平面向量的加法減法和數(shù)乘向量課件目錄CONTENTS平面向量的加法減法平面向量的數(shù)乘平面向量的加法減法和數(shù)乘的混合運(yùn)算平面向量的加法減法和數(shù)乘的應(yīng)用平面向量的加法減法和數(shù)乘的練習(xí)和鞏固01平面向量的加法減法實(shí)數(shù)與向量的乘積一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量的乘積是一個(gè)向量，其模等于該實(shí)數(shù)與原向量模的乘積，其方向與原向量相同（當(dāng)實(shí)數(shù)為正時(shí)）或相反（當(dāng)實(shí)數(shù)為負(fù)時(shí)）。向量的表示在平面上取定原點(diǎn)O和x軸、y軸后，就可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示平面上的點(diǎn)P，同樣也可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示平面上的向量。向量的概念及表示兩個(gè)向量a和b的和是一個(gè)向量，記作a+b，其模等于兩個(gè)向量模的和，其方向與兩個(gè)向量的方向都有關(guān)系。向量加法的定義向量加法滿足交換律和結(jié)合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。向量加法的性質(zhì)向量的加法運(yùn)算兩個(gè)向量a和b的差是一個(gè)向量，記作a-b，其模等于兩個(gè)向量模的差，其方向與兩個(gè)向量的方向都有關(guān)系。向量減法滿足交換律和結(jié)合律，即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a-(b+c)。向量的減法運(yùn)算向量減法的性質(zhì)向量減法的定義02平面向量的數(shù)乘定義對(duì)于向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和實(shí)數(shù)$k$，在向量$\overset{\longrightarrow}{a}$的起點(diǎn)上取一個(gè)與$\overset{\longrightarrow}{a}$同向的單位向量$\overset{\longrightarrow}{e}$，則$\overset{\longrightarrow}{a}$表示的線段可重復(fù)$k$次，得到一個(gè)與$\overset{\longrightarrow}{a}$同向的向量$\overset{\longrightarrow}{k\overset{\longrightarrow}{a}}$，叫做向量$\overset{\longrightarrow}{a}$的數(shù)乘，記作$k\overset{\longrightarrow}{a}$。要點(diǎn)一要點(diǎn)二數(shù)學(xué)表達(dá)若$\overset{\longrightarrow}{a}=\lbracka_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\rbrack$，則$k\overset{\longrightarrow}{a}=\lbrackka_{1},ka_{2},\ldots,ka_{n}\rbrack$。數(shù)乘向量的定義向量$\overset{\longrightarrow}{a}$表示的線段重復(fù)$k$次后得到的向量與原向量$\overset{\longrightarrow}{a}$平行且長(zhǎng)度是$\overset{\longrightarrow}{a}$的$|k|$倍。若$\overset{\longrightarrow}{a}=\lbracka_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\rbrack$，則其長(zhǎng)度$|\overset{\longrightarrow}{a}|=\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\ldots+{a_{n}}^{2}}$，則$|k\overset{\longrightarrow}{a}|=|k|\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\ldots+{a_{n}}^{2}}$。數(shù)乘向量的幾何意義物理中的力矩在物理中，數(shù)乘向量被用來(lái)表示力矩。力矩是力的大小和與力臂（從旋轉(zhuǎn)軸到著力點(diǎn)的距離）的乘積。力矩的方向垂直于由軸指向著力點(diǎn)的直線。力矩的量綱是距離乘以力，可以表示為$l\mathbf{F}$。線性方程組解的結(jié)構(gòu)在解線性方程組時(shí)，數(shù)乘向量可以用來(lái)描述方程組的解的結(jié)構(gòu)。例如，對(duì)于齊次線性方程組$Ax=0$，如果方程組有非零解，則該解可以表示為向量$\overset{\longrightarrow}{a}$的線性組合，即存在一組實(shí)數(shù)$k_{1},k_{2},\ldots,k_{n}$，使得$k_{1}\overset{\longrightarrow}{a_{1}}+k_{2}\overset{\longrightarrow}{a_{2}}+\ldots+k_{n}\overset{\longrightarrow}{a_{n}}=0$。數(shù)乘向量的應(yīng)用03平面向量的加法減法和數(shù)乘的混合運(yùn)算混合運(yùn)算的規(guī)則向量的加法與減法滿足交換律和結(jié)合律，即$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$，$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$。數(shù)與向量的乘法滿足分配律，即$k(\vec{a}+\vec)=k\vec{a}+k\vec$。例如，已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，求$\vec{a}+\vec$和$2\vec{a}+\vec$。