《統(tǒng)計(jì)學(xué)》課件作者：云南財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院楊文雪PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)第3章參數(shù)估計(jì)3.1參數(shù)估計(jì)的基本原理3.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)3.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)3.4樣本容量的確定3.1參數(shù)估計(jì)的基本原理3.1.1抽樣估計(jì)的含義及其種類3.1.2

估計(jì)量與估計(jì)值3.1.3參數(shù)估計(jì)的方法

3.1.4評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)3.1.1抽樣估計(jì)的含義及其種類一、抽樣估計(jì)的含義二、抽樣估計(jì)的種類一、抽樣估計(jì)的含義抽樣估計(jì)：是指用樣本提供的信息對(duì)總體的某些特征所進(jìn)行的估計(jì)或推斷。通常：（1）用來(lái)估計(jì)總體特征的樣本指標(biāo)，也稱之為樣本統(tǒng)計(jì)量或樣本估計(jì)量。包括：樣本均值、樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本比例等。（2）待估計(jì)的總體指標(biāo)，稱為總體參數(shù)。包括：總體均值、總體方差或總體標(biāo)準(zhǔn)差、總體比例等。二、抽樣估計(jì)的種類從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論來(lái)看，抽樣估計(jì)包括：抽樣估計(jì)參數(shù)估計(jì)非參數(shù)估計(jì)（一）參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)是指已知總體分布類型而對(duì)總體的數(shù)字特征（總體參數(shù)）進(jìn)行的估計(jì)。亦即：用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行的估計(jì)。例如：用樣本均值（）估計(jì)總體均值（）；用樣本比率（）估計(jì)總體比率（）；用樣本方差（）估計(jì)總體方差（）等。參數(shù)估計(jì)包括：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。（二）非參數(shù)估計(jì)非參數(shù)估計(jì)是指對(duì)總體的分布形式一無(wú)所知、要對(duì)“總體的分布類型”和總體參數(shù)作出估計(jì)。顯然，非參數(shù)估計(jì)比參數(shù)估計(jì)要復(fù)雜得多。本章僅僅介紹參數(shù)估計(jì)的基本理論和方法。3.1.2估計(jì)量與估計(jì)值一、引言二、估計(jì)量的含義三、估計(jì)值的含義附：總體參數(shù)、樣本估計(jì)量與樣本估計(jì)值三者關(guān)系舉例一、引言如果掌握了所研究的總體的全部數(shù)據(jù)，那么只需做一些簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)描述，就可以得到有關(guān)總體的數(shù)量特征，如總體均值、方差、比率等。但現(xiàn)實(shí)情況則比較復(fù)雜，有的現(xiàn)象范圍比較廣，不可能對(duì)總體中的每一個(gè)單位都進(jìn)行測(cè)定?；蛘哂行┛傮w的單位數(shù)很多，不可能也沒(méi)有必要進(jìn)行一一測(cè)定。這就需要從總體中抽取一部分單位進(jìn)行調(diào)查，進(jìn)而利用樣本提供的信息來(lái)推斷總體的數(shù)量特征。二、估計(jì)量的含義估計(jì)量（estimator）：又稱為樣本統(tǒng)計(jì)量或樣本指標(biāo)。它是根據(jù)樣本資料計(jì)算的、用以估計(jì)和推斷相應(yīng)總體參數(shù)的綜合指標(biāo)?；蛘哒f(shuō)，它是用來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱。通過(guò)試驗(yàn)和觀察取得的樣本的具體數(shù)值本身只是一些雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)，不能直接用樣本值去推斷未知總體參數(shù)，此時(shí)只能利用它們整理計(jì)算出來(lái)的一些“量”來(lái)進(jìn)行推斷。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，將由樣本構(gòu)造出的量，稱為估計(jì)量。估計(jì)量是樣本的函數(shù)。樣本估計(jì)量是總體參數(shù)的估計(jì)式，它指的是樣本中隨機(jī)變量（x1、x2、….、xn)的函數(shù)表達(dá)式，在抽樣之前就定義好。常見(jiàn)的有：樣本均值、樣本成數(shù)、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本協(xié)方差等。三、樣本估計(jì)值的含義樣本估計(jì)值是用來(lái)估計(jì)總體參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的樣本統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值。它是樣本估計(jì)量的某一具體取值，只能在抽樣之后由樣本中的隨機(jī)變量的值x1、x2、…xn來(lái)決定。樣本估計(jì)量不含未知參數(shù)，它是隨樣本不同而不同的隨機(jī)變量。故：抽取的樣本不同，得到的樣本估計(jì)量的具體數(shù)值也不同。附：總體參數(shù)、樣本估計(jì)量與樣本估計(jì)值三者關(guān)系舉例總體參數(shù)

