第12章電容器和介電質(zhì)(Capacitoranddielectric)

1§12.2電容器的級(jí)聯(lián)§12.3電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響§12.4電介質(zhì)的極化§12.5D矢量及其高斯定律§12.6電容器的能量§12.1電容器及其電容§12.7介電質(zhì)中電場(chǎng)的能量212.1電容器一、孤立導(dǎo)體的電容真空中孤立導(dǎo)體球任何孤立導(dǎo)體，q/φ與q、φ均無(wú)關(guān)，定義為電容R介質(zhì)幾何3電容單位：法拉（F）物理意義：使導(dǎo)體升高單位電勢(shì)所需電量代表體系固有的容電本領(lǐng)，只與幾何因素和介質(zhì)有關(guān)4二、電容器的電容電容器的兩極板常帶等量異號(hào)電荷。幾種常見(jiàn)電容器及其符號(hào)：電容器：兩相互絕緣的導(dǎo)體組成的系統(tǒng)。(a)(b)固定電容器(c)電介質(zhì)電容器(d)可變電容器(e)半可變電容器(f)變?nèi)萜?計(jì)算電容的一般方法：q—其中一個(gè)極板電量絕對(duì)值φ1-φ2—兩板電勢(shì)差電容器的電容：先假設(shè)電容器的兩極板帶等量異號(hào)電荷，再計(jì)算出電勢(shì)差，最后代入定義式。6幾種常見(jiàn)電容器及其電容(1)平板電容器電容與極板面積成正比，與間距成反比。Sd7(2)圓柱形電容器8(3)球形電容器9分布電容（雜散電容）電容器的作用隔直流，通交流。振蕩放大器、時(shí)間延遲電路等儲(chǔ)存電能(4)電介質(zhì)電容器理論和實(shí)驗(yàn)證明即其中10一些電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)電介質(zhì)

r電介質(zhì)

r電介質(zhì)

r真空1變壓器油3氧化鉭11.6空氣1.000585云母3.7-7.5二氧化鈦100純水80普通陶瓷5.7-6.8電木7.6玻璃5-10聚乙烯2.3石蠟2.2紙3.5聚苯乙烯2.6鈦酸鋇103-10411電介質(zhì)電容器的分類：空氣電容器紙介質(zhì)電容器云母電容器陶瓷電容器鈦酸鋇電容器電解電容器電容器性能參數(shù)：電容和耐壓如：12…1、并聯(lián)：因此，并聯(lián)后的電容器組具有增大電容的作用。這時(shí)，各電容器的電壓相等，即總電壓U，而總電量Q為各電容器所帶的電量之和。則總電容為12.2電容器的級(jí)聯(lián)132、串聯(lián)：…這時(shí)各電容器所帶電量相等，也就是電容器的總電量，總電壓U等于各個(gè)電容器的電壓之和。則總電容為因此，串聯(lián)后的電容器組具有提高耐壓的作用。143、混聯(lián)：AB根據(jù)連接計(jì)算。如圖所示，根據(jù)并聯(lián)和串聯(lián)的規(guī)律，可以得到A、B間電路的電容為

因此，混聯(lián)后電容和耐壓同時(shí)得到了提高，可以滿足容量和耐壓的特殊要求。15例1三個(gè)電容器按圖連接，其電容分別為C1、C2和C3。求當(dāng)電鍵K打開(kāi)時(shí)，將C1充電到U0，然后斷開(kāi)電源，并閉合電鍵K。求各電容器上的電勢(shì)差。KU0+q0-q0C1C2C3解:在K閉合前，

C1極板上所帶電荷量為q0=C1U0

，C2和C3極板上的電荷量為零。K閉合后，C1放電并對(duì)C2、C3充電，整個(gè)電路可看作為C2、C3串聯(lián)再與C1并聯(lián)。設(shè)穩(wěn)定時(shí)，C1極板上的電荷量為q1，C2和C3極板上的電荷量為q216解兩式得對(duì)于兩個(gè)支路的電量和電壓KU0+q0-q0C1C2C317因此，得C1

