重難點(diǎn)18導(dǎo)數(shù)在不等式、恒成立及存在問題中的應(yīng)用（4種考法）【目錄】考法1：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考法2：不等式恒成立與存在性問題考法3：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題考法4：導(dǎo)數(shù)中極值點(diǎn)偏移問題題型方法考法1：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式題型方法一、解答題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)是的兩個極值點(diǎn)，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)性，（2）將代入化簡將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以?dāng)時，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的減區(qū)間為的增區(qū)間為．（2）因?yàn)榇嬖趦蓚€極值點(diǎn)，由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)時，存在兩個極值點(diǎn)，要證，即證．因?yàn)?，所以只要證，即證．設(shè)，，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，．即原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若是函數(shù)的一個極值，求實(shí)數(shù)的值；(2)求證：當(dāng)時，．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）令，解得的值后，驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)條件可知當(dāng)時，，可轉(zhuǎn)化為，證明，即證即可.【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)楫?dāng)時，函數(shù)取得極值，所以，即，所以或．①當(dāng)時，，設(shè)，則，則時，當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，所以00極小值所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值．②當(dāng)時，，同理可證：當(dāng)時，函數(shù)取得極小值．綜上，或．（2）當(dāng)時，．因?yàn)椋?，即，所以，所以在上是增函?shù)，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，．下面證明，即證．令，則．令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.3．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，然后分和討論分別求單調(diào)性；（2）當(dāng)時，通過證明可得結(jié)論；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，不等式兩邊分別構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最值即可得結(jié)論.【詳解】（1）由已知，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，得，函數(shù)單調(diào)遞增，若，得，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由，得，即證，①當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，所以所以成立；②當(dāng)時，要證成立，即證設(shè)函數(shù)，，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，綜上：成立.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)：找到中間量，通過證明，兩邊構(gòu)造函數(shù)來證明.4．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）函數(shù)(1)已知在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若在定義域上是單調(diào)函數(shù)，滿足，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由函數(shù)零點(diǎn)的意義，構(gòu)造函數(shù)，再分類探討在上存在零點(diǎn)即得.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用單調(diào)函數(shù)求出并確定單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合已知，借助基本不等式推理即得.【詳解】（1），由，得，令，依題意，在上至少有一個零點(diǎn)，函數(shù)的圖象對稱軸為：，①當(dāng)時，在上恰有一個零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時，有，則在上是增函數(shù)，而，因此在上必有一個零點(diǎn)，符合題意；③當(dāng)時，有，則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，由在上至少有一個零點(diǎn)，得，則，所以的取值范圍為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)的圖象開口向下，得恒成立，即恒成立，于是，且函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，此時，要證，即證，結(jié)合在上是減函數(shù)，只需證，而，即證，令，當(dāng)時取等號，因此成立，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．5．（2024·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知，其中.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：當(dāng)時，.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意求導(dǎo)后分類討論即可求得答案；（2）先求得，再將原式轉(zhuǎn)化為證明，通過二次求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而即可得證.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，此時單調(diào)遞增，令，得，此時單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，增區(qū)間為，無減區(qū)間當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）因?yàn)椋?，所以，，要證，即證，即證，即證，設(shè)，則，令，則對恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以時，，所以對恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以時，，即成立，故原式得證【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式恒成立問題，常見方法如下：（1）構(gòu)造函數(shù)法：通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；（2）放縮法：一是利用題目中已知條件進(jìn)行放縮，二是利用常見的二級結(jié)論進(jìn)行放縮；（3）同構(gòu)法：指數(shù)和對數(shù)同時出現(xiàn)，往往將不等式形式進(jìn)行變形，通過同構(gòu)化簡不等式進(jìn)而證明即可.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知條件求出，分情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）可判斷出，結(jié)合，得出，設(shè)，化簡得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證，然后換元，令，即證成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可得證．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，所以在上單調(diào)遞增；由得，所以在上單調(diào)遞減；故時，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：，，由（1）可知，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，故不存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，所以．