng)為4,設(shè)兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)為x,y則

x+y=4^2,X2+)R=16,解這個(gè)方程組求出外的值即可求出三角形的面積.

【詳解】解：：/?也48。的周長(zhǎng)是4+4夜，斜邊上的中線長(zhǎng)是2,

二斜邊長(zhǎng)為4,

設(shè)兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)為x,y,則x+y=4&，x2+y2=16,

解得：x產(chǎn)8,

S4ABe=yx)=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半：還考

查了勾股定理.解題時(shí)要注意方程思想與整體思想的應(yīng)用.

12.A

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形內(nèi)角和逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：①△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若〃+〃=/,則AA8C是直角三角形，

選項(xiàng)說(shuō)法正確；

②在RsABC中，已知兩邊長(zhǎng)分別為6和8,則第三邊的長(zhǎng)為10或2近，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)

誤；

③在△ABC中，若/A：NB：/C=l：5：6,根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。可得

ZA=180°x—=15°,ZB=180°x—=75°,/。=180。、9=90°,則△ABC是直角三角

121212

形，選項(xiàng)說(shuō)法正確：

④若三角形的三邊長(zhǎng)之比為1：2：0設(shè)三邊分別為x,2x,底,根據(jù)勾股定理的逆定

理即可得到該三角形是直角三角形，選項(xiàng)說(shuō)法正確；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形內(nèi)角和，能熟記勾股定理的逆

定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

答案第7頁(yè)，共39頁(yè)

13.D

【分析】由SAS證明△AOB絲△COD,得出AB=CD,ZA=ZC,OA=OC,再由內(nèi)錯(cuò)角

相等，即可得出AB〃CD,即可判斷.

【詳解】在小AOB和^COD中，

OA=OC

?ZAOB=ZCOD,

08=OD

AAAOB^ACOD(SAS)

，AB=CD,ZA=ZC,OA=OC,

AABCD.

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定方法；熟練掌握全等三角形

的判定方法，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵.

14.D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定知兩個(gè)等邊三角形不一定全等即可判定A錯(cuò)誤；面積相等

的三角形不一定是全等三角形可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是內(nèi)角平

分線的交點(diǎn)，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊中垂線的交點(diǎn)

即可判定D正確.

【詳解】解：A、兩個(gè)等邊三角形不一定全等，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、面相等的三角形不一定是全等三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的是三邊中垂線的交點(diǎn)，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定的判定定理，等邊三角

形的性質(zhì)，三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

15.B

【分析】延長(zhǎng)BG交AC于。.由重心的性質(zhì)得到8G=2GO,。為AC的中點(diǎn)，再由直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AC=2GO,即有BG=4C,從而得到AC、GO的

答案第8頁(yè)，共39頁(yè)

長(zhǎng).當(dāng)GO,4c時(shí)，AAGC的面積的最大，最大值為：-AC-GD,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：延長(zhǎng)8G交AC于。.

：.BG=2GD,。為AC的中點(diǎn).

TAGJLCG,

???△AGC是直角三角形，

：?AC=2GD,

：.BG=AC.

VBGMC=32,

??AC—*\/32=4\/2?GD=2>/2.

當(dāng)GO_LAC時(shí)，△AGC的面積的最大，

最大值為：；AGGD=；x4&x2尤=8.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了重心的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是熟知三角形的重心到

頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.

16.C

【分析】由垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE,由等腰三角形的性質(zhì)得出NBAE=NAB￡=

45°,求出NE4C=g/8AC=22.5。，AF^BC,由直角三角形的性質(zhì)可求出答案.

