第五章數(shù)列（選擇性必修第二冊）

第1節(jié)數(shù)列的概念

課時作業(yè)靈活分層，高效提能

［選題明細(xì)表］

知識點、方法題號

數(shù)列的通項公式及前n項和1,2,4,7,9,13

數(shù)列的性質(zhì)3,5,6,8,10,11

綜合應(yīng)用12,14,15

rA級基礎(chǔ)鞏固練

L若數(shù)列的前4項分別是冷沁,則此數(shù)列的→通項公式為

（A）

Πn

R（-Dn（τ）-τ

nn

2

2.（多選題）已知數(shù)列｛4｝的通項公式為an=π-2n,則下列各數(shù)中，是數(shù)

列｛all｝中的項的是（ABD）

A.OB.8C.16D.24

解析:對于A,若n2-2n=0,解得n=2或n=0（舍去）；

對于B,若n^-2n=8,解得n=4或n=~2（舍去）;

對于C,若n2-2n=16,無正整數(shù)解；

對于D,若n2-2n=24,解得n=6或n=-4（舍去）.

3.已知數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列，且其通項公式為a0=!?+入n,則實數(shù)人的

取值范圍是（D）

A.(--,+8)B.[O,+°o)

C.[-2,+∞)D.(-3,+∞)

2

解析：由題意an÷ι-an=(n+l)+λ(n+l)-(n^+λn)=2n+l+λ>0,

所以人>-2n-l.因為n≡N*,所以人>-3.

4.在數(shù)列｛aj中，aι=2,am=an+ln(l+3,則以等于(A)

Tl

A.2+lnnB.2+(∏-1)Inn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

解析:an=(an-an-ι)+(an-ι-an-2)+…+(a2^aι)+a?

=ln-?-+ln-+???+ln-+2

∏-1n~21

=In(―?—...........-)+2

n-ln-21

=Inn+2(n≥2),

當(dāng)n=l時,aι=2也符合上式.

綜上,aπ=lnn+2.

5.已知數(shù)列｛arι｝滿足ag2a3…a。=!?,其中n=l,2,3,…，貝!)數(shù)歹(]｛a<1｝

(A)

A.有最大項,有最小項

B.有最大項,無最小項

C.無最大項,有最小項

D.無最大項,無最小項

解析:ai=l,當(dāng)n22時，

H=??為=三=（1+」_）2＞即隨著n的逐漸增大,二趨向

aa

α1?α2?3.n-ι（∏-1）∏-1n-l

于0,所以數(shù)列｛a11｝先增后減并逐漸趨向于1,故最大項為a2=4,最小項

為aι=l.

=

6.已知數(shù)列｛a-滿足3I3,Hn‰+ι^^2=2an,則&022的值為.

解析：由題意,得a∏z≠0,則a+ι-2--,而a?-3,

nɑn

所以@2=P33=~,^1=—2,45=3,….

故ω是周期為4的數(shù)列，

所以@2022=∏4×505+2=3-2=~.

答案q

7.設(shè)Sn是數(shù)列｛aj的前n項和，且Sn=3an+2,則｛aj的通項公式為

an=.

解析：當(dāng)n=l時，Sι=3aj+2,a,=-l,

當(dāng)n32時,Sn=3an+2,①

Sn-I=3a∏τ+2,②

①-②得an=∣an1,

所以&尸-（|尸.

答案:-（|嚴(yán)

8.無窮數(shù)列｛a,,｝的前n項和記為Sn.若｛an｝是遞增數(shù)列,而｛S,1｝是遞減

數(shù)歹U,寫出數(shù)列｛4｝的一個通項公式.

解析：因為SJ是遞減數(shù)列,可以考慮aW0,而｛a11｝是遞增數(shù)列,可以構(gòu)

造a0=」（答案不唯一）.

n

答案:a"=」（答案不唯一）

n

π

9.已知數(shù)列｛aj滿足al=2,an+-an=3?4-2,數(shù)列｛bj的前n項和為

n(n+l),n∈N*,求數(shù)列｛a∏｝,｛bj的通項公式.

解：由題可知，當(dāng)n22時,

-

an=(anan-ι)+…+(a3-a2)+(a2-aι)+a?

二3(4n^1+4n-2+???+4)-2(n-1)+2

A,—4"1?4

=3X———--2π+4=4n-2n,

1-4

當(dāng)n=l時,aι=2符合上式，

所以a∏=4n-2n.

當(dāng)n≥2時，bn=n(n+l)-(n-l)n=2n,

當(dāng)n=l時,bι=2符合上式，

所以bn=2n.

