習(xí)題課一勻變速直線運動的三個公式和三個推論一、勻變速直線運動的三個公式(科學(xué)思維——科學(xué)推理)射擊時，若把子彈在槍筒中的運動看作勻加速直線運動，設(shè)子彈的加速度a＝5×105m/s2，槍筒長x提示：以子彈射出槍口時速度v方向為正方向由位移公式：x＝v0t＋eq\f(1,2)at2又由速度公式：v＝v0＋at可得：v2－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2ax代入數(shù)據(jù)求得：v＝800m/則子彈射出槍口的速度為800m/s勻變速直線運動基本公式比較一般形式特殊形式(v0＝0)不涉及的物理量速度公式v＝v0＋atv＝atx位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2x＝eq\f(1,2)at2v位移—速度關(guān)系式v2－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2axv2＝2axt勻變速直線運動基本公式具有矢量性，一般規(guī)定初速度的方向為正方向?！镜淅慷膛苓\動員完成100m賽跑的過程可簡化為勻加速直線運動和勻速直線運動兩個階段。一次比賽中，某運動員用11.00s跑完全程。已知運動員在加速階段的第2s內(nèi)通過的距離為7.5【解題探究】(1)短跑運動員可以分成哪兩個運動過程？提示：運動員的勻加速階段和勻速階段。(2)本題用到哪些運動學(xué)公式？提示：v＝v0＋at和x＝v0t＋eq\f(1,2)at2【解析】如圖所示，A點為運動員的加速起點，AB、BC分別對應(yīng)運動員的勻加速階段和勻速階段，在C點到達終點。在第1s和第2s內(nèi)運動員都做勻加速直線運動，設(shè)運動員在勻加速階段的加速度為a，在第1s和第2s內(nèi)通過的位移分別為x1和x2，由運動學(xué)規(guī)律得x1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))x1＋x2＝eq\f(1,2)a(2t0)2t0＝1s解得a＝5m/s設(shè)運動員做勻加速運動的時間為t1，勻速運動的時間為t2，勻速運動的速度為v，跑完全程的時間為t，全程的距離為x，依題意及運動學(xué)規(guī)律得t＝t1＋t2v＝at1x＝eq\f(1,2)ateq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋vt2設(shè)加速階段通過的距離為x′，則x′＝eq\f(1,2)ateq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))解得x′＝10答案：5m/s2解決勻變速直線運動問題的方法1．(2021·杭州高一檢測)我國新研制的兩種型號穿甲彈A1和A2，均能很好地穿透鋼板，若它們的出膛初速度分別可達1.8km/s和1.5km/s，能穿透同一種鋼板厚度的極限值分別為600mm和450mmA．36∶25 B．9∶10C．27∶25 D．25∶23【解析】選C。設(shè)穿甲彈A1和A2的加速度為a1和a2，根據(jù)公式v2－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2ax可得：0－(1.8×103m/s)2＝2a0－(1.5×103m/s)2＝2a解得：eq\f(a1,a2)＝eq\f(27,25)故A、B、D錯誤，C正確。2．某航空母艦上裝有幫助飛機起飛的彈射系統(tǒng)。已知某型號戰(zhàn)斗機在跑道上加速時，產(chǎn)生的最大加速度為5m/s2，起飛的最小速度是50m/s，彈射系統(tǒng)能夠使戰(zhàn)斗機具有的最大速度為30m(1)戰(zhàn)斗機起飛時在跑道上至少加速多長時間才能起飛？(2)航空母艦的跑道至少應(yīng)該多長？【解析】(1)戰(zhàn)斗機在跑道上運動的過程中，當(dāng)有最大彈射速度、最大加速度時，起飛所需的時間最短，故有t＝eq\f(v－v0,a)＝eq\f(50－30,5)s＝4s，則戰(zhàn)斗機起飛時在跑道上的加速時間至少為4s。(2)根據(jù)速度位移關(guān)系式v2－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2ax可得，x＝eq\f(v2－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),2a)＝eq\f(502－302,2×5)m＝160m，即航空母艦的跑道至少為160m答案：(1)4s(2)160【補償訓(xùn)練】在交通事故分析中，剎車線的長度是很重要的依據(jù)。