2023年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)

第9天探索規(guī)律問題

③③卷⑤卷鯉）⑥

探究規(guī)律型問題是中考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，題目數(shù)量一般是一個題，各種

題型都有可能出現(xiàn)，一般以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要

命題方式有數(shù)式規(guī)律、形變化規(guī)律、點的坐標(biāo)規(guī)律等?；窘忸}思路:從簡

單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，通過分析、比較、提煉，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律,

進而歸納或猜想出一般結(jié)論，最后驗證結(jié)論的正確性。探索規(guī)律題可以說

是每年中考的必考題，預(yù)計2023年中考數(shù)學(xué)中仍會作為選擇題或填空題

的壓軸題來考察。所以掌握其基本的考試題型及解題技巧是非常有必要

的。

預(yù)測分值：3分左右

難度指數(shù)：★★★

￡必考指數(shù)：★★★★★

滿分技巧

1）從簡單的情況入手：

從簡單的情況入手:求出前三到四個結(jié)果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結(jié)

正確答案二.新定義型問題一般與代數(shù)、坐標(biāo)、函數(shù)知識結(jié)合較多，常見的

命題背景有:楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)〃個數(shù)的立方和、連續(xù)幾個數(shù)的平

方和、階乘等。

2）關(guān)注問題中的不變量和變量：

在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要

多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細觀察變量的變化與序號（一

般為〃）之間的關(guān)系，我們找到這個關(guān)系就找到了規(guī)律所在。

3）掌握一些數(shù)學(xué)思想方法

規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律

性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，

要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律，它體現(xiàn)了“特殊到一

般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、

歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答.

真題回顧

選擇題

1.（2022?內(nèi)蒙古）觀察下列等式：70=l,7'=7,72=49,73=343,74=240b

75=16807,…，根據(jù)其中的規(guī)律可得7。+7+72+...+7政2的結(jié)果的個位數(shù)字是（

）

A.0B.1C.7D.8

2.（2022?濟寧）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形.第一幅圖4個

圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點..…按照此

規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是（)

第一幅圖第二幅圖第三幅圖第四幅圖

A.297B.301C.303D.400

3.（2022?西藏）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：1,-?,1,-?,2,-Al

252172637

....則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（）

?19

A.-------

101B得CTD/

4.（2022?煙臺）如圖，正方形ABcD邊長為1,以AC為邊作第2個正方形AC所,

再以C尸為邊作第3個正方形FCG/7,…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個正方

形的邊長為（）

A.(2√2)5B.(2夜-C.(√2)5D.(√2)6

5.（2022?新疆）將全體正偶數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:

按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個數(shù)是（）

2

46

81012

14161820

2224262830

A.98B.IOOC.102D.104

6.（2022?江西）將字母“C”，"H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則

第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（）

HHHHHH

——

——

II—I

CH-CC-HCCC

—

III—I

HHH

HHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

7.（2022?云南）按一定規(guī)律排列的單項式：X,3X2,5√,7√,9?,第

〃個單項式是（）

A.（2n-l）xπB.（2n÷l）xπC.{n-l）xπD.（n+l）xπ

8.（2022?重慶）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個

正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖

案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為（）

?????????

?????????????????

???????

??

①③④

A.32B.34C.37D.41

9?（2022?重慶）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個

菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列

下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為（）

①②③

A.15B.13C.11D.9

10.（2022?武漢）勻速地向一個容器內(nèi)注水，最后把容器注滿.在注水過程中,

水面高度6隨時間r的變化規(guī)律如圖所示（圖中OABC為一折線）.這個容器的形

狀可能是（）

h

C

11.（2022?威海）圖1是光的反射規(guī)律示意圖.其中，PO是入射光線，OQ是反

射光線，法線KolMN,NPoK是入射角，NKOQ是反射角，ZKOQ=ZPOK.圖

2中，光線自點P射入，經(jīng)鏡面針反射后經(jīng)過的點是（）

二.填空題

12.（2022?鄂爾多斯）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為1,4,1,12……按此規(guī)

251017

律排列，則第30個數(shù)是—.

13.（2022?南通）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40〃〃S的速度將小

球沿與地面成30。角的方向擊出，小球的飛行高度力（單位：M與飛行時間,（單

位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是〃=-5∕+20f,當(dāng)飛行時間/為S時，小球達到最高

點.

14.（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，A2,A3,A4...在X軸上

且OA=1，OA2=2OΛ1,OA=2O4,QA=2O4…按此規(guī)律，過點A∣,A2,A3,A4...

