海淀區(qū)九年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)（二模）

數(shù)學(xué)

2021.4

1.本試卷共6頁(yè)，共五道大題，25道小題，滿分120分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

考

2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

生

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。

須

4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。

知

5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。

一、選擇題（本題共32分，每小題4分）

下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.

1.-6的相反數(shù)是

A-4B-IC.-6D.6

2.2013年12月2日凌晨，承載了國(guó)人登月夢(mèng)想的“嫦娥三號(hào)”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功

發(fā)射.在此次發(fā)射任務(wù)中，火箭把“嫦娥三號(hào)”送入近地點(diǎn)高度約210千米、遠(yuǎn)地點(diǎn)高

度約368000千米的地月轉(zhuǎn)移軌道.數(shù)字368000用科學(xué)記數(shù)法表示為

A.36.8X104B.3.68X106

C.3.68x105D.0.368X106□□

3.如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是

主視圖左視圖

A.長(zhǎng)方體B.圓錐

C.圓柱D.三棱柱O

俯視圖

4.如圖，AB〃CD,點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上.若NBAE=40。，則/AC。

的大小為

A.150°B.140°

C.130°D.120°

5.擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，擲一次骰子,

在骰子向上的一面上出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4的概率為

1112

A.-B.-c.一D.-

6323

6.如圖，四邊形ABC。是。O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)？是分上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則/

BPC的大小是

A.45°B.60°

C.75°D.90°

7.某次數(shù)學(xué)趣味競(jìng)賽共有10道題目，每道題答對(duì)得10分，答錯(cuò)或不答得0分，全班40

名同學(xué)參加了此次競(jìng)賽，他們的得分情況如下表所示：

成績(jī)（分）5060708090100

人數(shù)25131073

則全班40名同學(xué)的成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是

A.75,70B.70,70

C.80,80D.75,80

8.如圖1,AB是半圓。的直徑，正方形OPNM的對(duì)角線ON與A8垂直且相等，。是OP

的中點(diǎn).一只機(jī)器甲蟲從點(diǎn)A出發(fā)勻速爬行，它先沿直徑爬到點(diǎn)B,再沿半圓爬回到點(diǎn)A,

一臺(tái)微型記錄儀記錄了甲蟲的爬行過程.設(shè)甲蟲爬行的時(shí)間為f,甲蟲與微型記錄儀之間的

距離為》表示y與f的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，那么微型記錄儀可能位于圖1中的

A.點(diǎn)MB.點(diǎn)、NC.點(diǎn)、PD.點(diǎn)。

二、填空題（本題共16分，每小題4分）

9.分解因式：Z?3-6Z?2+9Z?=

10.請(qǐng)寫出一個(gè)y隨x增大而增大的正比例函數(shù)表達(dá)式，y=

11.在矩形ABC。中，由9個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形組

成的“L型”模板如圖放置，此時(shí)量得CF=3,則D

BC邊的長(zhǎng)度為.F

BC

E

12.平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A（l,1）,對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行如下操作：

第一步，作點(diǎn)A關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)A,延長(zhǎng)線段A4到點(diǎn)兒,使得2A4=AA；

第二步，作點(diǎn)4關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，延長(zhǎng)線段&$到點(diǎn)4,使得2A4=劣4；

第三步，作點(diǎn)4關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)A，延長(zhǎng)線段4A到點(diǎn)A，使得2AAi=AA；

則點(diǎn)4的坐標(biāo)為，點(diǎn)A0I4的坐標(biāo)為.

三'解答題（本題共30分，每小題5分）

13.計(jì)算：|-V3|-（71+1）°-（-）-I-2COS30。

2

x+y=3,

14.解方程組:

2x—3y=1.

15.如圖，在△ABC與△BA。中，與8c相交于點(diǎn)E,

ZC=Z￡>,EA=EB.

求證：BC=AD.

16.已知4—4。。+4〃2=0，ab^O,求1+2?,(a-b)的值.

a-b

17.列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：

每年的5月20日是中國(guó)學(xué)生營(yíng)養(yǎng)日，某校社會(huì)實(shí)踐小組在這天開展活動(dòng)，調(diào)查快餐

營(yíng)養(yǎng)情況.他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息（如圖）.若這份快餐中所含的

蛋白質(zhì)與碳水化合物的質(zhì)量之和不高于這份快餐總質(zhì)量的70%,求這份快餐最多含有多

少克的蛋白質(zhì)？Z、

信息

1.快餐成分：蛋白質(zhì)、脂肪、碳水化合物和其它.

