第四章控制系統(tǒng)的頻率特性頻率特性及其表示法極坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)由單位脈沖響應(yīng)求傳遞函數(shù)對(duì)數(shù)幅相圖控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)時(shí)域（分析方法）線性定常系統(tǒng)

常微分方程傳遞函數(shù)

復(fù)頻域（分析方法）頻率特性

頻域（分析方法）系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型頻率特性的特點(diǎn)（1）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來確定，這對(duì)于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。（2）由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。（3）頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。4.1.1頻率特性的基本概念

4.1頻率特性

頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。

定義：在正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入量復(fù)數(shù)之比。頻率響應(yīng)注意：穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的頻率相同，僅振幅和相位不同。00.51.01.52.02.53.0-5-4-3-2-101234500.51.01.52.02.53.0-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.0

0123456-8-6-4-20246u(t)y(t)yss(t)紅—輸入，藍(lán)—全響應(yīng)，黑—穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

0123456-2-1.5-1-0.500.511.52u(t)y(t)紅—輸入，藍(lán)—全響應(yīng)，黑—穩(wěn)態(tài)響應(yīng)yss(t)

RCi

(t)ui(t)u0(t)例：如圖所示的RC電路數(shù)學(xué)本質(zhì)穩(wěn)態(tài)分量：RC電路的傳遞函數(shù)：當(dāng)S=jω時(shí)式中：式中:X—輸入信號(hào)的振幅;

—輸入信號(hào)的角頻率。一般線性定常系統(tǒng),設(shè)輸入信號(hào)為正弦函數(shù),即:x(t)=Xsin

t(4.1)其拉氏變換為：(4.2)一般情況下,傳遞函數(shù)可以寫成如下形式:X(s)Y(s)G(s)(4.3)系統(tǒng)的輸出為：(4.4)(4.6)穩(wěn)定系統(tǒng)

(4.5)待定系數(shù)

穩(wěn)態(tài)輸出(4.7)式中的待定系數(shù)A,可按求留數(shù)的方法求得：(4.8)(4.9)G(j

)是一個(gè)復(fù)數(shù),它可以表示為:(4.10)(4.11)式中:將式(4.8)～(4.11)代入式(4.7)中,有:(4.12)式中:—穩(wěn)態(tài)輸出的幅值,是

的函數(shù)。

線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)Xsint的穩(wěn)態(tài)輸出Ysin(t+

),仍是一個(gè)正弦信號(hào)。其特點(diǎn)是：①.頻率與輸入信號(hào)相同;③.相移為

(ω)=∠G(j)。②.振幅Y為輸入振幅X的倍;

振幅Y和相移

都是輸入信號(hào)頻率

的函數(shù),對(duì)于確定的

值來說,振幅Y和相移

都將是常量.b)向量圖XY

ReIm0a)函數(shù)圖X

Yx(t)ys(t)ys(t)

tx(t)0輸入、輸出關(guān)系用函數(shù)圖和向量圖表示如下:頻率特性的定義—

幅頻特性—

相頻特性(4.13)—頻率特性(4.14)

4.1.2頻率特性的求取方法

1）根據(jù)定義求取

已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即可得到。

2）根據(jù)傳遞函數(shù)求取

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即用s=j

代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。

3）通過實(shí)驗(yàn)的方法直接測得

(4.15)

頻率特性等于系統(tǒng)輸出和輸入的傅氏變換之比。1）與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。4.1.3頻率特性的性質(zhì)2）頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，不穩(wěn)定系統(tǒng)則無法直接觀察到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從理論上講，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來，而且其規(guī)律并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。

當(dāng)頻率

改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（

）和相位移

（

）隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲(chǔ)能元件引起的。4.1.4系統(tǒng)模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)微分方程頻率特性傳遞函數(shù)4.1.5頻率特性的表示法1）數(shù)學(xué)式表示法

（直角坐標(biāo)表示法）

（極坐標(biāo)表示法）

（指數(shù)坐標(biāo)表示法）2）頻率特性的圖示方法對(duì)數(shù)頻率特性(Bode圖)頻率對(duì)數(shù)分度幅值/相角線性分度幅相頻率特性—極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)對(duì)數(shù)幅相頻率特性(Nichols圖)以頻率為參變量表示對(duì)數(shù)幅值和相角關(guān)系：L(ω)—

(ω)4.2極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)奈奎斯特（Nyquist）圖[極坐標(biāo)圖]

當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，根據(jù)頻率特性的極坐標(biāo)式G(jω)=A(ω)∠φ(ω)，可以算出每一個(gè)ω值所對(duì)應(yīng)的幅值A(chǔ)(ω)和φ(ω)，將它們畫在極坐標(biāo)平面圖上，就得到了頻率特性的極坐標(biāo)圖。

