求極限的常用方法課件contents目錄極限概念及其性質序列求極限方法函數(shù)求極限方法多元函數(shù)求極限技巧應用實例分析與討論總結回顧與拓展延伸極限概念及其性質01極限定義當自變量趨近于某一點或無窮時，函數(shù)值趨近于某一常數(shù)，則稱該常數(shù)為函數(shù)在該點的極限。幾何意義函數(shù)在某點處的極限，可以看作是該點附近函數(shù)圖像的變化趨勢。當自變量趨近于該點時，函數(shù)值越來越接近極限值，函數(shù)圖像也越來越接近極限值對應的水平直線。極限定義及幾何意義若函數(shù)在某區(qū)間內被兩個函數(shù)夾逼，且這兩個函數(shù)在該點的極限存在且相等，則該函數(shù)在該點的極限也存在且等于這兩個函數(shù)的極限值。若函數(shù)在某點的極限為不確定型，則可以通過求導數(shù)的極限來得到原函數(shù)的極限值。極限存在性定理洛必達法則夾逼定理當自變量趨近于某一點或無窮時，函數(shù)值趨近于零的函數(shù)稱為無窮小。無窮小當自變量趨近于某一點或無窮時，函數(shù)值趨于正無窮或負無窮的函數(shù)稱為無窮大。無窮大無窮小與無窮大概念極限的四則運算法則若函數(shù)在某點的極限存在，則可以通過四則運算法則求得該函數(shù)與其他函數(shù)在該點的極限值。復合函數(shù)的極限運算法則若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算和復合得到的，則可以通過分解復合函數(shù)的方法，求得該函數(shù)在某點的極限值。極限運算法則序列求極限方法02若存在兩個收斂序列，使得原序列始終位于這兩個收斂序列之間，則原序列收斂，且極限值等于這兩個收斂序列的極限值。夾逼定理通過適當?shù)姆糯蠡蚩s小，將原序列夾在兩個易于求極限的序列之間，從而求得原序列的極限。放大縮小法夾逼原理單調遞增（或遞減）且有上界（或下界）的序列必定收斂。單調有界定理通過構造函數(shù)或不等式，將原序列轉化為單調有界序列，從而求得原序列的極限。構造法單調有界原理定積分求和公式對于某些特殊形式的序列，可以通過定積分求和公式求得其極限值。積分估值法通過積分估值定理，將序列求和轉化為定積分求解，從而得到序列的極限值。定積分求和法VS對于具有遞推關系的序列，可以通過遞推關系式求得其通項公式，進而求得極限值。特征根法對于線性遞推關系式，可以通過求解其特征根，得到通項公式，從而求得序列的極限值。遞推關系式遞推關系式求解法函數(shù)求極限方法03將函數(shù)中的自變量直接代入所求的極限值，計算函數(shù)值即為極限值。定義適用范圍注意事項適用于初等函數(shù)在其定義域內的連續(xù)點處求極限。若代入后計算結果為無窮大或無法確定，則不能直接代入，應考慮其他方法。030201直接代入法通過因式分解、約分等方法消去函數(shù)表達式中的零因子，再求極限。定義適用于函數(shù)表達式中存在零因子的情況，如“0/0”型或“∞/∞”型等。適用范圍消去零因子后，應驗證所得結果是否與原函數(shù)表達式等價，以避免出錯。注意事項消去零因子法適用范圍適用于“0/0”型或“∞/∞”型等不定式極限的計算。定義利用導數(shù)和極限的關系，通過求導計算極限值的方法。注意事項在使用洛必達法則之前，應先驗證函數(shù)是否滿足法則的使用條件；同時，洛必達法則并非萬能，有些情況下可能無法使用或得到錯誤結果。洛必達法則適用范圍適用于較復雜的函數(shù)求極限，尤其是當函數(shù)不易直接代入或消去零因子時。注意事項在使用泰勒公式法時，應根據(jù)函數(shù)的性質和所求極限的特點選擇合適的展開點和展開階數(shù)，以保證計算結果的準確性。定義利用泰勒公式將函數(shù)展開成多項式形式，再求極限的方法。泰勒公式法多元函數(shù)求極限技巧04當多元函數(shù)在某點處連續(xù)時，可直接代入該點的坐標值求解極限。直接代入法當多元函數(shù)在某點處不連續(xù)時，需選擇不同路徑趨近于該點，并分別求解極限，判斷其是否存在且相等。路徑選擇法利用夾逼定理求解多元函數(shù)的極限，需找到兩個一元函數(shù)，使得被求函數(shù)在這兩個函數(shù)之間，并證明這兩個函數(shù)的極限相等。夾逼定理法路徑選擇與判斷技巧通過消元將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù)，從而簡化計算過程。常用方法有拉格朗日乘數(shù)法和極坐標變換法等。利用等價無窮小替換法將多元函數(shù)中的復雜項替換為簡單項，從而簡化計算過程。需注意替換的合法性和替換后的精度問題。消元法等價無窮小替換法轉換為一元函數(shù)進行處理向量的模長與方向利用向量的模長和方向的性質，將多元函數(shù)的極限問題轉化為向量的極限問題，從而簡化計算過程。向量的點積與叉積利用向量的點積和叉積的性質，將多元函數(shù)的極限問題轉化為向量的運算問題，降低計算難度。需注意運算的合法性和運算后的精度問題。利用向量運算性質簡化計算過程應用實例分析與討論05物體在某一時刻的瞬時速度可以通過求極限得到，即物體在極短時間內通過的位移與時間的比值。瞬時速度物體的密度可以通過求極限得到，即物體的質量與其體積的比值在體積趨近于零時的極限。密度點電荷在某一點的電場強度可以通過求極限得到，即點電荷在該點產生的電場力與該點距離的比值在距離趨近于零時的極限。電場強度物理問題中遇到的各類極限求解實例應力分析在工程中，構件的應力分析需要考慮極限狀態(tài)，如構件的極限承載能力、極限變形等，這些都可以通過求極限得到。要點一要點二優(yōu)化設計在機械、土木等工程領域，經常需要優(yōu)化設計，如最小成本、最大效益等問題，這些都可以通過求極限來解決。工程問題中涉及到的極限求解案例參數(shù)估計在經濟數(shù)學模型中，需要對模型的參數(shù)進行估計，這些參數(shù)往往是某些經濟指標的極限值，如市場需求、供給的極限等。優(yōu)化問題經濟數(shù)學模型中經常涉及到優(yōu)化問題，如最大化利潤、最小化成本等，這些都可以通過求極限來解決。經濟數(shù)學模型中相關參數(shù)估計和優(yōu)化問題總結回顧與拓展延伸06回顧極限的ε-δ定義、數(shù)列極限的定義等，加深對極限概念的理解。極限的定義總結極限的保號性、唯一性、有界性等性質，及其在求極限過程中的應用。極限的性質回顧直接代入法、無窮小替換法、洛必達法則等求極限的方法，掌握其適用條件和步驟。求極限的常用方法關鍵知識點總結回顧計算錯誤01分析在求極限過程中因計算失誤導致的錯誤，如加減乘除運算錯誤、指數(shù)對數(shù)運算錯誤等，提出避免策略。概念理解錯誤02辨析在理解極限概念時可能出現(xiàn)的誤區(qū)，如將無窮大與無界混淆、忽視極限存在的條件等，強調正確理解概念的重要性。方法選擇不當03討論在選擇求極限方法時可能出現(xiàn)的偏差，如盲目使用洛必達法則、忽視等價無窮小替換的條件等，強調根據(jù)具體問題選擇合適的方法。常見錯誤類型辨析及避免策略探討導數(shù)與微分概念