樣本估計(jì)量樣本估計(jì)值全部燈泡的平均使用壽命隨機(jī)樣本的平均使用壽命隨機(jī)樣本計(jì)算出來(lái)的平均使用壽命為1800小時(shí)全班統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的平均分隨機(jī)樣本的平均分隨機(jī)樣本計(jì)算出來(lái)的平均分為78分云南財(cái)經(jīng)大學(xué)在校學(xué)生的月平均生活費(fèi)用隨機(jī)樣本的月平均生活費(fèi)用隨機(jī)樣本計(jì)算出來(lái)的月平均生活費(fèi)用為450元3.1.3參數(shù)估計(jì)的方法矩估計(jì)法最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計(jì)量法估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)（一）點(diǎn)估計(jì)的含義（二）常用的點(diǎn)估計(jì)方法（一）點(diǎn)估計(jì)的含義點(diǎn)估計(jì)：又稱為“定值估計(jì)”，就是指直接用“一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量（指標(biāo)）”來(lái)估計(jì)“總體參數(shù)（指標(biāo)）”的“一個(gè)數(shù)值點(diǎn)”。當(dāng)已知一個(gè)樣本的“觀察值”則便可得到“總體參數(shù)”的“一個(gè)估計(jì)值”。簡(jiǎn)言之，點(diǎn)估計(jì)就是指將“樣本估計(jì)量的一個(gè)取值”直接作為“總體參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值”。例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)（二）常用的點(diǎn)估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)法極大似然估計(jì)法提示性講解兩種點(diǎn)估計(jì)方法二、區(qū)間估計(jì)（intervalestimation)（一）區(qū)間估計(jì)的含義（二）區(qū)間估計(jì)的數(shù)學(xué)定義（三）區(qū)間估計(jì)的統(tǒng)計(jì)直觀意義（四）區(qū)間估計(jì)中的若干經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)（五）區(qū)間估計(jì)示意圖（六）常用的置信水平（置信度）（七）對(duì)置信區(qū)間的理解必須注意的問(wèn)題（一）區(qū)間估計(jì)的含義區(qū)間估計(jì)（intervalestimation)：顧名思義，就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知總體參數(shù)，把未知總體參數(shù)值界定在兩個(gè)數(shù)值之間范圍。亦即：根據(jù)樣本估計(jì)量，以一定的可靠程度（置信度）估計(jì)和推斷總體參數(shù)的區(qū)間范圍。（也可以定義為：區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)范圍。）總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，通常是由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣極限誤差而得到的。與點(diǎn)估計(jì)不同，進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，我們能夠得到對(duì)樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量。置信區(qū)間置信下限置信上限樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))比如：某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%（二）區(qū)間估計(jì)的數(shù)學(xué)定義設(shè)總體X的分布密度函數(shù)F(x,θ)中含有一個(gè)未知參數(shù)θ，x1、x2、…、xn是來(lái)自X的一個(gè)樣本，對(duì)于給定的α（0<α<1），若能找到“兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量”：θ1(x1、x2、…xn)

和θ2(x1、x2、…、xn),使得:P{θ1≤θ≤θ2}=1-α

則稱區(qū)間[θ1，θ2]為θ的置信度為1-α的“置信區(qū)間”。這里：α為顯著性水平；1-α為區(qū)間估計(jì)的置信度或置信水平或置信系數(shù)（是指構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)多次，在置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率。）（三）區(qū)間估計(jì)的統(tǒng)計(jì)直觀意義如果我們作多次同樣的抽樣，將會(huì)得到多個(gè)置信區(qū)間，那么其中：有的置信區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值；而有的置信區(qū)間卻未包含總體參數(shù)的真值。例如：置信度1-α=95%表明如果我們抽取100個(gè)隨機(jī)樣本來(lái)估計(jì)總體的均值，那么由100個(gè)樣本所構(gòu)造的100個(gè)置信區(qū)間中，有95個(gè)置信區(qū)間包含了“總體參數(shù)的真值”，而另外5個(gè)置信區(qū)間則不包含“總體參數(shù)的真值”。（四）區(qū)間估計(jì)中的若干經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)由樣本均值的抽樣分布可知：在重復(fù)抽樣或總體無(wú)限的情況下，樣本均值的數(shù)學(xué)期望等于總體均值；樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差（或抽樣標(biāo)準(zhǔn)差或抽樣平均誤差）為：，由此可以知道：樣本均值落在范圍內(nèi)的概率為68.27%。樣本均值落在范圍內(nèi)的概率為95.45%%。樣本均值落在范圍內(nèi)的概率為99.73%%。樣本均值落在范圍內(nèi)的概率為90%。樣本均值落在范圍內(nèi)的概率為95%。樣本均值落在范圍內(nèi)的概率為99%。90%的樣本95%的樣本99%的樣本（五）常用的置信水平（置信度）

1.6451.962.58

0.050.0250.005

0.100.050.01

90%95%99%顯著性水平置信水平在構(gòu)造置信區(qū)間時(shí)，我們可以用所希望的值作為置信水平。比較常用的置信水平及正態(tài)分布曲線下右側(cè)面積為

