—2024學年上學期高二期末考試數(shù)學說明：1．本試卷共4頁，滿分150分。2．請將所有答案填寫在答題卡上，答在試卷上無效。一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在長方體中，下列向量與是相等向量的是（）A． B． C． D．2．如圖，在中，點，分別是棱，的中點，則化簡的結果是（）A． B． C． D．3．過兩點，的直線的傾斜角為120°，則=（）A． B． C． D．4．已知，，直線過且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C．或 D．以上都不對5．直線與直線平行，則的值為（）A．或 B．或C． D．6．圓：關于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．7．已知為等差數(shù)列的前項和，，則=（）A．240 B．120 C．180 D．608．已知雙曲線：的左，右焦點分別是，，點在雙曲線上，且，則雙曲線的方程是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知圓與直線，下列選項正確的是（）A．直線與圓必相交B．直線與圓不一定相交C．直線與圓相交且所截最短弦長為D．直線與圓可以相切11．已知點，，直線：，則下列結論正確的是（）A．當時，點，到直線距離相等B．當時，直線與直線平行C．當時，直線在軸上的截距為-2D．當時，直線的斜率不存在12．已知點是拋物線C：y2=2px上一點，是拋物線的焦點，直線與拋物線相交于不同于的點，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分。13．過點且與橢圓有相同焦點的橢圓的長軸長為______．14．拋物線的準線方程為______．15．已知數(shù)列滿足，則=______．16．已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為______．四、解答題：本題共6個小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知直線：，直線：（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值．18．（本小題滿分12分）已知圓過點，和．（1）求圓的方程；（2）求與垂直且被圓截得弦長等于的直線的方程．19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，半焦距為1．（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的左焦點，且斜率為1的直線交橢圓于，兩點，求的面積．20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列為等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求和：．21．（本小題滿分12分）如圖，在三棱臺中，，，，，，且為中點．求證：；22．（本小題滿分12分）已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，為坐標原點．（1）求面積的最小值；（2）設直線交拋物線的準線于點，求證：平行于軸．高二數(shù)學參考答案1．B【分析】根據(jù)長方體的性質，結合相等向量的定義進行判斷即可．【詳解】如圖所示的長方體中，A：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確；B：向量與大小相等，方向相同，所以這兩個向量相等，因此本選項正確；C：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確；D：顯然向量與向量方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確，故選：B2．C【分析】由中點的向量公式與向量的減法運算即可得到答案．【詳解】如圖所示，連接，因為分別是棱的中點，所以．故選：C．3．B【分析】由傾斜角與斜率及兩點坐標的關系可求．【詳解】設直線斜率為，則，故選：B．4．C【分析】根據(jù)兩點斜率公式，即可求解．【詳解】由題意得，，若直線l過點且與線段相交，則或，故選：C．5．C【分析】由兩條直線平行可得，求出的值，再檢驗．【詳解】因為直線與直線平行，則，解得或，當時，兩直線方程都是，則兩直線重合，不滿足題意；當時，兩直線方程分別為：，，滿足題意；綜上，．故選：C6．D【分析】求出圓的圓心和半徑，得到圓心關于直線對稱的點的坐標，從而得到對稱的圓的方程．【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑為，設點關于直線對稱的點為，故，解得，故關于直線對稱的點為，所以所求的圓的方程為．故選：D7．B【分析】利用等差數(shù)列的性質以及前項和公式求解即可．【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以．故選：B．8．C【分析】根據(jù)雙曲線定義求解即可．