參考答案與試題解析一．選擇題〔共7小題〕1．〔1999?成都〕如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠ABC=115°，那么∠AOC等于〔〕A．115°B．120°C．130°D．135°考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．分析：先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理解答即可．解答：解：∵ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠ABC=115°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣115°=65°，∴∠AOC=2∠ADC=2×65°=130°．應(yīng)選C．點(diǎn)評：此題比擬簡單，考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理．2．〔2004?四川〕如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC=32°，D是的中點(diǎn)，那么∠DAC的度數(shù)是〔〕A．25°B．29°C．30°D．32°考點(diǎn)：圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．分析：連接BC，根據(jù)圓周角定理及等邊對等角求解即可．解答：解：連接BC，∵AB是半圓O的直徑，∠BAC=32°，∴∠ACB=90°，∠B=90°﹣32°=58°，∴∠D=180°﹣∠B=122°〔圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)〕，∵D是的中點(diǎn)，∴∠DAC=∠DCA=〔180°﹣∠D〕÷2=29°，應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角求解．3．〔2005?四川〕如圖，農(nóng)村常搭建橫截面為半圓形的全封閉塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考慮塑料薄膜埋在土里的局部，那么搭建一個這樣的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面積是〔〕A．68πm2B．72πm2C．78πm2D．80πm2考點(diǎn)：圓柱的計(jì)算．專題：壓軸題．分析：由圖可知，需要的塑料膜的面積應(yīng)該是以大棚長為長，以半圓形截面的弧長為寬的矩形的面積，半圓形截面弧長為：2π，那么塑料膜的面積=2π×32+π×〔4÷2〕2÷2×2=68π平方米．解答：解：塑料膜的面積=2π×32+π×〔4÷2〕2÷2×2=64π+4π=68π平方米．應(yīng)選A．點(diǎn)評：此題中半圓形截面的弧長就是塑料薄膜的一邊，弄清了這點(diǎn)，計(jì)算薄膜的面積就容易多了．4．〔2006?成都〕如圖，小麗要制作一個圓錐模型，要求圓錐的母線長為9cm，底面圓的直徑為10cm，那么小麗要制作的這個圓錐模型的側(cè)面展開扇形的紙片的圓心角度數(shù)是〔〕A．150°B．200°C．180°D．240°考點(diǎn)：弧長的計(jì)算．專題：壓軸題．分析：因?yàn)檎归_圖的扇形的弧長等于圓錐底面周長，根據(jù)弧長公式列方程即可．解答：解：=10π，解得n=200°．應(yīng)選B．點(diǎn)評：主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長之間的關(guān)系．圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．5．〔2007?成都〕如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)為D、E、F，假設(shè)∠B=50°，∠C=60°，連接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于〔〕A．45°B．55°C．65°D．70°考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠A=70°．再根據(jù)切線的性質(zhì)定理和四邊形的內(nèi)角和定理，得∠EOF=110度．再根據(jù)圓周角定理，得∠EDF=55°．解答：解：∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=70°，∴∠EOF=110°，∴∠EDF=∠EOF=55°．應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和定理．6．〔2010?濟(jì)寧〕如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐〔接縫處不重疊〕，那么這個圓錐的高為〔〕A．6cmB．cmC．8cmD．cm考點(diǎn)：弧長的計(jì)算；勾股定理．分析：因?yàn)閳A錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，那么留下的扇形的弧長==12π，所以圓錐的底面半徑r==6cm，所以圓錐的高===3cm．