時(shí)的值如下表：（六）有關(guān)置信區(qū)間的概念用下圖表示置信下限點(diǎn)估計(jì)值置信上限置信區(qū)間當(dāng)時(shí)，其余以此類推，但要特別注意：查P284-285標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表時(shí)，由于

，故不直接查而是查，從表中先找到與最接近的數(shù)值，該數(shù)值對(duì)應(yīng)的的值，就是的值。從上面的表和圖可以看出：當(dāng)樣本容量（n）確定時(shí)，置信區(qū)間的寬度隨著置信水平（1-α）的增大而增大。從直覺(jué)上說(shuō)，置信區(qū)間比較寬時(shí)，才會(huì)使這一區(qū)間有更大的可能性包含總體參數(shù)的真值。當(dāng)置信水平（1-α）固定時(shí)，置信區(qū)間的寬度隨著樣本容量（n）的增大而變窄。亦即：置信水平不變時(shí)，樣本容量（n）越大，抽樣誤差越小，估計(jì)的精度越高，則

置信區(qū)間就越窄。對(duì)置信區(qū)間的理解必須注意的問(wèn)題1、若用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中，有95%的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，有5%的區(qū)間不包含總體參數(shù)的真值，則用該方法構(gòu)造的區(qū)間就稱之為“置信水平為95%的置信區(qū)間”。其他置信水平的區(qū)間也可以用類似的方式表述。之所以如此表述置信區(qū)間，其理由是：總體參數(shù)的真值是固定的、未知的，而用樣本構(gòu)造的區(qū)間則是不固定的、隨機(jī)的。隨著抽取的樣本不同，用同樣的方法構(gòu)造出的區(qū)間也必然不同。從這個(gè)意義上說(shuō)，置信區(qū)間是一個(gè)“隨機(jī)區(qū)間”，它會(huì)因樣本的不同而不同，且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)的真值。2、置信水平（1-α

）這個(gè)概率，不能用來(lái)描述某個(gè)特定的區(qū)間包含總體參數(shù)真值的可能性大小。一個(gè)特定的區(qū)間總是包含或絕對(duì)不包含總體參數(shù)的真值，不存在可能包含或可能不包含的問(wèn)題。但是，利用1-α這個(gè)概率，可以知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個(gè)區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值。例如：我們用99%的置信水平得到云南財(cái)經(jīng)大學(xué)全體在校學(xué)生月平均生活費(fèi)用在100元至500元之間。我們不能說(shuō)：100—500這個(gè)區(qū)間以99%的概率包含云南財(cái)經(jīng)大學(xué)全體在校學(xué)生的月平均生活費(fèi)用的真值。我們只是知道：在多次抽樣中有99%的樣本得到的區(qū)間包含云南財(cái)經(jīng)大學(xué)全體在校學(xué)生的月平均生活費(fèi)用的真值，而有1%的樣本得到的區(qū)間不包含該真值。置信區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-a)%區(qū)間包含了

a%的區(qū)間未包含

1-aa/2a/2影響區(qū)間寬度的因素1.總體數(shù)據(jù)的離散程度，用來(lái)測(cè)度2.樣本容量3.置信水平()，影響

z的大小3.1.4評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)一、引言二、評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)一、引言前面介紹了參數(shù)估計(jì)的兩種常見(jiàn)的估計(jì)方法——矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。對(duì)于同一個(gè)總體參數(shù)，采用不同的方法估計(jì)，可能會(huì)得到不同的估計(jì)量。究竟其中哪一個(gè)估計(jì)量是總體參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)量呢？這就需要有一定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。二、評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，常常采用以下三條：（一）無(wú)偏性（二）有效性（三）一致性（一）無(wú)偏性(unbiasedness)無(wú)偏性：是指“樣本估計(jì)量

”的“均值（數(shù)學(xué)期望）”等于“被估總體參數(shù)的真實(shí)值θ”。即：

則：稱為θ的無(wú)偏估計(jì)量。無(wú)偏性實(shí)際上是指：不同的樣本，會(huì)有不同的估計(jì)值（）。雖然從“某一個(gè)具體樣本”來(lái)看，估計(jì)值（）有時(shí)會(huì)“大于θ”，有時(shí)會(huì)“小于θ”，有“誤差”。但從所有可能樣本的角度來(lái)看：估計(jì)值的平均水平=總體參數(shù)θ的真實(shí)值，即：平均說(shuō)來(lái)，估計(jì)是無(wú)偏的。樣本均值（)是總體均值（

）的無(wú)偏估計(jì)量證：因?yàn)閤1、x2、…、xn是n次觀察結(jié)果的n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，且它們來(lái)自同一總體，有相同的分布律，故它們有相同的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差。即：E(x1)=E(x2)=…=E(xn)=μ,D(x1)=D(x2)=…=D(xn)=σ2于是：樣本修正方差（

