2022-2023學年陜西省榆林市高二下學期第一次階段測試數(shù)學(文)試題

一、單選題

1.設z=；；,則IZ卜

A.2B.√3C.√2D.1

【答案】C

【分析】先由復數(shù)的除法運算(分母實數(shù)化)，求得z,再求百.

【詳解】因為z=F4,所以Z=9嘿卷=T-Ti，所以IZl=M)2+(W>=√L故選C.

1+2，(l+zz)(l-2z)33,55

【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法運算，復數(shù)模的計算.本題也可以運用復數(shù)模的運算性質(zhì)直接求

解.

2.已知集合U={l,2,3,4,5,6,7},∕={2,3,4,5},8={2,3,6,7},則8∩Cf7∕

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7)

【答案】C

【分析】先求CM,再求BCQ,/.

【詳解】由已知得q∕={L6,7},所以BcQM={6,7},故選C.

【點睛】本題主要考查交集、補集的運算.滲透了直觀想象素養(yǎng).使用補集思想得出答案.

3.已知α=log?0.2,6=2%c=0.203,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】運用中間量0比較a，。，運用中間量1比較方，c

02o3o

【詳解】a=Iog20.2<Iog21=0,A=2>2°=1,0<O.2<O.2=1,則0<c<l,α<c<h,??j?B.

【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取中間變量法，利

用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

4.甲、乙、丙三人中，一人是教師、一人是記者、一人是醫(yī)生.已知：丙的年齡比醫(yī)生大；甲的年

齡和記者不同；記者的年齡比乙小.根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是()

A.甲是教師，乙是醫(yī)生，丙是記者

B.甲是醫(yī)生，乙是記者，丙是教師

C.甲是醫(yī)生，乙是教師，丙是記者

D.甲是記者，乙是醫(yī)生，丙是教師

【答案】C

【分析】首先可以推斷丙是記者，再根據(jù)丙的年齡比醫(yī)生大，推斷出乙，即可判斷；

【詳解】解：由甲的年齡和記者不同，記者的年齡比乙小，得到丙是記者，

從而排除B和￡)；

由丙的年齡比醫(yī)生大，得到乙不是醫(yī)生，從而乙是教師，甲是醫(yī)生.

故選：C.

5.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去

掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特

征是

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

【答案】A

【分析】可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案.

【詳解】設9位評委評分按從小到大排列為x,≤x2≤x3≤x4-≤x8≤x9.

則①原始中位數(shù)為工5，去掉最低分4，最高分的，后剩余七Sx?…4%，

中位數(shù)仍為乙,A正確.

-1—1

②原始平均數(shù)X=§(X1+X2+X3+X4…+4+/)，后來平均數(shù)X'=](X2+Λ?+?X4…+4)

平均數(shù)受極端值影響較大，???I與P不一定相同，B不正確

③s2=Ja-'Y+(環(huán)-WiH%-?)2]

s'^=y^(x2-x)+(x3-χ,)^l1^(?-χ,)由②易知，C不正確.

④原極差=H-x∣,后來極差=?-?r2可能相等可能變小，D不正確.

【點睛】本題旨在考查學生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.

6.某學校為了解IoOO名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1,2,…，1000,從這些新生中用

系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的

是

A.8號學生B.200號學生C.616號學生D.815號學生

【答案】C

【分析】等差數(shù)列的性質(zhì).滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).使用統(tǒng)計思想，逐個選項判斷得出答案.

【詳解】詳解：由己知將IOOO名學生分成IOO個組，每組10名學生，用系統(tǒng)抽樣，46號學生被抽

到，

所以第一組抽到6號，且每組抽到的學生號構(gòu)成等差數(shù)列{4},公差d=10,

所以?！?6+10M(Λ∈N*),

若8=6+10”，則〃=不合題意；若200=6+10”，則〃=19.4,不合題意；

若616=6+10”，則〃=61,符合題意；若815=6+10”，則〃=80.9,不合題意.故選C.

【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣.