RC網(wǎng)絡(luò)的幅相特性曲線4.2.1典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

如果系統(tǒng)如右圖所示,則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的一般表達(dá)式為典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖－G(s)H(s)將其分子、分母分解因式，則常見有以下七種典型環(huán)節(jié)：①比例環(huán)節(jié)④慣性環(huán)節(jié)⑤一階微分環(huán)節(jié)②積分環(huán)節(jié)③微分環(huán)節(jié)⑥

振蕩環(huán)節(jié)⑦二階微分環(huán)節(jié)1）比例環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性ReIm0比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

所有元部件和系統(tǒng)都包含這種環(huán)節(jié)，如減速器、放大器、液壓放大器等。2）積分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率ω從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點(diǎn)。ReIm03）微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖Re微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率ω從0→∞特性曲線由虛軸的原點(diǎn)趨向+∞

。Im04）慣性環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓，對(duì)稱于實(shí)軸。證明如下：整理得：下半個(gè)圓對(duì)應(yīng)于正頻率部分，而上半個(gè)圓對(duì)應(yīng)于負(fù)頻率部分。5）一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖ReIm16）二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性實(shí)頻特性虛頻特性由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當(dāng)過阻尼時(shí)，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。7）二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性8）延遲環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性1極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。4.2.2系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

一般系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)及頻率特性為：當(dāng)λ=0時(shí)，稱該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)；當(dāng)λ=1時(shí)，稱該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)；當(dāng)λ=2時(shí)，稱該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)；……

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

由上式可知系統(tǒng)開環(huán)的頻率特性是由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成，其極坐標(biāo)圖可由下面的方法繪制。幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性之乘積。

相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成或 的形式，根據(jù)不同的算出或可在復(fù)平面上得到不同的點(diǎn)并連之為曲線（手工畫法）。

(1)求A(0)、

(0)；A(∞)、

(∞)；

(2)補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，根據(jù)A(ω)、

(ω)

的變化趨勢，畫出Nyquist圖的大致形狀。

[繪制方法]：使用MATLAB工具繪制。sys=tf(num,den)nyquist(sys)例

設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試列出實(shí)頻和虛頻特性的表達(dá)式。當(dāng)繪制奈氏圖。解：當(dāng)時(shí)找出幾個(gè)特殊點(diǎn)（如，與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對(duì)準(zhǔn)確，可以再算幾個(gè)點(diǎn)。0-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角：-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。下圖是用Matlab工具繪制的奈氏圖。[具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點(diǎn)]：頻率特性可表示為：其相角為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)有關(guān)，高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。4.3對(duì)數(shù)頻率特性—(Bode圖)對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德（Bode)圖，包括對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻兩條曲線。頻率特性：對(duì)數(shù)坐標(biāo)刻度圖(dB)octdec只標(biāo)注ω的自然數(shù)值。用L(ω)簡記對(duì)數(shù)幅頻特性，也稱L(ω)為增益。用

(ω)簡記對(duì)數(shù)相頻特性。關(guān)于Bode圖的幾點(diǎn)說明ω=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來；橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定；工程中采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)

可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性；可以將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；

所有典型環(huán)節(jié)的頻率特性可以用分段直線（漸進(jìn)線）近似表示；

將實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法繪制頻率特性曲線，可以方便地確定頻率特性的函數(shù)表達(dá)式。

傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性比例環(huán)節(jié)的Bode圖04.3.1典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1）比例環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性當(dāng)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)可見斜率為－40/dec

積分環(huán)節(jié)的Bode圖2）積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性微分環(huán)節(jié)的Bode圖傳遞函數(shù)頻率特性3）微分環(huán)節(jié)積分與微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性（Bode圖）的對(duì)比微分環(huán)節(jié)的Bode圖積分環(huán)節(jié)的Bode圖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性4）慣性環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性低頻段：當(dāng)時(shí)

低頻段近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)轉(zhuǎn)折頻率：當(dāng)時(shí)

高頻段近似斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性Bode圖誤差分析（實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差）當(dāng)時(shí)，誤差為：當(dāng)時(shí)，誤差為：最大誤差發(fā)生在處，為ωT0.10.20.512510L(ω)(dB)-0.04-0.20-1.00-3.00-7.00-14.2-20.04漸近線(dB)0000-6.00-14.0-20.0誤差(dB)-0.04-0.20-1.00-3.00-1.00-0.2-0.04相頻特性的說明：

作圖時(shí)先用計(jì)算器計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn)：由圖不難看出相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于(w0,-45°)點(diǎn)是斜對(duì)稱的，這是對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間常數(shù)T變化時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)增益改變時(shí)，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.45）一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性twwj1tg)(-=低頻段：當(dāng)時(shí)