剎車線是汽車剎車后，停止轉(zhuǎn)動的輪胎在地面上滑動時留下來的痕跡。在某次交通事故中，汽車剎車線的長度為14m，假設(shè)汽車剎車的加速度大小為7m/s2，則汽車開始剎車時的速度為(g取10m/s2A．7m/sB．14m/sC．10m/sD．【解析】選B。剎車時加速度大小為7m/s2，剎車是減速到零的勻變速運動，根據(jù)2ax＝v2－0可得v＝eq\r(2ax)＝14m/s，B正確。二、勻變速直線運動的三個推論勻變速直線運動中的平均速度公式(科學(xué)思維——科學(xué)推理)斑馬奔跑的速度快而持久，每小時可達到60～80km。假設(shè)斑馬沿直線奔跑。(1)若斑馬需奔跑80km(2)做勻變速直線運動的物體的平均速度與初、末速度有什么關(guān)系？提示：(1)平均速度。(2)eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)1．平均速度公式：eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)，即做勻變速直線運動的物體在任意一段時間t內(nèi)的平均速度等于這段時間的中間時刻的瞬時速度，還等于這段時間初、末速度矢量和的一半。2．推導(dǎo)：設(shè)物體做勻變速直線運動的初速度為v0，加速度為a，t時刻的速度為v由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得，平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at①由v＝v0＋at知，當(dāng)t′＝eq\f(t,2)時有veq\f(t,2)＝v0＋a·eq\f(t,2)②由①②得eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)又v＝veq\f(t,2)＋a·eq\f(t,2)③由②③解得veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)綜上所述有eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)。提醒：公式eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)只適用于勻變速直線運動，eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)適用于所有運動?！镜淅?】某汽車從車站由靜止開出，做勻加速直線運動，運動了12s時，發(fā)現(xiàn)還有乘客沒上來，于是汽車立即做勻減速運動至停下，共歷時20s，運動了50m【解析】法一：基本公式法設(shè)最大速度為vmax，由題意得x＝x1＋x2＝eq\f(1,2)a1teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋vmaxt2－eq\f(1,2)a2teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，t＝t1＋t2，vmax＝a1t1，0＝vmax－a2t2，解得vmax＝eq\f(2x,t1＋t2)＝eq\f(2×50,20)m/s＝5m/s。法二：平均速度法由于汽車在前、后兩階段均做勻變速直線運動，故前、后兩階段的平均速度均為最大速度vmax的一半，即eq\x\to(v)＝eq\f(0＋vmax,2)＝eq\f(vmax,2)，由x＝eq\x\to(v)t得vmax＝eq\f(2x,t)＝5m/s。答案：5m/中點位置的瞬時速度公式的理解及應(yīng)用(科學(xué)思維——科學(xué)推理)1．中點位置的瞬時速度公式：veq\f(x,2)＝eq\r(\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋v2,2))，即在勻變速直線運動中，某段位移的中點位置的瞬時速度等于這段位移的初、末速度的“方、均、根”值。2．