作X軸的垂線分別與直線y=6c交于點用，B1,B3,B4…記ΔOA2B2,

ΔOA3B3,4OAA…的面積分別為S∣,52,S3,S<…則S.??=

15.（2022?齊齊哈爾）如圖，直線/:y=曰x+右與X軸相交于點A,與y軸相交

于點8,過點5作BG_L/交X軸于點C,,過點G作4GLx軸交/于點用，過點與

作與G交X軸于點G，過點G作82G，X軸交/于點約，…，按照如此規(guī)律操

作下去，則點與吠的縱坐標(biāo)是一.

16.（2022?錦州）如圖，A為射線ON上一點，Bl為射線OM上一點，ZB1X1O=60°,

60

OA1=3,B1?=1.以為邊在其右側(cè)作菱形A4GR，且NgAA=°,CQ與

射線。W交于點約，得AGB也;延長與A交射線ON于點兒,以與4為邊在其右

o

側(cè)作菱形A2B2C2D2,且ZB2A2D2=60,C2D2與射線OM交于點B,,得^C2B2B,;延

長ByD2交射線ON于點A,,以B3A3為邊在其右側(cè)作菱形A3B3C3D3,JlZB3A3D3=60°,

CQ3與射線OM交于點與，得aC∕M;…，按此規(guī)律進行下去，則^Gθ22∕>22∕m

的面積為.

17.（2022?青海）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第〃個

圖中共有木料根.

第1個第2個第3個第4個

18.（2022?聊城）如圖，線段ΛB=2,以ΛB為直徑畫半圓，圓心為A∣,以AAI為

直徑畫半圓①；取AB的中點A2,以Aa為直徑畫半圓②；取A2B的中點4,以

為直徑畫半圓③...按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個小半

它們按一定規(guī)律排列,第

2

〃個數(shù)記為?！埃覞M足,+」一=則“

2.4a2O22=

?%+2?÷1

20.（2022?大慶）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第16個圖案中的“”

的個數(shù)是

第1個第2個第3個第4個

O

21.（2022?綏化）如圖，ZAQB=60。，點［在射線上，且OR=I,過點片作

l

P1K1±OA交射線OB于K?,在射線OA上截取P1P2,?tP1P2=P1K1-,過點P2作jOA

交射線08于勺，在射線OA上截取鳥鳥，使巴鳥=￡仁…按照此規(guī)律，線段/23心23

22.（2022?宿遷）按規(guī)律排列的單項式：X,-√,X5,-√,小，…，則第20個

單項式是—.

23.（2022?懷化）正偶數(shù)2,4,6,8,10,…，按如下規(guī)律排列,

則第27行的第21個數(shù)是—.

2

46

81012

14161820

24.（2022?泰安）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列:

若有序數(shù)對5,附表示第〃行，從左到右第m個數(shù),如（3,2）表示6,則表示99的

有序數(shù)對是

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

25.（2022?黑龍江）如圖，下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第5個圖

形中所有正三角形的個數(shù)有

三.解答題

26.（2022?青海）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并

把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形

稱為“手拉手”圖形.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若AABC和ΔADE是頂角相等的等腰三角形，BC,DE分別是底邊.求證：

BD=CE;

（2）解決問題:

如圖2,若ΔACB和ΔDCE均為等腰直角三角形，ZAeB=ZDCE=90。，點A,D,

E在同一條直線上，CM為ADCE中DE邊上的高，連接請判斷ZA的度數(shù)

及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

A

C

27.（2022?湘潭）在ΔABC中，ABAC=90o,AB=AC,直線/經(jīng)過點A,過點3、

C分別作/的垂線，垂足分別為點。、E.

（1）特例體驗：如圖①，若直線〃∕8C,AB=AC=近,分別求出線段或）、CE

和DE的長；

（2）規(guī)律探究：

（I）如圖②,若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)a（0<a<45。），請?zhí)骄烤€段風(fēng)）、

CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（II）如圖③，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)夕（45。<&<90。），與線

段3C相交于點“，請再探線段80、CE和小的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段處交線段AC于點尸，若CE=3,DE=?,

求SWC,

28?（2。22?舟山）觀察下面的等式:ι=∣÷√齊"rr?

（1）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含〃的等式表示，”為正整數(shù)）.

（2）請運用分式的有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的.