2.快餐總質(zhì)量為400克.

3.碳水化合物質(zhì)量是蛋白質(zhì)質(zhì)量的4倍.

4

18.如圖，一次函數(shù)y=Lc+2的圖象與反比例函數(shù)y

X

的圖象交于點(diǎn)A(l,m),與x軸交于點(diǎn)B.

(1)求一次函數(shù)的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)C在x軸上，連接4c交反比例函數(shù)y=2的圖

x

象于點(diǎn)P,且點(diǎn)P恰為線段AC的中點(diǎn).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)

P和點(diǎn)C的坐標(biāo).

四、解答題(本題共20分，每小題5分)

19.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E分別是邊2C、AC的中點(diǎn)，

過點(diǎn)A作A/〃BC交OE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接CF.

(1)求證：四邊形ABOB是平行四邊形；

(2)若NCAF=45°,BC=4,CF=J15,求△CAF的面積.

20.為了滿足廣大手機(jī)用戶的需求，某移動(dòng)通信公司推出了三種套餐，資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示:

套餐資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)

套餐包含內(nèi)容超出套餐后的費(fèi)用

月套餐套餐

國(guó)內(nèi)移動(dòng)本地主國(guó)內(nèi)移動(dòng)

類型費(fèi)用本地主叫市話短信短信

數(shù)據(jù)流量叫市話數(shù)據(jù)流量

套餐一18元30分鐘100條50兆

0.1元/0.1元/

套餐二28元50分鐘150條100兆0.5元/兆

分鐘條

套餐三38元80分鐘200條200兆

小瑩選擇了該移動(dòng)公司的一種套餐，下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖都反映了她的手機(jī)消費(fèi)情況.

(填“一”、“二”或“三”)；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的數(shù)據(jù)；

(3)根據(jù)2013年后半年每月的消費(fèi)情況，小瑩估計(jì)自己每月本地主叫市話通話大約

430分鐘，發(fā)短信大約240條，國(guó)內(nèi)移動(dòng)數(shù)據(jù)流量使用量大約為120兆，除此之

外不再產(chǎn)生其他費(fèi)用，則小瑩應(yīng)該選擇套餐最劃算(填“一”、“二”或“三”)；

選擇該套餐后，她每月的手機(jī)消費(fèi)總額約為元.

21.如圖，A8為。。直徑，C、。為。。上不同于A、8的兩點(diǎn)，NABD=2NBAC,連接

CD過點(diǎn)C作CELOB,垂足為E,直線AB與CE相交于產(chǎn)點(diǎn).

（1）求證：CF為。。的切線；

3

（2）當(dāng)BF=5,sinP=一時(shí)，求的長(zhǎng).

22.在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們研究圖形的拼接問題.

比如：兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片既能拼成一個(gè)大的等腰直角三角形（如圖1）,

也能拼成一個(gè)正方形（如圖2）.

（1）現(xiàn)有兩個(gè)相似的直角三角形紙片，各有一個(gè)角為30。，恰好可以拼成另一個(gè)含有30°

角的直角三角形，那么在原來的兩個(gè)三角形紙片中，較大的與較小的紙片的相似比

為，請(qǐng)畫出拼接的示意圖；

（2）現(xiàn)有一個(gè)矩形恰好由三個(gè)各有一個(gè)角為30°的直角三角形紙片拼成，請(qǐng)你畫出兩種

不同拼法的示意圖.在拼成這個(gè)矩形的三角形中，若每種拼法中最小的三角形的斜

邊長(zhǎng)為a,請(qǐng)直接寫出每種拼法中最大三角形的斜邊長(zhǎng).

五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）

23.已知關(guān)于X的方程：f一（加一1?一加=。①和

幺一（9-〃z）x+2（/n+l）=3②，其中機(jī)＞0.

（1）求證：方程①總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)二次函數(shù)=X2一（帆一1）》一"2的圖象與X軸交于

A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），將A、8兩點(diǎn)按

照相同的方式平移后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'（1,3）處，點(diǎn)B落

在點(diǎn)*處，若點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)恰好是方程②的一個(gè)根,

求W1的值：

（3）設(shè)二次函數(shù)%=/—（9—m）x+2（m+l）,在（2）的條件下，函數(shù)y,%的圖象

位于直線x=3左側(cè)的部分與直線y=（&〉0）交于兩點(diǎn)，當(dāng)向上平移直線

y=丘時(shí).，交點(diǎn)位置隨之變化，若交點(diǎn)間的距離始終不變，則左的值是

24.在△ABC中，NABC=9(T,。為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，A￡>=a,AC=b,其中小6為常數(shù),

且。<人將△4或)沿射線BC方向平移，得到△尸CE,點(diǎn)A、B、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)F、

C、E.連接5E.

(1)如圖1,若。在△ABC內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出△FCE；

(2)在(1)的條件下，若求8E的長(zhǎng)(用含6的式子表示)；

(3)若NBAC=a,當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最大時(shí)，則NB4。的大小為；當(dāng)線段

8E的長(zhǎng)度最小時(shí)，則NS4D的大小為(用含a的式子表示).

圖1備用圖

25.對(duì)于半徑為r的。P及一個(gè)正方形給出如下定義：若。P上存在到此正方形四條邊距離都

相等的點(diǎn)，則稱0P是該正方形的“等距圓如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方

形ABC。的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),頂點(diǎn)C、。在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè).

(1)當(dāng)44五時(shí)，

①在Pi(0,-3),Pi(4,6),尸3(4應(yīng)，2)中可以成為正方形A8C。的“等距

圓”的圓心的是；

②若點(diǎn)P在直線y=-X+2上，且。尸是正方形ABCQ的“等距圓”，則點(diǎn)P的坐

標(biāo)為；

(2)如圖2,在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點(diǎn)F的

坐標(biāo)為(6,2),頂點(diǎn)E、”在y軸上，且點(diǎn)”在點(diǎn)E的上方.

①若。P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求。P在y

軸上截得的弦長(zhǎng)；

②將正方形488繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段上沒有一個(gè)點(diǎn)能

成為它的''等距圓”的圓心，則，?的取值范圍是.

圖1圖2

海淀區(qū)九年級(jí)第二學(xué)期期末測(cè)評(píng)

數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考

2021.6

三、解答題(本題共30分，每小題5分)

13.解：|一百|(zhì)-(7i+l)°+(g)T—2cos30°

=yfi—1+2—2x............................................4分

2

=1....................................................................5分

x+y=3,①

14,

2x-3y=l.②

解：由①x3+②得，5x=l().

解得，x=2.........................................................2分

把x=2代入①得，y=l.................................................4分

x=2,

.,?原方程組的解為《.....................................5分

[y=L

15.

證明：在△C4E和△O8E中，

CD

ZC=ZD,

<NCEA=NDEB,

EA=EB,AB

：.^\CAE^/\DBE......................................................3分

：.CE=DE..............................................................4分

?：EA=EB,

CE+EB=DE+EA.即BC=AD.5分

16.解：,：a2-4ab+4b2=0,

：.(a-2b)2=0..........................................................1分

?a=2b.2分

v而w0,

a+2b.,.a+2b

-z------7(a-b)=------------------

2-h2(a-h)(a+h)

_a+2b

...........................................3分

a+b

2b+2b

...........................................4分

~2b+b

4

...............................................5分

3

17.解：設(shè)這份快餐含有x克的蛋白質(zhì).........................................1分

根據(jù)題意可得：x+4x<400x70%.....................................3分

解不等式，得xV56...................................................4分

答：這份快餐最多含有56克的蛋白質(zhì)....................................5分

4

18.解：（1）4（1,〃?）在>=一的圖象上,

...A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,4）.

VA點(diǎn)在一次函數(shù)y^kx+2的圖象上,

,4=4+2.

：.k=2.

，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2.,?…

令y=0,即2x+2=0,解得x=-l.

.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）..................................................3分

（2）點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,2）；點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,0）...........................5分

四、解答題（本題共20分，每小題5分）

19.（1）證明：；點(diǎn)。、E分別是邊8CAC的中點(diǎn)，

J.DE//AB..........................................1分

\'AF//BC,

二四邊形ABDF是平行四邊形......................................2分

（2）解：過點(diǎn)F作/G,AC于G點(diǎn).?r

,/BC=4,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，/\/7\

：.BD=2./GV\

由（1）可知四邊形ABDF是平行四邊形，//W

BDC

：.AF=BD=2,

VZCAF=45°,

:?AG=GF=4i.3分

在RtZ\FGC中，NFGC=90；GF=6,CF=M,

：.GC=ylFC2-FG2=2A/2.........................................................................4分

：.AC=AG+GC=3s/2.

SCAF=-AC-FG=-x3y/2x^2=3.......................................................5分

22

20.解：(1)二；..........................................................1分

(2)

超ll+

7月8月9月10月11月12月月份

(3)三；77.......................................................................................................5分

21.證明：(1)連接OC.