推導(dǎo)：如圖所示，前一段位移v2eq\f(x,2)－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2a·eq\f(x,2)，后一段位移v2－v2eq\f(x,2)＝2a·eq\f(x,2)，所以有v2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)·(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋v2)，即有veq\f(x,2)＝eq\r(\f(1,2)（veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋v2）)。公式veq\f(x,2)＝eq\r(\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋v2,2))只適用于勻變速直線運動。對于任意一段勻變速直線運動，無論是勻加速直線運動還是勻減速直線運動，中點位置的瞬時速度和中間時刻的瞬時速度哪個較大？提示：對于任意一段勻變速直線運動，無論是勻加速直線運動還是勻減速直線運動，中點位置的瞬時速度都大于中間時刻的瞬時速度，即veq\f(x,2)＞veq\f(t,2)?！镜淅?】(多選)一個做勻變速直線運動的物體先后經(jīng)過A、B兩點的速度分別為v1和v2，AB位移中點速度為v3，AB時間中點速度為v4，全程平均速度為v5，則下列結(jié)論中正確的有()A．物體經(jīng)過AB位移中點的速度大小為eq\f(v1＋v2,2)B．物體經(jīng)過AB位移中點的速度大小為eq\r(\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),2))C．若為勻減速直線運動，則v3＜v2＝v1D．在勻變速直線運動中一定有v3＞v4＝v5【解析】選B、D。由題意可知，在勻變速直線運動中，物體經(jīng)過AB位移中點的速度為v3＝eq\r(\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),2))，時間中點的速度為v4＝eq\f(v1＋v2,2)，A錯誤，B正確；全程的平均速度為v5＝eq\f(v1＋v2,2)，不論物體做勻加速還是勻減速直線運動都有v3>v4＝v5，若物體做勻加速直線運動，則v1<v2，若物體做勻減速直線運動，則v1>v2，故D正確，C錯誤。逐差相等公式的理解及應(yīng)用(科學(xué)思維——科學(xué)推理)1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2，即做勻變速直線運動的物體，如果在各個連續(xù)相等的時間T內(nèi)的位移分別為xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，則勻變速直線運動中任意兩個連續(xù)相等的時間間隔內(nèi)的位移差相等。2．推導(dǎo)：x1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2，x2＝v0·2T＋eq\f(4,2)a·T2，x3＝v0·3T＋eq\f(9,2)a·T2…所以xⅠ＝x1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋eq\f(3,2)aT2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋eq\f(5,2)aT2…故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。提醒：該推論只適用于勻變速直線運動，對于不相鄰的任意兩段位移：xm－xn＝(m－n)aT2?！镜淅?】一物體做勻變速直線運動，在連續(xù)相等的兩個時間間隔內(nèi)通過的位移分別是24m和64m，每一個時間間隔為4【解析】畫出該物體的運動過程如圖所示，物體由A經(jīng)B到C，其中B是中間時刻。根據(jù)題目要求可選用不同方法進行求解。法一：基本公式法由位移公式得x1＝vAT＋eq\f(1,2)aT2，x2＝vA·2T＋eq\f(1,2)a(2T)2－(vAT＋eq\f(1,2)aT2)，vC＝vA＋a·2T，將x1＝24m，x2＝64m，T＝4聯(lián)立解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m法二：平均速度法連續(xù)兩段時間T內(nèi)的平均速度分別為eq\x\to(v)1＝eq\f(x1,T)＝eq\f(24,4)m/s＝6m/s，eq\x\to(v)2＝eq\f(x2,T)＝eq\f(64,4)m/s＝16m/s。