、C2和C3上的電勢(shì)差分別為18例2、一電容器兩極板都是邊長(zhǎng)為a的正方形金屬板，兩板并不嚴(yán)格平行，而是有一夾角。試計(jì)算當(dāng)時(shí)，電容器的電容。分析：由于電容器的極板之間不平行，不能直接利用平行板電容器的電容公式進(jìn)行計(jì)算。如果將極板分成無(wú)數(shù)個(gè)窄帶，每個(gè)窄帶之間的電容可以近似看作為平行板電容，由平行板電容器公式計(jì)算元電容dC，整個(gè)電容器的電容可以看作無(wú)限多個(gè)dC并聯(lián)。總電容可以通過(guò)積分來(lái)完成。19解：取如圖的坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)窄帶電容為由圖可知因此則當(dāng)時(shí)，20所以又因?yàn)?，故得（泰勒?jí)數(shù)展開(kāi)）21例3、兩根平行長(zhǎng)直導(dǎo)線截面半徑為a，中心軸線間距為d（），求單位長(zhǎng)度的電容。分析：本題的導(dǎo)體分布為對(duì)稱性組合，其電場(chǎng)分布可由高斯定理求出。注意在求電場(chǎng)時(shí)，應(yīng)采用同一坐標(biāo)系。解：建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電，根據(jù)高斯定理和電場(chǎng)疊加原理可知，兩平行導(dǎo)線間任一點(diǎn)r的電場(chǎng)強(qiáng)度為22則兩導(dǎo)線間的電勢(shì)差為由電容的定義得到所以單位長(zhǎng)度電容為2312.3電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響首先，由靜電計(jì)可測(cè)出極板間為空氣時(shí)，兩個(gè)極板間的電壓為；如果保持兩個(gè)極板間的電量不變，充滿電介質(zhì)的情況下，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)極板間的電壓減小了由于所以電場(chǎng)強(qiáng)度為真空時(shí)的倍。電介質(zhì)：絕緣體，無(wú)自由電荷,在電場(chǎng)中產(chǎn)生極化。電介質(zhì)極化特點(diǎn)：內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)一般不為零。2412.4電介質(zhì)的極化一、有極分子和無(wú)極分子電介質(zhì)有極分子：分子的正電荷中心與負(fù)電荷中心不重合。負(fù)電荷中心正電荷中心無(wú)極分子：分子的正電荷中心與負(fù)電荷中心重合。25+-有極分子+-有極分子無(wú)極分子無(wú)電場(chǎng)時(shí)的分子，呈電中性無(wú)極分子26二、電介質(zhì)的極化（有電場(chǎng)時(shí)）（1）無(wú)極分子的位移極化加上外電場(chǎng)后，在電場(chǎng)作用下介質(zhì)分子正負(fù)電荷中心不再重合，出現(xiàn)分子電矩（感生電矩）。位移極化無(wú)極分子+++---displacement

polarization27無(wú)外電場(chǎng)時(shí)，有極分子電矩取向不同，整個(gè)介質(zhì)不帶電。（2）有極分子的取向極化在外電場(chǎng)中有極分子的固有電矩要受到一個(gè)力矩作用，電矩方向轉(zhuǎn)向和外電場(chǎng)方向趨于一致。取向極化有極分子+++---orientationpolarization28結(jié)論：極化的總效果是介質(zhì)邊緣出現(xiàn)電荷分布。由于這些電荷仍束縛在每個(gè)分子中，所以稱之為束縛電荷或極化電荷。29三、電極化強(qiáng)度矢量（1）電極化強(qiáng)度矢量單位體積內(nèi)分子電矩的矢量和。（2）空間任一點(diǎn)總電場(chǎng)總電場(chǎng)束縛電荷電場(chǎng)外電場(chǎng)（3）電極化強(qiáng)度與總電場(chǎng)的關(guān)系極化率（4）極化率與相對(duì)介電常數(shù)的關(guān)系30對(duì)于非極性分子組成的電介質(zhì)，由于每個(gè)分子的感生電矩都相同，即位移極化的強(qiáng)度相同。所以，若以n表示電介質(zhì)單位體積內(nèi)的分子數(shù)，則有在國(guó)際單位制中，極化強(qiáng)度的單位是庫(kù)侖每平方米，符號(hào)為，它的量綱與面電荷密度的量綱相同。31介質(zhì)球放入前電場(chǎng)為一均勻場(chǎng)介質(zhì)球放入后電力線發(fā)生彎曲+++++++32電介質(zhì)的極化規(guī)律1、各向同性線性電介質(zhì)介質(zhì)的電極化率無(wú)量綱的純數(shù)，與無(wú)關(guān)極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度的實(shí)驗(yàn)關(guān)系介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)2、各向異性線性電介質(zhì)張量描述與、與晶軸的方位有關(guān)3、鐵電體與間非線性，沒(méi)有單值關(guān)系。33束縛電荷與電極化強(qiáng)度的關(guān)系分子電矩電極化強(qiáng)度由于極化而越過(guò)面元的總電量束縛電荷面密度dSl極化強(qiáng)度在法線方向的分量對(duì)極性分子同樣適用。34例1半徑R