29.（2022?安徽）觀察以下等式:

第1個等式：(2xl+l)2=(2χ2+l)2-(2x2)2,

第2個等式:(2×2+l)2=(3×4+l)2-(3×4)2,

第3個等式:(2X3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,

第4個等式：(2x4+iy=(5x8+l)2-(5x8)2,

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第5個等式：—；

（2）寫出你猜想的第〃個等式（用含〃的式子表示），并證明.

一.選擇題

1.（2023?文山州一模）計算3的正數(shù)次累，3'=3,32=9,33=27,34=81,35=243,

36=729,..…，觀察歸納各計算結(jié)果中個位數(shù)字的規(guī)律，可得于⑵的個位數(shù)字是

（）

A.1B.3C.7D.9

2.（2023?九龍坡區(qū)模擬）下列圖形都是由同樣大小的火柴按一定的規(guī)律組成，

其中第①個圖形有3根火柴，第②個圖形一共有5根火柴，第③個圖形一共有7

根火柴，…，則第⑦個圖形中火柴的根數(shù)為（）

3.（2023?耿馬縣一模）按一定規(guī)律排列的單項式：2a2,4a3,61,8as,10α6,

……，第〃個單項式是（）

A.2na2nB.2na"+'C.n2an+'D.n2a2"

4.（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)一模）如圖是用大小相等的五角星按一定規(guī)律拼成的一組圖

案，請根據(jù)你的觀察，推算第2022個圖案中小五角星有（）

★★★★★★★★★★

****★*★*********★*******

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

A.6066顆B.6067顆C.6068顆D.6069顆

5.（2023?鳳慶縣一模）按一定規(guī)律排列的單項式：4〃，-9a,?6a,-25a,36“，

-490,...＞第〃個單項式是（）

A.（-l）"^'n20B.（-?）"n2a

C.（-l）n（w+l）2aD.（-l）,'+l（n+l）2a

6.（2023?昆明模擬）按一定規(guī)律排列的單項式：2a,4〃，8d,16.4,32a，，

…，第〃個單項式是（）

A.2na"B.Ta"C.2nan+'D.2"an+'

7.（2023?巧家縣一模）按一定規(guī)律排列的單項式：-V,/，-y。，…

第〃個單項式是（）

A.（-l）nx3"B.（-1Γ1√"C.（-l）n+l√"D.（-l）"xπ

8.（2023?昭通一模）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有

5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④

個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑩個圖案中正方形的個數(shù)為（

)

??????????

??????????????????????

???????

???

①②③④

A.41B.37C.33D.32

9.（2023?昭陽區(qū)模擬）按一定規(guī)律排列的單項式：

a,-2a2,4tz3,-844,16",......,第"個單項式是（）

A.(-2),,^lanB.-2anC.(-2)"a"D.(-2)"%"τ

10.（2023?冠縣一模）如圖，在一個單位面積為1的方格紙上，^4Λ2A3,ΔA3A4Ai,

△AA4，……是斜邊在X軸上，且斜邊長分別為2,4,6,..…的等腰直角三角

形.若aAAM的頂點坐標(biāo)分別為A(2,0),Λ(1,-1)?4(0,0),則依圖中所示規(guī)律,

D.(2,1011)

11.(2023?槐蔭區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中，正方形Λ18∣GO、A2B2C2Ct>

AiB3C3C2...,按如圖的方式放置.點4、4、4..4在直線>=-*-1,點4、C2、

G?..C,,在X軸上.拋物線右過點A、B1,且頂點在直線y=-x-l上，拋物線心過

點A2、與，且頂點在直線y=-x-l上，…按此規(guī)律，拋物線Lll過點4“、Bn,且頂

A.(3×2π^'-1,-3×2n^l)B.(3×2"^l-l,-3×2Π^2)

C.(3×2π^2-l,-3×2),^')D.(3X2,,^2-1,-3×2Π^2)

12.(2023?駐馬店模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，將若干個邊長為2個單位長度的

等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，點P從原點。出發(fā)，以每秒2個單位長

度的速度沿著等邊三角形的邊4A2-AM?—A3A4fA4A5…的路線運

√3)

13.(2023?濟寧一模)如圖所示，正方形A88的邊長為2,其面積標(biāo)記為

以8為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作

正方形，其面積標(biāo)記為Sz……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則邑⑼的值為()

Al---------IB

A.(?)2017B.(I)20'8C.(?)2019D.(?)2020

14.(2022?大理州模擬)如圖，為ΔABC的中線，A鳥為△A∕]C的中線，AA為

△A鳥C的中線……按此規(guī)律，A匕為的中線.若AABC的面積為S,則4

A匕C的面積為()