解答：解：∵從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，∴剩下的扇形的角度=360°×=240°，∴留下的扇形的弧長==12π，∴圓錐的底面半徑r==6cm，∴圓錐的高===3cm．應(yīng)選B．點(diǎn)評：主要考查了圓錐的性質(zhì)，要知道〔1〕圓錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，〔2〕此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．解此類題目要根據(jù)所構(gòu)成的直角三角形的勾股定理作為等量關(guān)系求解．7．〔2008?成都〕如圖，小紅同學(xué)要用紙板制作一個高4cm，底面周長是6πcm的圓錐形漏斗模型，假設(shè)不計(jì)接縫和損耗，那么她所需紙板的面積是〔〕A．12πcm2B．15πcm2C．18πcm2D．24πcm2考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算．專題：壓軸題．分析：利用圓錐的底面周長易得圓錐的底面半徑，那么利用勾股定理易得圓錐的母線長，那么圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2．解答：解：∵底面周長是6π，∴底面圓的半徑為3cm，∵高為4cm，∴母線長5cm，∴S=15πcm2．應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查圓錐側(cè)面積的求法及圓錐母線的求法．二．填空題〔共9小題〕8．〔1999?成都〕如圖，把半圓形紙片卷成一個圓錐〔接縫略去不計(jì)〕，那么這個圓錐軸截面的頂角〔錐角〕∠ASB的度數(shù)是60度．考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算．分析：半圓的弧長=圓錐底面圓的周長；半圓的半徑=圓錐的母線長．設(shè)SB=x，表示出圓錐底面圓的周長，求底面圓的半徑．根據(jù)它與母線之間的關(guān)系，運(yùn)用三角函數(shù)可求錐角．解答：解：設(shè)SB=x，那么半圓周長=πx，即圓錐底面圓的周長=πx．設(shè)底面圓的半徑為r，那么2πr=πx，∴2r=x，即AB=SB．∴這個圓錐軸截面為等邊三角形，故頂角∠ASB的度數(shù)是60°．點(diǎn)評：此題考查了圓錐與扇形之間的對應(yīng)關(guān)系，空間感較強(qiáng)，有一定難度．9．〔1999?成都〕如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于點(diǎn)A，AE與CD的延長線交于點(diǎn)E，AE=2，那么PE的長4．考點(diǎn)：切割線定理；相交弦定理．專題：壓軸題．分析：首先根據(jù)相交弦定理求得PD的長，再根據(jù)切割線定理求得DE的長，進(jìn)而可求出PE的長．解答：解：∵PA=4，PB=3，PC=6，∴PD==2．設(shè)DE=x．∵EA切⊙O于點(diǎn)A，∴EA2=ED?EC，即x〔x+8〕=20，x2+8x﹣20=0，x=2，x=﹣10〔負(fù)值舍去〕．那么PE=DE+PD=4．點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了相交弦定理和切割線定理．10．〔2006?旅順口區(qū)〕如圖，點(diǎn)D在以AC為直徑的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=70度．考點(diǎn)：圓周角定理．專題：壓軸題．分析：根據(jù)圓周角定理，可得∠A=∠D=20°，∠ABC=90°；在Rt△ABC中，了∠A和∠ABC的度數(shù)，可求出∠ACB的度數(shù)．解答：解：∵∠BDC=20°，∴∠A=20°；∵AC為直徑，∴∠ABC=90°；∴∠ACB=70°．點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用．11．〔2007?成都〕如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，那么sin∠ABD的值是．考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；垂徑定理．分析：易證∠ABD=∠ACD=∠ABC，因而求sin∠ABD的值的問題，就可以轉(zhuǎn)化為求∠ABC的三角函數(shù)的值的問題．解答：解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，AB==3．∴sin∠ABD=sin∠ABC==．點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理和銳角三角函數(shù)的定義．12．〔2008?成都〕如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PA=3，∠APO=30°，那么OP=2．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．分析：連接OA，由切線的性質(zhì)知OA⊥AP，而PA=3，∠APO=30°，所以利用三角函數(shù)即可求出OP．解答：解：如圖，連接OA，∵PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，∴OA⊥AP，∵PA=3，∠APO=30°，∴cos30°=，∴OP=2．