）是總體方差（

）的無(wú)偏估計(jì)量其他條件同上，證明過(guò)程如下（中間有省略）樣本方差（）不是總體方差（）的無(wú)偏估計(jì)量其他條件同上，證明過(guò)程如下（中間有省略）樣本比率（）是總體比率（）的無(wú)偏估計(jì)量證明：重復(fù)抽樣的條件下，當(dāng)從總體中抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本時(shí)，具有某種屬性的單位數(shù)（）服從二項(xiàng)分布，記為：

，且有：,于是有：（二）有效性(efficiency)

——最小方差性無(wú)偏性僅僅考慮了樣本估計(jì)值的平均結(jié)果是否等于總體參數(shù)的真實(shí)值，而沒(méi)有考慮每一個(gè)樣本估計(jì)值

與待估總體參數(shù)真實(shí)值θ之間偏差的大小和離散程度。實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)，不僅希望估計(jì)是無(wú)偏的，更希望樣本估計(jì)值的偏差盡可能地小。有效性：又稱為最小方差性，是指在若干個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量中，方差最小的那一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，就是有效的估計(jì)量?？梢?jiàn)，一個(gè)有效的估計(jì)量，首先必須是無(wú)偏的。（三）一致性（相合性）設(shè)：

(x1、x2、…、xn)是待估參數(shù)θ的估計(jì)量，當(dāng)n→∞時(shí)，對(duì)于任意小的正整數(shù)ε，有：一致性，它說(shuō)明當(dāng)樣本容量（n）趨近于無(wú)窮大∞時(shí)，樣本估計(jì)量依概率收斂于總體參數(shù)的真實(shí)值θ。亦即：隨著樣本容量的增大，點(diǎn)估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)總體參數(shù)的真值。換言之，一個(gè)大樣本給出的估計(jì)量要比一個(gè)小樣本給出的估計(jì)量更接近總體參數(shù)的真值。幾個(gè)重要的結(jié)論（小結(jié)）1.樣本均值()和樣本比例(p)，分別是總體均值μ和總體比例P的無(wú)偏、有效和一致的優(yōu)良估計(jì)量。2.樣本修正方差（Sn-12)是總體方差（σ2）的無(wú)偏估計(jì)量。3.樣本方差（Sn2)不是總體方差（σ2）的無(wú)偏估計(jì)量，（不過(guò)，它雖不具有無(wú)偏性，但它是“漸進(jìn)無(wú)偏的”。）它比總體方差多了一個(gè)(n-1)/n。正因?yàn)槿绱?，本教材直接把樣本修正方?/p>

Sn-12

直接定義為樣本方差。3.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)3.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)3.2.2總體比率的區(qū)間估計(jì)3.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)3.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)一、正態(tài)總體且總體方差已知時(shí)的估計(jì)方法（定理1）二、總體分布未知或非正態(tài)總體且大樣本時(shí)的估計(jì)方法（定理2）三、正態(tài)總體、總體方差未知且小樣本時(shí)的估計(jì)方法（定理3）一、正態(tài)總體且總體方差已知時(shí)的估計(jì)方法（以重復(fù)抽樣為例）當(dāng)總體X→N(μ，σ2)，則抽自其中的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的均值也服從正態(tài)分布。即：正態(tài)總體且總體方差σ2已知時(shí)，不論是大樣本還是小樣本，建立置信區(qū)間所用的統(tǒng)計(jì)量都是——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量（Z)。即：對(duì)于給定的置信水平（1-α），可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表P350得出臨界值Zα/2使得：上式表明：在給定的顯著性水平α下，總體均值μ在1–α的置信水平下的置信區(qū)間為：抽樣平均誤差（樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差或樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差）的計(jì)算公式為：抽樣極限誤差（允許誤差

）

=臨界值×抽樣平均誤差于是，置信區(qū)間可以簡(jiǎn)寫(xiě)成：同理，不重復(fù)抽樣的情況下抽樣平均誤差的計(jì)算公式為抽樣極限誤差的計(jì)算公式為置信區(qū)間的計(jì)算公式仍然為區(qū)間估計(jì)例1：（正態(tài)總體-方差已知）某種零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9件，測(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4厘米。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，該批產(chǎn)品的總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.15厘米。要求以95%的置信度估計(jì)該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間。解：依題意得：零件長(zhǎng)度X→N(μ,0.152)

