絕密★啟用前【高考沖刺滿分】2022年高考數(shù)學(xué)名師押題預(yù)測全真模擬卷（全國乙卷）理科數(shù)學(xué)【高考大贏家·押題】尖子生培優(yōu)密卷（預(yù)測卷）（試卷滿分：150分，考試用時：120分鐘）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必填寫好自己的姓名、準(zhǔn)考證考號等信息。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于第一象限，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由題可得，即求.【詳解】解：設(shè)，則，由復(fù)數(shù)z滿足，，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于第一象限，則，解得，∴.故選：B.2．已知集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．?【答案】C【分析】由子集的定義即可求解.【詳解】解：因為集合，所以根據(jù)子集的定義可知，故選：C.3．已知命題，命題函數(shù)的定義域是，則以下為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出命題是真命題，命題是假命題，從而是假命題，是真命題，是假命題，是假命題．【詳解】解：因為命題是真命題，因為函數(shù)的定義域為，所以命題函數(shù)的定義域是是假命題，所以在A中，是假命題，故A錯誤；在B中，是真命題，故B正確；在C中，是假命題，故C錯誤；在D中，是假命題，故D錯誤．故選：B．4．設(shè)函數(shù)則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)解析式可得，，畫出函數(shù)圖象，則原不等式等價于，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，解得即可；【詳解】解：因為，所以，，則，即，的函數(shù)圖象如下所示：由函數(shù)圖象可知當(dāng)時且在上單調(diào)遞減，所以等價于，即，解得，即；故選：A5．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，設(shè)，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，由在長方體中，，，設(shè)，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因為，所以.故選：C.6．某高校有4名大學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務(wù).冬奧會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺?短道速滑?花樣滑冰3個項目比賽的志愿服務(wù)，每個項目至少安排一名志愿者，則不同的安排方法有（

