第4講空間直線、平面的垂直課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理與判定定理.2.能用已獲得的結(jié)論，證明空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.線面垂直的判定與性質(zhì)2023全國卷甲T11；2021新高考卷ⅠT12；2021新高考卷ⅡT10；2020新高考卷ⅠT4；2020新高考卷ⅠT20；2020全國卷ⅠT18；2019全國卷ⅡT17本講內(nèi)容是高考命題的重點，主要考查直線與平面以及平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，不僅會單獨命題，也經(jīng)常應(yīng)用于求解球的切、接問題以及建立空間直角坐標(biāo)系前的線線垂直證明中，題型既有小題也有大題，難度中等.這里應(yīng)特別注意證明空間線線、線面垂直關(guān)系時，靈活應(yīng)用平行對垂直的轉(zhuǎn)化作用.面面垂直的判定與性質(zhì)2022全國卷乙T7；2022全國卷乙T18；2021新高考卷ⅠT20；2021新高考卷ⅡT19；2020全國卷ⅡT20；2019全國卷ⅢT19垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用2023北京T16；2022全國卷甲T181.直線與直線垂直如果兩條異面直線所成的角是直角，那么就說這兩條異面直線互相垂直.2.直線與平面垂直（1）直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的①任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.（2）直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條②相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.a，b?αa?性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線⑥平行.a⊥αb⊥α?⑦規(guī)律總結(jié)垂直關(guān)系中常用的6個結(jié)論（1）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線（證明線線垂直的一個重要方法）.（2）若兩條平行線中的一條直線垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面.（3）若一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則這條直線與另一個平面也垂直.（4）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.（5）三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.（6）三垂線定理的逆定理：平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.3.平面與平面垂直（1）平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是⑧直二面角，就說這兩個平面互相垂直.（2）平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的⑨垂線，那么這兩個平面垂直.l?β⑩性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的?交線，那么這條直線與另一個平面垂直.?α⊥β1.在空間中，α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列說法錯誤的是（C）A.若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β B.若α∥β，m⊥α，n⊥β，則m∥nC.若α∥β，m?α，n?β，則m∥n D.若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β解析由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又n?β，所以α⊥β，A說法正確；由α∥β，m⊥α，得m⊥β，又n⊥β，所以m∥n，B說法正確；若α∥β，m?α，n?β，則m，n可能平行或異面，C說法錯誤；由面面垂直的性質(zhì)定理知D說法正確.故選C.2.[教材改編]下列命題中不正確的是（A）A.如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ3.已知一個平面與一個正方體的12條棱所成的角都等于α，則sinα＝（B）A.12 B.33 C.22 解析如圖所示，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，易知平面A1C1D與D1A1，D1C1，D1D所成的角都相等，又B1C1，BC，AD均與D1A1平行，A1B1，AB，DC均與D1C1平行，A1A，B1B，C1C均與D1D平行，所以平面A1C1D與正方體的12條棱所成的角都相等.連接BD1，與平面A1C1D交于點O，連接A1O，則BD1⊥平面A1C1D，則α＝∠D1A1O，且D1O＝13BD1＝33，所以sinα＝D1OD14.[教材改編]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB與A1D1所成角的大小為90°；直線AD1與DC1所成角的大小為60°.解析因為A1B1∥AB，所以∠D1A1B1就是異面直線AB與A1D1所成的角.因為∠D1A1B1＝90°，所以直線AB與A1D1所成角的大小為90°.如圖，連接AB1，B1D1.因為AB1∥DC1，所以直線AB1與AD1所成的角即直線DC1與AD1所成的角.又AD1＝AB1＝B1D1，所以△AB1D1為正三角形，所以∠D1AB1＝60°，所以直線AD1與AB1所成角的大小為60°，即直線AD1與DC1所成角的大小為60°.研透高考明確方向命題點1線面垂直的判定與性質(zhì)例1[2024惠州市二調(diào)節(jié)選]如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，側(cè)面ADD1A1是矩形，點P為D1C1的中點，且PD＝PC.求證：DD1⊥平面ABCD.解析（1）解法一因為四邊形CDD1C1是平行四邊形，點P為D1C1的中點，且PD＝PC，所以△DD1P≌△CC1P，所以∠DD1P＝∠CC1P，又∠DD1P＋∠CC1P＝180°，所以∠DD1P＝∠CC1P＝90°，所以DD1⊥D1C1，即DD1⊥DC.因為側(cè)面ADD1A1是矩形，所以DD1⊥AD，又CD∩AD＝D，CD，AD?平面ABCD，所以DD1⊥平面ABCD.解法二如圖，取DC中點E，連接PE.因為PD＝PC，所以PE⊥DC.因為四邊形CDD1C1是平行四邊形，點P為D1C1的中點，所以PE∥D1D，所以D1D⊥DC.因為側(cè)面ADD1A1是矩形，所以DD1⊥AD，又CD∩AD＝D，CD，AD?平面ABCD，所以DD1⊥平面ABCD.方法技巧1.證明線面垂直的常用方法（1）利用線面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b∩c＝M，b?α，c?α?a⊥α）；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理（α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a?β?a⊥α）；（3）a⊥α，α∥β?a⊥β；（4）a∥b，a⊥α?b⊥α.2.證明線線垂直的常用方法（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直；（2）計算兩條直線的夾角的大小為90°或運用勾股定理的逆定理判斷垂直；（3）平面幾何中常見的垂直，如直徑所對的圓周角為直角，菱形對角線相互垂直等.3.