9：OA=OC,

：.Z1=Z2..

又?：N3=N1+N2,

??.Z3=2Z1.

又???Z4=2Z1,

???N4=N3.................................I分

/.OC//DB.

?；CE_LDB,

???OC1CF.

又丁OC為。。的半徑，

???C/為(DO的切線............................................2分

(2)連結(jié)AO.

3

在產(chǎn)中，ZBEF=90°,BF=5,sinF=-,

???BE=3.................................................................................................3分

■:OC//BE,

：.4FBEsAFOC.

.FBBE

**OC,

設(shè)。。的半徑為r,

?53

'5+rr

15八

r=——...................................................4分

2

:AB為。0直徑，

A3=15.

ZADZ?=90°.

N4=NEBF,

：.ZF=NBAD.

..BD「3

..sinNBAD=---=sinT7=—.

AB5

,BD_3

：.BD=9...................................................5分

(2)

最大三角形的斜邊長(zhǎng)分別是2a,2a.........................................5分

五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)

23.解：(1)A=(m—I)2+4m=zn2+2m+l=(m+1)2......................1分

由機(jī)>0知必有機(jī)+l>0,故△〉().

二方程①總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根......................................2分

(2)令y=0,依題意可解得A(—1,0),

；平移后，點(diǎn)A落在點(diǎn)4(1,3)處，

...平移方式是將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得至U.

點(diǎn)B(m,0)按相同的方式平移后，點(diǎn)B'為(加+2,3)..................3分

則依題意有(m+2)2-(9-m)(m+2)+2(w+l)=3...................4分

解得町=3,加2=一；(舍負(fù)).

機(jī)的值為3....................................................5分

3

(3)k=-.....................................................7分

2

24.解：

(1)

...................................2分

(2)連接BF.

???將△4BD沿射線BC方向平移，得到△尸CE,

S.AD//EF,AD=EF-,AB//FC,AB=FC.

:NABC=90。，

四邊形A8CF為矩形.

：.AC=BF............................3分

?:ADA.BE,

/.EFYBE..........................4分

*/AD=a,AC=b,

/.EF=a,BF=b.

BE=&2-a2................................................5分

(3)180°-a；a..............................................7分

25.解：

(1)①P2,尸3；.................................................2分

②尸(-4,6)或P(4,-2)......................................4分

(2)①解：

；QP同時(shí)為正方形ABCD與正方形EFGH的“等距圓”，

QP同時(shí)過正方形ABCD的對(duì)稱中心E和正方形EFGH的對(duì)稱中心/.

點(diǎn)尸在線段E/的中垂線上.

(2,4),正方形48C。的邊CD在x軸上；F(6,2),正方形EFGH的邊

4E在y軸上，

：.E(0,2),/(3,5)

：.ZIEH=45°,

設(shè)線段E/的中垂線與)，軸交于點(diǎn)L與x軸交于點(diǎn)M,

...△L/E為等腰直角三角形，U_Ly軸，

：.L(0,5),

...△LOM為等腰直角三角形，LO=OM

：.M(5,0),

二戶在直線y=r:+5上，

.,.設(shè)P(p,-p+5)

過戶作PQ1.直線BC于Q,連結(jié)PE,

?.?。尸與BC所在直線相切，

：.PE=PQ,

??p~+(~p+5—2)=(p+2),

解得：0=5+2石，化=5-26,

《(5+26,-26)，2(5-26,2石)................................5分

???。尸過點(diǎn)E,且E點(diǎn)在y軸上，

OP在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2卜2石-2卜4厲+4或2F石-2卜4萬(wàn)-4....6分

②0＜廠＜&或r＞2折+2式.........................................8分

注：其他解法請(qǐng)參照給分.

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，

是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長(zhǎng)量=原有量X增長(zhǎng)率現(xiàn)在量

=原有量+增長(zhǎng)量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長(zhǎng)計(jì)算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積義高=S?h=；rr2h

②長(zhǎng)方體的體積V=長(zhǎng)義寬X高=2n

4.數(shù)字問題

一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問題

（1）商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品成本價(jià)（2）商品利潤(rùn)率=

商品利潤(rùn)X100%

商品成本價(jià)

（3）商品銷售額=商品銷售價(jià)X商品銷售量

（4）商品的銷售利潤(rùn)=（銷售價(jià)一成本價(jià)）X銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時(shí)間時(shí)間=路程+速度速度=路

程小時(shí)間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考

慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率義工作時(shí)間

完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲(chǔ)蓄問題

利潤(rùn)=每個(gè)期的利息義100%利息=本金X利率X期數(shù)