n=9,,σ=0.15，1-α=0.95，α=0.05，查P350的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得出臨界值為：Zα/2=Z0.05/2=Z0.025=Z1-α/2=Z1-0.025=Z0.975=1.96抽樣平均誤差：抽樣極限誤差：計(jì)算結(jié)果表明：在95%的置信水平下該種零件的平均長(zhǎng)度在21.302厘米至21.498厘米之間。所以在95%的置信水平下該種零件的平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間為：二、總體分布未知或非正態(tài)總體且大樣本時(shí)的估計(jì)方法（以重復(fù)抽樣為例）當(dāng)樣本容量（n)足夠大（n≥30)時(shí)，即使總體分布形式未知或者總體為非正態(tài)分布，根據(jù)中心極限定理可知：樣本均值()近似服從正態(tài)分布，因此，估計(jì)總體均值（μ）的方法和公式與正態(tài)總體且總體方差已知的情形相同，置信區(qū)間仍然是：在大樣本的情況下，當(dāng)總體方差（σ2）未知而用樣本方差（Sn-12）代替時(shí)，由于t分布可用正態(tài)分布近似，其他方法同前，只是此時(shí)的置信區(qū)間公式為：想一想，不重復(fù)抽樣的置信區(qū)間公式如何寫(xiě)？區(qū)間估計(jì)例2：（總體分布未知或非正態(tài)總體且大樣本、總體方差已知）某財(cái)經(jīng)大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查得到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。又知總體方差為36（分鐘)2，試以95%的置信水平估計(jì)該財(cái)經(jīng)大學(xué)全體學(xué)生每天平均參加體育鍛煉時(shí)間的置信區(qū)間。解：由于總體的分布形式未知，且總體方差σ2=36(分鐘)2已知，且樣本容量n=100>30為“大樣本”，故可以近似地認(rèn)為：樣本均值服從N(μ，σ2/n),依題意知道：查表得到：，于是：抽樣平均誤差：抽樣極限誤差：所以，在95%的置信水平下全校學(xué)生平均每天參加體育鍛煉時(shí)間μ的置信區(qū)間為：計(jì)算結(jié)果表明：在95%的置信水平下該財(cái)經(jīng)大學(xué)全校學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間在24.824分鐘至27.176分鐘之間。區(qū)間估計(jì)例3：（總體分布未知或非正態(tài)總體且大樣本、總體方差未知）在大興安嶺林區(qū)，隨機(jī)抽取了120塊面積為1公頃的樣地，根據(jù)調(diào)查測(cè)量求得每公頃林地平均出材量為88（m3)，標(biāo)準(zhǔn)差為10（m3）,試在99%的置信水平下估計(jì)大興安嶺林區(qū)每公頃地平均出材量的置信區(qū)間。解：總體分布形式和總體方差σ2均未知，但由于n=120>30,屬于大樣本，故可近似地采用正態(tài)分布處理，并用樣本方差代替總體方差。依題意又知：

,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：

于是：抽樣平均誤差：抽樣極限誤（允許誤差）所以，在99%的置信水平下大興安嶺林區(qū)每公頃地平均出材量的置信區(qū)間為：計(jì)算結(jié)果表明：在99%的置信水平下大興安嶺林區(qū)每公頃地平均出材量在85.645m3至90.355m3之間。區(qū)間估計(jì)例4：若例3中：1-α=0.95，其他條件不變此時(shí)，Zα/2=Z0.05/2=1.96

前題已計(jì)算出：抽樣平均誤差

σ（xˉ)=0.9129

于是：抽樣極限誤差E=Zα/2·σ(xˉ)=1.96×0.9129=1.789則置信區(qū)間為：88-1.789≤μ≤88+1.789即：

86.211≤μ≤89.789顯然，95%下的置信區(qū)間比99%下的置信區(qū)間縮小了。由此可見(jiàn)：置信度（1-α）越大，抽樣極限誤差（E）越大，置信區(qū)間就越大。反之置信度（1-α）越小，抽樣極限誤差（E）越小，置信區(qū)間就越小。三、正態(tài)總體、總體方差未知且小樣本時(shí)的估計(jì)方法（以重復(fù)抽樣為例）根據(jù)小樣本分布定理可知，在小樣本條件下，如果總體是正態(tài)分布、總體方差未知，而需用樣本方差代替，那么隨機(jī)變量：此時(shí)則需要采用t分布來(lái)建立總體均值的置信區(qū)間。t分布

t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的t分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，t分布也逐漸趨于正態(tài)分布Xt分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)對(duì)于給定的置信度(1-α)，可用P352的t分布表，查出臨界值tα/2(n-1)，使得：上式表明：在給定的顯著性水平α下，總體均值μ在1-α的置信度下的置信區(qū)間為：置信區(qū)間中的抽樣平均誤差和抽樣極限誤差公式抽樣平均誤差：（重復(fù)抽樣）抽樣極限誤差：同理，不重復(fù)抽樣的情況下抽樣平均誤差的計(jì)算公式為抽樣極限誤差的計(jì)算公式為置信區(qū)間的計(jì)算公式仍然為區(qū)間估計(jì)例5