由得，即，不妨設(shè)，則，則，要證，只需證，即證，只需證，令，則只需證，即證，令，則，所以在上是增函數(shù)，所以，從而，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，方程的解為，若，則可以認(rèn)為函數(shù)在區(qū)間上“極值點(diǎn)偏移”．極值點(diǎn)偏移問題的一般處理方法有：（1）（對稱構(gòu)造）構(gòu)造輔助函數(shù)：對于型，構(gòu)造函數(shù)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式；（2）（比值代換）通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明；（3）（差值代換）通過代數(shù)變形，將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.7．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）（1）已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)），記的最小值為，求證：；（2）若對恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，即，然后得到，進(jìn)而證明不等式；（2）將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和最值，證明恒成立，求出的取值范圍.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，因?yàn)?，，?dāng)時，即，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，所以，因?yàn)?，所以，?綜上，.（2），即，所以，即，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，即，即，即，令，，?dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，，所以，所以，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將原不等式進(jìn)行構(gòu)造，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用分離參數(shù)思想再求最值即可.8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上存在兩個極值點(diǎn)，．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可知在上有兩個極值點(diǎn)，即在有兩個相異實(shí)數(shù)根，分類討論即可，注意函數(shù)極值點(diǎn)存在的條件；（2）由（1）可得，，結(jié)合化簡可得，利用基本不等式即可證明.【詳解】（1）由題意，可得，不妨設(shè)．當(dāng)時，．函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?dāng)時，存在唯一實(shí)數(shù)，使得．又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，在上存在極小值點(diǎn)．當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?dāng)時，存在唯一實(shí)數(shù)．使得．又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，在上存在極大值點(diǎn)．又，所以a的取值范圍是．（2）由，得．所以．同理．因?yàn)?，所以．又，所以，所以，所以（舍去）或，所以．因?yàn)椋郑缘忍柌怀闪ⅲ裕军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)討論函數(shù)的極值點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解（2）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識可得，即，利用基本不等式即可證明.9．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若的最小值為1，求；(2)設(shè)為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值，（2）構(gòu)造函數(shù)，利用極值點(diǎn)偏移即可求證，進(jìn)而結(jié)合不等式的關(guān)系即可求證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增.又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）由，得，即即.由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè).令，則.當(dāng)時，，所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即，又，所以.因?yàn)椋?dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，分離參變量，結(jié)合基本不等式求解；（2）方法一：設(shè)，可得在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即可證得結(jié)論；方法二：要證，即要證．記，則只要證．記，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增．所以，即可證出結(jié)論．【詳解】（1）由題意，得．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即在上恒成立，所以在上恒成立．因?yàn)楫?dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以，解得．所以的取值范圍為．（2）方法一：設(shè)．由（1）知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即．所以．故．方法二：要證，即要證，即要證．記，則只要證．記，則．記，則，所以在上單調(diào)遞增．所以在上單調(diào)遞增，所以．所以在上單調(diào)遞增，所以．所以成立．故．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的極值；(2)當(dāng)時，函數(shù)的正零點(diǎn)從小到大依次為．證明：①；②．【答案】(1)極小值為，沒有極大值(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，判單調(diào)性得極值；（2）①求導(dǎo)，判單調(diào)性得在內(nèi)無零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)范圍，構(gòu)造函數(shù)命題得證；②分和，三種情況結(jié)合單調(diào)性最值和零點(diǎn)存在定理證明判斷零點(diǎn)所在區(qū)間即可【詳解】（1）因?yàn)?，則，令，因?yàn)椋?，?dāng)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得極小值，沒有極大值．（2）證明：①當(dāng)時，，則令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞增，又，所以．所以在內(nèi)無零點(diǎn)，則，由，知，令，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即．②當(dāng)時，故在上無零點(diǎn)．當(dāng)，時，，故在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞增，又，（因?yàn)楫?dāng)，所以單調(diào)遞增，所以進(jìn)而），所以在上有一個零點(diǎn)．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，所以，使得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又又，所以在上有且只有一個零點(diǎn)，所以在上各有一個零點(diǎn)，所以在上的兩個零點(diǎn)分別為，所以．又，所以．綜上，．【點(diǎn)睛】第二問把區(qū)間利用三角函數(shù)性質(zhì)把定義域分成三部分分別討論得零點(diǎn)范圍是此題的關(guān)鍵.考法2：不等式恒成立與存在性問題一、解答題1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【分析】（1）對求導(dǎo)得到，再根據(jù)極值的定義即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，分離常量得到，構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化成求的最大值，即可解決問題.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，由，得到，又，當(dāng)時，，時，，所以在處取到極小值，極小值為，無極大值.