【詳解】由題意可知，，解得，，所以雙曲線的方程是．故選：C．二．多選題全選對得5分，部分選對得2分，有錯誤選項得0分。9．ACD【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理進行求解判斷即可．【詳解】對于，因為，故三個向量共面，故符合題意；對于，假設，，共面，則，使得，故有，方程組無解，故假設不成立，故不符合題意；即，，不共面；對于，，故三個向量共面，故符合題意；對于，，故三個向量共面，故題意符合．故選：．10．AC【分析】求出直線經(jīng)過定點，根據(jù)定點與圓的位置關系即可判斷直線與圓的位置關系，結合幾何知識可知當直線與過定點和圓心的直線垂直時，弦長有最小值，由此可求出答案．【詳解】解：直線過定點，又，所以點在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，所以A正確，B，D錯誤，因為圓心與點間的距離為，圓半徑為2．所以最短弦長為，故C正確，故選：AC．11．BC【分析】利用點線距離公式判斷A，由直線方程得斜率判斷B，取，則，從而判斷C，計算得判斷D，由此得解．【詳解】對于A：當時，直線為，此時，，顯然不滿足題意，故A錯誤；對于B：時，直線為，，不過A點，而，，所以直線與直線平行，故B正確；對于C：時，直線為，取，則，故C正確；對于D：時，直線為，直線斜率為，故D錯誤；故選：BC．12．ABD【分析】將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可判斷A選項；利用拋物線的焦半徑公式可判斷B選項；將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點的坐標，結合拋物線的焦點弦長公式可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可判斷D選項．【詳解】將點的坐標代入拋物線的方程，可得，可得，A對；所以，拋物線的方程為，其準線方程為，故，B對；易知點，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點，所以，，D對；，故、不垂直，C錯．故選：ABD．13．【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的焦點坐標，再利用橢圓的定義求解即得．【詳解】橢圓的半焦距，其焦點坐標為，由橢圓的定義得所求長軸長．故答案為：14．【分析】將拋物線方程化為標準方程即可得解．【詳解】由題意拋物線的標準方程為，其準線方程為．故答案為：．15．【分析】由已知可得，與已知的等式相減可得，從而可求得結果．【詳解】因為，所以，所以，故．故答案為：416．【分析】兩個向量的夾角為鈍角等價于且與不共線．【詳解】由；由．綜上：且．故答案為：．17．（1）；（2）或．【分析】（1）（2）利用直線平行、垂直的判定列方程求參數(shù)值，對于平行情況需要驗證所得參數(shù)是否符合要求．【詳解】（1）由，則，即，所以或；當，，，兩線重合，不合題設；當，，，符合題設；綜上，．；（2）由，則，即，所以，即或。18．（1）（2）或【分析】（1）假設圓的一般方程，代入即可得到圓的方程．（2）先求出直線的方程，進而設出與垂直的直線的方程，求出圓心到直線的距離和線段的長相等求解即可得到直線的方程．【詳解】（1）設圓的一般方程為：，分別代入點和．，解得，故圓的方程為：．（2）因為、所以直線的方程為：，故設直線的方程為：由題意可知，圓心，被圓截得弦長等于則可知圓心到直線與直線的距離相等．故有|解得或所以直線的方程：或19．（1）（2）【分析】（1）由題列出a、b、c的方程，解之即可；（2）將直線與橢圓聯(lián)立，韋達定理，然后利用弦長公式求底，利用點到直線的距離公式求高，即可求出三角形的面積．【詳解】（1）由題意，設所求橢圓標準方程為：，因為焦距為，，又離心率，，；再由，所以橢圓標準方程為：；（2）由（1）知：左焦點為，直線的方程為：則，，由弦長公式，；到直線的距離，。20．（1）（2）【分析】（1）首先求出，，即可求出等比數(shù)列的通項公式，從而求出的通項公式；（2）利用分組求和法計算可得．【詳解】（1）因為，，數(shù)列為等比數(shù)列，所以，，則，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；所以，則．；（2）。21．證明見解析【分析】建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，根據(jù)空間位置關系的向量證明方法，即可證明結論．【詳解】由題意，以點為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則，則，；故，，即；又平面，故平面。22．（1）（2）證明見解析【分析】（1）設出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結合根與系數(shù)關系、弦長公式、點到直線的距離公式求得面積的表達式，進而求得面積的最小值．（2）通過求的橫坐標來求得正確答案．【詳解】（1）由得，，∴，；依題意得的斜率存在，設直線的方程，，，由得