由于B是A、C的中間時刻，則vB＝eq\f(x1＋x2,2T)＝eq\f(24＋64,2×4)m/s＝11m/s，又eq\x\to(v)1＝eq\f(vA＋vB,2)，eq\x\to(v)2＝eq\f(vB＋vC,2)。解得vA＝1m/s，vC＝21m/其加速度a＝eq\f(vC－vA,2T)＝eq\f(21－1,2×4)m/s2＝2.5m/s2。法三：位移差法由Δx＝aT2可得a＝eq\f(Δx,T2)＝eq\f(64－24,42)m/s2＝2.5m/s2；又x1＝vAT＋eq\f(1,2)aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1m/s，vC＝21m/答案：1m/s21m/s2.5m“一題多解、優(yōu)中選優(yōu)”運動學(xué)問題一般具有多種分析方法，在解題時應(yīng)培養(yǎng)自己用多種方法進行分析及解答問題的能力，找出最優(yōu)解法，以便快速解題。(1)如果題目中無位移x，也無需求位移，一般選用速度公式v＝v0＋at。(2)如果題目中無末速度v，也無需求末速度，一般選用位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2。(3)如果題目中無運動時間t，也無需求運動時間，一般選用推導(dǎo)公式v2－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2ax。(4)如果題目中無加速度a，也不涉及加速度的問題，一般選用平均速度公式eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0＋v,2)。(5)如果題目中出現(xiàn)連續(xù)相等的時間，一般選用逐差公式Δx＝aT2。1．一質(zhì)點做勻變速直線運動，經(jīng)直線上的A、B、C三點，已知AB＝BC＝4m，質(zhì)點在AB間運動的平均速度為6m/s，在BC間運動的平均速度為3m/s，則質(zhì)點的加速度大小為A．1.5m/s2 B．4m/C．3m/s2 D．2m/【解析】選C。根據(jù)勻變速直線運動一段時間內(nèi)的平均速度等于這段時間中間時刻的瞬時速度，可得a＝eq\f(v2－v1,\f(x,2v1)＋\f(x,2v2))＝－3m/s2，即質(zhì)點的加速度大小為3m/s2，C正確。2．由靜止開始做勻加速直線運動的物體，已知經(jīng)過位移x時的速度是v，那么經(jīng)過位移2x時的速度是()A．v B．eq\r(2)vC．2v D．4v【解析】選B。由推論公式veq\f(x,2)＝eq\r(\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋v2,2))，即v＝eq\r(\f(0＋v′2,2))，得v′＝eq\r(2)v，B正確。3．(2021·溫州高一檢測)一小球沿斜面以恒定加速度滾下，依次通過A、B、C三點，已知AB＝12m，BC＝20m，小球通過AB、BC所用時間均為2s，則小球通過A、B、C三點的速度分別為(A．6m/s8m/s10B．0m/s4m/s8C．2m/s4m/s6D．4m/s8m/s12【解析】選D。由Δx＝at2得：a＝eq\f(Δx,t2)＝eq\f(20－12,4)m/s2＝2m/s2。B點的速度等于AC段的平均速度，則有：vB＝eq\f(xAC,2t)＝eq\f(12＋20,4)m/s＝8m/s。由vB＝vA＋at得：vA＝vB－at＝(8－2×2)m/s＝4m/s由vC＝vB＋at得：vC＝(8＋2×2)m/s＝12m/故D正確，A、B、C錯誤。4.某物體做直線運動，其v-t圖像如圖所示，則0～t1時間內(nèi)物體的平均速度()A．等于eq\f(v0＋v1,2)B．大于eq\f(v0＋v1,2)C．小于eq\f(v0＋v1,2)D．條件不足，無法比較【解析】選B。若物體在0～t1時間內(nèi)做勻加速直線運動，作出其v-t圖線如圖所示，由v-t圖線與時間軸圍成的面積表示位移可知，物體實際運動位移大小大于物體做勻加速直線運動的位移大小，運動時間相同，則物體實際運動的平均速度大于物體做勻加速直線運動的平均速度，即eq\x\to(v)2＞eq\x\to(v)1＝eq\f(v0＋v1,2)，故選項B正確?！狙a償訓(xùn)練】光滑斜面的長度為L，一物體自斜面頂端由靜止開始勻加速滑至底端，經(jīng)歷的時間為t，則下列說法不正確的是()A．物體運動全過程中的平均速度是eq\f(L,t)B．物體在eq\f(t,2)時的瞬時速度是eq\f(2L,t)C．物體運動到斜面中點時瞬時速度是eq\f(\r(2)L,t)D．