（2）由恒成立，得到恒成立，即恒成立，又，所以恒成立，令，則，令，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，時，，即時，，時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴，第（2）問中的恒成立問題，常用的方法，一是直接構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值；二是通過參變分離，再構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)最值來解決問題.2．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)判斷是否存在x，使得，若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)不存在x，使得，理由見解析(2)答案見解析【分析】（1）原不等式等價于，結(jié)合換元法即可證明這不可能成立.（2）第二問首先換元，然后連續(xù)求導(dǎo)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】（1）不存在x，使得，理由如下：若成立，則，整理得，然而當(dāng)時，，不妨設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即對于任意的，不可能成立，綜上所述，不存在x，使得.（2）當(dāng)時，，所以此時，求導(dǎo)得，繼續(xù)求導(dǎo)得，所以單調(diào)遞減，而，，所以存在唯一的使得，且當(dāng)時，，此時關(guān)于單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時關(guān)于單調(diào)遞增減，又關(guān)于在上單調(diào)遞增，所以存在唯一，使得，且當(dāng)即時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時關(guān)于單調(diào)遞增，當(dāng)即時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時關(guān)于單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，其中，即滿足.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問關(guān)鍵是將不等式變形為，然后利用換元法即可，第二問的關(guān)鍵是要構(gòu)造利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性來討論.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分類討論，再證充分性即可;（2）將恒成立問題分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為最值問題，借助導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理計算即可.【詳解】（1）結(jié)合題意:的定義域?yàn)?所以，若，在上遞增，至多一個零點(diǎn)，不合題意，若，，在上遞增，在上遞減，所以．下面證明充分性：，故在上有一個零點(diǎn)，，令，，所以，所以，故在上有一個零點(diǎn)．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2），令，則．令，所以在上遞增，又，因此在上有唯一零點(diǎn)所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，且，所以．令，則，所以在上遞增，，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.4．（2024·廣東廣州·鐵一中學(xué)校考一模）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.(1)若在不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意可知在有變號零點(diǎn)，由此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可求得答案；（2）法一：采用分離參數(shù)法，將原不等式變?yōu)榧礊樵诤愠闪?，?gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，即可求得答案；法二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得函數(shù)最小值，結(jié)合解不等式即可求得答案.【詳解】（1）；因?yàn)樵诓皇菃握{(diào)函數(shù)，所以在上有變號零點(diǎn)；因?yàn)楹愠闪?，令，則在上有變號零點(diǎn)；因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，?dāng)?shù)闹第吔裏o限大時，趨近于正無限大，a為待定的參數(shù)，故趨近于正無限大，故只需，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）（法一）令，因?yàn)樵诤愠闪?，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在恒成立，即為在恒成立，令，則，令，則在恒成立，所以在上單調(diào)遞減；因?yàn)?；所以有唯一零點(diǎn)，且當(dāng)時，，即，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，所以在單調(diào)遞減；所以；所以實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值為.（法二），由（1）得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以成立.當(dāng)時，存在，使得當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，令得；解之得.綜上，，所以實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決不等式恒成立問題，常用方法有：（1）將原不等式變形整理，分離參數(shù)，繼而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題解決；（2）直接構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.5．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，若存在，不等式成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)函數(shù)在，上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）對求導(dǎo)，令，判斷與的大小，即可求出的單調(diào)性，則在恒成立，則，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為在上能成立，令，對求導(dǎo)，可求出，即可求出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，∴令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又∵，∴當(dāng)時，，∴，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞減.（2）∵，且，，∴，∴，∴，∴.∵，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴只需在上能成立，∴兩邊同時取自然對數(shù)，得，即在上能成立.令，則，∵當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴，又，∴，∴實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵點(diǎn)在于由的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為在上能成立，令，對求導(dǎo)，可求出，即可求出實(shí)數(shù)的最大值.6．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍；(2)若在上有極值點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)討論的取值，判斷單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值，即可求的范圍；(2)利用作差法構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和最值，即可證明不等式.【詳解】（1）時，，令，則，令，則有恒成立，，當(dāng)時，在上恒成立（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即恒成立，當(dāng)，，因?yàn)榈膱D象是連續(xù)不斷的，故存在，使得，有，故在上為增函數(shù)，故，有，這與題設(shè)矛盾，故.（2）令，則，令，則令，則有，即，設(shè)，，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即，，得，，令，，，在上單調(diào)遞增，，．