《工程數(shù)學》試題第1頁共6頁一、單項選擇題一、單項選擇題（每小題3分，共15分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。得分評卷人1．某人打靶3發(fā)，事件Ai表示“擊中i發(fā)”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示(

)。

A.全部擊中.

B.至少有一發(fā)擊中.

C.必然擊中

D.擊中3發(fā)2．對于任意兩個隨機變量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，則有(

)。A.X和Y獨立。B.X和Y不獨立。C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)

D.D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函數(shù)中可以作為某個隨機變量的概率密度函數(shù)的是（）。A．。B.C.D.，4．設隨機變量X～,Y～,,,則有（）A.對于任意的,P1=P2B.對于任意的,P1<P2C.只對個別的，才有P1=P2D.對于任意的,P1>P25．設X為隨機變量，其方差存在，c為任意非零常數(shù)，則下列等式中正確的是（）A．D(X+c)=D(X).B.D(X+c)=D(X)+c.C.D(X-c)=D(X)-cD.D(cX)=cD(X)得分二、填空題（二、填空題（每空3分，共15分）6．設3階矩陣A的特征值為-1，1，2，它的伴隨矩陣記為A*，則|A*+3A–2E|=。7．設A=，則=。8．設有3個元件并聯(lián)，已知每個元件正常工作的概率為P，則該系統(tǒng)正常工作的概率為。9．設隨機變量的概率密度函數(shù)為，則概率。10．設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則系數(shù)。得分三、計算題三、計算題（每小題10分，共50分）11．求函數(shù)的傅氏變換(這里)，并由此證明：出理由。14．將n個球隨機的放入N個盒子中去，設每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的數(shù)學期望。15．設一口袋中依此標有1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個球。從中任取一球，記隨機變量X為取得的球上標有的數(shù)字，求(1)X的概率分布律和分布函數(shù)。(2)EX得分四、證明題（四、證明題（共10分）16.設a=(a1,a2,…,an)T，a1≠0,其長度為║a║，又A=aaT,證明A2=║a║2A證明a是A的一個特征向量，而0是A的n-1重特征值；A能相似于對角陣Λ嗎？若能,寫出對角陣Λ.得分五、應用題（共10分）評卷人五、應用題（共10分）17.設在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量X是隨機變量,它在[2000,4000](單位：噸)上服從均勻分布，又設每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需保養(yǎng)費1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。參考答案及評分標準選擇題（每小題3分，共15分）1．B2．C3．D4．A5．A填空題（每小題3分，共15分）6.97.18.1–(1–P)39.3/410.12三、計算題（每題10分，共50分）11.解答：函數(shù)f(t)的付氏變換為：F(w)=（3分）=(2分)由付氏積分公式有f(t)=F(w)]=(2分)===（2分）所以（1分）12.解答:設A1=“發(fā)出信號1”，A0=“發(fā)出信號0”，A=“收到信號1”（2分）(1)由全概率公式（1分）有P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)（2分）=0.8x0.6+0.1x0.4=0.52（1分）(2)由貝葉斯公式（1分）有P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/P(A)（2分）=0.8x0.6/0.52=12/13（1分）13.解答:由聯(lián)合概率密度的性質有即（2分）從而c=8（2分）(2)（2分）(3)當x>0時，（2分）當x<=0時,同理有（1分）因故X與Y相互獨立（1分）14.解答：設i=1,2,…,N(2分)則(1分)因(2分)(2分)因而(2分)所以(2分)15.解答：（1）隨機變量的取值為1，2，3。（1分）依題意有：（3分）的分布函數(shù)（1分）由條件知：當時，（1分）當時，（1分）當時，（1分）當時，（1分）（2）EX=1x1/6+2x3/6+3x2/6=13/6（1分）四、證明題（共10分）(1)A2=aaT·aaT=aTa·aaT=║a║2A(2)因Aa=aaT·a=aTa·a=║a║2a故a是A的一個特征向量。又A對稱，故A必相似于對角陣（1分）設A∽diag(λ1,λ2,…,λn)=B,其中λ1,λ2,…,λn是A的特征值(1分)因rank(A)=1,所以rank(B)=1(1分)從而λ1,λ2,…,λn中必有n-1個為0,即0是A的n-1重特征值（1分）(3)A對稱，故A必相似于對角陣Λ，Λ=diag(║a║2,0,…,0)(2分)五、應用題（共10分）解答:設y為預備出口的該商品的數(shù)量，這個數(shù)量可只介于2000與4000之間，用Z表示國家的收益（萬元）,（1分）則有（4分）因X服