又例如，已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，求$2\vec{a}-\vec$和$3\vec{a}+2\vec$。解答：$\vec{a}+\vec=(1+3,2+4)=(4,6)$，$2\vec{a}+\vec=2(1,2)+(3,4)=(5,8)$。解答：$2\vec{a}-\vec=2(1,2)-(3,4)=(-1,0)$，$3\vec{a}+2\vec=3(1,2)+2(3,4)=(9,14)$。混合運(yùn)算的實(shí)例0102混合運(yùn)算的注意事項(xiàng)在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先對(duì)每個(gè)向量單獨(dú)進(jìn)行乘法運(yùn)算，再對(duì)整個(gè)向量進(jìn)行加法或減法運(yùn)算。在進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的加法或減法運(yùn)算，再進(jìn)行乘法或除法運(yùn)算。04平面向量的加法減法和數(shù)乘的應(yīng)用力的合成01在物理中，向量加法可以用來(lái)表示兩個(gè)力的合成，例如，當(dāng)兩個(gè)力$F_{1}$和$F_{2}$同時(shí)作用在一個(gè)物體上時(shí)，它們的合力$F$可以通過(guò)向量加法進(jìn)行計(jì)算。速度的加法02在物理學(xué)中，速度的加法也可以用向量加法來(lái)表示。例如，當(dāng)兩個(gè)物體以相同的速度朝相同的方向移動(dòng)時(shí)，它們的速度可以通過(guò)向量加法進(jìn)行計(jì)算。力的平衡03在物理中，向量減法可以用來(lái)表示兩個(gè)力的平衡。例如，當(dāng)兩個(gè)大小相等、方向相反的力作用在同一個(gè)物體上時(shí)，它們會(huì)互相平衡，這個(gè)現(xiàn)象可以用向量減法進(jìn)行描述。在物理中的應(yīng)用要點(diǎn)三向量的模長(zhǎng)在幾何中，向量可以用來(lái)表示點(diǎn)的位置，而向量的模長(zhǎng)可以用來(lái)表示這個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)的位置可以通過(guò)一個(gè)向量來(lái)表示，這個(gè)向量的模長(zhǎng)等于這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。要點(diǎn)一要點(diǎn)二角度在幾何中，兩個(gè)非零向量之間的角度可以通過(guò)它們的內(nèi)積來(lái)計(jì)算。如果兩個(gè)向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}$之間的角度為$\theta$，那么它們之間的內(nèi)積為$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}=|\overset{\longrightarrow}{a}||\overset{\longrightarrow}|\cos\theta$。正交性在幾何中，兩個(gè)向量之間的正交性可以通過(guò)它們的內(nèi)積來(lái)判斷。如果兩個(gè)向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}$之間的內(nèi)積為0，那么它們就是正交的。要點(diǎn)三在幾何中的應(yīng)用點(diǎn)的坐標(biāo)在解析幾何中，一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以用一個(gè)向量來(lái)表示。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為一個(gè)向量$(x,y)$，其中$x$是該點(diǎn)在x軸上的投影與原點(diǎn)的距離，$y$是該點(diǎn)在y軸上的投影與原點(diǎn)的距離。向量的模長(zhǎng)在解析幾何中，向量的模長(zhǎng)可以用來(lái)表示點(diǎn)之間的距離。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)點(diǎn)$P(x_1,y_1)$和$Q(x_2,y_2)$之間的距離可以通過(guò)它們之間的向量$\overset{\longrightarrow}{PQ}$的模長(zhǎng)來(lái)計(jì)算。直線的斜率在解析幾何中，直線的斜率可以用兩個(gè)非零向量之間的角度來(lái)計(jì)算。如果直線$l$上有一個(gè)點(diǎn)$P(x_0,y_0)$和一個(gè)非零向量$\overset{\longrightarrow}{v}=(x_1,y_1)$，那么直線$l$的斜率可以表示為$\tan\theta=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$。在解析幾何中的應(yīng)用05平面向量的加法減法和數(shù)乘的練習(xí)和鞏固向量的加法掌握向量加法的定義和幾何意義。通過(guò)觀察和練習(xí)，使學(xué)生能夠理解向量加法的定義，包括向量加法的幾何意義，以及如何進(jìn)行向量的加法運(yùn)算?；A(chǔ)練習(xí)題向量的減法掌握向量減法的定義和幾何意義。通過(guò)觀察和練習(xí)，使學(xué)生能夠理解向量減法的定義，包括向量減法的幾何意義，以及如何進(jìn)行向量的減法運(yùn)算。基礎(chǔ)練習(xí)題數(shù)乘向量掌握數(shù)乘向量的定義和幾何意義。通過(guò)觀察和練習(xí)，使學(xué)生能夠理解數(shù)乘向量的定義，包括數(shù)乘向量的幾何意義，以及如何進(jìn)行數(shù)乘向量的運(yùn)算?；A(chǔ)練習(xí)題向量加法和減法的混合運(yùn)算掌握向量加法和減法的混合運(yùn)算。通過(guò)觀察和練習(xí)，使學(xué)生能夠理解向量加法和減法的混合運(yùn)算的原理和方法，包括如何進(jìn)行向量的加減混合運(yùn)算。數(shù)乘向量和加減向量的混合運(yùn)算