時，，，則，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，不等式恒成立，以及求參數(shù)問題，本題的關(guān)鍵是巧妙換元令，這樣可巧妙構(gòu)造函數(shù).7．（2023·福建廈門·廈門一中?？既＃┮阎瘮?shù).(1)若，設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)令，若存在，使得，求的取值范圍.【答案】(1)在和上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）先寫出，求，二次求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，得出，從而得出在和上單調(diào)遞減，需注意單調(diào)性在各個區(qū)間上分開描述；（2）先寫出，求，討論在上的最小值，使，解出的取值范圍，最后取并集即可.【詳解】（1）.∴.令，則，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴，即∴在和上單調(diào)遞減.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?①當(dāng)時，則，則當(dāng)時，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，∴存在，使得的充要條件是，即，解得；②當(dāng)時，則，則當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴存在，使得的充要條件是，而，不符合題意，應(yīng)舍去.③若時，，成立.綜上可得：的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）第一步：求函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，第二步：分，分別討論的正負(fù)，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）第一步：轉(zhuǎn)化不等式，第二步：構(gòu)造新函數(shù)并求導(dǎo)，第三步：分，分別討論的單調(diào)性，求出其最值，第四步：總結(jié)，得的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由，得，由，得，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）當(dāng)時恒成立，等價于當(dāng)時，恒成立．

設(shè)，則當(dāng)時，恒成立，．

①當(dāng)時，由可得，，，又，，在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時．恒成立．

②當(dāng)時，令，則．，，，且，因此，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，．當(dāng)，即時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．，當(dāng)時，恒成立．

當(dāng)，即時，，．，，而，因此，故，

而在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時，，不符合題意．綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性．當(dāng)給定函數(shù)含有參數(shù)時，往往需分類討論，此時應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性．9．（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)后對分類討論即可得；（2）由函性質(zhì)可得時，，則，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分類討論計算即可得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時，令，得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，令，得或，?。┊?dāng)時，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，ⅱ）當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，ⅲ）當(dāng)時，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時，令，則，時，，則，故，則，故當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，解得，由（1）可知，當(dāng)時，在上的極小值為，由題，則有，解得，當(dāng)，解得，①當(dāng)時，，，符合題意，②當(dāng)時，，，符合題意.綜上，當(dāng)時，恒成立.【點(diǎn)睛】恒成立問題解題思路：（1）參變量分離：（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參變分離即可解決問題.10．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）設(shè)，得到，令，得到，求得，求得的值域?yàn)?，分，和，三種情況討論，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，令，可得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）解：設(shè)函數(shù)，則，令，則，從而，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)?，（i）當(dāng)，即時，，即,所以在上單調(diào)遞增，故，不等式不恒成立；（ii）當(dāng)，即時，，即,所以在上單調(diào)遞減，故成立；（iii）當(dāng)時，使，且當(dāng)時，，令,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)使,即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，不等式不恒成立，綜上所述：當(dāng)時，不等式恒成立.【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．11．（2024·四川南充·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(1)設(shè)函數(shù)，若時，恒成立，求的取值范圍；(2)證明：與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)求的最大值即可；（2）首先設(shè)出切線和切點(diǎn)，將公切線的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，并且根據(jù)函數(shù)的奇偶性性確定零點(diǎn)的關(guān)系.【詳解】（1）由已知，時，恒成立，即恒成立，整理得，令令，得，此時單調(diào)遞增，令，得，此時單調(diào)遞減，，，得；（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，假設(shè)與有公切線，明顯斜率存在，設(shè)公切線的方程為，與的切點(diǎn)為，與的切點(diǎn)為又，，消去得，當(dāng)時，明顯不成立，整理可得對于函數(shù)，有，其為奇函數(shù)，且函數(shù)也為奇函數(shù)，故方程若有根，其根必為成對的相反數(shù)，下面研究方程的根的情況，即函數(shù)的零點(diǎn)情況，可得，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，又時，，時，，，使，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，又，由零點(diǎn)存在定理得函數(shù)在區(qū)間和各有一個零點(diǎn)，即函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即方程有兩個根，綜上所述與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過證明橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，想到轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個奇函數(shù)（偶函數(shù)）的圖象交點(diǎn)來解決.12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，，．(1)求的值；(2)若對恒成立，求a的最小值；(3)當(dāng)正整數(shù)時，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得，代入即可求解；（2）設(shè)，得到對恒成立，求得，求得，分和，兩種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求解；（3）解：由（2）知當(dāng)時，對恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，結(jié)合和，兩種情況討論，即可得證.