點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了切線的性質(zhì)及利用特殊角的三角函數(shù)值求線段長．13．〔2008?成都〕如圖，A、B、C是⊙O上的三個點(diǎn)，且AB=15cm，AC=3cm，∠BOC=60度．如果D是線段BC上的點(diǎn)，且點(diǎn)D到直線AC的距離為2cm，那么BD=cm．考點(diǎn)：垂徑定理．專題：壓軸題．分析：作BF⊥AC于F，構(gòu)造出特殊的直角三角形，計(jì)算有關(guān)線段的長度；根據(jù)DE∥BF得比例線段求解．解答：解：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F∵∠BOC=60°，∴∠A=30°在Rt△ABF中，AB=15cm∴BF=cm，AF=cm∴CF=AF﹣AC=cm在Rt△BCF中，BC==3cm∵DE∥BF∴=設(shè)BD=x，那么=解得x=，即BD=cm．點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理，同弧所對的圓周角是同弧所對的圓心角的一半．構(gòu)造特殊三角形是關(guān)鍵．14．〔2009?成都〕如圖，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，以BC為一邊，作∠CBD=∠ABC，過BC上一點(diǎn)P，作PE∥AB交BD于點(diǎn)E．假設(shè)∠AOC=60°，BE=3，那么點(diǎn)P到弦AB的距離為．考點(diǎn)：圓周角定理；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．分析：此題比擬復(fù)雜，考查圓周角定理及角平分線的性質(zhì)．解答：解：過P作PF⊥AB，PG⊥BD∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于點(diǎn)E，∠AOC=60°，BE=3∴∠CBD=∠ABC=30°∵BC為∠ABD的角平分線，PF=PG又∵PE∥AB∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°∴∠PEG=∠BPE+∠CBD=30°+30°=60°∵PG⊥BD∴∠PGE=90°∴sin∠PEG=即=∴PG=×PE=×3=，∴那么點(diǎn)P到弦AB的距離為PF=PG=，故答案為：．點(diǎn)評：此題比擬復(fù)雜，考查的是平行線的性質(zhì)，是中學(xué)階段的重點(diǎn)．15．〔2009?成都〕如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD為⊙O的直徑，AD=6，那么BD=3．考點(diǎn)：圓周角定理；解直角三角形．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由可求∠ACB=30°，根據(jù)圓周角定理可證∠ADB=∠ACB=30°，∠ABD=90°，運(yùn)用三角函數(shù)即可求BD的值．解答：解：∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠ACB=30°．∴∠ADB=∠ACB=30°．∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，∴BD=AD?cos30°=6×=3．點(diǎn)評：此題綜合考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)等知識，涉及到的知識點(diǎn)較多，可以有效的考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力．16．〔2010?成都〕如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B=60°，∠C=70°，那么∠BOD的度數(shù)是100度．考點(diǎn)：圓周角定理．分析：欲求∠BOD的度數(shù)，需先求出同弧所對的圓周角∠A的度數(shù)；△ABC中，了∠B、∠C的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠A的度數(shù)，由此得解．解答：解：△ABC中，∠B=60°，∠C=70°；∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°；∴∠BOD=2∠A=100°．點(diǎn)評：此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及圓周角定理的應(yīng)用．三．解答題〔共14小題〕17．〔1999?成都〕：如圖，MN為⊙O的直徑，l⊥MN于H，割線MCA及弦MBD分別交⊙O于C、D．求證：MA?MC=MB?MD．考點(diǎn)：圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：先連接CN、DN，有MN⊥l，AB是直徑，可得一組對應(yīng)角都是90°，再加上一對公共角，可證兩個直角三角形全等Rt△MND∽Rt△MBH，由此可得比例線段，同理可證另一對直角三角形全等Rt△AHM∽Rt△NCM，也可得比例線段，利用等量代換，可證此題．解答：證明：連接CN、DN，〔1分〕∵M(jìn)N是直徑，∴∠D=90°〔1分〕∵l⊥MN，∴∠MHB=90°〔1分〕在△MND與△MBH中，∵∠BMH=∠NMD，∴Rt△MND∽Rt△MBH，∴=∴MB?MD=MN?MH①〔2分〕同理可證Rt△AHM∽Rt△NCM，∴．