綜合運用練

10.已知數(shù)列｛a｝的通項公式為a,,=n2-lln+-,a$是數(shù)列｛a,J的最小項,

nn

則實數(shù)a的取值范圍是(D)

A.[-40,-25]B.[-40,0]

C.[-25,25]D.[-25,0]

解析：由條件得對任意的n∈N*,有an2a5恒成立，

即n2-lln+-≥--30,

n5

整理得(n-5)(n-6)學(xué)任巴旦.

Sn

當(dāng)n≤4時,不等式化簡為a25n(n-6)恒成立，

當(dāng)n=l時,5點『6)取得最大值-25,

所以a2-25.

當(dāng)n≥6時,不等式化簡為a≤5n(n-6)恒成立,所以a≤0.

綜上,實數(shù)a的取值范圍是[-25,O].

11.（多選題）設(shè)a,b∈R,無窮數(shù)列｛ar,｝滿足:a】=a,atl,1=-c?+ba11T,n∈N*,

則下列說法正確的是（ABC）

A.b=l時,對任意實數(shù)a,數(shù)列｛aj單調(diào)遞減

B.b=-l時,存在實數(shù)a,使得數(shù)列｛an｝為常數(shù)列

C.b=-4時,存在實數(shù)a,使得｛an｝不是單調(diào)數(shù)列

2018

D.b=0時,對任意實數(shù)a,都有a2020>-2

解析：當(dāng)b=l時，an÷ι=-αn+an-l,an÷ι-an=-αn-l<0,

則對任意實數(shù)a,數(shù)列｛all｝單調(diào)遞減,故A正確.

---------2

當(dāng)b=^l時，an+ι=cι^anl,an+ιan=cz^anlan=（a∏+l）≤0,

存在實數(shù)a=T,使得數(shù)列⑸｝為常數(shù)列，故B正確.

當(dāng)b=-4時,an÷ι=-αn-4a∏-l,取a=-3,可得｛all｝不是單調(diào)數(shù)列，故C正確.

當(dāng)b=0時，a∏tι=-α?-l≤-2an,取aι=a=l,

234529

則a2≤-2,a3≥2,a4≤-2,a5≥2,a6≤-2,…,a2020≤-2°'.故D錯誤.

12.已知數(shù)列｛a,｝滿足皿3=2,a∣=20,則幺的最小值為（C）

rnn

A.4√5B.4√5-l

C.8D.9

解析：由a∏+ι-a∩=2n知a2-aι=2X1,a?-?=2×2,,*,,a∏-a∏τ=2（n-1）,n22,

2

以上各式相加得a,1-a1=n-n,n≥2,

所以a,,=n2-n+20,n≥2,

當(dāng)n=l時,aι=20符合上式,

所以幺=n+空-l,n∈N*,

nn

所以當(dāng)n≤4時,血單調(diào)遞減，當(dāng)n≥5時,出單調(diào)遞增，因為

nn45

所以血的最小值為F=?=8?

n45

22

13.在數(shù)列｛aj中,al=2,(π+l)an÷ι=2(n-2π+2)an,求數(shù)歹U｛aj的通項

公式.

2

&i+i2[(1)+1]

解：由已知2

αnn+l

所以當(dāng)n22時,

2

I

=工.阻二L.................≤3.￡2-2[(Q-2)+1]2[(71-3產(chǎn)+1]2[12+]

ɑnɑ?/、22

ɑn-l%1-2。2ɑi(τi-l)+1(n-2)+l22+l

2[02+l].2.2n

12+1(n-l)2+l,

當(dāng)n=l時,a1=2也滿足上式,

所以2w?

14.已知數(shù)列｛aj中,a1=l,其前n項和為Sn,且滿足2Sn=(n+l)an(n∈N*).

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式;

π

⑵記bn=3-λ成,若數(shù)列依｝為遞增數(shù)歹U,求實數(shù)λ的取值范圍.

解：⑴因為2Sk(n+l)an,

所以2S11+ι=(n÷2)an÷ι,

所以2an÷ι=(n+2)an+-(n+1)an,

即na*(n+l)a,所以安當(dāng)，

tln+1n

所以嘰*所以a=n.

nn-l1n

n2

⑵由⑴得,bn=3-λn.

n+2n2n

bn+ι-bn=3'-λ(n+l)-(3-λn)=2?3-λ(2n+l).

因為數(shù)列｛bn｝為遞增數(shù)列，

所以2