抽象代數(shù)群的定義課件目錄contents群的定義及性質(zhì)群的基本運(yùn)算群的同態(tài)與同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)與分類群的應(yīng)用與擴(kuò)展01群的定義及性質(zhì)逆元映射G中每個(gè)元素都可以映射到G上任意一個(gè)元素，這種映射稱為G的乘法。結(jié)合律G的乘法滿足結(jié)合律，即任意三個(gè)元素a,b,c的乘積等于它們的順序乘積。單位元G中存在一個(gè)單位元e，使得任意元素a的乘積等于e與a的乘積。一個(gè)非空集合稱為一個(gè)群，記作G，其中每個(gè)元素稱為G中的一個(gè)元素或元。集合封閉性G的乘法是封閉的，即任意兩個(gè)元素的乘積仍然屬于G。對于任意元素a，存在一個(gè)逆元a-1，使得a乘以a-1等于單位元e。群的定義G的乘法滿足交換律，即任意兩個(gè)元素的乘積與它們的順序無關(guān)。交換律恒等元反元素G中存在一個(gè)恒等元e，使得任意元素a的乘積等于a與e的乘積。對于任意元素a，存在一個(gè)反元素a-1，使得a乘以a-1等于單位元e。030201群的性質(zhì)G的一個(gè)非空子集H稱為G的一個(gè)子群，如果H也構(gòu)成一個(gè)群。設(shè)H是G的一個(gè)子群，g是G的一個(gè)元素，記gH={gh|h∈H}為g陪集。子群與陪集陪集子群02群的基本運(yùn)算群內(nèi)的元素通過乘法運(yùn)算相互組合，得到的結(jié)果仍然是群內(nèi)的元素。封閉性乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，即(ab)c=a(bc)。結(jié)合律存在一個(gè)元素e，使得對于任何元素a，e*a=a*e=a。單位元對于每個(gè)元素a，都存在一個(gè)逆元a^-1，使得a*a^-1=a^-1*a=e。逆元群的乘法運(yùn)算逆元每個(gè)元素a都有一個(gè)逆元a^-1，使得a*a^-1=a^-1*a=e。單位元存在一個(gè)元素e，是群中任何元素的單位元，即對于任何元素a，e*a=a*e=a。群的逆元與單位元冪運(yùn)算對于給定的元素a和正整數(shù)n，計(jì)算a^n。循環(huán)群如果存在一個(gè)正整數(shù)n，使得a^n=e（單位元），則稱a是一個(gè)循環(huán)元。循環(huán)群的性質(zhì)循環(huán)群是交換群，即a^k*b^k=(a*b)^k。群的冪運(yùn)算03020103群的同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)定義：設(shè)G和G'是兩個(gè)群，如果存在一個(gè)從G到G'的映射f，使得對于G中的任意元素a和b，都有f(a*b)=f(a)*'f(b)，那么我們稱f為同態(tài)映射，G和G'之間存在一個(gè)同態(tài)。同態(tài)的性質(zhì)1.保持運(yùn)算：同態(tài)映射f保持了G中的運(yùn)算，即f(a*b)=f(a)*'f(b)。2.保持單位元：如果G有單位元e，那么f(e)=e'。3.保持逆元：如果G中的元素a有逆元b，那么f(a)'=f(b)。同態(tài)的定義及性質(zhì)同構(gòu)定義：如果存在一個(gè)從G到G'的映射f，使得G和G'之間存在一個(gè)雙射（即一一對應(yīng)），并且這個(gè)雙射保持了G中的運(yùn)算，那么我們稱G和G'同構(gòu)。同構(gòu)的性質(zhì)1.雙射對應(yīng)：同構(gòu)映射f是一個(gè)雙射，即一一對應(yīng)。2.保持運(yùn)算：同構(gòu)映射f保持了G中的運(yùn)算，即f(a*b)=f(a)*'f(b)。3.逆映射：如果存在一個(gè)從G到G'的同構(gòu)映射f，那么一定存在一個(gè)從G'到G的逆映射f^-1，使得f*'f^-1=idG和f*'idG'=idG'。0102030405同構(gòu)的定義及性質(zhì)整數(shù)加法群與正整數(shù)乘法群之間的同態(tài)這是一個(gè)從整數(shù)加法群Z到正整數(shù)乘法群N的映射，將每個(gè)整數(shù)a映射到它的絕對值a的因數(shù)個(gè)數(shù)。矩陣群與特殊線性群之間的同態(tài)給定一個(gè)n階矩陣A，我們可以定義一個(gè)從GL(n,R)（所有可逆n階實(shí)矩陣組成的群）到R^n的映射，將A映射到它的特征向量。群同態(tài)的基本例子04群的結(jié)構(gòu)與分類由一個(gè)元素生成的群稱為循環(huán)群，循環(huán)群的性質(zhì)相對簡單，是群論學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。循環(huán)群若群中任意兩個(gè)元素的乘積仍等于它們的乘積，則稱該群為交換群。交換群的性質(zhì)相對復(fù)雜，是研究群論的重要方向之一。交換群循環(huán)群與交換群若存在有限個(gè)群$G_i$，滿足$G=\oplus_{i=1}^nG_i$，則稱$G$為$G_i$的直和。直和是群的一種重要構(gòu)造方式。群的直和若存在有限個(gè)群$G_i$，滿足$G=\prod_{i=1}^nG_i$，則稱$G$為$G_i$的直積。直積是群的一種重要構(gòu)造方式。群的直積群的直和與直積置換表示：一種將有限集合的元素進(jìn)行置換的表示方法，可以看作是置換群的另一種表述方式。通過置換表示，可以將置換群看作是關(guān)于置換的函數(shù)集合，從而更好地理解置換群的性質(zhì)。群的置換表示05群的應(yīng)用與擴(kuò)展對稱密鑰加密在對稱密鑰加密中，使用相同的密鑰進(jìn)行加密和解密，而這個(gè)密鑰可以通過有限階乘的群論中的一些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。非對稱密鑰加密在非對稱密鑰加密中，使用公鑰和私鑰來進(jìn)行加密和解密，而這個(gè)公鑰和私鑰也是基于群論中的一些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的。群在密碼學(xué)中的重要性群論中的一些概念和性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于密碼學(xué)中，如對稱密鑰、非對稱密鑰和哈希函數(shù)等。群在密碼學(xué)中的應(yīng)用VS量子力學(xué)中的許多概念和計(jì)算方法都與群論有關(guān)，如量子態(tài)的表示、對稱性和變換等。量子計(jì)算中的群論在量子計(jì)算中，群論被廣泛應(yīng)用于量子算法的設(shè)計(jì)和分析中，如Shor算法、Grover算法等。量子力學(xué)中的群論群在量子力學(xué)中的應(yīng)用有限單群的定義有限單群是指一個(gè)有限群G，其每個(gè)非平凡子群的階都小于G的階，且G的每個(gè)元素的階都小于G的階。阿貝爾群的定義阿貝爾群是一個(gè)交換群，即其任意兩個(gè)元素相乘的結(jié)果與其相乘的順序無