∴MN?MH=MA?MC②〔2分〕由①、②，有MA?MC=MB?MD．點(diǎn)評：此題利用了直徑所對的圓周角是90°、相似三角形的判定和性質(zhì)、等量代換等知識．18．〔1999?成都〕如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是AB延長線上一點(diǎn)，CD切半圓于D，DE⊥AB于E．AE：EB=4：1，CD=2，求BC的長．考點(diǎn)：切割線定理；一元二次方程的應(yīng)用．分析：先利用圓的切割線定理列出等量關(guān)系式，再根據(jù)條件代入相應(yīng)的數(shù)，列出函數(shù)式求解．解答：解：設(shè)EB=x，那么AE=4x，設(shè)CB=y∵CD是⊙O的切線，由圓的切割線定理得出CD2=CB?CA，即4=y〔y+5x〕①〔2分〕∵AB是直徑，且DE⊥AB于E，∴DE2=AE?EB=4x?x=4x2〔1分〕又EC=x+y，CD=2，∠DEC=90°，∴DE2+EC2=CD2即4x2+〔x+y〕2=4④〔2分〕解由①、②組成的方程組，②﹣①，得5x2﹣3xy=0，∴x〔5x﹣3y〕=0∴x=0〔舍去〕或x=把x=代入①，得y=﹣1〔舍去〕或y=1∴y=1∴BC=y=1答：BC的長為1．〔3分〕點(diǎn)評：解決此類題應(yīng)掌握圓的切線的性質(zhì)，并能列出等量關(guān)系式，再求解，然后判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．19．〔1999?成都〕：如圖，AB和AC與⊙O相切于B、C，P是⊙O上一點(diǎn)，且PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F．求證：PD2=PE?PF．考點(diǎn)：圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：先連接PB、DE，以及連接PC、DF，根據(jù)DP⊥BC，PE⊥AE，可證四點(diǎn)P、D、B、E共圓，同理，四點(diǎn)P、D、C、F共圓，可利用圓周角的性質(zhì)，分別得出兩組角相等，結(jié)合弦切角的性質(zhì)，也可得出兩組角相等，利用等量代換，可證∠1=∠2，∠PED=∠PDF，從而可證三角形相似，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得比例線段，那么此題得證．解答：證明：∵PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F，∴四點(diǎn)D、B、E、P共圓，四點(diǎn)C、D、P、F共圓，〔2分〕連接PB、DE那么∠1=∠3，∠5=∠PED，〔1分〕連接PC、DF，那么∠2=∠4，∠6=∠PDF，〔1分〕∵AB、AC是⊙O的切線，B、C是切點(diǎn)，∴∠3=∠4，∠5=∠6．〔1分〕∴∠1=∠2，∠PED=∠PDF．〔1分〕∴△PED∽△PDF．〔1分〕∴=，即PD2=PF?PE．〔1分〕點(diǎn)評：此題利用了切線的性質(zhì)、弦切角的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．20．〔2003?成都〕：如圖，BE是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高．〔1〕求證：AC?BC=BE?CD；〔2〕CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直徑BE的長．考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕欲證AC?BC=BE?CD，可以證明△ADC∽△ECB得出；〔2〕求⊙O的直徑BE的長，由AC?BC=BE?CD知，可在Rt△ACD和Rt△BCD中，根據(jù)條件求出BC，AC的長即可．解答：〔1〕證明：連接CE〔1分〕∵BE是⊙O的直徑∴∠ECB=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠ECB=∠ADC又∵∠A=∠E〔同弧所對的圓周角相等〕，∴△ADC∽△ECB〔2分〕∴∴AC?BC=BE?CD；〔1分〕〔2〕解：∵CD=6，AD=3，BD=8∴BC==10〔1分〕∴AC=〔1分〕∵AC?BC=BE?CD∴×10=BE?6∴BE=5∴⊙O的直徑BE的長是．〔2分〕點(diǎn)評：此題考查了同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角及解直角三角形的知識，同時考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．21．〔2003?成都〕如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F，BF=4．求：〔1〕cos∠F的值；〔2〕BE的長．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：〔1〕解答此題的關(guān)鍵是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根據(jù)此數(shù)值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F．〔2〕由△BEF∽△EAF，和設(shè)BE=k，那么AE=2k，即可求得BE．