物體從頂端運動到斜面中點所需的時間是eq\f(\r(2)t,2)【解析】選B。物體運動全過程的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(L,t)，A正確；eq\f(t,2)時，物體的速度等于全程的平均速度eq\f(L,t)，B錯誤；若末速度為v，則eq\f(v,2)＝eq\f(L,t)，v＝eq\f(2L,t)，物體運動到斜面中點的瞬時速度veq\f(L,2)＝eq\r(\f(02＋v2,2))＝eq\r(\f(（\f(2L,t)）2,2))＝eq\f(\r(2)L,t)，C正確；設(shè)物體加速度為a，到達斜面中點用時t′，則L＝eq\f(1,2)at2，eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)at′2，所以t′＝eq\f(\r(2),2)t，D正確?！就卣估}】考查內(nèi)容：逐差相等公式的理解及應(yīng)用【典例】一質(zhì)點沿直線AD做勻加速運動，如圖所示，測得它通過AB、BC、CD三段的時間均為t，且位移AC＝L1，BD＝L2，求質(zhì)點的加速度?！窘馕觥吭O(shè)AB＝x1、BC＝x2、CD＝x3則x2－x1＝at2①x3－x2＝at2②①②兩式相加得x3－x1＝2at2由題圖可知L2－L1＝(x3＋x2)－(x2＋x1)＝x3－x1解得a＝eq\f(L2－L1,2t2)。答案：eq\f(L2－L1,2t2)1．(水平1)某物體做勻變速直線運動，其位移與時間的關(guān)系為x＝0.5t＋t2(m)，則當(dāng)物體速度為3m/s時，物體已運動的時間為(A．1.25sB．2.5sC．3sD．6s【解析】選A。比較位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2與x＝0.5t＋t2得v0＝0.5m/s，a＝2m/s2。由于v＝v0＋at，所以t＝eq\f(v－v0,a)＝eq\f(3－0.5,2)s＝1.25s，A正確。2．(水平1)“梟龍”號戰(zhàn)斗機為某次軍演執(zhí)行任務(wù)，從某空軍基地起飛，由靜止開始做勻加速直線運動，經(jīng)過時間t達到起飛速度v的一半，在跑道上滑過距離x，則直到起飛前，飛機還需運動的距離為()A．4xB．2xC．0.75vtD．3vt【解析】選C。戰(zhàn)斗機做勻加速直線運動，經(jīng)過時間t速度由0達到eq\f(v,2)，則戰(zhàn)斗機速度從eq\f(v,2)加速到v時間也為t。根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律：平均速度等于初末速度平均值。對于戰(zhàn)斗機速度從0到eq\f(v,2)的過程，有x＝eq\x\to(v)t＝eq\f(0＋\f(v,2),2)t＝eq\f(vt,4)；對于戰(zhàn)斗機速度從eq\f(v,2)加速到v的過程，有x′＝eq\x\to(v′)t＝eq\f(\f(v,2)＋v,2)t＝eq\f(3vt,4)＝0.75vt＝3x，故C正確，A、B、D錯誤。3．(水平2)一物體以一定的初速度在水平地面上勻減速滑動，若已知物體在第1s內(nèi)位移為8.0m，在第3s內(nèi)位移為0.5m。則下列說法正確的是(A．物體的加速度大小一定為3.75m/sB．物體的加速度大小可能為3.75m/sC．物體在第0.5s末速度一定為4.0m/D．物體在第2.5s末速度一定為0.5m/【解析】選B。根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律Δx＝aT2可得：x3－x1＝2aT2，a＝eq\f(0.5－8,2×12)m/s2＝－3.75m/s2，因為物體做勻減速運動最終會停下來，且不可返回，假設(shè)它在第2s到第3s之間的某一時刻就已經(jīng)停下來了，加速度大小就不再等于3.75m/s2，A錯誤，B正確；第0.5s末速度為第1s內(nèi)的中間時刻速度，根據(jù)veq\f(t,2)＝eq\f(x,t)＝eq\f(8,1)m/s＝8m/s，C錯誤；如果在第3s末前就已經(jīng)停止運動，則物體在第2.5s末速度不等于第3s內(nèi)的平均速度，D錯誤。4．(水平2)物體以某一速度沖上一光滑斜面(足夠長)，加速度恒定。前4s內(nèi)位移是1.6m，隨后4s內(nèi)位移是零，則下列說法中不正確的是(A．物體的初速度大小為0.6m/B．物體的加速度大小為6m/sC．物體向上運動的最大距離為1