（正態(tài)總體、總體方差未知且小樣本）設(shè)某上市公司的股票價(jià)格服從正態(tài)分布，為了掌握該上市公司股票的平均價(jià)格情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了26天的交易價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，測(cè)得平均價(jià)格為35元，方差為4(元2)，試以98%的置信度估計(jì)該上市公司股票平均交易價(jià)格的置信區(qū)間。解：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但n=26<30屬于小樣本，總體方差σ2未知，此時(shí)可以用樣本方差S2近似代替。1-α=0.98α=0.02查t分布表得出：又知：于是：抽樣平均誤差抽樣極限誤差所以在98%的置信水平下該公司股票交易價(jià)格μ的置信區(qū)間為：計(jì)算結(jié)果表明：在98%的置信度下該上市公司股票交易的平均價(jià)格在34.04元至35.96元之間?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)小結(jié)

小樣本未知大樣本已知總體分布未知或非正態(tài)總體

大樣本未知小樣本大樣本已知

正態(tài)總體

不重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣3.2.2總體比率的區(qū)間估計(jì)

（以重復(fù)抽樣為例）根據(jù)上面的樣本比例的抽樣分布定理可知：在大樣本和條件下，樣本比率服從正態(tài)分布。將樣本比率標(biāo)準(zhǔn)化后，它服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。右下?？傮w比率區(qū)間估計(jì)的抽樣平均誤差和抽樣極限誤差對(duì)于給定的置信度（1-α），查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的Zα/2，于是：抽樣平均誤差：抽樣極限誤差：總體比率的置信區(qū)間公式總體比率P在1-α的置信水平下的置信區(qū)間為：同理，若已知“總體容量N”，則“總體中某一部分單位總數(shù)NP”的置信區(qū)間為：同理，不重復(fù)抽樣的情況下抽樣平均誤差的計(jì)算公式為抽樣極限誤差的計(jì)算公式為置信區(qū)間的計(jì)算公式仍然為區(qū)間估計(jì)例5

（總體比率的區(qū)間估計(jì)）某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100個(gè)下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間。例6解：依題意：

n=100，p＝65%,1-=95%，Z/2=1.96

樣本比率的抽樣平均誤差：樣本比率的抽樣極限誤差例6解（續(xù)前）所以在95%置信度下該城市下崗職工中女性比例P的置信區(qū)間為：計(jì)算結(jié)果表明：在95的置信度下該城市下崗職工中女性比例的大致在為55.65%~74.35%之間。需要說(shuō)明的問(wèn)題（教材P141)雖然，樣本比率p隨著樣本容量n的增大而近似服從“正態(tài)分布”，但究竟樣本容量n應(yīng)該多大才能使樣本比率p近似服從正態(tài)分布呢？這與“樣本比率p的大小”有關(guān)。當(dāng)樣本比率p接近于0.5時(shí)，用較小的樣本就可以使p的分布趨于正態(tài)分布。但當(dāng)樣本比率p接近于0和1時(shí)，就需要用很大的樣本才能使p的分布趨于正態(tài)分布。統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.G.Kochran（柯克蘭）為此提出了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)可供參考。（續(xù)前）柯克蘭標(biāo)準(zhǔn)樣本比率p近似正態(tài)分布要求的樣本容量n

0.50.4—0.60.3—0.70.2—0.80.1—0.93050802006003.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)在研究生產(chǎn)過(guò)程和產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性、儀器和測(cè)量的精度等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往要求進(jìn)行總體方差的區(qū)間估計(jì)。在非正態(tài)總體或者總體分布形式未知的情況下，要進(jìn)行總體方差的區(qū)間估計(jì)，這是一件比較麻煩的事情。而在正態(tài)總體條件下進(jìn)行，則相對(duì)容易一些。下面我們僅討論正態(tài)總體的情形。設(shè)：x1、x2、…、xn來(lái)自N(μ,σ2)的正態(tài)總體，其中μ、σ2未知，則：σ2的估計(jì)量為s2且構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：從而對(duì)于給定的置信度1-α，查分布表

確定兩個(gè)臨界點(diǎn)：

：表示自由度（n-1)的

的

分位數(shù)；：表示自由度(n-1)的的分位數(shù)；（續(xù)前）（總體方差置信區(qū)間示意圖）0總體方差在的置信區(qū)（續(xù)前）于是對(duì)于給定的顯著性水平，使得：（續(xù)前）上式表明對(duì)于給定的置信度1-α總體方差的置信區(qū)間為：總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為：區(qū)間估計(jì)例8（總體方差區(qū)間估計(jì)）某自動(dòng)車床加工的某種零件長(zhǎng)度X，X→N(μ,σ2)，現(xiàn)隨機(jī)抽查16個(gè)零件，測(cè)得其方差為0.00244(mm)2，試以95%的置信度估計(jì)該種零件方差的置信區(qū)間。解：S2=0.002441-α=0.95，α=0.05，α/2=0.025查“χ2分布表”得：