解答：解：〔1〕連接OE，∵DF切半圓于點(diǎn)E，∴∠OEF=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∵∠OEF=∠DAF=90°，∵∠F=∠F，∴△OEF∽△DAF，得===，即AF=2EF，又EF2=FB?FA=BF?2EF，∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，∴AB=AF﹣BF=12，F(xiàn)O=AB+BF=10．cos∠F==；〔2〕連接AE，∵DE是⊙O的切線，∴∠BEF=∠EAF，∵∠F為公共角，∴△BEF∽△EAF，∴===，設(shè)BE=k，那么AE=2k，根據(jù)AB是直徑，故∠AEB=90°，即AE2+BE2=AB2，得〔2k〕2+k2=122，解得k=，故BE=．點(diǎn)評：此題涉及的知識點(diǎn)較多，由相似形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．22．〔2004?四川〕如圖，BC為半圓O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，過點(diǎn)B作弦BF交AD于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F，弦AC與BF交于點(diǎn)H，且AE=BE．求證：〔1〕；〔2〕AH?BC=2AB?BE．考點(diǎn)：圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：〔1〕等腰△ABE中，∠BAD=∠ABE；由同角的余角相等知，∠BAD=∠C，故有∠C=∠ABF．由圓周角定理知，；〔2〕由于∠EAH=∠AHB，可得出AE=EH=BE=BH，易證得Rt△ABH∽Rt△ACB．那么AH：AB=BH：BC，即AH?BC=2AB?BE．解答：證明：〔1〕∵AE=BE，∴∠BAD=∠ABE，∵BC是直徑，AD⊥BC，∴∠ADB=∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∴∠C=∠ABF，∴；〔2〕∵∠C=∠ABF，Rt△ABH∽Rt△ACB，∴AH：BH=AB：BC，即AH?BC=AB?BH，∵∠EAH+∠BAD=∠AHB+∠ABH=90°，∠BAD=∠ABE，∴∠EAH=∠AHB，∴AE=EH=BE=BH，∴AH?BC=2AB?BE．點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用．23．〔2004?四川〕：如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長線上一點(diǎn)，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，過點(diǎn)B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是上一點(diǎn)，且，連接AG交PD于F，連接BF，假設(shè)PD=，tan∠BFE=．求：〔1〕∠C的度數(shù)；〔2〕QH的長．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕連接OP，易得∠BAG=30°，應(yīng)利用30°的正切值，以及tan∠BFE的值得到用一條線段表示出的AE，EF，EB以及OE，OP等．那么就能表示出∠POA的余弦值，即可求得相應(yīng)的度數(shù)，進(jìn)而求解；〔2〕易得PE=3，那么利用特殊的三角函數(shù)值即可求得CP，OP，利用切割線定理可求得CA長．進(jìn)而求得PQ，QB長．利用切割線定理可求得QH長．解答：解：〔1〕連接OP，那么∠OPC=90°∵∴∠BAF=30°設(shè)EF=x，那么AE=x∵tan∠BFE=∴BE=3x∴cos∠POA=OE：OP=∴∠POA=60°∵CP是切線∴∠OPC=90°∴∠C=30°；〔2〕∵PD⊥AB，PD=，∴PE=3，∴CP=6，OP=6，那么AB=2OP=12，∵PC2=AC×BC，∴AC=6，∴BC=18，∴QB=9，CQ=9，∴PQ=3，∵PQ2=QH×QB，∴QH=3．點(diǎn)評：此題用到的知識點(diǎn)為：利用三角函數(shù)值來判斷角的度數(shù)；垂直于弦的直徑平分弦；切割線定理等．考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識能力．24．〔2005?成都〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．〔1〕求證：DE是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)AB=6，AE=，求BD和BC的長．考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心；切線的判定．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕要證DE是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠DCO=90°即可．〔2〕兩邊長，求其它邊的長，可以來三角形相似，對應(yīng)邊成比例來求．