的介質(zhì)球被均勻極化，極化強(qiáng)度為P。求：1)介質(zhì)球表面極化電荷的分布；

2)極化電荷在球心處的場(chǎng)強(qiáng)。解：1)球面上任一點(diǎn)由此可知，右半球面上左半球面上2)在球面上取環(huán)帶35E

沿x軸負(fù)方向。在球心處的場(chǎng)（由例8-7的結(jié)論）3612.5D矢量及其高斯定律一、D的高斯定律當(dāng)電介質(zhì)放在電場(chǎng)中時(shí)，受電場(chǎng)的作用而極化，產(chǎn)生了束縛電荷，束縛電荷反過(guò)來(lái)又影響電場(chǎng)的分布。1、環(huán)路定理一般來(lái)說(shuō)，束縛電荷的電場(chǎng)分布情況比較復(fù)雜。但這種復(fù)雜關(guān)系可以通過(guò)引入適當(dāng)?shù)奈锢砹縼?lái)簡(jiǎn)明地表示。極化電場(chǎng)也是有勢(shì)場(chǎng)37導(dǎo)體電介質(zhì)如圖所示，帶電的導(dǎo)體和電極化了的電介質(zhì)組成的系統(tǒng)可視為由一定的束縛電荷()和自由電荷()分布組成的電荷系統(tǒng)，所有這些電荷產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)分布E當(dāng)同時(shí)考慮自由電荷和束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)時(shí)總電場(chǎng)束縛電荷自由電荷2、D的高斯定律38由于電介質(zhì)為中性，則根據(jù)電荷守恒定律，由于極化而留在封閉曲面內(nèi)的多余的電荷，即體束縛電荷，為電介質(zhì)內(nèi)部的體束縛電荷我們已經(jīng)求得由于極化，穿過(guò)dS面而移出封閉曲面的電荷為通過(guò)整個(gè)封閉曲面移出的電荷為封閉面內(nèi)的體束縛電荷等于通過(guò)該封閉面的電極化強(qiáng)度通量的負(fù)值。39整理得定義：電位移矢量D的高斯定律

通過(guò)電介質(zhì)中任一閉合曲面的電位移通量等于該面包圍的自由電荷的代數(shù)和。將代入高斯定律，得——D的高斯定律40是描述電介質(zhì)中電場(chǎng)的一個(gè)輔助量，它揭示了D、E、P三個(gè)物理量之間的普遍聯(lián)系，是一個(gè)同時(shí)描述電場(chǎng)和電介質(zhì)極化的復(fù)合矢量。電位移矢量D：電位移線和電場(chǎng)線性質(zhì)不同電場(chǎng)線電位移線41二、三矢量之間的關(guān)系有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定律的應(yīng)用（1）分析自由電荷分布的對(duì)稱性，選擇適當(dāng)?shù)母咚姑?，求出電位移矢量。?）根據(jù)電位移矢量與電場(chǎng)的關(guān)系，求出電場(chǎng)。（3）根據(jù)電極化強(qiáng)度與電場(chǎng)的關(guān)系，求出電極化強(qiáng)度。（4）根據(jù)束縛電荷與電極化強(qiáng)度關(guān)系，求出束縛電荷。各向同性介質(zhì)單位為庫(kù)侖每平方米C/m242例1.一無(wú)限長(zhǎng)同軸金屬圓筒，內(nèi)筒半徑為R1，外筒半徑為R2，內(nèi)外筒間充滿相對(duì)介電常數(shù)為

r的油，在內(nèi)外筒間加上電壓U(外筒為正極），求電場(chǎng)及束縛電荷分布。解：根據(jù)自由電荷和電介質(zhì)分布的對(duì)稱性，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量均應(yīng)有柱對(duì)稱性。設(shè)內(nèi)圓筒單位長(zhǎng)度帶電為