【詳解】解：；8E，AC,

/.ZB￡C=ZAEB=90°,

?.?OE是邊AB上的中垂線，

：.AE=BE,

：.ZBAE=ZABE=45°,

'：AB=AC,AF平分/BAC,

/.ZFAC=ZBAC=22.5°,AFLBC,

答案第9頁(yè)，共39頁(yè)

ZC=90°-ZMC=67.5°,

,:EF=FC,

NFEC=NC=67.5。，

:.NBEF=NBEC-NFEC=9Qo-67.5°=225°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌

握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.D

【分析】由四邊形ABC。是正方形得CD=BC,ZDCE=ZCBN=90°,因?yàn)镃GLOE于

G,NCDE=NBCN=90°-ZDCG,即可證明DE8CNB,得DE=CN,可判斷①正

確；

由E為BC的中點(diǎn)得8N=CE=，BC=1cr>=145,則”=工，由AB〃CD證明

222CD2

BHNsDHC,據(jù)此計(jì)算，可判斷②正確；

求得絳=:，則沁=；，所以SSECMSACMMSSAEMH，可判斷③正確：

CN3"CM?3

先證明.BNT^BER,得BT=BR,再證明Rt-876絲RlBRG,得

NBGN=NBGR=45°,可判斷④正確；

由TN=ER,GT=GR可推導(dǎo)出GN+EG=GT+77V+EG=GT+GR=2GT,而

NTBG=NBGN=45。,則BT=GT,由勾股定理得2G〃=GT?+87?="丁，所以

2GT=6BG，則GN+EG=08G，可判斷⑤正確.

【詳解】解：?..四邊形ABCZ）是正方形，

,CD=BC,NDCE=2CBN=90°,

:CGLDE于G,

：.ZCGD=90°,

：.NCDE=NBCN=90°-ZDCG,

在△￡）（?￡：和^CBN中，

'4CDE=NBCN

-CD=BC,

ZDCE=ZBCN

:.-DEC"CNB（SAS）,

答案第10頁(yè)，共39頁(yè)

??OE=CN,故①正確；

?任為BC的中點(diǎn)，BC=CD=AB,

??BN=CE=-BC=-CD=-AB

2229

??BN/,

~CD~AB~2

：AB//CD,

??BHNsDHC,

.BHBN\BH1

?=----=-，即Hn----=一故②正確;

DNCD2BD3

.NHBN

*~CH~~CD~'2,

.NH1

'C7V~3，

.SABAH=J_

SRCNB3

SWEC=S&CNB=3$MNH?故③正確；

如圖，作于點(diǎn)7,石交￡>E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,

貝ljZB77V=/R=4BTG=90°,

?：CE=BN,CE=BE,

：.BN=BE,

VZBNT=ZCED,/BER=NCED,

:.々NT=/BER,

/BTN=/R

在，EVT和△3ER中，1/BNT=NBER,

BN=BE

，aV&8ER（AAS）,

答案第11頁(yè)，共39頁(yè)

???BT=BR,

BG=BG

在用6TG和肋.BAG中，＜DTDD，

Di=DK

：.RtBTG^RiBAG(HL),

:.ZBGN=NBGR,

???ZRGN=90°f

：./BGN=-NRGN=45°,故④正確；

2

,:TN=ER,GT=GR,

：.GN+EG=GT+TN+EG=GT+ER+EG=GT+GR=2GT,

ZTBG=ABGN=45。,

：.BT=GT,

，2GT2=GT2+BT2=BG2,

叵GT=BG，

2GT=五BG，

，GN+￡G=0BG，故⑤正確，

綜上，①②③④⑤均正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

18.6

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AM=BM,然后

求出AMBC的周長(zhǎng)=AC+BC,再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】：M、N是AB的垂直平分線

；.AM=BM,

AAMBC的周長(zhǎng)=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC,

：AB=8,AMBC的周長(zhǎng)是14,

ABC=14-8=6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).

答案第12頁(yè)，共39頁(yè)

19.2M

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CE=CB,NBDC=90。,再根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)和角平分線的定義得到NBCD=；NAC8=30。，則乙4=30。，然后可得答案.