解答：〔1〕證明：連接OC；∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠BAC；又在圓中OA=OC，∴∠AC0=∠BAC，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE〔內(nèi)錯角相等，兩直線平行〕；那么由AE⊥DC知OC⊥DC，即DC是⊙O的切線．〔2〕解：∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，∴△DCO∽△DEA，∴=，∴=，∴=，∴BD=2；∵Rt△EAC∽Rt△CAB，∴，∴∴AC2=，由勾股定理得：BC=．點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用．要證某線是圓的切線，此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)〔即為半徑〕，再證垂直即可．25．〔2006?成都〕：如圖，⊙O與⊙A相交于C，D兩點(diǎn)，A，O分別是兩圓的圓心，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦CD交AB于點(diǎn)G，交⊙O的直徑AE于點(diǎn)F，連接BD．〔1〕求證：△ACG∽△DBG；〔2〕求證：AC2=AG?AB；〔3〕假設(shè)⊙A，⊙O的直徑分別為，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的長．考點(diǎn)：相交兩圓的性質(zhì)；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題．分析：〔1〕由圓周角定理知，∠CAG=∠BDG，由對頂角的概念知，∠AGC=∠DGB，故△ACG∽△DBG；〔2〕由連心線垂直于公共弦和垂徑定理知，弧AC=弧AD，由圓周角定理知∠ACG=∠ABC，而∠CAG=∠BAC，故△ACG∽△ABC．有，即AC2=AG?AB．〔3〕連接CE，易得Rt△CFA∽Rt△ECA，那么有，求得AF的值，由勾股定理求得CF的值后，由CG：CD=1：4，求得CG，DG的值，再在Rt△AFG中，由勾股定理求得AG的值，由2中的AC2=AG?AB，由1中的△ACG∽△DBG得到，代入對應(yīng)的邊的值，即可求得AB，BD的值．解答：〔1〕證明：在△ACG和△DBG中，∵∠CAG=∠BDG，∠AGC=∠DGB，∴△ACG∽△DBG．〔2〕證明：連接AD，那么AC=AD．在△ACG和△ABC中，∵AC=AD，∴∠ACG=∠ABC．又∵∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC．∴，即AC2=AG?AB．〔3〕解：連接CE，那么∠ACE=90°．∵⊙O與⊙A相交于C，D兩點(diǎn)，∴圓心O，A在弦CD的垂直平分線上，即AO垂直平分弦CD．∴CF=DF，CF⊥AE且．∵⊙A，⊙O的直徑分別為，15，∴AC=3，AE=15．在Rt△CFA和Rt△ECA中，∵∠ACF=∠ADC=∠AEC，∴Rt△CFA∽Rt△ECA．∴，即AF=．在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即〔3〕2=32+CF2．解得CF=6〔舍去負(fù)值〕．∵CG：CD=1：4，且CD=2CF=12，∴CG：DG=1：3，∴CG=FG=12×=3，DG=12×=9．在Rt△AFG中，由勾股定理，得AG2=AF2+FG2=32+32=18，∴AG=3〔舍去負(fù)值〕．由〔2〕，有AC2=AG?AB，即．解得AB=．由〔1〕，有△ACG∽△DBG，得．∴BD=．點(diǎn)評：此題是圓內(nèi)的一道綜合題，利用了連心線與公共弦的關(guān)系，圓周角定理，垂徑定理，直徑對的圓周角是直角，中垂線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．26．〔2006?成都〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B〔﹣2，0〕，A〔m，0〕〔﹣＜m＜0〕，以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，點(diǎn)E是線段OD與正方形ABCD的外接圓除點(diǎn)D以外的另一個交點(diǎn)，連接BE與AD相交于點(diǎn)F．〔1〕求證：BF=DO；〔2〕設(shè)直線l是△BDO的邊BO的垂直平分線，且與BE相交于點(diǎn)G．假設(shè)G是△BDO的外心，試求經(jīng)過B、F、O三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式；〔3〕在〔2〕的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使該點(diǎn)關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)在x軸上？假設(shè)存在，求出所有這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1〕此題可通過全等三角形來證簡單的線段相等，三角形ABF和ADO中，根據(jù)圓周角定理可得出∠ABF=∠ADO，了一組直角和AB=AD，因此兩三角形全等，即可得出BF=OD的結(jié)論．〔2〕如果G是三角形BDO的外心，根據(jù)三角形外心定義可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2，AB=OB﹣OA=2+m，因此可根據(jù)AB、BD的比例關(guān)系求出m的值，即可得出OA的長，而在〔1〕得出的全等三角形中，可得出OA=FG，據(jù)此可求出F點(diǎn)坐標(biāo)．