，以r為底半徑、l為高作一與圓筒同軸的圓柱面為高斯面，則分析：這是求具有對(duì)稱性的電介質(zhì)的電場(chǎng)，可根據(jù)電位移矢量與電場(chǎng)的關(guān)系，求出電場(chǎng)。再根據(jù)束縛電荷與電極化強(qiáng)度的關(guān)系，求出束縛電荷分布。43由電位移與電場(chǎng)的關(guān)系，知44內(nèi)外筒電勢(shì)差代入得到電場(chǎng)的分布為：沿半徑向里45由得電極化強(qiáng)度矢量的分布沿半徑向里由得束縛電荷的分布束縛電荷在介質(zhì)內(nèi)表面為正，外表面為負(fù)。46例3一半徑為R的金屬球，帶有電荷q0,浸埋在均勻“無(wú)限大”電介質(zhì)（電容率為ε），求球外任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)及極化電荷分布。解:根據(jù)金屬球是等勢(shì)體，而且介質(zhì)又以球體球心為中心對(duì)稱分布，可知電場(chǎng)分布必仍具球?qū)ΨQ性，用D的高斯定律來(lái)求解。如圖所示，過(guò)P點(diǎn)作一半徑為r并與金屬球同心的閉合球面S，由高斯定律知RrPS

47所以寫成矢量式為,所以離球心r處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為因48

結(jié)果表明：帶電金屬球周圍充滿均勻無(wú)限大電介質(zhì)后，其場(chǎng)強(qiáng)減弱到真空時(shí)的1/εr倍,可求出電極化強(qiáng)度為電極化強(qiáng)度與有關(guān)，是非均勻極化。在電介質(zhì)內(nèi)部極化電荷體密度等于零，極化面電荷分布在與金屬交界處的電介質(zhì)表面上（另一電介質(zhì)表面在無(wú)限遠(yuǎn)處），其電荷面密度為49因?yàn)棣舝>1，上式說(shuō)明σ’恒與q0反號(hào)，在交界面處自由電荷和極化電荷的總電荷量為總電荷量減小到自由電荷量的1/εr倍，這是離球心r處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)減小到真空時(shí)的1/εr倍的原因。50例4平行板電容器兩板極的面積為S，如圖所示，兩板極之間充有兩層電介質(zhì)，電容率分別為ε1

和ε2

，厚度分別為d1

和d2，電容器兩板極上自由電荷面密度為±σ。求（1）在各層電介質(zhì)的電位移和場(chǎng)強(qiáng)，（2）電容器的電容.解：（1）設(shè)場(chǎng)強(qiáng)分別為E1和E2，電位移分別為D1和D2

，E1和E2

與板極面垂直，都屬均勻場(chǎng)。先在兩層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面S1，在此高斯面內(nèi)的自由電荷為零。由D的高斯定律得+

E1E2D1D2S2S1d1d2AB

1E2

2-

51所以即在兩電介質(zhì)內(nèi)，電位移和的量值相等。由于所以

可見(jiàn)在這兩層電介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)并不相等，而是和介電常數(shù)（或相對(duì)介電常數(shù)）成反比。52為了求出電介質(zhì)中電位移和場(chǎng)強(qiáng)的大小，我們可另作一個(gè)高斯閉合面S2

，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內(nèi)的自由電荷等于正極板上的電荷，按D的高斯定律，得再利用可求得方向都是由左指向右。+

E1E2D1D2S2S1d1d2AB

1E2

2-

53q=σS是每一極板上的電荷，這個(gè)電容器的電容為可見(jiàn)電容與電介質(zhì)的放置次序無(wú)關(guān)。上述結(jié)果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況（每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電容器兩極板的表面相平行）。（2）正、負(fù)兩極板A、B間的電勢(shì)差為還可以由電容器的連接方式計(jì)算得出54例5、一平板電容器板間為真空時(shí)，兩極板上所帶電荷的面密度分別為+