15.(2023?蚌山區(qū)模擬)有一些含有特殊數(shù)學(xué)規(guī)律的車牌號碼，如：皖C8O8O8、

皖C22222、皖C12321等，這些牌照中的五個數(shù)字都是關(guān)于中間的一個數(shù)字“對稱”

的，給人以對稱的美的感受，我們不妨把這樣的牌照叫做“數(shù)字對稱"牌照.如

果讓你負責(zé)制作只以8或9開頭且有五個數(shù)字的“數(shù)字對稱”牌照，那么最多可

制作()

A.200個B.400個C.IOOo個D.2000個

16.(2022秋?金水區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點A從(1,0)出發(fā)，向

上運動1個單位長度到達點8(1,1),分裂為兩個點，分別向左、右運動到點C(0,2)、

點。(2,2),此時稱動點A完成第一次跳躍，再分別從C、。點出發(fā)，每個點重復(fù)

上邊的運動，到達點G(-1,4)、/7(1,4)?/(3,4),此時稱動點A完成第二次跳躍，依

此規(guī)律跳躍下去，動點A完成第2023次跳躍時，最左邊第一個點的坐標(biāo)是()

B.(-2022,22023)

C.(-2022,4046)D.(-2023,22023)

17.(2023?歙縣模擬)棱長為”的小正方體按照如圖所示的規(guī)律擺放，從上面看

第100個圖，得到的平面圖形的面積為()

D.1OlOOtz2

18.（2022?太原二模）孟德爾被譽為現(xiàn)代遺傳學(xué)之父，他通過豌豆雜交實驗，發(fā)

現(xiàn)了遺傳學(xué)的基本規(guī)律.如圖，純種高莖豌豆和純種矮莖豌豆雜交，子一代都是

高莖豌豆，子一代種子種下去，自花傳粉，獲得的子二代豌豆由OD、Dd.dd≡

種遺傳因子控制.由此可知，子二代豌豆中含遺傳因子。的概率是（）

19.（2022?清苑區(qū)二模）嘉嘉用大小和形狀都完全一樣的正方形按照一定規(guī)律排

放了一組圖案（如圖所示），每個圖案中他只在最下面的正方形上寫“城”字，

寓意“眾志成城，抗擊疫情”.其中第（1）個圖案中有1個正方形，第（2）個

圖案中有3個正方形，第（3）個圖案中有6個正方形，...按照此規(guī)律，從第（10）

個圖案中隨機抽取一個正方形，抽到帶“城”字正方形的概率是（）

二.填空題

20.（2023?臺兒莊區(qū)模擬）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：1,_3,1,_2，2,

2521726

....則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是

37----

21.（2023?東營區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/∕y=4x+l與直線

4：y=島交于點A，過A作X軸的垂線，垂足為用，過用作《的平行線交4于A2,

過&作X軸的垂線，垂足為為，過當(dāng)作4的平行線交4于4,過4作X軸的垂線，

垂足為紜…按此規(guī)律，則點的縱坐標(biāo)為—.

22.（2023?佳木斯一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4，A2,A4,…在

X軸上且OA=1，OA2=2OAl,OA3=2OA2,0At=2OA,,...?按此規(guī)律，過點A∣,

A2,A3,A4,…作大軸的垂線分別與直線y=6c交于點/，B2,B3,B4....連接

B1A2,B2Ai,B3A3,記△用人員，ΔB2A5B3,ΔB3A4B4,…的面積分別為S∣,

Si>S3>…，貝US2023=?

23.（2023?立山區(qū)二模）如圖，直線y=；x+l與y軸交于點C,點A，A2,A3,

在X軸正半軸上且橫坐標(biāo)分別為2,4,6,…，過A作AG，X軸交直線v=；x+i

于點，連接，且，交于點［；過作X軸交直線；

GOGAC,OGACA2Λ2CJ,y=x+l

于點C2,連接462，A2Ct,且AC?,4G交于點鳥；...按照此規(guī)律進行下去，則

匕的縱坐標(biāo)為

24.（2023?臨清市一模）如圖，點0（0,0）,A（OJ）是正方形。見8的兩個頂點，以

對角線OA為邊作正方形。444,再以對角線OA2為邊作正方形OA出與，…，依

此規(guī)律，點&?！钡淖鴺?biāo)是一.