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，所以．（2）解：設(shè)，因?yàn)閷愠闪ⅲ磳愠闪?，且．所以，可得．①?dāng)時，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時，令，得，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，（舍去）．綜上所述，實(shí)數(shù)的最小值為．（3）解：由（2）知當(dāng)時，對恒成立，且，所以對恒成立，取，則，①當(dāng)時，可得，又，所以；②當(dāng)時，．綜上所述，原不等式成立．【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．13．（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，(1)若函數(shù)有三個零點(diǎn)，且，試比較與的大小.(2)若，試判斷在區(qū)間上是否存在極值點(diǎn)，并說明理由.(3)在（1）的條件下，對任意的，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)存在，理由見解析(3)2【分析】（1）根據(jù)分析得到，是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，計算出；（2）由導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，開口向上，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值及零點(diǎn)存在性定理得到極值點(diǎn)情況；（3）將分別代入，得到不等式組，整理得到，求出，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，故一正一?fù)，，所以，所以是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，因?yàn)樗?，故，，，因?yàn)椋?，所以；?），開口向上，，，，①當(dāng)時，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在使得，且時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，②當(dāng)時，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在使得，且時，，時，，所以在區(qū)間上存在極小值點(diǎn)；（3）對任意的，總存在使得成立，設(shè)，的最大值為，則，即①，②，③，由①+③得④，由②得⑤，④+⑤得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，所以的最大值為2.【點(diǎn)睛】設(shè)一元三次方程的三個根為，原方程可化為，整理得，比較左右兩邊同類項(xiàng)，得到一元三次的根與系數(shù)關(guān)系：.考法3：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題一、解答題1．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求該切線方程；(2)若的極值點(diǎn)為，設(shè)，且證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；（2）先求得的極值點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為證，再根據(jù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可.【詳解】（1）由題意知直線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，而，則，得，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即．（2），令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在時取得極值，的唯一極值點(diǎn)，因?yàn)?，則，當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，不合題意，當(dāng)時，易得的解集為的解集為，即的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，依題意：，解得，不妨設(shè)，則，要證，則只要證，即證：，即證，即證：，令則，即在上單調(diào)遞減，有即，則成立，因此成立，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問先求導(dǎo)得的唯一極值點(diǎn)，將問題化為證，再通過求導(dǎo)判定的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，，將問題化為證成立，此時將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，即證單調(diào)遞增即可.2．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若對于任意的，總存在，使得，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并化簡，討論和兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意將不等式轉(zhuǎn)化為，分別求函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】（1），.當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，解得，即在上單調(diào)遞增，由，解得，即在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，由（1）知，，恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，由題意知，即.設(shè)，則，所以為增函數(shù)，又，所以，即的取值范圍是.3．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎瘮?shù).(1)若在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的極值點(diǎn)為，設(shè)，且證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）把原函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值，即可求出參數(shù)范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而，再利用極值點(diǎn)偏移，構(gòu)造函數(shù)，證得，由此得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意函數(shù)在單調(diào)遞增，所以恒成立，則在恒成立，令，則，當(dāng)，則單調(diào)遞增，，則單調(diào)遞減，而，所以，所以，即；（2）因?yàn)椋?，?dāng)時，，當(dāng)，則在單調(diào)遞增，，則在單調(diào)遞減，所以的唯一極值點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，不合題意，當(dāng)時，的解集為的解集為，即的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，依題意：，解得，設(shè)，則，要證，則只要證，即證，即證，即證：，即證，而，即證，令，則，設(shè)，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞增，則有即在上單調(diào)遞減，而當(dāng)時，，則當(dāng)時，成立，故有成立，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題的解法：(1)(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式.(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.4．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，存在，證明：．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可.（2）由可得，結(jié)合（1）可得，聯(lián)立兩者可得，運(yùn)用比值代換法，設(shè)，轉(zhuǎn)化為求證,即可證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，，即：，，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1），得，又，即，所以．不妨設(shè)，所以．由（1）得當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故，所以，所以，故．下證．