了B、F、O三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．〔3〕在〔2〕中已經(jīng)證得BE是∠OBD的角平分線，因此P點(diǎn)必為直線BD與拋物線的交點(diǎn)，先求出直線BD的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．解答：〔1〕證明：在△ABF和△ADO中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°．又∵∠ABF=∠ADO，∴△ABF≌△ADO，∴BF=DO．〔2〕解：由〔1〕，有△ABF≌△ADO，∵AO=AF=m．∴點(diǎn)F〔m，m〕．∵G是△BDO的外心，∴點(diǎn)G在DO的垂直平分線上．∴點(diǎn)B也在DO的垂直平分線上．∴△DBO為等腰三角形，∵AB=AD，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BO=BD=AB．而|BO|=2，|AB|=|﹣2﹣m|=2+m，∴2=〔2+m〕，∴m=2﹣2．∴F〔2﹣2，2﹣2〕．設(shè)經(jīng)過B，F(xiàn)，O三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式為y=ax2+bx+c〔a≠0〕．∵拋物線過點(diǎn)O〔0，0〕，∴c=0．∴y=ax2+bx．①把點(diǎn)B〔﹣2，0〕，點(diǎn)F〔2﹣2，2﹣2〕的坐標(biāo)代入①中，得即解得∴拋物線的解析表達(dá)式為y=x2+x．②〔3〕解：假定在拋物線上存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)P'在x軸上．∵BE是∠OBD的平分線，∴x軸上的點(diǎn)P'關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)P必在直線BD上，即點(diǎn)P是拋物線與直線BD的交點(diǎn)．設(shè)直線BD的解析表達(dá)式為y=kx+b，并設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)Q，那么由△BOQ是等腰直角三角形．∴|OQ|=|OB|．∴Q〔0，﹣2〕．把點(diǎn)B〔﹣2，0〕，點(diǎn)Q〔0，﹣2〕代入y=kx+b中，得∴∴直線BD的解析表達(dá)式為y=﹣x﹣2．設(shè)點(diǎn)P〔x0，y0〕，那么有y0=﹣x0﹣2．③把③代入②，得x02+x0=﹣x0﹣2，∴x02+〔+1〕x0+2=0，即x02+2〔+1〕x0+4=0．∴〔x0+2〕〔x0+2〕=0．解得x0=﹣2或x0=﹣2．當(dāng)x0=﹣2時，y=﹣x0﹣2=2﹣2=0；當(dāng)x0=﹣2時，y0=﹣x0﹣2=2﹣2．∴在拋物線上存在點(diǎn)P1〔﹣2，0〕，P2〔﹣2，2﹣2〕，它們關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)都在x軸上．點(diǎn)評：此題有一定的難度，綜合性也比擬強(qiáng)，有一定的新意，第3小問有些難度，有一定的能力要求，解這種題時需冷靜地分析題意，找到切入點(diǎn)不會很難．27．〔2007?成都〕如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，AD⊥BC過點(diǎn)B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點(diǎn)E，G是AD的中點(diǎn)，連接CG并延長與BE相交于點(diǎn)F，延長AF與CB的延長線相交于點(diǎn)P．〔1〕求證：BF=EF；〔2〕求證：PA是⊙O的切線；〔3〕假設(shè)FG=BF，且⊙O的半徑長為，求BD和FG的長度．考點(diǎn)：切線的判定；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中點(diǎn)，就可得出結(jié)論BF=EF．〔2〕要證PA是⊙O的切線，就是要證明∠PAO=90°連接AO，AB，根據(jù)第1的結(jié)論和BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結(jié)論．〔3〕點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，根據(jù)前兩問的結(jié)論，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的長度．解答：〔1〕證明：∵BC是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴．∴．∵G是AD的中點(diǎn)，∴DG=AG．∴BF=EF．〔2〕證明：連接AO，AB，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°．在Rt△BAE中，由〔1〕，知F是斜邊BE的中點(diǎn)，∴AF=FB=EF．∴∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是⊙O的切線，∴∠EBO=90°．∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA是⊙O的切線．