托馬斯微積分課件2024-01-25CATALOGUE目錄微積分基本概念微分學(xué)基本原理積分學(xué)基本原理多元函數(shù)微積分學(xué)無窮級數(shù)與微分方程初步微積分在實際問題中應(yīng)用舉例01微積分基本概念123闡述函數(shù)的基本概念，包括定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系等，并介紹函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。函數(shù)定義與性質(zhì)引入極限的概念，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，介紹極限的運算法則和存在準則，如夾逼定理、單調(diào)有界定理等。極限概念與運算闡述函數(shù)連續(xù)性的概念，包括連續(xù)點、間斷點的定義和分類，介紹連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運算。連續(xù)性與間斷點函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)與微分介紹導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用，如求最值、判斷函數(shù)單調(diào)性、求曲線的切線方程和法線方程等。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用引入導(dǎo)數(shù)的概念，闡述導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，介紹導(dǎo)數(shù)的計算方法和公式，如基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則等。導(dǎo)數(shù)概念與計算闡述微分的概念，介紹微分的運算法則和公式，如基本初等函數(shù)的微分公式、微分的四則運算法則等。同時，介紹高階導(dǎo)數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)的方法。微分概念與運算不定積分概念與計算引入不定積分的概念，闡述不定積分的性質(zhì)和運算法則，介紹基本初等函數(shù)的不定積分公式和積分表的使用。定積分概念與計算闡述定積分的概念，介紹定積分的性質(zhì)和計算方法，包括牛頓-萊布尼茲公式、換元積分法、分部積分法等。同時，介紹廣義積分的概念和計算方法。積分的應(yīng)用介紹積分在解決實際問題中的應(yīng)用，如求面積、體積、弧長、旋轉(zhuǎn)體體積等。同時，介紹微分方程和差分方程的基本概念和解法。010203積分概念及性質(zhì)02微分學(xué)基本原理基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。四則運算的導(dǎo)數(shù)法則掌握加法、減法、乘法及除法的導(dǎo)數(shù)計算規(guī)則。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程，掌握鏈式法則。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算通過對方程兩邊同時求導(dǎo)，解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達式。導(dǎo)數(shù)計算法則03參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)掌握參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)計算方法，理解參數(shù)方程中各變量之間的關(guān)系。01高階導(dǎo)數(shù)的定義與計算理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計算方法。02隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)通過對方程兩邊多次求導(dǎo)，得到隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)表達式。高階導(dǎo)數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)微分中值定理洛必達法則泰勒公式函數(shù)單調(diào)性與極值微分中值定理及應(yīng)用理解羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的內(nèi)容和意義，掌握它們的證明方法和應(yīng)用技巧。理解泰勒公式的含義和作用，掌握常見函數(shù)的泰勒展開式及其應(yīng)用。掌握洛必達法則的使用條件和方法，能夠運用洛必達法則求解未定式的極限問題。理解函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等概念，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值的方法。03積分學(xué)基本原理基本積分公式熟練掌握基本初等函數(shù)的不定積分公式，如冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。積分法則掌握不定積分的線性性質(zhì)、乘積的積分、冪函數(shù)的積分等法則。換元法通過變量代換簡化不定積分的計算，如三角代換、根式代換等。不定積分計算法則理解定積分的幾何意義，掌握定積分的定義及計算方法。定積分的定義了解定積分的線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、保號性等基本性質(zhì)。定積分的性質(zhì)掌握微積分基本定理，理解原函數(shù)與定積分之間的關(guān)系。微積分基本定理定積分概念及性質(zhì)面積與體積的計算利用定積分計算平面圖形面積、立體體積等。