第06講第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)綜合測試本試卷滿分150分，考試用時120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2023下·廣西玉林·高二?？计谥校?，則（

）A． B．2 C． D．6【答案】C【詳解】∵，，∴.故選：C.2．（2023下·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，又因為曲線過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可得，化簡可得，所以切線方程是，故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，∵在，上為增函數(shù)；上為減函數(shù),∴兩根分別位于和中，得，即，解得.故選：B4．（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】方法一：因為在上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，當(dāng)時，，所以再上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.綜上，得，故選：B.方法二：因為在上單調(diào)遞增，所以.又.綜上，得，故選：B.故選：B.5．（2023上·陜西西安·高三西安市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）.A． B．C． D．【答案】A【詳解】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，時，時，所以不等式的解集為.故選：A6．（2023上·江蘇鹽城·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【詳解】因為所以定義域為.所以當(dāng)時，，，則故選：A7．（2023上·全國·高三貴溪市實(shí)驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，所以在上有兩個變號零點(diǎn)，因為，令，即，可得．令，則，令，得，令，得，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因為，，，如下圖所示：當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點(diǎn)，設(shè)兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時，，此時，，當(dāng)時，，此時，，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，合乎題意.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，，等價于，即，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可得：對A，，A正確；對B，，B錯誤；對C，，C錯誤；對D，，D正確.故選：AD10．（2023上·江蘇·高二期末）已知函數(shù)，，，則實(shí)數(shù)a的值可能為（）A．2 B．3 C．4 D．e【答案】AD【詳解】x>0時，,，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及x>0時函數(shù)的單調(diào)性作出的圖象：因為時，，，故設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，則該切線斜率為，過點(diǎn)的切線方程為；對于x>0時，時，當(dāng)取無限大時，趨近于0，即無限接近于，且，故要使得，成立，結(jié)合圖象，可得且，即，結(jié)合選項可知，符合題意，故選：AD11．（2023上·江蘇宿遷·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．時，恒成立B．時，是的極值點(diǎn)C．若有3個零點(diǎn)，則的范圍為D．時.有唯一零點(diǎn)且【答案】CD【詳解】對于A，當(dāng)時，令，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增,，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，令，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增,無極值，故B錯誤；對于C，令，當(dāng)時，顯然，故不是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時，則，記，則，令得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，且當(dāng)和時，，故有3個零點(diǎn)，則的范圍為，C正確，對于D，當(dāng)時，，，令，，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增，則此時至多只有一個零點(diǎn)，又，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的，滿足，選項D正確；故選：CD．12．（2023上·江蘇南京·高二期末）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)的圖象都只有一個對稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)．若函數(shù)圖象的對稱點(diǎn)為，且不等式對任意恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【詳解】由題意可得，因為，所以，所以，解得，所以．因為，所以等價于對任意恒成立．令，則.設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增．因為，所以，即，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），從而，所以．故選：ABC．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023上·全國·高二期末）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為.【答案】/【詳解】因為，所以，則，又，所以切線方程為，即，則切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，則所求周長為.故答案為：.14．（2023下·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】當(dāng)時，，此時在R上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)存在極小值點(diǎn)，依題意，，解得，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：15．（2023上·寧夏銀川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個不同的解，則m的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意可知，方程有3個不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的有個不同交點(diǎn).當(dāng)時，，由，即，解得，由，即，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取的極大值為；作出與的大致圖象，如圖所示.由圖可知，要使函數(shù)與圖象的有個不同交點(diǎn)，只需要.所以m的取值范圍是.故答案為：.16．（2023上·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最小值為；若對任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；令，，又對任意，存在，有恒成立，即恒成立，即；時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值2，，，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；所以，由，可得．所以的取值范圍是.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023上·上?！じ叨？茧A段練習(xí)）（1）已知函數(shù)，求；（2）已知曲線，求曲線在處的切線方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）因為，等式兩邊求導(dǎo)可得，所以，，即，解得；（2）因為，則，所以，，，所以，曲線在處的切線方程為，即.18．（2023上·江蘇徐州·高二徐州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）己知函數(shù)．(1)求曲線的斜率等于的切線方程；(2)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域為，且，若，解得，則切點(diǎn)為；所以切線方程為，即.（2）易知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為,令，可得；令，可得；所以可得，則，令可得，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；所以在處取得極小值，也是最小值，即.即可得的最小值為.19．（2023下·上海普陀·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)在與時都取得極值.(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)求該函數(shù)在的極值和單調(diào)性.(3)設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，增區(qū)間，減區(qū)間(2)極大值是，極小值是；增區(qū)間、，減區(qū)間(3)或【詳解】（1），由于在與時都取得極值，所以，解得，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值，是的極小值.所以，增區(qū)間，減區(qū)間.（2），由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上，極大值是，極小值是.（3）由上述分析可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以在區(qū)間上的最大值是，在區(qū)間上恒成立，所以，，解得或.20．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線并比較與的大小關(guān)系；(2)記函數(shù)的極大值點(diǎn)為，已知表示不超過的最大整數(shù)，求．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題得，切點(diǎn)為，因為，所以．故所求切線為又當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以綜上，．（2）因為所以令，得或因為在上單增，故在有根，可知在上增，上減，在上增所以，的極大值點(diǎn)為且且．故所以，故．21．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）中國歷史悠久，積累了許多房屋建筑的經(jīng)驗．房梁為柱體，或取整根樹干而制為圓柱形狀，或作適當(dāng)裁減而制為長方體形狀，例如下圖所示．材質(zhì)確定的梁的承重能力取決于截面形狀，現(xiàn)代工程科學(xué)常用抗彎截面系數(shù)W來刻畫梁的承重能力．對于兩個截面積相同的梁，稱W較大的梁的截面形狀更好．三種不同截面形狀的梁的抗彎截面系數(shù)公式，如下表所列，圓形截面正方形截面矩形截面條件r為圓半徑a為正方形邊長h為矩形的長，b為矩形的寬，抗彎截面系數(shù)(1)假設(shè)上表中的三種梁的截面面積相等，請問哪一種梁的截面形狀最好？并具體說明；(2)宋朝學(xué)者李誡在《營造法式》中提出了矩形截面的梁的截面長寬之比應(yīng)定為的觀點(diǎn)．考慮梁取材于圓柱形的樹木，設(shè)矩形截面的外接圓的直徑為常數(shù)D，如下圖所示，請問為何值時，其抗彎截面系數(shù)取得最大值，并據(jù)此分析李誡的觀點(diǎn)是否合理．【答案】(1)矩形截面的梁的截面形狀最好.(2)答案見解析【詳解】（1）解：假設(shè)截面面積均為正常數(shù)，可得，，，所以，又因為，所以，所以,綜上，，于是矩形截面的梁的截面形狀最好.（2）解：由，可得，可得極大值所以，當(dāng)時，取得最大值，此時，當(dāng)，于是，因為的結(jié)論與抗彎系數(shù)理論的結(jié)論不同，但比較接近，是合理的，應(yīng)肯定李誡從實(shí)踐總總結(jié)的經(jīng)驗的實(shí)用價值，考慮到所處的時代，從歷史辯證的角度，其觀點(diǎn)代表了我國古代在工程技術(shù)方面已經(jīng)達(dá)到了較高的水平.22．（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)求在處的切線方程；(2)當(dāng)時，，數(shù)列滿足，且，證明：；(3)當(dāng)時，恒成立，