χ20.025(16-1)=χ20.025(15)=27.488χ21-0.025(16-1)=χ20.975(15)=6.262例8解（續(xù)前）：在95%的置信度下總體方差的置信區(qū)間為：計(jì)算結(jié)果表明：該自動(dòng)車床加工的零件長(zhǎng)度方差在0.00133毫米至0.00584毫米之間。3.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)3.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)3.3.2兩個(gè)總體比率之差的區(qū)間估計(jì)3.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)3.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)一、引言二、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)：獨(dú)立樣本三、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)：匹配樣本一、引

言設(shè)兩個(gè)總體的均值分別為、，從兩個(gè)總體中分別抽去樣本容量為和的兩個(gè)隨機(jī)樣本，其樣本均值分別為和。估計(jì)兩個(gè)總體之差（）的樣本估計(jì)量顯然是兩個(gè)隨機(jī)樣本的均值之差（）。對(duì)于兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)，必須考慮兩個(gè)樣本是獨(dú)立樣本還是匹配樣本，以及兩個(gè)隨機(jī)樣本均值之差的抽樣分布。二、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)：

——獨(dú)立樣本（一）兩個(gè)正態(tài)總體、兩個(gè)總體方差均已知的情形（定理1）（二）兩個(gè)總體分布未知或?yàn)榉钦龖B(tài)分布且大樣本的情形（定理2）（三）兩個(gè)正態(tài)總體、兩個(gè)總體方差均未知且兩個(gè)樣本均為小樣本的情形（定理3）（一）兩個(gè)正態(tài)總體、兩個(gè)總體方差均已知的情形（定理1）若兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本（x11、x12、…、x1n1）和（x21、x22、…、x2n2）抽自于兩個(gè)正態(tài)總體和，且兩個(gè)正態(tài)總體的方差和已知，則不論兩個(gè)樣本的樣本容量和的大小如何，兩個(gè)樣本均值之差服從正態(tài)分布。即：∽（續(xù)前）而兩個(gè)樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。即：此時(shí)，兩個(gè)總體均值之差（）在1-α置信水平下的置信區(qū)間為：例題（略）（二）兩個(gè)總體分布未知或?yàn)榉钦龖B(tài)分布且大樣本的情形（定理2）若兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本（x11、x12、…、x1n1）和（x21、x22、…、x2n2）抽自于兩個(gè)總體分布未知或?yàn)榉钦龖B(tài)分布，且樣本容量和，則兩個(gè)樣本均值之差近似服從正態(tài)分布。即：∽（續(xù)前）而兩個(gè)樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。即：1、當(dāng)兩個(gè)總體方差和都已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差（）在1-α置信水平下的置信區(qū)間為：（續(xù)前）2、當(dāng)兩個(gè)總體方差和都未知時(shí)，可用兩個(gè)樣本方差和來(lái)代替，兩個(gè)總體均值之差（）在1-α置信水平下的置信區(qū)間為：區(qū)間估計(jì)例9

（兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)）某鄉(xiāng)為了估計(jì)兩個(gè)村小麥平均畝產(chǎn)之差，在這兩個(gè)村種植小麥的地塊中獨(dú)立地抽取兩個(gè)隨機(jī)樣本，得到有關(guān)數(shù)據(jù)如下：甲村的樣本容量為40，平均畝產(chǎn)為520千克，標(biāo)準(zhǔn)差25千克；乙村樣本容量為45，平均畝產(chǎn)為460千克，標(biāo)準(zhǔn)差為28千克。

試以95%的置信水平估計(jì)兩個(gè)村平均畝產(chǎn)之差的置信區(qū)間。例9解：依題意可知：，屬于大樣本，且，，屬于大樣本，且，查表得：，于是在95%的置信水平下兩個(gè)村小麥平均畝產(chǎn)量的置信區(qū)間為：即：（54.25，65.75），表明在95%的置信水平下兩個(gè)村小麥平均畝產(chǎn)之差在54.25千克至65.75千克之間。若兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本（x11、x12、…、x1n1）和（x21、x22、…、x2n2）抽自于兩個(gè)正態(tài)總體和，且兩個(gè)正態(tài)總體的方差和未知，且樣本容量n1<30和n2<30，兩個(gè)樣本均值之差服從t分布.分兩種情況：1、若兩個(gè)總體方差相等（方差具有齊性），即，此時(shí)，則需要用兩個(gè)樣本方差和來(lái)估計(jì)，必須將兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)組合在一起，以給出總體方差的共同樣本方差