25.（2023?市中區(qū)一模）如圖，點尸在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運

動，第1次從原點運動到點（1,1）,第2次接著運動到點（2,0）,第3次接著運動到

點（3⑵，……，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2023次運動后動點P的坐標(biāo)是—.

用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點匕（〃，0）（〃=1、2、…）作X軸的

垂線，交y=αΛα>O)的圖象于點，交直線尸-辦于點紇.則

11

------1-------++1的值為

ABlA2B2A1A,

27.(2023?肇東市模擬)如圖，點A(0,l),點4(2,0),點&(3,2),點Ai(5,l)...,按

照這樣的規(guī)律下去，點4必的坐標(biāo)為

28.(2023?利津縣一模)如圖，在單位為1的方格紙上，△A3A4Ai,

△AAA，…，都是斜邊在X軸上，斜邊長分別為2,4,6,…的等腰直角三角

形，若4AΛ4的頂點坐標(biāo)分別為4(2,0)，4(1,1)，A3(O5O).則依圖中所示規(guī)律，

402I的坐標(biāo)為-

29.（2023?高青縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4-3,0）,B（0,l）,形狀相

同的拋物線C/5=l,2,3,4,…）的頂點在直線AB上，其對稱軸與X軸的交點的

橫坐標(biāo)依次為2,3,5,8,13,…，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線Cii的頂點坐標(biāo)為（一）.

30.（2023?綏化一模）如圖，正六邊形ABCQEM的邊長為2,正六邊形

",C,DEF,的外接圓與正六邊形ABCQEl耳的各邊相切，正六邊形AiBC3RE;月

的外接圓與正六邊形A,8C,RE,居的各邊相切..…按這樣的規(guī)律進行下去，

31.（2023?聊城一模）如圖，已知OA=1，以O(shè)A為直角邊作Rr，并使

4O4=60。，再以O(shè)A為直角邊作M并使幺OA=60。，再以O(shè)A為直角

邊作RfZXOAA，并使ZAOA=6。。，…按此規(guī)律進行下去，則RfaaA≡AZo4的直

32.（2023?美蘭區(qū)一模）如圖，A4SC是邊長為1的等邊三角形，分別取AC、BC

邊的中點O、E,連接。E,作EF//AC得到四邊形￡ZMF,它的周長記作G；分

別取防，BE的中點R,E?,連接作E∣FJ/EF,得到四邊形EQ下耳，它的

周長記作g,…，照此規(guī)律作下去，則C?儂等于—.

33.（2023?瀘縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在），軸的正半軸上，OA=X,

將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45。到QA，掃過的面積記為S∣，A&，。A交X軸于點4；

將OA2繞點。順時針旋轉(zhuǎn)45。到04，掃過的面積記為邑，A5A4_LoA交N軸于點4；

將OA4繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45。到OA5,掃過的面積記為S3,AA?LCM5交X軸于點4；

…；按此規(guī)律，則邑儂的值為-

34.（2022?莘縣一模）某十字路口設(shè)有交通信號燈，東西向信號燈的開啟規(guī)律如

下：紅燈開啟30秒后關(guān)閉，緊接著黃燈開啟3秒后關(guān)閉，再緊接著綠燈開啟17

秒，按此規(guī)律選一下去.如果不考慮其他因素，一輛汽車沿東西方向隨機地行駛

到該路口時，遇到紅燈的概率是—.

≡.解答題

35.（2023?榆次區(qū)一模）閱讀與思考

下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

X年X月X日里期六

關(guān)于完全平方式的思考

完全平方公式在代數(shù)式學(xué)習(xí)的過程中運用非常廣泛.今天我在復(fù)習(xí)因式分解時

也運用到了這一公式，并且我和同桌王華都有新的發(fā)現(xiàn)：

練習(xí)：將下列各式因式分解：X2-6x+9=φ;9∕+12x+4=②；

我的探索發(fā)現(xiàn)：觀察以上兩個多項式的系數(shù)，發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律：（Y）:=4x1x9；

/=4x9x4若多項式/+法+c（">0,c>0）是完全平方式，則系數(shù)α,b,C之間存

在的關(guān)系式為③；

王華的探索發(fā)現(xiàn)：

若多項式Or2+?r+c（α>0,c>0）是完全平方式，也可以看作是一元二次方程

ax2+bx+c=0（α>O,c>0）根的情況為④時；還可以看作拋物線y=ax2+bx+c

m>o,c>0）與X軸有⑤個交點時.