7.設ɑ,僅為兩個平面，則夕//￡的充要條件是

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與萬平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.a,尸平行于同一條直線

D.a,耳垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用

面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：α內(nèi)兩條相交直線都與尸平行是。//￡的充分條件，由面面平

行性質(zhì)定理知，若α〃夕，則α內(nèi)任意一條直線都與月平行，所以α內(nèi)兩條相交直線都與月平行是

α〃夕的必要條件，故選B.

【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆

斷,如：“若aua,buβ,a"b,則α//”此類的錯誤.

8.已知非零向量Z,B滿足同=2同，且(Z-可",則Z與3的夾角為()

π_π2π一5兀

A.-B.-Cλ.—D.—

6336

【答案】B

【分析】設￡,?的夾角為0,可，根據(jù)R-Z)?LA得到CoSO=g,得到答案.

【詳解】設￡，石的夾角為凡0∈[0,π],

因為忖=2問，(”5)15,

所以(α-5)?5=α?5=2∣4×∣[cose-j不=0,

1Ji

則COSθ=—,θ――.

23

故選：B.

9.己知函數(shù)/⑴二以山⑷工+9乂/:^0:^W上萬堤奇函數(shù)，將y=∕(x)的圖像上所有點的橫坐標

伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖像對應的函數(shù)為g(x).若g(x)的最小正周期為2兀，且

A.-2B.-√2C.√2D.2

【答案】C

【解析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出4。,S值即可.

【詳解】因為/(x)為奇函數(shù)，,/(O)=Nsins=O,φ=kπ,:.k=0,φ=0t

又g(x)=4sinlGx,.?.T=-2π,

-ω

2

ω=2,A=2,又g(f)=√∑

4

Λ/(x)=2sin2x,/(—)=√2.

8

故選C.

【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關鍵是求出函數(shù)g(x).

10.Z?Z8C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為4,b,c,已知QSirL4—bSinL^=4csinC,cos?l=—?,則“二

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】利用余弦定理推論得出Q，b,C關系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.

【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得/一/=4/,由余弦定理推論可得

1,b→c2-a2.c2-4c21.3c1,?3

4r故選A.

42be2bc42b4cl

【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用.

11.已知尸是雙曲線e:f-fn的一個焦點，點P在C上，O為坐標原點，若IoPl=Io/I，則4OPF

的面積為

3C5八7C9

A.—B.-C.—■D.—

2222

【答案】B

【解析】設尸(X。/。)，因為|。尸卜|。日再結(jié)合雙曲線方程可解出IW,再利用三角形面積公式可求出

結(jié)果.

【詳解】設點-(χ°,y°),則與-亨=1①.

X∣OP∣=∣OF∣=√4+5=3,

???為2+%2=9②.

由①②得J√=三，

即聞=?∣,

S^PF="ι^∣?∣=∣×3×∣=∣.

故選B.

【點睛】本題易錯在忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導致求解不暢.

12.設函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足“x+l)=2∕(x),且當x∈(0刀時，/(x)=Xa-I).若對任意

Q

xe(-∞,m],都有/(x)≥-3,則"7的取值范圍是

D?卜吟

【答案】B

【分析】本題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問題，需準確求出函數(shù)每一段解析式，分

析出臨界點位置，精準運算得到解決.

【詳解】?.?χe(0J]時,f(x)=x(x-l),f(x+l)=2f(x),f(x)=2f(x-1),即/⑶右移1個單位，

圖像變?yōu)樵瓉淼?倍.

Q

如圖所示：當2<x≤3時，/(x)=4∕(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-],整理得：

788

2

9x-45x+56=0,.?.(3x-7)(3x-8)=0,.?.xl=-^2=?(舍)，XG(-8,∕M]時，/(x)≥-,成立,

【點睛】易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側(cè)擴大到2倍，導致題

目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達式的理解，平時應加強這方面練習，提高抽象概括、數(shù)學建模能力.

二、填空題

13.曲線y=3(f+?)e?在點(0,0)處的切線方程為.

【答案】3x-y=0.