本金

實(shí)際問題與二元一次方程組題型歸納(練習(xí)題答案)

類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，

那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮?/p>

發(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時(shí)，依題意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時(shí)，乙的速度是3.6千米/每小時(shí)。

【變式2】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用

20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時(shí)，則水流速度y千米/小時(shí)，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得:x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時(shí)、水流速度3千米/小時(shí)，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢5.2

萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬(wàn)元.若

只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說

明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

J+/=10

（6得，故1+工=10（周）11—工=15周

“c,11015

[4K+9,=1y=—

即甲、乙完成這項(xiàng)工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬(wàn)元?jiǎng)t

'_3

（6a+6&=5.2[10a=6（萬(wàn)元）

|得，此時(shí)，__

14a+98=4.8_4=4②兀）

比莪知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤(rùn)問題

【變式1]（2011湖南衡陽(yáng)）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)

如下表：

AB

進(jìn)價(jià)（元/件）12001000

售價(jià)（元/件）13801200

（注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件;

解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A的數(shù)量為x件、購(gòu)進(jìn)B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲(chǔ)蓄問題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共

存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行

年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元（不計(jì)利息稅），問小敏的爸

爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500o

答：略。

類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與

兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個(gè)，盒底22y個(gè)

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2］某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品,

每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人,生產(chǎn)螺母的工人為v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個(gè)，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少?gòu)埛阶溃?/p>

解：設(shè)用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5.........................⑴

50X：300Y=1：4.......................⑵

解得：丫=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類型六：列二元一次方程組解決一一增長(zhǎng)率問題

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬(wàn)人，農(nóng)村人口有y萬(wàn)人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個(gè)方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬(wàn)人，農(nóng)村人口有28萬(wàn)人。

類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽

比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有丫人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題

【變式1］一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以

它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個(gè)兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位數(shù)是X,個(gè)位數(shù)是y,則這個(gè)數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1⑵

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個(gè)兩位數(shù)是56

【變式2]一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個(gè)

位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個(gè)兩位數(shù)？

解：設(shè)個(gè)位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+丫=13

解得：X=9?Y=4

這個(gè)數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減1,個(gè)位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個(gè)位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水

各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【變式2]一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%

的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40千克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題

【變式1】用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)

邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為x和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得:x=15,y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答:略

【變式2]一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m,它的周長(zhǎng)是132m,則長(zhǎng)和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長(zhǎng)為遼，寬為ym，則

142

_132

x-v------X一-3

2解得V

_56

、2y+10=xV

3

所以寬和長(zhǎng)分別為苧m、142

類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺Y歲，則

5X=Y

3(X+12)=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問題:

【變式】某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬(wàn)元從廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同

型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為：甲種每臺(tái)1500元，乙種每臺(tái)2100元，丙種每臺(tái)2500元。

(1)若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電視機(jī)50臺(tái)，用去9萬(wàn)元，請(qǐng)你研究一下商

場(chǎng)的進(jìn)貨方案；

(2)若商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲、乙、丙電視機(jī)分別可獲利150元、200元、250元，在以上的

方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？

解：Q)分情況計(jì)算：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種電視機(jī)*臺(tái)，乙種電視機(jī)y臺(tái)，丙種電視機(jī)Z臺(tái).

X+J=50,r=25,

15OOx+2100y=90000懈得‘y=25.

（I）購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)

Jx+z=50,r=35,

15OOx+25OOy=90000.解得“

（H）購(gòu)進(jìn)甲、丙兩種電視機(jī)y=15.

Jy+z=50,X=87J5,

【2100"2500z=90000.解得=-375（不合實(shí)際，舍去）

（m）購(gòu)進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)

故商場(chǎng)進(jìn)貨方案為購(gòu)進(jìn)甲種25臺(tái)和乙種25臺(tái)；或購(gòu)進(jìn)甲種35臺(tái)和丙種15臺(tái).

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）;

按方案（U），獲利150x35+250xl5=9000（元）.

二選擇購(gòu)進(jìn)甲種35臺(tái)和丙種15臺(tái).

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先

做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

3.將一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長(zhǎng)方體鐵盒中的

水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到

0.1毫米,14）.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋

需多5秒，又知第二鐵橋的長(zhǎng)度比第一鐵橋長(zhǎng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(zhǎng).

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,這種三色冰淇淋

中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè).在這16名工人中,

一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.己知每加工一個(gè)甲種零件可獲利16元,

每加工一個(gè)乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，