數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的概念是學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，是考試的重要的考查內(nèi)容之一，一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度較小．(2)解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是明確復(fù)數(shù)相關(guān)概念．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])1．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0.(2)z∈R?z＝eq\x\to(z).(3)z∈R?z2≥0.2．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)?a＝0，且b≠0.(2)z是純虛數(shù)?z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)．(3)z是純虛數(shù)?z2<0.3．復(fù)數(shù)相等的充要條件a＋bi＝c＋di?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝d))(a，b，c，d∈R)．[典例](1)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4(2)(2017·天津高考)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若eq\f(a－i,2＋i)為實(shí)數(shù)，則a的值為_(kāi)_______．[解析](1)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，對(duì)于p1，∵eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命題；對(duì)于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命題；對(duì)于p3，設(shè)z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，則z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠eq\x\to(z)2，∴p3不是真命題；對(duì)于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命題．(2)由eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(2＋a,5)i是實(shí)數(shù)，得－eq\f(2＋a,5)＝0，所以a＝－2.[答案](1)B(2)－2處理復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)復(fù)數(shù)不是a＋bi(a，b∈R)的形式時(shí)，要通過(guò)變形化為a＋bi的形式，以便確定其實(shí)部和虛部．(2)求解時(shí)，要注意實(shí)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合是高考常見(jiàn)的考查題型，以選擇題或填空題形式考查，難度較?。?2)解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)運(yùn)算將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，而不是(a，bi)；(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)向量eq\o(OZ,\s\up7(→))是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與eq\o(OZ,\s\up7(→))相等的向量有無(wú)數(shù)個(gè)．2．復(fù)數(shù)的模(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)；(2)從幾何意義上理解，復(fù)數(shù)z的模表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z和原點(diǎn)間的距離．[典例](1)(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1＋i)z＝2i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D.2(2)復(fù)數(shù)z＝eq\f(m－2i,1＋2i)(m∈R，i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析](1)因?yàn)閦＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).(2)z＝eq\f(m－2i,1＋2i)＝eq\f(m－2i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)[(m－4)－2(m＋1)i]，其實(shí)部為eq\f(1,5)(m－4)，虛部為－eq\f(2,5)(m＋1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－4>0，,－2m＋1>0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>4，,m<－1.))此時(shí)無(wú)解．故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．[答案](1)C(2)A[類(lèi)題通法]在復(fù)平面內(nèi)確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的步驟(1)由復(fù)數(shù)確定有序?qū)崝?shù)對(duì)，即z＝a＋bi(a，b∈R)確定有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)．(2)由有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)確定復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)運(yùn)算是本章的重要內(nèi)容，是高考的考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，每年高考都有考查，一般以復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算為主．(2)解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟記并靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，用好復(fù)數(shù)相等的充要條件這一重要工具，將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化求解．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])復(fù)數(shù)運(yùn)算中常見(jiàn)的結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[典例](1)若z＝1＋2i，則eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝()A．1 B．－1C．i D．－i(2)計(jì)算：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20＝________.[解析](1)因?yàn)閦＝1＋2i，則eq\x\to(z)＝1－2i，所以zeq\x\to(z)＝(1＋2i)(1－2i)＝5，則eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝eq\f(4i,4)＝i.故選C.(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－i10＝(1＋i)2－i2＝1＋2i.[答案](1)C(2)1＋2i[類(lèi)題通法]進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算的策略(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算的基本思路就是應(yīng)用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．①?gòu)?fù)數(shù)的加減運(yùn)算類(lèi)似于實(shí)數(shù)中的多項(xiàng)式加減運(yùn)算(合并同類(lèi)項(xiàng))．②復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算的難點(diǎn)，在乘法運(yùn)算中要注意i的冪的性質(zhì)，區(qū)分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2與(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法運(yùn)算中，關(guān)鍵