【分析】本題根據(jù)導數(shù)的幾何意義，通過求導數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求

得切線方程

【詳解】詳解：V=3(2x+l)ev+3(χ2+x)d=3(χ2+3x+l)e?

所以，左=yl=o=3

所以，曲線y=3(f+χ)e，在點(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x-y=0.

【點睛】準確求導數(shù)是進一步計算的基礎，本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤.求

導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求.

3

14.記S〃為等比數(shù)列｛m｝的前〃項和.若q=1，Si=-,則&=.

【答案】

O

【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關于等比數(shù)列公比9的方程，應用等比數(shù)列的求和公式，計算得

到其.題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.

【詳解】詳解：設等比數(shù)列的公比為4,由已知

31

=Ql+Qq+qg~=l+g+g~=~,βpq~+q+l=0

解得4=-；，

j

所以S"*F?M

【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及‘幕的乘方運算、繁分式分式計算,

部分考生易出現(xiàn)運算錯誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算邑=邑+%=53+4爐=：+(-33=：,避免

428

繁分式計算.

15.函數(shù)/(x)=sin(2x+$-3cosx的最小值為.

【答案】-4.

【分析】本題首先應用誘導公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，進一步應用二倍角的余弦公式，得到關

于CoSX的二次函數(shù)，從而得解.

【詳解】f(?)=sin(2x÷—)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-2(cosx+-^-)2+—,

248

v-l≤cosx≤1,.?.當cosx=1時，∕min(%)=-4,

故函數(shù)/(X)的最小值為-4.

【點睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視-l≤cosx≤l的限制，而簡單應用二次函數(shù)的性質(zhì)，出

現(xiàn)運算錯誤.

TT

16.“18C的內(nèi)角48,C的對邊分別為α,b,c.若6=6,α=2c,3=],則“(8C的面積為.

【答案】6√3

【分析】本題首先應用余弦定理，建立關于C的方程，應用凡c的關系、三角形面積公式計算求解，

本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎知識、基本方法、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考

查.

【詳解】由余弦定理得b2=∕+c2-2αccos8,

^?y,(2c)2+c2-2×2c×c×∣=62,

BPC2=12

解得。=2百,。=-2百(舍去)

所以α=2c=4√L

SutBC=；Qc'sin5=y×4V3×2Λ∕J×^?=e?/?.

【點睛】本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤.解答此類

問題，關鍵是在明確方法的基礎上，準確記憶公式，細心計算.

三、解答題

17.某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給

出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？

n(ad-bc)2

附：K2

(α+6)(C+d)(α+C)(6+d)

PCK2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

43

【答案】(1)—；

(2)能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.

【分析】(1)從題中所給的2x2列聯(lián)表中讀出相關的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算

出相應的頻率，即估計得出的概率值；

(2)利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價

有差異.

【詳解】(1)由題中表格可知，50名男顧客對商場服務滿意的有40人，

所以男顧客對商場服務滿意率估計為6=券4()=]4,

50名女顧客對商場滿意的有30人，

303

所以女顧客對商場服務滿意率估計為A?

⑵由列聯(lián)表可知片=1°°他2。-30x10-1。?！?.762>3.841,

70×30×50×5021

所以能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.

【點睛】該題考查的是有關概率與統(tǒng)計的知識，涉及到的知識點有利用頻率來估計概率，利用列聯(lián)

表計算K2的值，獨立性檢驗，屬于簡單題目.

18.已知向量α=(cosx,-1),∕∣=(√Jsinx,cos2x),xeR,設函數(shù)/(x)=a?b.

(1)求f(X)的最小正周期.

(II)求f(x)在θ,?上的最大值和最小值.

2ττ1

【答案】(1)7=T=〃(1I)/(x)m*=1/(X)min=--

【分析】先求出f(x),然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】/(x)=S`b=>∕3sinxcosx-‰os2x

百?r1C

=——sin2x——cos2x

22

=Sin(2x-1)

(I)/(X)的最小正周期為T=3=乃.