即證：，設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，即，所以，即，所以，得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題(1)(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．5．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．(1)若滿足，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線；(2)若，且，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，再判定該切線方程為的切線即可；（2）求，設(shè)，建立方程組，得出，為方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理確定，再由基本不等式判定，化簡，構(gòu)造函數(shù)求其單調(diào)性判定值域即可.【詳解】（1）由已知有，,曲線在點(diǎn)處的切線方程為：,即：，將代入即有：,由得令得：，此時,可得：曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，將代入化簡，可得：故曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．（2）∵，∴，令，得：，∴，為方程的兩根，∴即：，∴

∴，∴，令，則，令，則，∴在單調(diào)遞減

∴即【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在第二問，設(shè)，由導(dǎo)函數(shù)建立方程組結(jié)合韋達(dá)定理得出，再求函數(shù)值之和，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合基本不等式求其定義域內(nèi)的單調(diào)性即可證明不等式.6．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個極值點(diǎn)時，總有成立，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）求出，由有兩個不等實(shí)根，結(jié)合判別式韋達(dá)定理得且，所以．不等式中消去得關(guān)于的不等式，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）時，函數(shù)的定義域?yàn)橛山獾茫?dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增．（2），則．根據(jù)題意，得方程有兩個不同的實(shí)根，，即且，所以．由，可得又總有對恒成立．①當(dāng)時，恒成立，此時；②當(dāng)時，成立，即令函數(shù)，則在恒成立故在單調(diào)遞增，所以．③當(dāng)時，成立，即由函數(shù)，則，解得當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減又，當(dāng)時，所以．綜上所述，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)極值點(diǎn)與其他參數(shù)的等式或不等式問題，一般可能利用消參數(shù)法減少參數(shù)個數(shù)，方法是利用極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)為0的零點(diǎn)，有時還可結(jié)合韋達(dá)定理得出它們的關(guān)系，然后用代入法消參數(shù)．最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值等問題．7．（2023·山東德州·三模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若存在兩個極值點(diǎn)的取值范圍為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果；（2）求導(dǎo)后，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得結(jié)果；（3）根據(jù)存在兩個極值點(diǎn)可得，且，根據(jù)單調(diào)性可得，將化為，利用比值代換可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，所以，所以，又，所以函?shù)在處的切線方程為，即.（2）的定義域是，，，令，則．①當(dāng)或，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．②當(dāng)，即時，由，得或；由，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（3）由（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值；當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn)，即方程有兩個正根，所以，則在上是減函數(shù)．所以，因?yàn)椋?，令，則，，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以，由，又在上單調(diào)遞減，所以且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及到雙變量的問題一般可以利用比值代換處理，本題中，將化為后，設(shè)，化為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行處理.8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）將代入后得，對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由題意得，從而利用分析法將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此得證.【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域?yàn)?，則，因?yàn)椋瑒t，所以，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則，即，兩式相減，可得，兩式相加得，要證，只要證，即證，即證，只須證，即證，即證，令，則由得，故須證，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即成立，故原不等式成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．9．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，且．(1)求a的取值范圍；(2)若在和處的切線交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及函數(shù)圖象的變化趨勢結(jié)合零點(diǎn)個數(shù)求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程得出，將原不等式化為證明，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，不可能兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，令得，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，

，，時，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，

所以，即時，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，而，所以；；∴有唯一零點(diǎn)且有唯一零點(diǎn)，滿足題意，綜上：；（2）曲線在和處的切線分別是，聯(lián)立兩條切線得，∴，由題意得，要證，即證，即證，即證，令，即證，令，，∴在單調(diào)遞減，∴，∴得證．綜上：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)題目中的證明題，主要觀察所證不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，或者將不等式轉(zhuǎn)化變形后，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用函數(shù)的單調(diào)性或有界性求證，對觀察、運(yùn)算能力要求較高，屬于難題.10．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．【答案】(1)答案見解析(2)；證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性即可；（2）首先將原式化簡整理成，令得，再令，根據(jù)已知條件利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而要證即證即證，只需證，不妨設(shè)，則只需證，即，最后令，，其中，借助導(dǎo)數(shù)求解的最小值即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）方程，即，等價于，令，其中，則，顯然，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且由時可得在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榉匠逃袃蓚€實(shí)根，所以關(guān)于的方程有兩個實(shí)根，，且，，所以，要證，即證，即證，只需證，因?yàn)椋?