，計(jì)算公式為：（三）兩個(gè)正態(tài)總體、兩個(gè)總體方差均未知且兩個(gè)樣本均為小樣本的情形（定理3）（續(xù)前）這時(shí)，兩個(gè)樣本均值之差經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化以后服從自由度為的t分布，即：此時(shí)，兩個(gè)總體均值之差（）在1-α置信水平下的置信區(qū)間為：2、當(dāng)兩個(gè)總體的方差不相等（即方差不具有齊性）即、而且兩個(gè)樣本的容量也不相等（即）時(shí)，兩個(gè)樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后不再服從自由度為的t分布，而是近似服從自由度為v的t分布，自由度v的計(jì)算公式為：此時(shí)，兩個(gè)總體均值之差在1-α置信水平下的置信區(qū)間為：例從甲乙兩種機(jī)床加工的零件中隨機(jī)抽取容量分別為8件和7件的樣本測(cè)得直徑數(shù)據(jù)如下：20.519.819.720.420.120.019.019.920.719.819.520.820.419.620.2甲乙要求：在95%的置信度下估計(jì)兩種零件平均直徑之差的置信區(qū)間。（手工計(jì)算不要求，關(guān)鍵是能看懂SPSS輸出結(jié)果）。SPSS輸出結(jié)果如下：樣本容量樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值之差樣本均值之差的抽樣分布標(biāo)準(zhǔn)差方差齊性檢驗(yàn)總體均值之差的在95%置信度下的置信區(qū)間解因?yàn)镕統(tǒng)計(jì)量的P值sig,=0.444>α=0.05，所以不拒絕的原假設(shè)，因此兩個(gè)總體均值之差在95%的置信度下的置信區(qū)間為【-0.7684,0.3327】。若方差不等則選擇【-0.7768,0.3411】方差相等方差不相等三、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

——匹配樣本匹配樣本（matchedsample）是指一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)與另一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)。例如：為了考察用兩種方法組裝產(chǎn)品所需要的時(shí)間，我們先隨機(jī)安排12個(gè)工人用第一種方法組裝產(chǎn)品考察其所需時(shí)間，然后再安排這12個(gè)工人用第二種方法組裝產(chǎn)品考察其所需時(shí)間，這樣得到的兩組組裝產(chǎn)品所需時(shí)間的數(shù)據(jù)，就是“匹配數(shù)據(jù)”。匹配樣本，可以消除由于樣本安排的不公平造成的兩種方法在組裝時(shí)間上的差異。1、在匹配樣本且大樣本的條件下，兩個(gè)總體均值之差在（1-α）的置信水平下的置信區(qū)間為：設(shè)：（）和（）為一對(duì)匹配數(shù)據(jù)，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的差值分別為則各差值的均值各差值的標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)總體差值的標(biāo)準(zhǔn)差σd未知時(shí)，可用樣本差值的標(biāo)準(zhǔn)差sd來(lái)代替。2、在匹配樣本且大樣本的條件下，兩個(gè)總體均值之差在（1-α）的置信水平下的置信區(qū)間為：總體樣本例從新舊兩款飲料中隨機(jī)抽取容量8家商店的樣本測(cè)得銷售量數(shù)據(jù)如下（百瓶）新款要求：在95%的置信度下估計(jì)新舊兩款飲料平均銷售量之差的置信區(qū)間。（手工計(jì)算不要求，關(guān)鍵是能看懂SPSS輸出結(jié)果）。

5.0 6.04.0 6.07.0 7.03.0 4.05.0 3.08.0 9.05.0 7.06.0 6.0舊款3.3.2兩個(gè)總體比率之差的區(qū)間估計(jì)根據(jù)抽樣分布的原理可知：從兩個(gè)二項(xiàng)分布總體中抽出兩個(gè)獨(dú)立的樣本，在大樣本的情況下，則兩個(gè)樣本比率之差的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。同樣，將兩個(gè)樣本比率之差經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。即：（續(xù)前）由于兩個(gè)總體比率和通常是未知的，可用樣本比率和來(lái)代替。因此，根據(jù)正態(tài)分布建立的兩個(gè)總體比率之差（）在1-α得置信水平下的置信區(qū)間為：例題(略)。3.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)由于兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布服從

分布，因此我們用F分布來(lái)構(gòu)造兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間。用F分布構(gòu)造的兩個(gè)總體的置信區(qū)間如下圖所示：0F總體方差比在（1-α）的置信區(qū)間（續(xù)前）建立兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間，就是要找到F值，使其滿足。根據(jù)抽樣分布知識(shí)，可以得到兩個(gè)總體方差比在（1-α）置信水平下的置信區(qū)間為：例題(略)。3.4樣本容量的確定3.4.1確定樣本容量的必要性3.4.2確定抽樣容量的關(guān)鍵問(wèn)題3.4.3估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定3.4.4估計(jì)總體比率時(shí)樣本容量的確定3.4.1確定樣本容量的必要性樣本容量（n)，它是指一個(gè)樣本中所包含的總體單位個(gè)數(shù)。一般地，抽取的數(shù)目n≥30，稱為大樣本；抽取的數(shù)目n<30，稱為小樣本。對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的抽樣調(diào)查，一般采用大樣本。前面的討論是假設(shè)樣本容量(n)是已知的，但在實(shí)際問(wèn)題中，需要自己設(shè)計(jì)抽樣調(diào)查方案，此時(shí)，如何確定樣本容量(n)，就大有學(xué)問(wèn)。如果n確定得太大，雖然調(diào)查誤差很小，但調(diào)查