專題05二次根式【熱考題型】【知識要點】知識點一二次根式相關概念和性質二次根式的概念：一般地，我們把形如（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號。【注意】1）二次根式中，被開方數(shù)a可以是具體的數(shù)或代數(shù)式。2）二次根式中a是一個非負數(shù)。二次根式有意義的條件：當a≧0時，即被開方數(shù)大于或等于0，有意義?？疾轭}型一二次根式有意義的條件題型1．（2022·貴州貴陽·中考真題）若式子x?3A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【詳解】解：由題意得x?3≥0．解得x≥3，故選：A．題型1-1．（2022·廣東廣州·中考真題）代數(shù)式1x+1有意義時，x應滿足的條件為（

A．x≠?1 B．x>?1 C．x<?1 D．x≤-1【詳解】解：由題意可知：x+1>0，∴x>?1，故選：B．題型1-2．（2022·黑龍江綏化·中考真題）若式子x+1+x?2在實數(shù)范圍內有意義，則xA．x>?1 B．x??1 C．x??1且x≠0 D．x??1且x≠0【詳解】解：由題意得：x+1≥0且x≠0，∴x≥-1且x≠0，故選：C．題型1-3．（2022·四川雅安·中考真題）使x?2有意義的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．【詳解】解：由題意知，x?2≥0，解得x≥2，∴解集在數(shù)軸上表示如圖，故選B．題型1-4．（2022·湖北黃石·中考真題）函數(shù)y=xx+3+1x?1A．x≠?3且x≠1 B．x>?3且x≠1 C．x>?3 D．x≥?3且x≠1【詳解】解：依題意，x+3>0x?1≠0∴x>?3且x≠1題型1-5．（2022·內蒙古內蒙古·中考真題）已知x，y是實數(shù)，且滿足y=x?2＋2?x＋18，則x【詳解】解：∵由二次根式的定義得x?2≥02?x≥∴y=0+0+18，即：∴x?二次根式的性質：1）2）SKIPIF1<0，即任意一個數(shù)的平方的算術平方根等于它本身的絕對值。【擴展】QUOTE與QUOTE的區(qū)別于聯(lián)系區(qū)別：聯(lián)系：1）兩者都需要進行平方和開方。2）兩者的結果都是非負數(shù)。3）當a≧0時，知識點二二次根式的估值一般步驟：1）先對二次根式進行平方，如622）找出與平方后所得數(shù)相鄰的兩個完全平方數(shù)，如4<6<9；3）對這兩個完全平方數(shù)開方，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；4）這個二次根式的值在這兩個相鄰整數(shù)之間，如?？疾轭}型二二次根式的性質與化簡題型2．（2022·河北·中考真題）下列正確的是（

）A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．9【詳解】解：A.4+9=13≠2+3，故錯誤；B.4×9=2×3，故正確；C.題型2-1．（2022·山東聊城·中考真題）射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式v=2as進行計算，其中a為子彈的加速度，s為槍筒的長．如果a=5×105m/A．0.4×102C．4×102m【詳解】解：v=2as題型2-2．（2022·內蒙古內蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應位置如圖所示，則a2+1+|a?1|的化簡結果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【詳解】解∶∵根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故選∶B．題型2-3．（2022·湖南常德·中考真題）我們發(fā)現(xiàn)：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+?+6+6+3=3n個根號，一般地，對于正整數(shù)a，b，如果滿足b+b+b+?+b+b+a=an個根號時，稱A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】解：∵12+4=4，∴∵91+9=10≠9∴9,91若a,380是完美方根數(shù)對，則380+a=a即a2=380+a解得∵a是正整數(shù)，則a=20故③正確；若x,y是完美方根數(shù)對，則y+x=x∴y+x=x2題型2-4．（2022·四川遂寧·中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+1?【詳解】解：由數(shù)軸可得：?1<a<0，則a+1>0,b?1>0,a?b<0∴a+1=|a+1|?|b?1|+|a?b|=a+1?(b?1)?(a?b)=a+1?b+1?a+b=2．題型2-5．（2022·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．【詳解】解：∵8?x≥0∴x≤8∵x為正整數(shù)∴x可以為1、2、3、4、5、6、7、8∵8?x為整數(shù)∴x為4或7或8題型2-6．（2022·四川宜賓·中考真題）《數(shù)學九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c【詳解】解：∵周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2，設a=4k,b=3k,c=2k∴4k+3k+2k=18解得k=2∴a=8,b=6,c=4∴S=14c2a知識點三二次根式的運算二次根式的乘法法則:兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。即：【注意】1）要注意這個條件，只有a，b都是非負數(shù)時法則成立。2）多個二次根式相乘，乘法法則依然成立，表示為：3）乘法交換律在二次根式中仍然適用。4）逆用公式：化簡二次根式的步驟（易錯點）：1）把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2）把各因式(或因數(shù))積的算術平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術平方根的積；3）如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應用關系式把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡。二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。即SKIPIF1<0（a≥0，b＞0）。【注意】1）要注意這個條件，因為b=0時，分母為0，沒有意義。2）逆用公式：。考查題型三二次根式的乘除題型3．（2022·廣西柳州·中考真題）計算：2×【詳解】解：2×3=6；故答案為題型3-1．（2022·天津·中考真題）計算(19【詳解】解：(19題型3-2．（2022·山西·中考真題）計算18×【詳解】解：原式＝18×12＝題型3-3．（2022·浙江湖州·中考真題）計算：62【詳解】62+2×?3=6+(?6)=6?6=0最簡二次根式的特點：1）被開方數(shù)不含分母；2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。例：、、SKIPIF1<0QUOTE2a2不是二次根式（易錯）。分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程。【分母有理化方法】1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分。即：SKIPIF1<02）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分。即：SKIPIF1<0；練：嘗試寫出的有理化因式_______________考查題型四最簡二次根式題型4．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡12的結果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2【詳解】解：12=4×3=題型4-1．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）下列實數(shù)中，有理數(shù)是（