【詳解】解：???8垂直平分8E,

:?CE=CB,ZBDC=90°,

???C。平分NBCE,即N3CQ=NEC。，

YCE平分NACO,

???/ECD=/ACE,而NAC8=90。，

：.ZBCD=-ZACB=30%

3

/.ZB=60°,

???ZA=30°,

,:BC=2,

AABM,

**,4C=QAB?-BC?-2-73.

故答案為：2G.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距

離相等，考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，掌握以

上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

20.20

【詳解】VAABC^ADEF,

，AC=DF,

：AC邊的質(zhì)量為20千克，

；.DF邊的質(zhì)量為20千克.

21.12

【分析】首先作出圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)求出BC的長(zhǎng)，

以AB為邊的正方形面積.

【詳解】如圖，過(guò)A作ADLBC,

答案第13頁(yè)，共39頁(yè)

A

B

D

；AB=AC=BC,

，BD=CD=；BC=gAB,NBAD=30。，

,；AD=3,AB2=AD2+BD2>

，AB=25

...以AB為邊的正方形面積為（2石）2=12cm2.

22.4.

【詳解】試題分析：如圖，IBD平分NABC.NABD=30。,

AZDBC=30°.VZBDC=90°,CD=2,，BC=2CD=4.故答案是：4.

考點(diǎn)：含30度角的直角三角形.

23.22

【分析】圖一、圖二NAOB的度數(shù)發(fā)生變化，但是OA、OB的長(zhǎng)度沒有改變，在通過(guò)

ZAOB=60°,OA=OB,得到三角形AOB為等邊三角形求解.

【詳解】圖一、圖二NAOB的度數(shù)發(fā)生變化，但是OA、OB的長(zhǎng)度沒有改變,仍然有

OA=OB.

VOA=OB,ZAOB=60°,

/.△AOB為等邊三角形，

；?OA=OB=AB=22cm.

【點(diǎn)睛】本題比較簡(jiǎn)單，主要是對(duì)三角形中等腰、等邊三角形的考查，熟練掌握這塊的基

礎(chǔ)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.

24.50°

【分析】利用平行線的性質(zhì)求出NDBC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBDC即可.

【詳解】解：VEF/7GH,

二/FAC=/DBC=72。，

NC+NDBC+/BDC=180。，

二/BDC=180°-72°-58°=50°,

答案第14頁(yè)，共39頁(yè)

故答案為50°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.4（答案不唯一）

【分析】根據(jù)三角形中“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊“，進(jìn)行分析得到第三

邊的取值范圍；再進(jìn)一步找到符合條件的數(shù)值.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

第三邊應(yīng)大于兩邊之差，S|J5-3=2；而小于兩邊之和，即5+3=8,

即2〈第三邊<8,

故第三根木棒的長(zhǎng)度可以是4.

故答案為：4（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于

第三邊是解題的關(guān)鍵.

26.AD=CE（或或/ACD=/B）（答案不唯一）SAS

【分析】（1）由已知條件可得兩個(gè)三角形有一組對(duì)應(yīng)邊相等，一組對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)三角

形全等的判定方法添加條件即可；

（2）根據(jù)添加的條件，寫出判斷的理由即可.

【詳解】解：（1）添加的條件是：AD=CE（或或/AC￡>=/B）

故答案為：AD=CE（或或NACD=NB）

（2）若添加：AD=CE

??,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

：.AC^BC

,/DA//EC

：.ZA=ZBCE

：.ADAC-.ECB（SAS）

故答案為：SAS

【點(diǎn)睛】本題主要考查了添加條件判斷三角形全等，熟練掌握全等三角形的判斷方法是解

答本題的關(guān)鍵.

27.65°

【分析】根據(jù)A8=AC=83,可得NC=N8,Nl=/3,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，以及三

角形的外角性質(zhì)列出方程組解方程組即可求解.