物理應(yīng)用通過定積分求解變力做功、液體靜壓力等問題。經(jīng)濟應(yīng)用運用定積分分析邊際與彈性等經(jīng)濟概念，解決相關(guān)經(jīng)濟問題。定積分應(yīng)用舉例04多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)定義多元函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的圖像多元函數(shù)概念及性質(zhì)設(shè)D為一個非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實數(shù)y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。這些性質(zhì)在微積分學(xué)中有著重要的作用，它們決定了函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的行為。多元函數(shù)的圖像是一個超曲面，其形狀和性質(zhì)可以通過函數(shù)的表達式和定義域來確定。要點三偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)數(shù)反映的是多元函數(shù)沿坐標軸方向的變化率，其他坐標固定。例如，對于二元函數(shù)z=f(x,y)，其偏導(dǎo)數(shù)有兩種，分別是關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)和關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)。要點一要點二全微分定義全微分反映的是多元函數(shù)在各個方向上的變化率。如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處的全增量Δz可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A和B不依賴于Δx和Δy，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)是全微分的特例，即當其他變量保持不變時，全微分就變成了偏導(dǎo)數(shù)。同時，偏導(dǎo)數(shù)和全微分都是描述函數(shù)局部性質(zhì)的重要工具。要點三偏導(dǎo)數(shù)與全微分二重積分定義二重積分是二元函數(shù)在空間上的積分，其結(jié)果是一個數(shù)值。二重積分的計算通常是通過將積分區(qū)域劃分為若干個小矩形或三角形，然后對每個小區(qū)域進行積分并求和得到的。三重積分定義三重積分是三元函數(shù)在空間上的積分，其結(jié)果也是一個數(shù)值。三重積分的計算通常是通過將積分區(qū)域劃分為若干個小長方體或三棱錐，然后對每個小區(qū)域進行積分并求和得到的。曲線積分與曲面積分曲線積分和曲面積分是沿著曲線或曲面進行的積分。曲線積分的結(jié)果是一個向量或標量，而曲面積分的結(jié)果通常是一個標量。這些積分在物理學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。多元函數(shù)積分學(xué)05無窮級數(shù)與微分方程初步比較判別法利用級數(shù)相鄰兩項之比的極限值來判斷級數(shù)收斂性。比值判別法根值判別法積分判別法01020403將級數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的可積性判斷級數(shù)收斂性。通過比較級數(shù)與已知收斂或發(fā)散的級數(shù)，判斷其收斂性。通過求級數(shù)各項的n次方根的極限值來判斷級數(shù)收斂性。常數(shù)項級數(shù)收斂性判別法冪級數(shù)展開通過泰勒公式或麥克勞林公式將函數(shù)展開為冪級數(shù)形式。冪級數(shù)的運算在收斂域內(nèi)，冪級數(shù)可以進行加減乘除等運算，且保持收斂性。收斂域判斷根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)，通過比較系數(shù)或求極限等方式判斷其收斂域。冪級數(shù)展開與收斂域判斷形如y'+P(x)y=Q(x)的方程稱為一階線性微分方程。一階線性微分方程的標準形式通過構(gòu)造一個適當?shù)某?shù)函數(shù)，將一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為可求解的形式。常數(shù)變易法通過引入一個積分因子，將一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為全微分方程進行求解。積分因子法針對某些特殊形式的一階線性微分方程，如齊次方程、伯努利方程等，有特定的求解方法。特殊類型的一階線性微分方程一階線性微分方程解法06微積分在實際問題中應(yīng)用舉例通過計算函數(shù)的梯度，沿著負梯度方向逐步迭代，尋找函數(shù)的最小值點。梯度下降法利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)信息，構(gòu)造二次逼近函數(shù)，通過求解逼近函數(shù)的極值點來逼近原函數(shù)的極值點。牛頓法在約束條件下求多元函數(shù)的最值，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，將約束條件融入目標函數(shù)中，求解拉格朗日函數(shù)的極值點。拉格朗日乘數(shù)法最優(yōu)化問題求解方法經(jīng)濟學(xué)中的邊際分析和彈性分析邊際分析研究自變量發(fā)生微小變化時，因變量隨之發(fā)生的變化量。在經(jīng)濟學(xué)中，邊際分析常用于研究消費者行為、生產(chǎn)者決策等問題。彈性分析研究因變量對自變量變化的敏感程度。在經(jīng)濟學(xué)中，彈性常用于分析價格變動對需求量的影響、收