）A．72種 B．81種 C．6種 D．36種【答案】D【分析】依題意先將4人分成3組，其中一組有2人，另外一組各1人，再對三組人全排列，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：先將4人分成3組，其中一組有2人，另外一組各1人，共有種，然后將3個項目全排列，共有種排法，故每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務(wù)的方法數(shù)為種，故選：D7．已知函數(shù)，且函數(shù)的圖像如圖所示，則點（）的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由三角函數(shù)圖象可知，即，函數(shù)圖象過，代入表達式可得，又，則.故本題答案應(yīng)選A.考點：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．8．有一塊周長為c的白色三角形紙板，將其內(nèi)切圓涂為紅色，現(xiàn)向紙板上隨機投N個點（假設(shè)所有的點都在紙板上），若統(tǒng)計出有M個點在內(nèi)切圓的圓周或圓內(nèi)，則由統(tǒng)計的結(jié)果可估算出內(nèi)切圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，表示出內(nèi)切圓與三角形的面積，再利用幾何概型公式代入列式求解.【詳解】解：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則內(nèi)切圓的面積為，由等面積公式，得三角形的面積為，根據(jù)幾何概型的公式，，得.故選：A9．已知橢圓的上頂點，左右焦點分別為，連接，并延長交橢圓于另一點P，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意及橢圓的定義，可求得、的長，根據(jù)三角函數(shù)定義，求得根據(jù)余弦定理，可求得，根據(jù)兩角的關(guān)系，列出方程，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】解：由題意得，所以，則，由橢圓的定義可得，所以，因為，所以，解得，，在中，，在中，，因為，所以，即，所以所以.故選：C10．已知是的一個零點，是的一個零點，，則（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得僅有1個零點，且，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點的存在性定理得，根據(jù)對數(shù)運算得，進而，再根據(jù)范圍得大小.【詳解】解：因為，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因為，所以僅有1個零點，因為，所以，因為是增函數(shù)，且，，所以，因為，，所以，所以.故選：A．11．如圖，神舟十二號的飛行軌道是以地球球心為左焦點的橢圓（圖中虛線），我們把飛行軌道上的點與地球表面上的點的最近距離叫近地距離，最遠(yuǎn)距離叫遠(yuǎn)地距離.設(shè)地球半徑為，若神舟十二號飛行軌道的近地距離是，遠(yuǎn)地距離是，則神舟十二號的飛行軌道的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以運行軌道長軸所在直線為軸，地心為左焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：以運行軌道長軸所在直線為軸，地心為左焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，所以，所以橢圓的離心率．故選：．12．已知，函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A．存在使 B．存在使C．對任意，都有 D．對任意，都有【答案】B【分析】對于A、C：記，，則利用導(dǎo)數(shù)分別判斷出的單調(diào)性，證明出，，即可得到從而判斷A、C.對B：特殊值，代入驗證成立；對D：取特殊值，代入驗證不成立；【詳解】解：對于A、C：記，，則，所以在上單增，當(dāng)時，，即，即同理可證：在上單減，所以當(dāng)時都有，即.又，所以.故A、C錯誤.對于B：取，所以，則有.故B正確；對于D：取，則有.故D錯誤.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知F是拋物線的焦點，A為拋物線上的動點，點，則當(dāng)取最大值時，的值為______．【答案】【分析】設(shè)，應(yīng)用兩點距離公式及拋物線定義得到、關(guān)于x的表達式，由應(yīng)用基本不等式求最值，注意等號成立時的x值，即可求的值.【詳解】解：設(shè)，則，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以取最大值時，此時.故答案為：14．設(shè)向量，，若，則向量與的數(shù)量積為_______．【答案】-4【分析】先利用向量的坐標(biāo)運算公式得到，利用平行關(guān)系得到方程，求出，進而求出與的數(shù)量積.【詳解】解：，，因為，所以，解得：，故.故答案為：-415．△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，△ABC的面積，則a的最小值為______．【答案】6【分析】先由余弦定理和基本不等式得到，由三角形的面積公式得到，解得.【詳解】解：由及余弦定理得：.即當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號.又，所以bc＝4a＋12，，即，解得（邊長a>0,所以舍去），所以a的最小值為6．故答案為：616．四棱錐的頂點都在球心為的球面上，且平面，面為矩形，，分別為，的中點，，，則下列說法正確的是___________．（填序號）①平面平面；②四棱錐的外接球的半徑為；③平面截球所得截面的面積為．【答案】②③【分析】根據(jù)直線與直線必相交，可判斷①；取的中點，證明為四棱錐的外接球的球心，再計算半徑可判斷②；利用等體積法求出球心到截面的距離，再根據(jù)勾股定理求出截面圓的半徑可判斷③.【詳解】解：對于①，因為為的中點，，，所以直線與直線必相交，所以平面與平面必有交點；所以平面與平面不平行，故①不正確；對于②，因為平面，所以，，，因為，，所以平面，所以，因為，，所以平面，所以，取的中點，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，所以為四棱錐的外接球的球心，因為，，所以，所以，所以，即四棱錐的外接球的半徑為，故②正確；對于③，設(shè)球心到平面的距離為，截面圓的半徑為，因為，分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，又在上，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，等于點到平面的距離，因為，，，所以，所以，所以，，點到平面的距離為，由得，得，得，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故③正確，故答案為：②③．三、解答題：本題共7小題，共70分。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-23題為選答題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（本題滿分12分）某公司生產(chǎn)醫(yī)用外科口罩，由于國內(nèi)疫情得到了較好地控制，口罩的銷量有所下降，因此該公司逐步調(diào)整了口罩的產(chǎn)量，下表是2021年5～11月份該公司口罩產(chǎn)量（單位：萬箱）：月份x567891011產(chǎn)量y（萬箱）32.622.382.091.81.661.36由散點圖可知產(chǎn)量y（萬箱）與月份x具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)求線性回歸方程，并預(yù)測12月份的產(chǎn)量；(2)某單位從該公司共購買了6箱口罩（其中有4箱5月份生產(chǎn)，2箱為6月份生產(chǎn)），隨機分發(fā)給單位研發(fā)部門和銷售部門使用，其中研發(fā)部門4箱，銷售部門2箱，使用中發(fā)現(xiàn)5月份生產(chǎn)的口罩不符合質(zhì)量要求，單位要求該公司給予更換，求分發(fā)給銷售部門的2箱口罩中至多有1箱需要更換的概率．附：，；參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】(1)；預(yù)測12月份的產(chǎn)量為1.07萬箱(2)【分析】（1）根據(jù)最小二乘法直接求解即可得出；（2）求出從6箱中抽取2箱的基本事件數(shù)，再求出至多有1箱為5月份生產(chǎn)的事件數(shù)即可求出.【詳解】解：(1)，，所以，，所以．所以當(dāng)時，故預(yù)測12月份的產(chǎn)量為1.07萬箱．(2)從6箱中抽取2箱共有種，即基本事件總數(shù)為15，至多有1箱為5月份生產(chǎn)的事件數(shù)為，故所求概率．18．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，點在棱上，且．（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)得出．根據(jù)，運用數(shù)量積求解即可．（II）平面PBC的法向量為，根據(jù)易知是平面的法向量，運用，及同角的基本關(guān)系，求解正弦即可．【詳解】解：（Ⅰ）如圖，以分別為軸的正半軸方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則．過作于，由已知，得∥，設(shè)，則．．，，，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，設(shè)平面的法向量為，則．，取，得．易知是平面的法向量，，則二面角的正弦值為．考點：1．用空間向量求平面間的夾角；2．點、線、面間的距離計算．【點睛】利用空間向量法求二面角的一般方法，設(shè)二面角的平面角為，設(shè)分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量的夾角為，則有（圖1）或（圖2）其中．19．（本題滿分12分）已知為數(shù)列的前n項和，且；數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，4，成等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，證明．【答案】(1)；；(2)證明見解析.【分析】（1）由已知得，，繼而有數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得答案；設(shè)數(shù)列的公差為d，由等比中項的性質(zhì)建立方程求解得，再由等差數(shù)列的通項公式可求得答案；（2）由（1）可知，繼而有，即可得證．【詳解】(1)解：由，得，