答案第15頁(yè)，共39頁(yè)

【詳解】解：如圖,

,:AB=AC=BD

ZC=ZB,Z1=Z3,

ZB+ZC+Z2+Z3=180°

.?.Z1=Z3=180。-N2-2NC

又N1=N2+NC

/.Z2+ZC=180o-Z2-2ZC

.\3ZC=180°-2Z2

.??“=史吐亞=5。。

3

??.Z1=N2+NC=15。+50。=65。

故答案為：65°

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)，等邊對(duì)等角求角度，二元

一次方程組的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

28.55°

【分析】如圖，延長(zhǎng)夕E交。下的延長(zhǎng)線于點(diǎn)4,連接4r.證明N1+N2=2NE4F,可得

結(jié)論.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)夕E交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，，連接A4.

???N1=NE4A'+NE4A,Z2=ZMAr+ZMrA,

：.Zl+Z2=ZEAF+ZEArF,

f

VZEAF=ZEAFf

.*.Z14-Z2=2ZEAF=110°,

；?ZA=55°.

故答案為：55°.

答案第16頁(yè)，共39頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明

Z1+Z2=2Z￡AF.

29.18

【分析】連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,連接。E,根據(jù)題意，可以得到OE時(shí)△ABC的中

位線，從而可以得至IJOE〃/1C且。E=gAC,然后即可得到△DEGS/\ACG,由相似三角形

的性質(zhì)得到OG和AG的比值，求出然后OG,即可得到結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接CG并延長(zhǎng)交A8于點(diǎn)E,連接。E,

???點(diǎn)G是AABC的重心，

.?.點(diǎn)E和點(diǎn)。分別是AB和BC的中點(diǎn)，

是△ABC的中位線，

：.DE//AC5.DE=^AC,

:.△DEGS[\ACG,

?.,-D-E-=-D--G-=一1,

ACAG2

?.?AG=12,

：.DG=6f

：.AD=AG+GD=\S.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心、三角形的中位線、三角形相似，解答本題的關(guān)鍵是明確

答案第17頁(yè)，共39頁(yè)

題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

30.12.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求AB=AC,由勾股定理可求BD的長(zhǎng)，AD的長(zhǎng).

【詳解】；線段AB與線段AC重合

:.AB^AC

CD=3,BC=3>/10,BD1AD

BD=>/BC2-CD2=）90-9=9

AD2+BD2=AB2,AB=AC=CD+AD=3+AD

+8]=（3+49）2

:.AD=12

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A8=4C是解題關(guān)鍵.

31.10

【詳解】試題分析：根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度等于到對(duì)邊中點(diǎn)的長(zhǎng)度的2倍可得

OD=|AO,再根據(jù)等高的三角形的面積等于底邊的比求出△AOB的面積為

S.AOB=2sBOD=2x5=10.

考點(diǎn)：三角形的重心，三角形的面積（等高，等底同高）

32.6x/3

【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等，菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線

平分一組對(duì)角；利用30。直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系和勾股定理計(jì)算求值即可.

【詳解】解：由題意得作圖如下：菱形ABC。中，ZDAB=6Q°,

DC

???ABCZ）是菱形，

.?.AC、8。互相垂直平分，AC平分ND4B,

答案第18頁(yè)，共39頁(yè)

???NCAB=30。，NA08=90。，

??,菱形周長(zhǎng)為24cm,

/.A8=24：4=6cm,

???O8=；AB=3cm,AO=^AB1-OB1=35/3cm，

/.B￡)=2OB=6cm,AC=2AO=6y/3cm,

，較長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)66cm,

故答案為：6>/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，30。直角三角形，勾股定理；掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

33.35°

【詳解】???四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中

點(diǎn)，

.??PE是△ABD的中位線，PF是ABDC的中位線，

.?.PE=^AD,PF=^BC,

又：AD=BC,

PE=PF,

二/PFE=/PEF=35°.

故答案為35°.