低頻段近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)

高頻段近似斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。轉(zhuǎn)折頻率：當(dāng)時(shí)一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)（Bode圖）的對(duì)比6）二階振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性低頻段：當(dāng)時(shí)低頻段近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)高頻段近似斜率為-40dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。轉(zhuǎn)折頻率：在時(shí),即ω=1/T諧振頻率為0.1/T1/T10/T-40-30-20-1001020-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-20000二階振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性0.1/T1/T10/T-6-4-202468101214dB二階振蕩環(huán)節(jié)以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差7）二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性低頻段：當(dāng)時(shí)低頻段近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)高頻段近似斜率為-40dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。轉(zhuǎn)折頻率：在

時(shí),即ω=1/T-20-1001020304000200400600800100012001400160018000.1/T1/T10/T二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性-20-1001020304000200400600800100012001400160018000.1/T1/T10/T二階振蕩環(huán)節(jié)與二階微分環(huán)節(jié)Bode圖的對(duì)比二階振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)0.1/T1/T10/T-40-30-20-1001020-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-200008）延遲環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性二階振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)4.3.2系統(tǒng)開環(huán)頻率特性對(duì)數(shù)幅相頻率特性（Bode圖）

幅頻率及相頻率特性為：對(duì)數(shù)幅頻率及對(duì)數(shù)相頻率特性為：對(duì)數(shù)幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性之代數(shù)和。相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。且有：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖步驟如下

(1)寫出開環(huán)頻率特性表達(dá)式，分析系統(tǒng)由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都化成標(biāo)準(zhǔn)形式(以時(shí)間常數(shù)形式)。

(2)繪制出各因子（典型環(huán)節(jié)）的對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線及相頻特性曲線。(3)將對(duì)應(yīng)頻率下因子（典型環(huán)節(jié)）的對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線及相頻特性曲線相加，即得出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的（Bode圖）。(4)如果需要，再按典型因子的誤差曲線對(duì)相應(yīng)的分段直線進(jìn)行修正。[例]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：[解]：該系統(tǒng)由四個(gè)典型環(huán)節(jié)組成。一個(gè)比例環(huán)節(jié)，一個(gè)積分環(huán)節(jié)兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。試畫出該系統(tǒng)的波德圖。實(shí)際上，畫制Bode圖不用如此麻煩。我們注意到：幅頻曲線由折線（漸進(jìn)線）組成，在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率。

確定和各轉(zhuǎn)折頻率，并將這些頻率按小大順序依次標(biāo)注在頻率軸上；步驟如下：

確定低頻漸進(jìn)線：因?yàn)橛煽赏频玫皖l漸進(jìn)線，就是第一條折線，其斜率為要確定這條折線,還需確定該線所通過的一個(gè)點(diǎn),有兩種方法：因?yàn)楫?dāng) 時(shí),有1）令即首段線（實(shí)際上是比例k

和積分的曲線），過點(diǎn)（1，20lgk）。2）令，有即對(duì)于0型系統(tǒng)，λ=0，首段線平行于橫軸，距橫軸20lgk；對(duì)于1型系統(tǒng)，λ

=1，首段線與零分貝線（橫軸）交于ω=K；對(duì)于2型系統(tǒng)，λ

=2，首段線與零分貝線（橫軸）交于ω=；

高頻漸進(jìn)線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。相頻特性還是需要點(diǎn)點(diǎn)相加，才可畫出。遇到（一階慣性）時(shí)，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二階振蕩）時(shí)，斜率下降-40dB/Dec。畫好低頻漸進(jìn)線后，從低頻開始沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率：遇到（一階微分）時(shí)，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二階微分）時(shí)，斜率增加+40dB/Dec;[例]系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出波德圖。2）低頻漸進(jìn)線：斜率為，過點(diǎn)（1，20）3）波德圖如下：紅線為漸進(jìn)線，蘭線為實(shí)際曲線。[例]已知試畫波德圖。[解]：1）2）低頻漸進(jìn)線斜率為，過（1，-60）點(diǎn)4）畫出波德圖如下頁：3）高頻漸進(jìn)線斜率為

：紅線為漸進(jìn)線，蘭線為實(shí)際曲線。[例]具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為：，試畫出波德圖。[解]：

可見，加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變，相位特性滯后了。4.3.3最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)定義：若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)均在s復(fù)平面的左側(cè)，同時(shí)無純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)為最小相位傳遞函數(shù)。反之若傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和(或)零點(diǎn)有在s復(fù)平面右側(cè)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)為非最小相位傳遞函數(shù)。在最小相位系統(tǒng)中，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）其相角（位）的變化范圍最小，如上表示的。相角變化大于最小值的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。

最小相位系統(tǒng)的特征

a)