數(shù)學(xué)真是魅力無窮！知識之間存在許多關(guān)聯(lián)，平日我們要多探索與體會

任務(wù):

(1)請補充完整小明的日記：①—，②—，③—，④—，⑤—;

(2)解決問題:若多項式(〃-8*+(2〃-4?+(〃+13)是一個完全平方式，利用以

上結(jié)論求出〃的值；

(3)除因式分解外，初中數(shù)學(xué)還有許多知識的學(xué)習(xí)中也用到了完全平方公式，

例如：用配方法解一元二次方程.請你再舉出一例.

36.(2023?南譙區(qū)一模)分析探索題：細心觀察如圖，認真分析各式，然后解答

問題.

y

OM=1+(√Γ)2=2,=√Γ

T,

S√τ2

OA；=1+(偽2=3,=

W√-3

OA：=1+(招2=4,-2

(1)QAo=

(2)用含〃(〃是正整數(shù))的等式表示上述面積變化規(guī)律：0A；=—,S11

(3)若一個三角形的面積是石，則它是第一個三角形;

(4)求出S；+S；+S；+S：+...+Sm的值.

37.(2023?定遠縣一模)【數(shù)學(xué)抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到

平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線

機射到平面鏡“上，被〃反射后的光線為“，則入射光線加，反射光線”與平面鏡

。所夾的銳角相等，即4=N2.

(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB.CD

是平行放置的兩面平面鏡，請解釋進入潛望鏡的光線機為什么和離開潛望鏡的光

線〃是平行的？

（2）如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線機與

反射光線〃之間的位置關(guān)系會隨之改變.若入射光線，”與反射光線〃平行但方向

相反，則兩平面鏡的夾角ZABC為多少度？

考前押題

一.選擇題

1.計算3的正整數(shù)次幕，3'=3,32=9,3=27,34=81,35=243,36=729,

37=2187,3'=6561…觀察歸納各計算結(jié)果中個位數(shù)字的規(guī)律，可得3??！钡膫€位數(shù)

字是（）

A.1B.3C.7D.9

2.有一列數(shù)，按一定規(guī)律排成1,-3,9,-27,81,-243……其中某三個相鄰數(shù)

的和是-1701,那么這三個數(shù)中最小的一個是（）

A.-243B.-2187C.729D.-1701

3.我們學(xué)習(xí)多邊形后，發(fā)現(xiàn)凸多邊形的對角線有一定的規(guī)律，①中的四邊形共

有2條對角線，②中的五邊形共有5條對角線，③中的六邊形共有9條對角線,

…，請你計算凸十邊形對角線的總條數(shù)（）

①②③

A.54B.44C.35D.27

二.填空題

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形04BC的頂點A、C分別在X,y軸上,

且AO=1.將正方形。4BC繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，并放大為原來的2倍，使

AlO=2AO,得到正方形OAAG,再將正方形OABC繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，并

放大為原來的2倍，使40=240,得到正方形O&dG……以此規(guī)律，得到正方

形O41∞B2022G022，則點/22的坐標(biāo)為

A2

0AX

B1C2

三.解答題

5.觀察下列一組算式的特征，并探索規(guī)律:

①√ir=ι=ι；

②#TF=I+2=3;

③√F7?Ty=I+2+3=6;

(4)√l3+*23+33+43=1+2+3+4=10.

根據(jù)以上算式的規(guī)律，解答下列問題：

(1)l3+23+33+43+53=()2=；

533

(2)7P+2+3+...+(n-l)+√=—;(用含”的代數(shù)式表示)

(3)√l3+23+33+...+993+1001=；

(4)簡便計算:113+123+133++193+203.

真題回顧

一.選擇題

1.【答案】C

【解答】解：-7。=1,7l=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

.?.7"的尾數(shù)1,7,9,3循環(huán)，

.?.70+7l+72+73的個位數(shù)字是0,

2023÷4=505…3,

.?.7<>+7∣+...+72022的結(jié)果的個位數(shù)字與7tl+7∣+72的個位數(shù)字相同,

Λ70+7'+...+72022的結(jié)果的個位數(shù)字是7,

故選：C.

2.【答案】B

【解答】解：觀察圖形可知：

擺第1個圖案需要4個圓點，即4+3x0;

擺第2個圖案需要7個圓點，即4+3=4+3χl;

擺第3個圖案需要10個圓點，即4+3+3=4+3χ2;

擺第4個圖案需要13個圓點，即4+3+3+3=4+3χ3;

第〃個圖擺放圓點的個數(shù)為：4+3(/7-1)=3/7+1,

.?.第IOO個圖放圓點的個數(shù)為：3×1OO+1=3O1.

