2023－2024學(xué)年普通高中高二（上）期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線在y軸上的截距為（）A. B. C.1012 D.2024【答案】B【解析】【分析】利用截距的定義，結(jié)合直線方程即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，得，所以直線在y軸上的截距為.故選：B.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，則等于（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2048【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)與求和公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.3.直線m，n的方向向量分別為，平面的法向量為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，計(jì)算向量的數(shù)量積，進(jìn)行判斷.【詳解】若，則與共線向量，故A錯(cuò)誤；若，則與共線向量，故B錯(cuò)誤；若，則，故C錯(cuò)誤；若，則，故D正確，故選：D4.直線與平行，則a的值為（）A.0 B. C.或0 D.或0【答案】C【解析】【分析】利用直線平行求得，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，，顯然平行，滿足題意；當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，，也平行，滿足題意；綜上，或.故選：C.5.2023年9月第14屆中國國際園林博覽會(huì)在安徽合肥舉行．某媒體甲、乙、丙三名記者去河南園、北京園、香港園進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道，若每個(gè)地方恰有一名記者，則甲去河南園的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.【詳解】記河南園、北京園、香港園分別為，則樣本空間(甲1，乙2，丙3)，(甲1，乙3，丙2)，(甲2，乙1，丙3)，(甲2，乙3，丙1)，(甲3，乙2，丙1)，(甲3，乙1，丙2)}，共6個(gè)基本事件，則甲去河南園的基本事件有2件，所以甲去河南園的概率為.故選：A.6.直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則（O為拋物線頂點(diǎn)）的值為（）A. B. C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程求得，從而利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】由，得，易得，設(shè)，則，.故選：B.7.如圖，在平行六面體中，，，，，則等于（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】先用向量線性運(yùn)算表示出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算，從而得解.【詳解】依題意，設(shè),，，因?yàn)?，所以，，，，又，所?故選：A.8.如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的左支交于點(diǎn)A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線漸近線方程為．故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.方程（為常數(shù)）表示的曲線可能是（）A.直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意取不同的值代入方程，可得方程所表示的曲線的形狀，從而可得出答案.【詳解】解析：若，方程表示直線；若，方程表示橢圓；若，方程表示雙曲線；，方程不表示任何曲線；由于方程沒有一次項(xiàng)，方程不可能表示拋物線．故選：ABC．10.如圖，在正四棱柱中，M是的中點(diǎn)，，則（）A. B.平面C.二面角的余弦值為 D.到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，，則，所以不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，所以，是平面的一個(gè)法向量，即平面，故B正確；對(duì)于C，易知平面的一個(gè)法向量，而，所以二面角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，到平面的距離，故D正確.故選：BCD.11.九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載．九連環(huán)一般是用金屬絲制成圓形小環(huán)九枚，九環(huán)相連，套在條形橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄．玩時(shí)，按照一定的程序反復(fù)操作，可使9個(gè)環(huán)分別解開，或合二為一，假設(shè)環(huán)的數(shù)量為，解開n連環(huán)所需總步數(shù)為，解下每個(gè)環(huán)的步數(shù)為，數(shù)列滿足：，，，則（）A. B.C. D.成等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意逐一計(jì)算與的前6項(xiàng)，從而判斷ABC，利用，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷D，從而得解.【詳解】因，，，所以，，，，故AC正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，則，所以不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，如圖，過的直線與C交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，，，設(shè)C的離心率為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量的知識(shí)，結(jié)合橢圓的定義與勾股定理求得所需線段關(guān)于的表示，從而利用離心率的定義與余弦定理逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，?duì)于A，依題意，設(shè)，則，如圖，在中，，則，故或(舍去)，所以，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，則，在中，，即，故B正確；對(duì)于C，在中，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可得，，在中，，整理得，故，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將各線段用表示出來，從而得解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．13.已知，平面的法向量，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用直線與平面垂直得到直線的方向向量與平面的法向量共線，從而利用空間向量平行的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)椋耘c共線，又，，則，所以，.故答案為：.14.已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上的點(diǎn)，則周長的最小值為______．【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義求得，從而得解.