）A．12 B．13 C．1【詳解】解：A、12=22∵B、13=33∵C、14D、15=55∵故選：C題型4-2．（2021·湖南益陽·中考真題）將452化為最簡二次根式，其結果是（

A．452 B．902 C．9【詳解】解：原式=9×5×22×2，題型4-3．（2021·廣西桂林·中考真題）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A．19 B．4 C．a(chǎn)2【詳解】A、19B、4=C、a2D、符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項正確．故選：D．題型4-4．（2022·廣西·中考真題）化簡：（1）8=_____．【詳解】解：8=同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。同類二次根式合并的方法：將系數(shù)相加減，被開方數(shù)和二次根式部分不變。二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把同類二次根式進行合并，不能合并的直接抄下來?！究谠E】一化、二找、三合并。二次根式比較大?。?）若，則有；2）若，則有；3）將兩個根式都平方，比較平方后的大小，對應平方前的大小。二次根式混合運算順序：先計算括號內，再算乘方（開方），再算乘除，最后再算加減。【注意】運算結果含根號的必須為最簡二次根式。考查題型五二次根式的加減題型5．（2022·四川瀘州·中考真題）與2+15最接近的整數(shù)是（

A．4 B．5 C．6 D．7【詳解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜15＜4，∴5.5＜2+15＜6，∴最接近的整數(shù)是6，故選：C．題型5-1．（2022·湖北武漢·中考真題）下列各式計算正確的是（

）A．2+3=5 B．4【詳解】解：A、2+B、43C、2×D、12÷2=2題型5-2．（2022·浙江嘉興·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為_________．【詳解】解：由題意可得：DE=1,DC=15?12=3,∵∠A=60°,∠ABC=90°,∴AB=BC同理：AD=DE∴BD=AB?AD=3故答案為：2題型5-3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）設x1與x2為一元二次方程12【詳解】解：∵1△=9-4=5＞0，∴x1=?3+5∴x1?x故答案為：20；題型5-4．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算3+3【詳解】解：3+313=3+3考查題型六二次根式的混合運算題型6．（2022·重慶·中考真題）估計3×(23+A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間【詳解】3×(2∵9＜15＜16，∴題型6-1．（2022·山東青島·中考真題）計算(27?12A．33 B．1 C．5【詳解】解：(27題型6-2．（2022·貴州安順·中考真題）估計(25+52A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【詳解】解：原式=25×1∵3<10<4，題型6-3．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）計算8+|?2|×cos45°A．2 B．32 C．22【詳解】解：8+|?2|×cos45°＝22+2×22＝22+2＝32．故選：B題型6-4．（2022·湖北荊州·中考真題）若3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式2+【詳解】解：∵1<2∴1<3?2∵3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b∴a=1，b=3?2∴2+2故答案為：2．題型6-5．（2022·山東泰安·中考真題）計算：8?【詳解】解：8?題型6-6．（2022·遼寧朝陽·中考真題）計算：63÷【詳解】解：63÷7?題型6-7．（2022·四川達州·中考真題）人們把5?12≈0.618這個數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設a=5?12，b=5+12【詳解】解：∵a=5?