故選：B.

3.【答案】A

【解答】解：原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：

2510172637

2x1—1

^=(-i)1+1

2+

-i=^2+,×≡1

2×3-l

32+l

.?.第〃個數(shù)為：(-1嚴%?,

/r+1

，第10個數(shù)為：(-1嚴X盥"1=-”.

IO2+1101

故選：A.

4.【答案】C

【解答】解：由題知，第1個正方形的邊長他=1,

根據(jù)勾股定理得，第2個正方形的邊長AC=√Σ,

根據(jù)勾股定理得，第3個正方形的邊長CF=(√Σ)2,

根據(jù)勾股定理得，第4個正方形的邊長GF=(√Σ)3,

根據(jù)勾股定理得，第5個正方形的邊長GN=(√Σyt,

根據(jù)勾股定理得，第6個正方形的邊長=(√Σ)5.

故選C.

5.【答案】B

【解答】解：由三角形的數(shù)陣知，第〃行有〃個偶數(shù),

則得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45個偶數(shù)，

.?.第9行最后一個數(shù)為90,

.?.第10行第5個數(shù)是90+2x5=100,

故選：B.

6.【答案】B

【解答】解：第1個圖中”的個數(shù)為4,

第2個圖中H的個數(shù)為4+2,

第3個圖中”的個數(shù)為4+2x2,

第4個圖中H的個數(shù)為4+2x3=10，

故選：B.

7.【答案】A

【解答】解：?單項式：X,3χ2,5√,7X4,9爐，

.?.第〃個單項式為(2"-l)x",

故選：A.

8.【答案】C

【解答】解：由題知，第①個圖案中有5個正方形，

第②個圖案中有9個正方形，

第③個圖案中有13個正方形，

第④個圖案中有17個正方形，

???,

第N個圖案中有(4〃+1)個正方形，

???第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為4x9+1=37,

故選：C.

9.【答案】C

【解答】解：由圖形知，第①個圖案中有1個菱形，

第②個圖案中有3個菱形，即1+2=3,

第③個圖案中有5個菱形即1+2+2=5,

則第〃個圖案中菱形有l(wèi)+2("-l)=(2"-l)個，

.?.第⑥個圖案中有2x6-1=11個菱形，

故選：C.

10.【答案】A

【解答】解：注水量一定，函數(shù)圖象的走勢是平緩，稍陡，陡；即隨著時間的變

化，水面高度變化的快慢不同，與所給容器的底面積有關(guān).則相應(yīng)的排列順序就

為選項A.

故選：A.

11.【答案】B

【解答】解：根據(jù)直線的性質(zhì)補全圖2并作出法線OK,如下圖所示:

根據(jù)圖形可以看出08是反射光線,

故選：B.

二.填空題

12.【答案】幽.

14710

【解答】解:-9—，--，--

251017

???第”個數(shù)是好,

當(dāng)?shù)?30時,3〃—23×30—288

n2+1-3O2+l901

故答案為：幽.

13.【答案】2.

【解答］解:〃=-5/+20/=-5(/-2)2+20,

■■-5<0,

.?.當(dāng)r=2時，%有最大值，最大值為20,

故答案為：2.

14.【答案】2*4l√3.

【解答】解：OA=I,OA2=20Λl,

.*.OA2=2,

OA3=2OA2,

.?.OAjf=4,

OA4=2OA39

:.OA4=8，

把x=l代入直線y=TJx中可得：y=6,

把x=2代入直線y=6x中可得：y=2√3,

.?.A2B2=2?fi,

把x=4代入直線y=√ir中可得：j=4√3,

A3B3=4Λ∕39

把x=8代入直線y=氐中可得：y=8√3,

A4B4=8>/3,

1,0

.?.5l=^OA,AtBl≈^×l×√3=∣×2×(2×√3)>

l

S2=^OA2A2B2=^×2×2>^=i×2×(2'×√3),

22

Si=^OA3A3B3=1×4×4√3=→2×(2×√3),

33

54=i<9A4?A4β4=^×8×8√3=→2×(2×√3),

2ffi2024WI

.?.S2022=gX2'×(2'×√3)=2√3,

故答案為：24M∣6.

15.【答案】A2022√3.