【詳解】依題意，，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，分別過點(diǎn)作，為垂足，則，如圖，則，所以周長.故答案為：.15.圓與的位置關(guān)系為______；與圓，都內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為______．【答案】①.內(nèi)含②.【解析】【分析】先利用圓心距與兩半徑之差的比較得到兩圓位置關(guān)系；再利用兩圓內(nèi)切推得，從而利用橢圓的定義即可得解.【詳解】依題意，圓心，半徑，圓心，半徑，所以，則兩圓內(nèi)含；設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，則，，依橢圓的定義知，的軌跡為橢圓，其中，又，所以的軌跡方程為.故答案：內(nèi)含；.16.已知數(shù)列滿足．且，若，則________．【答案】2024【解析】【分析】利用構(gòu)造法與迭代法求得，從而利用并項(xiàng)求和法即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，則，所以，故，則，所以，則的各項(xiàng)分別為，所以.故答案為：2024【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于將推遞關(guān)系式化得，從而求得，由此得解.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知圓，直線．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)圓的面積最大時(shí)，求直線被圓截得的弦長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將圓的一般方程進(jìn)行配方，從而由半徑大于0得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.（2）利用配方法求得圓的面積取得最大值時(shí)的值，從而利用弦長公式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)閳A，可化為，由，得，故的取值范圍為.【小問2詳解】因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，半徑取得最大值，則圓的面積最大，此時(shí)，圓的方程為，圓心到直線的距離，則所求弦長為，故當(dāng)圓的面積最大時(shí)，直線被圓截得的弦長為.18.如圖，四棱錐中，都為等腰直角三角形，，，，，為的中點(diǎn)．（1）與平面是否平行？請(qǐng)說明理由；（2）求與平面所成角的余弦值．【答案】（1）不平行，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得與平面的法向量，從而得以判斷；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求得與平面法向量，從而得解.【小問1詳解】都為等腰直角三角形，，平面，所以平面，又，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，易知平面的一個(gè)法向量為，則，所以與平面不平行.【小問2詳解】由（1）得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，又，則，所以.故直線與平面所成角的余弦值為.19.在第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)上中國乒乓球隊(duì)勇奪6金．比賽采用“11分制”規(guī)則：11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位亞運(yùn)選手進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.7，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．（1）求且甲獲勝；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）分析所求概率對(duì)應(yīng)的情況，再利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式即可得解.【小問1詳解】“且甲獲勝”就是平后，兩人又打了2個(gè)球比賽結(jié)束，則這兩個(gè)球均是甲得分.因此，且甲獲勝.【小問2詳解】就是平后，兩人又打了4個(gè)球比賽結(jié)束，4個(gè)球的得分情況是：前2個(gè)球甲、乙各得1分，后2個(gè)球均是甲得分或均是乙得分，設(shè)事件“且甲獲勝”，事件“且乙獲勝”，則，，.20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到的距離，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與曲線的焦點(diǎn)相同，且長軸長是短軸長的倍．（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）有心圓錐曲線（橢圓，圓，雙曲線）有下列結(jié)論：若為曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，則切線的方程為．利用上述結(jié)論，解答問題：過作橢圓的切線（為切點(diǎn)），求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用拋物線與橢圓的定義與性質(zhì)即可得解；（2）先根據(jù)題意得到直線的方程，聯(lián)立方程求得，進(jìn)而求得弦長，再利用點(diǎn)線距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，從而得解.【小問1詳解】由拋物線定義可知，曲線為拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)，則，所以的方程為；由，即，又，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問2詳解】設(shè)，由上述結(jié)論知，過點(diǎn)的橢圓的切線方程分別為，因?yàn)樵趦蓷l切線上，所以，即，則點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，故直線的方程為，聯(lián)立，得，解得，所以，而點(diǎn)到直線的距離，所以.21.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系式，結(jié)合累乘法即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，整理得，即，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，則兩式相減得，，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握數(shù)列的相關(guān)方法：公式法、累乘法、錯(cuò)位相減法，是解決本題的關(guān)鍵.22.已知雙曲線過點(diǎn)，離心率為，斜率為k的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為0．（1）求雙曲線C的方程；（2）是否存在直線l，使得是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）利用離心率與雙曲線過點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）假設(shè)存在這樣的直線，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，從而利用直線的斜率之和為0求得，再由等腰三角形三線合一求得，再檢驗(yàn)即可得解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，即，所以，則，因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以，即，解得，則所以