34.4

【詳解】試題分析：根據(jù)角平分線的定義可得NCAD=/BAD,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等可得NCAD=NADE,然后求出NADE=/BAD,根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=DE,然

后根據(jù)等角的余角相等求出/ABD=/BDE,根據(jù)等角對(duì)等邊可得DE=BE,從而得到DE=

-AB.

2

解：：AD是NBAC的平分線，

二ZCAD=ZBAD,

?；DE〃AC,

，NCAD=/ADE,

二/ADE=/BAD,

答案第19頁(yè)，共39頁(yè)

???AE=DE,

VBD1AD,

Z.ZADE+ZBDE=ZBAD+ZABD=90°,

AZABD=ZBDE,

???DEnBE,

，DE=5AB,

VAB=8,

/.DE=-x8=4.

2

故答案為4.

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì).

35.G

【分析】作。E2AB，在放A0E中根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：W-DEJ.AB,則NA￡D=90。，

又,:ZA=45°,

:.ZADE=45°,

AE=DE，

AE2+DE2=AD2,

:.2DE。=（府,

DE2=3,

DE=y/3,

AB與CO之間的距離為G,

故答案為：叢.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線之間的距離和勾股定理，如果兩條直線互相平行，則其中

一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離都相等，這個(gè)距離稱為平行線之間的距離，掌握

平行線之間距離的定義并能用勾股定理計(jì)算時(shí)解題的關(guān)鍵.

答案第20頁(yè)，共39頁(yè)

36.(13,0)或(-11,0)或(4,一3)或(0,11)或(1-26,26-1)

【分析】利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達(dá)式，再分情形畫出圖形分別求解即可解決問

題.

【詳解】解：,反比例函數(shù)N="(x>0),過(guò)點(diǎn)A(3,4),

X

12

x

①如圖1中，

四邊形R2RS是正方形，

PS=PQ,

尸(1,0),

.?.0(1,12),

PQ=\2,

:.PS=\2,

.-.05=13,

5(13,0).

則當(dāng)S在負(fù)半軸時(shí)，S(-11,0).

②如圖2中，

答案第21頁(yè)，共39頁(yè)

四邊形PQRS是正方形，

???Q、s關(guān)于冗軸對(duì)稱，

12

設(shè)。+代入y=—中，見＞+1）=12,

X

.?.相=3或T（舍棄），

二.Q(4,3),

??.S(4,-3).

四邊形PQRS是正方形，

，PS=PQ,ZSPQ=90°,

???ZSPO+ZQPE=90°,XZSPO+ZPSO=90°,

???NQPE=NPSO,又NPOS=NPEQ,

；.APQE^^SPO(AAS),

：.EQ=OP=\,

答案第22頁(yè)，共39頁(yè)

：.PE=SO=H,

???5(0,11),

④如圖4中，作QE_Lx軸于E,Q尸軸于F.

；.PQ=RQ,ZPQR=90°,

/.ZFQR+ZFQP=90°,ZEQP+ZFQP=90°,

/FQR=/EQP,又NQFR=NQEP=90°,

A\PQE^\RQF(AAS),

：.QE=QF,RF=PE,

設(shè)Q(〃,〃)，貝l」Q(28，2?

:.R(0,46-1),設(shè)S(a,〃)，

則有a+2G_l+0/>+2>^4V3-1+0

、2~2'22

a=1—2J3,h-2\/3—1,

:.S(\-2y/3,2百-1).

綜上:點(diǎn)S的坐標(biāo)為：(13,0)或(-11,0)或(4,-3)或(0,11)或。-26,2后-1),

故答案為：(13,0)或答11,0)或(4,-3)或(0,11)或(1-2瘋2g-1).

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

待定系數(shù)法、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分

類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.

答案第23頁(yè)，共39頁(yè)

37.8

【詳解】VAB=AC,AF1BC,AZAFB=90°,BF=CF,XVBE1AC,

AZBEC=ZBEA=90°,.\EF=|BC=3,又TD為AB中點(diǎn)，ADE=DF=yAB,

VD