3

【解答】解：?.?y=4x+上與X軸相交于點A,與y軸相交于點3,

二.當(dāng)X=O時，y=5/3,當(dāng)y=0時，％=—3,

A(-3,0),B(0,√3),

.?.OA-3,OB=>/3,

:.tanZBAO=—,

3

ΛZBAO=30°,

BC1II9

.?.NClBO=N840=30。，

:.BC『旦=岑=2,

cos30°石

~2

BlClJ_x軸，

.?.NBIGB=30。,

.BC_BQ_2_4√3

COS30023

T

同理可得，約G=

依此規(guī)律，可得紇C“=($”石，

2u22

當(dāng)〃=2022時，S2022C2022=φ√3,

故答案為：

16.【答案】*xg嚴?

【解答】解:過點用作go,OA于點。，連接3Q,B2D2,4口，分別作坊“，4。，

B3G.LB2D2,B4E±B3D3,如圖所示:

.?.ZB1DO=NBlDA=NB?HD\=ZBfiD2=ZB4ED3=90°,

ZB1X1O=60°,

.?.NO4A=30。,

旦A=l,OAI=3,

???DA=-^βlAl=∣,OD=Y

2

.?.B1D=y∣AyB;-AiD=?,

小BD√3

tanZ.O=—1—=——,

OD5

菱形Λ1gCQ,且NgAA=60。，

.?.是等邊三角形,

o

.?.NΛ18Q=60,B1D1=A4=1,

ZΛ1BlD,=ZOA,B1=60°,

:.OA.//B1D1，

：.ZO=ZB2B1D1,

:.tanZBBD=tanZO=，

21'1l15

設(shè)B2D1=X,

NB2〃H=60。，

.?.HD.=B,D「cos60o=-x,B,H=B.D.■sin60o=—x,

2-I2

?BlH5

?.4DH=------=-------=-X9

tanZB2B1H2

-χ+-χ=?J解得：X=-9

223

,B,D?=—,

-3

.?.AB)=-,

3

同理可得：4Q=g,B4D,=

4n16-64

β

??Λ3=-M4^4'

由上可得：AltBn=，BeD.=g

22

S=S_s=有XW1×rφ0,×τ=τ×

-Oθ22^2022‰23Qθ22?)22?)22%23%22分22彳-5'

故答案為：^×φ4w2.

17.【答案】曳竺工.

2

【解答】解：由圖可知：

第一個圖形有木料1根，

第二個圖形有木料1+2=3（根），

第三個圖形有木料1+2+3=6（根），

第四個圖形有木料1+2+3+4=10（根），

第〃個圖有木料1+2+3+4+……+〃=妁上D（根）,

2

故答案為：如工.

2

18.

【解答】解：AB=2,

.?.M=ι,半圓①弧長為g?=9,

1

1π×-.

同理A4=；，半圓②弧長為一/=（'），

4X-1

44=",半圓③弧長為三=（｝）,

半圓⑧弧長為夕萬,

.,.8個小半圓的弧長之和為g%+(g)2;r+(g)3;r+...+(g)8;r=|^|；T.

故答案為：翁.

0【答案】?3?

【解答】解：由題意可得：g1,Y.T

..-1-1-1-=—2

a2a4a3

12

“MF

-1-1—1=—2,

%a5a4

2

Y=IT

同理可求4=!=1∣,

OIo

2

Cl=--------，

n3(n-l)+l

[

^3032

故答案為：?]

3032

20.【答案】49.

【解答】解：由題意得：

第一個圖案中的的個數(shù)是：4=4+3×0,

第二個圖案中的””的個數(shù)是：7=4+3xl,

第三個圖案中的的個數(shù)是：10=4+3x2,

.?.第16個圖案中的的個數(shù)是：4+3x15=49,

故答案為：49.

21.【答案】√3(l+√3)2022.

【解答】解：由題意可得，

[K∣=O[?tan60°=lχB=舊，

巴仁=0號而60。=(1+aXG=G(I+拘，

o2

∕>∕C3=C>^?tan60=(1+√3+√3+3)×>A=√3(l+√3),

o23

P4K4=OP4-tan60=[(1+√3+√3+3)+√3(1+√3)]×>β=√3(1+√3),

PK=幣Q+6尸,

.?.當(dāng)〃=2023時，P2023K2023=√3(1+石產(chǎn)2,

故答案為：√3(l+√3)2022.

22.【答案】-一.

【解答】解：根據(jù)前幾項可以得出規(guī)律，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，第”項的數(shù)

為(-1嚴x∕τ,

則第