在n≥m且幅頻特性相同的情況下，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。（這里n和m分別表示傳遞函數(shù)分母和分子多項(xiàng)式的階次。）

c)

對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一個(gè)最小相位系統(tǒng)，我們?nèi)糁懒似浞l特性，它的相頻特性也就唯一地確定了。也就是說：只要知道其幅頻特性，就能寫出此最小相位系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，而無需再畫出相頻特性。

b)

當(dāng)ω=∞時(shí)，其相角等于，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率為。有時(shí)用這一特性來判別該系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。[例]有兩個(gè)系統(tǒng)，頻率特性分別為：轉(zhuǎn)折頻率都是：幅頻特性相同，均為：相頻特性不同，分別為：顯然，滿足的條件，是最小相位系統(tǒng)；而不滿足的條件，是非最小相位系統(tǒng)?？梢园l(fā)現(xiàn)：在右半平面有一個(gè)零點(diǎn)。最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)該兩個(gè)系統(tǒng)的波德圖如下所示：例：有五個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：由圖可知最小相位系統(tǒng)是指在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)w從0變化至∞時(shí)，系統(tǒng)的相角變化范圍最小，且變化的規(guī)律與幅頻特性的斜率有關(guān)系(如j1(w))。而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢與幅頻特性的變化趨勢不一致(如j4(w))。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相位特性之間具有唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定，反之亦然；但是這個(gè)結(jié)論對(duì)于非最小相位系統(tǒng)不成立。非最小相位系統(tǒng)情況可能發(fā)生在兩種不同的條件下。一是當(dāng)系統(tǒng)中包含一個(gè)或多個(gè)非最小相位環(huán)節(jié)；另一種情況可能發(fā)生在系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的內(nèi)部小回路。一般來說，右半平面有零點(diǎn)時(shí)，其相位滯后更大，閉環(huán)系統(tǒng)更難穩(wěn)定。因此，在實(shí)際系統(tǒng)中，應(yīng)盡量避免出現(xiàn)非最小相位環(huán)節(jié)。例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L出開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解：斜率為-20db/dec

由于，所以低頻段的

漸近線為

因?yàn)橄到y(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，所以其頻率可以只繪幅頻特性曲線。4.4由頻率特性曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定主要由一下兩部分組成：a）頻率響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)信號(hào)源對(duì)象記錄儀器

由穩(wěn)態(tài)的輸入輸出信號(hào)幅值比和相位差繪制出被測對(duì)象的對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖），再得漸近對(duì)數(shù)幅頻曲線。注意：求得的傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)相頻曲線與實(shí)驗(yàn)曲線應(yīng)基本一致，兩條曲線在低頻和高頻段應(yīng)嚴(yán)格相符。由Bode圖求取傳遞函數(shù)的一般規(guī)則

①由低頻段的斜率，推知所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，由低頻段在ω=1處的高度[或由低頻段斜線（或其延長線）與零分貝線交點(diǎn)]來求得增益K。

b）傳遞函數(shù)的確定

②由低頻→高頻，斜率每增加一個(gè)+20dB/dec，即含一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)；斜率每增加一個(gè)-20dB/dec，即含一個(gè)慣性環(huán)節(jié)；斜率每增加一個(gè)-40dB/dec，即含一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)，再由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比ζ；斜率每增加一個(gè)+40dB/dec，即含一個(gè)二階微分環(huán)節(jié)，同樣由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比ζ。例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。解：1）由于低頻段斜率為-20dB/dec所以有一個(gè)積分環(huán)節(jié)

2）在ω=1處，L(ω)=15dB=20lgK，可得K=5.6

3）在ω=2處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/2+1)

4）在ω=7處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/7+1)例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：1）由于低頻段斜率為-40dB/dec所以有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)

3）在ω=30處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/30+1)

2）在ω=0.8處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/0.8+1)

4）在ω=50處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?60dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/50+1)根據(jù)Bode圖所示,縱軸設(shè)在處,首段線與縱軸的50dB點(diǎn)相交,由

,

若將Bode圖的首段線延長至與橫軸相交,則交點(diǎn)應(yīng)為

4.5由單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

單位脈沖函數(shù)的傅里葉變換等于1，即對(duì)于說明中隱含著幅值相等的各種頻率，如果對(duì)系統(tǒng)輸入一個(gè)單位脈沖，則相當(dāng)于用等單位強(qiáng)度的所有頻率去激發(fā)系統(tǒng)。

當(dāng)輸入時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于其輸出的傅里葉變換，即：由于傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上推出的,

4.6對(duì)數(shù)幅相頻率特性(Nichols圖)對(duì)數(shù)幅相頻特性也稱為尼柯爾斯圖是將對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線。特點(diǎn)：

1）以頻率

為參變量；