由，得，

所以，所以，

所以數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故．

設(shè)數(shù)列的公差為d，由，4，成等比數(shù)列，，得，得．

又的各項均為正數(shù)，故，所以．(2)證明：由（1）可知，故．

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，故，

所以．20．（本題滿分12分）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時，，無極大值；當(dāng)a<-e時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，無極值.(2)【分析】（1）先求導(dǎo)得到，再分，，及討論函數(shù)單調(diào)性，進而確定極值；（2）由和知時符合題意；當(dāng)時，將轉(zhuǎn)化為，求出的最小值及的最大值，即可求解.【詳解】解：(1)由題意知，函數(shù)的定義域為，，.令，則或，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得極小值，即；當(dāng)時，由得，（），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時在處取得極大值，在處取得極小值，即:，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時在處取得極小值，在處取得極大值，可得，，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，無極值.綜上所述：當(dāng)時，，無極大值；當(dāng)a<-e時，，；當(dāng)時，，當(dāng)時，無極值.(2)令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)時，，，，顯然滿足題意..當(dāng)時，由得，即，故只須：，即，故當(dāng)時，顯然滿足題意；綜上所述：.21．（本題滿分12分）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距最小值為．(1)求拋物線的方程．(2)若點在圓上，、是拋物線的兩條切線，、是切點，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出拋物線的焦點的坐標(biāo)，利用圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，可求得的值，由此可得出拋物線的方程；（2）設(shè)點、、，利用導(dǎo)數(shù)求出切線、的方程，可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出以及點到直線的距離，求出面積的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】(1)解：拋物線的焦點為，圓的圓心為，半徑為，，所以，且與圓上點的距最小值為，解得，因此，拋物線的方程為.(2)解：對函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點、、，所以，直線的方程為，即，同理可知直線的方程為，因為點為直線、的公共點，則，所以，點、的坐標(biāo)滿足直線方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立可得，由可得，所以，由韋達定理可得，，所以，，點到直線的距離為，所以，，令，所以，面積的最大值為.【點睛】圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分?！具x修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求