(U),?,X∈[0,―],.,.2x-γ-∈[-?—],.,.sin(2x-—)∈[-—,1]

故當2x-2=3即X=J時，/(X)max=I

oZ3

TTπI

當2x-=)即x=0時，/(X)=--

766min2

本題主要考查的是向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的周期，最值問題.正確運用公式

____2TT

若a=(x,y,),b=(x,%),x∈R,則a??=x,x+yyT=——以及函數(shù)N=力Sin(S+￠)圖像性質(zhì)的熟練

122｝2CD

運用是解答關鍵.本題屬于高考的?？碱愋停枰嗉泳毩?，關注三角函數(shù)和定積分的結(jié)合也是熱點

之一.

【考點定位】本題考查三角恒等變形、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識.簡單題.

19.己知數(shù)列｛?！埃那啊椇蚐,,滿足SK=勺氣"eN-).

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)設2=αj3"?GeN*),求數(shù)列抄“｝的前〃項和7；.

【答案】⑴a,,=n.,(2)7L=→(y-^?3"+l.

∣7~-U17/\_[S],/7=1

【分析】(I)由數(shù)列｛an｝的前n項和Sn滿足Sn=j?〃eN*),利用ɑ“=c'、。，能求出

2`,〔'-Ei，n≥2

數(shù)列｛atl｝的通項公式.

（Il）推導出a="?3",由此利用錯位相減法能求出數(shù)列｛bn｝的前n項和.

【詳解】解：（I）當"≥2時，q=S.-S,τ=”;當〃=1時，?=5,=1,符合上式.

綜上，

(II)"="?3".則7；=l?3∣+2?32+3.33+.??+"?3?,

37；,=1?32+2?33+3?34+???+Π?3"+I,

31-3"

=3+32+33+-?+3,,-π?3,,+,=-^------->n-y,f'，

1-3

【點睛】用錯位相減法求和應注意的問題（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情

形；（2）在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn—qSn”的

表達式；（3）在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于I兩種

情況求解.

20.如圖，在四棱錐S-48C。中，底面NBCQ是矩形，S4，底面Z8C。，M=N。，點M是SD的

中點，ZN_LSC且交SC于點M

⑴求證：SB〃平面/CM；

（2）求證：平面S4C_L平面及WM

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）連結(jié)8。交NC于E,連結(jié)ME,由三角形中位線的性質(zhì)可得ME〃S8,結(jié)合線面平行

的性質(zhì)可得S3//平面ACM；

（2）由線面垂直得線線垂直，由線線垂直證明線面垂直，從而證明面面垂直.

【詳解】（1）連結(jié)8。交NC于E,連結(jié)ME,

因為/8CQ是矩形，所以E是8。的中點，

因為M是SO的中點，所以ME是ADS8的中位線,

所以ME//SB,

又MEU平面/C”，SBa平面4CΛ∕,

所以S3〃平面NCM；

(2)因為MJ■底面N8C0,CZ)U底面4SC0,

所以S4LCD,又四邊形/88為矩形，所以NO_LC。，

又S∕∏4D=/,MU平面“O,/OU平面SZO,

所以CC平面SZD,因為/MU平面$40,所以CD_L/A/,

由題意，S/=/。，點A/是S3的中點，所以4W_LS。，

又SDCCD=D,SDU平面Sa),COu平面SCr),

所以力Ml平面Se。，因為SCU平面SCD,所以SdM,

又ANI.SC,AMCAN=A,4〃U平面/MN,ZNU平面4MN,

所以SC，平面4W,又因為SCU平面S4C,所以平面S4CJ?平面4W.

fx=COSe

21.在直角坐標系XOM中，曲線C的參數(shù)方程為C.A(9為參數(shù))，以坐標原點。為極點，X

[?=2sιnθ

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

2夕CoSe+6∕JSine+11=O.

(1)求C和/的直角坐標方程；

⑵求C上的點到/距離的最小值.

2

【答案】(I)X2+匕=1;2x+√3j+ll=0

4

⑵77

【分