〔3〕解：過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，∵BD⊥AD，F(xiàn)H⊥AD，∴FH∥BC．由〔2〕，知∠FBA=∠BAF，∴BF=AF．由，有BF=FG，∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形．∵FH⊥AD，∴AH=GH．∵DG=AG，∴DG=2HG．即．∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，∴四邊形BDHF是矩形，BD=FH．∵FH∥BC，易證△HFG∽△DCG，∴．即．∵⊙O的半徑長為3，∴BC=6．∴．解得BD=2．∴BD=FH=2．∵，∴CF=3FG．在Rt△FBC中，∵CF=3FG，BF=FG，∴CF2=BF2+BC2∴〔3FG〕2=FG2+〔6〕2解得FG=3〔負(fù)值舍去〕∴FG=3．點(diǎn)評：此題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)〔即為半徑〕，再證垂直即可．28．〔2008?成都〕如圖，⊙O的半徑為2，以⊙O的弦AB為直徑作⊙M，點(diǎn)C是⊙O優(yōu)弧上的一個動點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合〕．連接AC、BC，分別與⊙M相交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接DE．假設(shè)AB=2．〔1〕求∠C的度數(shù)；〔2〕求DE的長；〔3〕如果記tan∠ABC=y，=x〔0＜x＜3〕，那么在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，試用含x的代數(shù)式表示y．考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的應(yīng)用；銳角三角函數(shù)的定義．專題：壓軸題；動點(diǎn)型．分析：〔1〕根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，連OM，OB，可求出∠BOM的度數(shù)，∠C=∠BOM．〔2〕根據(jù)圓內(nèi)接四邊形一外角等于它的內(nèi)對角，可證明△CDE∽△CBA，兩三角形相似對應(yīng)線段成比例，同時運(yùn)用〔1〕中∠C=60°可得的值，能計(jì)算出DE的長．〔3〕根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，連接AE，在直角三角形中用三角函數(shù)可求出y與x之間的關(guān)系．解答：解：〔1〕如圖：連接OB、OM．那么在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=，∴OM=1．∵OM=，∴∠OBM=30°．∴∠MOB=60°．連接OA．那么∠AOB=120°．∴∠C=∠AOB=60°．〔2〕∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙M，∴∠CBA+∠ADE=180°，∵∠CDE+∠ADE=180°，∴∠CDE=∠CBA，在△CDE和△CBA中，∵∠CDE=∠CBA，∠ECD=∠ACB，∴△CDE∽△CBA，∴．連接BD，那么∠BDC=∠ADB=90°．在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴∠CBD=30°．∴BC=2DC．∴．即．∴DE==×2=．〔3〕連接AE．∵AB是⊙M的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°．由，可得AD=x?DC，AC=AD+DC=〔x+1〕?DC．在Rt△ACE中，∵cos∠ACE=，sin∠ACE=，∴CE=AC?cos∠ACE=〔x+1〕?DC?cos60°=；AE=AC?sin∠ACE=〔x+1〕?DC?sin60°=．又由〔2〕，知BC=2DC．∴BE=BC﹣CE=．在Rt△ABE中，tan∠ABC=，∴〔0＜x＜3〕．點(diǎn)評：此題考查圓周角與圓心角之間的關(guān)系，園中相似三角形的運(yùn)用，以及由直徑所對的圓周角是直角可得直角三角形，在直角三角形中對三角函數(shù)的靈活運(yùn)用．29．〔2009?成都〕A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線l的同側(cè)，分別過這兩點(diǎn)作l的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點(diǎn)，連接AD、AE、DE，且∠AED=90度．〔1〕如圖①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的長；〔2〕如圖②，假設(shè)點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，那么線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)A、D分別在直線l兩側(cè)且AB≠CD，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明．考點(diǎn)：勾股定理；直角三角形全等的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明Rt△