，整理可得，不妨設(shè)，則只需證，即，令，，其中，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助同構(gòu)思想將原始等價為，通過令，合理構(gòu)造函數(shù)來確定參數(shù)的取值范圍；第二步的關(guān)鍵點(diǎn)在于將等價轉(zhuǎn)換為，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步證明.11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值；(2)已知，函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，，證明：．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)性得極值；（2）求導(dǎo)數(shù)，得極值點(diǎn)是的零點(diǎn)，然后構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性得出，則．再構(gòu)造函數(shù)，已知轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，結(jié)合在上單調(diào)遞增，問題轉(zhuǎn)化為證明，即證（這里雙變量化為單變量，再構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性完成證明．【詳解】（1）當(dāng)時，，∴．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．∴的極小值為，無極大值．（2）解法一

，∴，∵有兩個極值點(diǎn)，，∴有兩個變號零點(diǎn)，，即方程有兩個不相等的實(shí)根，，即方程有兩個不相等的實(shí)根，．設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，∴，則．設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)．∵，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．不妨設(shè)，則．要證，即證，∵在上單調(diào)遞增，∴即證，即證．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∵，∴，即，∴，得證．解法二

，∴，∵有兩個極值點(diǎn)，，∴有兩個變號零點(diǎn)，即方程有兩個不相等的實(shí)根，，即方程有兩個不相等的實(shí)根，，即方程有兩個不相等的實(shí)根，．（關(guān)鍵：化同構(gòu)）設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，∴，∴，，則，則，由對數(shù)平均不等式得，（對數(shù)平均不等式：已知實(shí)數(shù)，，，則）∴，則，∴，得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：含有雙變量的不等式證明問題中的雙變量指的是所給的不等關(guān)系中涉及兩個不同的變量，處理此類問題的步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式；（2）巧妙構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式．與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；②，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；③，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）．考法4：導(dǎo)數(shù)中極值點(diǎn)偏移問題一、解答題1．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.【答案】(1)(2)(3)，證明見解析【分析】（1）切線方程的斜率為1，所以有，解方程即得實(shí)數(shù)a的值；（2）依題意在（0，+∞）上恒成立.，分參求解即可；（3）求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；通過分析法要證明，只需證，構(gòu)造函數(shù)即可證得【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以，又f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)閒（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域?yàn)楫?dāng)時，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個零點(diǎn)的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個零點(diǎn)（）.當(dāng)時，，所以在（，+∞）上存在一個零點(diǎn)，綜上函數(shù)有兩個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個零點(diǎn)由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題，應(yīng)熟練掌握對稱構(gòu)造的基本方法，同時結(jié)合處理雙變量問題的常用方法比值代換的技巧.2．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價于，即極值點(diǎn)偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時，；當(dāng)時，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以，所以，即，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問題變成熟悉的極值點(diǎn)偏移問題，從而根據(jù)對稱化構(gòu)造及對數(shù)均值不等式等方法證出．3．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，，求的取值范圍.(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）參變分離可得在恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，不妨設(shè)，要證，即證，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，在恒成立，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，的取值范圍是．（2）函數(shù)，．則，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，有兩個正實(shí)數(shù)解方程有兩個正實(shí)數(shù)解函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個交點(diǎn)．，令，解得，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，則單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值即最大值為．又時，且當(dāng)時，，又，．不妨設(shè)，要證明，．令，，．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，即，因此成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．4．（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將原式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，若，則，無極值；若，由，可得，若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，此時，函數(shù)有唯一極小值，無極大值；若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，此時，函數(shù)有唯一極大值，無極小值；所以當(dāng)時，函數(shù)無極值；當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值；當(dāng)時，函數(shù)有極大值，無極小值；（2）證明：由，兩邊取對數(shù)可得，即，當(dāng)時，，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，而，時，恒成立，因此，當(dāng)時，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題以及極值點(diǎn)偏移問題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性證明.5．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且，證明：，且．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）變形為是方程的兩個實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性和極值最值情況，結(jié)合圖象得到，再構(gòu)造差函數(shù)，證明出.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，由題意，得，，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）證明：由，得，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，即是方程的兩個實(shí)數(shù)根．令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以．因?yàn)楫?dāng)時，；當(dāng)時，，，所以．不妨設(shè)，因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€實(shí)數(shù)根，則．要證，只需證．因?yàn)?，，所以只需證．因?yàn)?，所以只需證．今，，則在恒成立．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時，．所以，即成立．【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題，通常會構(gòu)造差函數(shù)來進(jìn)行求解，若等式中含有參數(shù)，則先消去參數(shù).6．（2024·吉林·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)在軸上，另一個頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上(1)當(dāng)頂點(diǎn)在軸上方時，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；(2)已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個不等實(shí)根.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（ii）證明：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明過程見詳解.【分析】（1）先確定所求幾何體何時能取到最大值，寫出函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求最大值；（2）（i）根據(jù)題意知，，進(jìn)行同構(gòu)，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，再進(jìn)行分離參數(shù)，研究的單調(diào)性和極值，即可求出a的取值范圍.（ii）由知，先證，即極值點(diǎn)偏移問題，構(gòu)造函數(shù)，求，在單調(diào)遞增，，得，從而可得即，再由的單調(diào)性，即可得到.【詳解】（1）因?yàn)樵谳S上方，所以：；為直角三角形，所以當(dāng)軸時，所得圓錐的體積才可能最大.設(shè)，則，（）.設(shè)（），則，由.因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.從而：.（2）（i）因?yàn)?，即，即，令，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以即，所以方程有兩個不等實(shí)根等價于有兩個不等實(shí)根，令，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，由洛必達(dá)法則知；所以.（ii）由（i）知，，令，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，即在單調(diào)遞增，，所以.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，且在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題的一般方法——對稱化構(gòu)造的步驟如下：（1）求極值點(diǎn)：求出函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像，由得出的取值范圍；（2）構(gòu)造函數(shù)：對結(jié)論為的情況，構(gòu)造函數(shù)；①，則單調(diào)遞增；②注意到，則即；③，根據(jù)在單調(diào)減，則④得到結(jié)論.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若對任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別計算，的導(dǎo)函數(shù)，接著分析它們的單調(diào)性，求得在時，的最大值為，的最小值為，問題得解；（2）先將轉(zhuǎn)化為，再設(shè)，數(shù)形結(jié)合得到，接著構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，最后利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由，，得，，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，的最大值為．當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，的最小值為．所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由得，兩邊取對數(shù)并整理，得，即，即．由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（技巧：注意對第（1）問結(jié)論的應(yīng)用）而，當(dāng)時，恒成立，不妨設(shè)，則．記，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，，于是，，又在上單調(diào)遞減，因此，即，所以．【點(diǎn)睛】利用對稱化構(gòu)造的方法求解極值點(diǎn)偏移問題的“三步曲”：（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性、極值情況，作出函數(shù)圖象，由得到的大致范圍．（2）構(gòu)造輔助函數(shù)（若要證，則構(gòu)造函數(shù)；若要證，則構(gòu)造函數(shù).），限定的范圍，求導(dǎo)，判定符號，獲得不等式．（3）代入，利用及的單調(diào)性即得所證結(jié)論．8．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可確定的單調(diào)區(qū)間，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得的單調(diào)性，即可證明，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用單調(diào)性即可求證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，所以，得，?dāng)，，當(dāng)，，故函數(shù)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，得，所以，得，令，因?yàn)?，?dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)時,,當(dāng)時,,故.

先證，需證.因?yàn)?，下面證明.設(shè),則,故在上為增函數(shù),故,所以,則,所以,即得，下面證明：令，當(dāng)時，所以成立,所以，所以.當(dāng)時，記,所以時，所以為減函數(shù)得,所以,即得.所以得證，綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求某點(diǎn)處的切線方程較為簡單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根、，（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】(1)答案見解析(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)出的符號變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）（i）將方程變形為，令，令，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）將所證不等式等價變形為，由變形可得出，推導(dǎo)出，即證．令，只需證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)法即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，其?①當(dāng)時，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當(dāng)時，由得，由可得.所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：