和-，極板間電壓為U0，這時(shí)保持兩板上電量不變，將板間一半空間充以相對(duì)介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)，求極板間電壓以及電介質(zhì)上下表面的束縛電荷。（忽略邊緣效應(yīng)）55解：設(shè)極板間距離為d，未充入介質(zhì)前極板間場(chǎng)強(qiáng)為，板間電壓為，充入介質(zhì)后，各個(gè)量如圖所示。根據(jù)圖中虛線作一圓柱形高斯面，上下底面與極板面平行，上底面位于上極板中，下底面位于電介質(zhì)中。由D的高斯定律得56由于上底在金屬板內(nèi)，場(chǎng)強(qiáng)為0，D也為0，而且D與側(cè)面平行，所以，上式中第一和第三項(xiàng)都為0，有即則同理對(duì)于右半部分又由于左右兩部分極板間的電壓相等即57則又因?yàn)殡姾杀３植蛔兟?lián)立以上兩式，得兩極板間電壓為左半側(cè)電介質(zhì)極化強(qiáng)度為方向與E1相同，垂直于電介質(zhì)表面，有58這時(shí)，極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為由于，所以這一結(jié)果說(shuō)明，兩極板間電場(chǎng)比板間全部為真空時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)減弱了，但并不像前面我們得到的結(jié)果那樣減弱到1/εr，這是因?yàn)殡娊橘|(zhì)并未充滿兩極板之間的空間的緣故。5912.6電容器的能量一、電容器的儲(chǔ)能CabK與a接通,電源對(duì)電容器充電;電容器的儲(chǔ)能轉(zhuǎn)化為光能和熱能化學(xué)能轉(zhuǎn)化為電容器的儲(chǔ)能實(shí)驗(yàn)K與b接通,電容器放電,燈閃亮。60以充電過(guò)程為例計(jì)算電容器的儲(chǔ)能dq

從負(fù)極板到正極板，電源克服電場(chǎng)力作功使電勢(shì)能增大：電源極板電量從0增加到Q，電勢(shì)能總的增量為：電容為C的電容器，帶電量Q，電壓U時(shí)的儲(chǔ)能為：61電場(chǎng)能量密度適用于任何電場(chǎng)二、電場(chǎng)的能量電容器的儲(chǔ)能就是電容器中電場(chǎng)的能量以平行板電容器為例62例1、一球形電容器，內(nèi)外半徑分別為R1和R2，兩球面間充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)，如圖所示。求此電容器帶電量為Q時(shí)所儲(chǔ)存的靜電能。分析：由于電容器內(nèi)外球面分別帶有+Q和-Q的電量，因此，可以根據(jù)高斯定理，求出各部分的場(chǎng)強(qiáng)，進(jìn)而根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)和靜電能的關(guān)系得到電容器儲(chǔ)存的電能。63解：根據(jù)高斯定律，可以知道，在內(nèi)球內(nèi)部和外球外部的電場(chǎng)強(qiáng)度都為零，因此只有兩球面之間具有場(chǎng)強(qiáng)由D的高斯定律則電場(chǎng)強(qiáng)度為64因此，此球形電容器所儲(chǔ)存的電能為利用，還可以得到電容值為65例2一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為±Q。斷開(kāi)電源后再把兩極板的距離拉開(kāi)到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為ε0）。板極上帶電±Q時(shí)所儲(chǔ)存的電能為解：（1）兩極板的間距為d和2d時(shí)，平行板電容器的電容分別為66（2）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為F

，拉開(kāi)兩極板時(shí)所加外力應(yīng)等于F

，外力所作的功A=Fd

，所以故兩極板的間距拉開(kāi)到2d后電容器中電場(chǎng)能量的增量，即外力克服電場(chǎng)力做功為67例3、一平行板電容器極板面積為S，板間距為d，相對(duì)介電常數(shù)為εr的介質(zhì)板充滿電容器兩極板間空間的一半，試求

(1)空氣間隙中所儲(chǔ)存的能量占總能量的百分?jǐn)?shù)。

(2)介質(zhì)板中儲(chǔ)存的能量占總能量的百分?jǐn)?shù)。分析：由于介質(zhì)沒(méi)有充滿電容器空間，因此，首先需要把插入介質(zhì)后的等效電容求得，再根據(jù)電容器的儲(chǔ)能公式得到各部分的儲(chǔ)能比例。68如圖所示，分別取高斯面，可得解：設(shè)極板上電荷為q，面密度為，空氣部分場(chǎng)強(qiáng)為E1，介質(zhì)中為E2，電位移分別為D1，D2。即則69兩極板間的電勢(shì)差為等效電容為電容器儲(chǔ)存的總能量為70(1)空氣隙中的能量密度為空氣隙的體積空氣隙中儲(chǔ)存