證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).訓(xùn)練1[2023全國卷甲]已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，則△PBC面積為（C）A.22 B.32 C.42 D.62解析如圖，取CD，AB的中點分別為E，F(xiàn)，連接PE，EF，PF，因為PC＝PD，所以PE⊥CD，又底面ABCD是正方形，所以EF⊥CD，又PE∩EF＝E，所以CD⊥平面PEF，又AB∥CD，所以AB⊥平面PEF，又PF?平面PEF，所以AB⊥PF，所以PA＝PB.在△PAC中，由余弦定理，得PA＝PC2＋AC2－2PC·ACcos45°＝17，所以PB＝17.在△PBC中，由余弦定理，得cos∠PCB＝PC2＋BC2－BP22PC訓(xùn)練2[全國卷Ⅰ節(jié)選]如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE＝AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，PO＝66DO.證明：PA⊥平面PBC.解析設(shè)DO＝a，由題設(shè)可得PO＝66a，AO＝33a，AB＝a，PA＝PB＝PC＝2因此PA2＋PB2＝AB2，從而PA⊥PB.又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.又PB∩PC＝P，PB，PC?平面PBC，所以PA⊥平面PBC.命題點2面面垂直的判定與性質(zhì)例2[2021新高考卷Ⅱ節(jié)選]如圖，在四棱錐Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，AD＝2，QD＝QA＝5，QC＝3.證明：平面QAD⊥平面ABCD.解析在△QDC中，因為QD2＋CD2＝QC2，所以CD⊥QD.又CD⊥AD，QD∩AD＝D，QD，AD?平面QAD，所以CD⊥平面QAD.因為CD?平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD.例3[2024江蘇常州模擬節(jié)選]如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為梯形，其中AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝4，∠BCD＝60°，平面PBD⊥平面ABCD.證明：PB⊥AD.解析由題意知△BCD為等邊三角形，則BD＝BC＝2，又AB∥DC，則∠ABD＝60°，在△ABD中，AB＝4，BD＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD＝42＋22－2×4×2×cos60°＝12，則AD＝23，所以AD2＋BD2＝AB2，即AD⊥BD，因為平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面PBD.又PB?平面PBD，故PB⊥AD.方法技巧1.證明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明二面角的平面角為直角的問題.（2）利用面面垂直的判定定理（a?α，a⊥β?α⊥β）.2.面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù).訓(xùn)練3[2022全國卷乙]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則（A）A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D解析如圖，對于選項A，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，又AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，從而EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故選項A正確；對于選項B，因為平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以由選項A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故選項B錯誤；對于選項C，由題意知直線AA1與直線B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC不平行，故選項C錯誤；對于選項D，連接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C與平面B1EF有公共點B1，所以平面A1C1D與平面B1EF不平行，故選項D錯誤.故選A.訓(xùn)練4[2024福建泉州質(zhì)量監(jiān)測節(jié)選]如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥PB，PA＝PB，AB＝2BC＝2，平面PAB⊥平面ABC.求三棱錐P－ABC體積的最大值.解析取AB的中點O，連接PO，如圖所示.因為PA＝PB，所以PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PO?平面PAB，所以PO⊥平面ABC.因為PA⊥PB，PA＝PB，AB＝2BC＝2，所以PO＝1，BC＝1，所以V三棱錐P－ABC＝13S△ABC·PO＝13×（12AB·BC·sin∠ABC）·PO＝13因為∠ABC∈（0，π），所以0＜sin∠ABC≤1，V三棱錐P－ABC≤13當(dāng)且僅當(dāng)sin∠ABC＝1，即∠ABC＝π2時，等號成立故三棱錐P－ABC體積的最大值為13命題點3垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例4[2023北京高考節(jié)選]如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝3.求證：BC⊥平面PAB.解析因為PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PA⊥AC，又PA＝1，PC＝3，所以AC＝2.因為AB＝BC＝1，所以AB2＋BC2＝AC2，所以BC⊥AB.因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.方法技巧線線垂直線面垂直面面垂直訓(xùn)練5[2022全國卷甲]小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.（1）證明：EF∥平面ABCD.（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.解析（1）如圖，分別取AB，BC的中點M，N，連接EM，F(xiàn)N，MN，∵△EAB與△FBC均為正三角形，且邊長均為8，∴EM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，且EM＝FN.又平面EAB與平面FBC均垂直于平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM?平面EAB，F(xiàn)N?平面FBC，∴EM⊥平面ABCD，F(xiàn)N⊥平面ABCD，∴EM∥FN，∴四邊形EMNF為平行四邊形，∴EF∥MN.又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.（2）如圖，分別取AD，DC的中點P，Q，連接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD.由（1）知EM⊥平面ABCD，F(xiàn)N⊥平面ABCD，同理可證得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝43，EM∥FN∥GQ∥HP.易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD