《10.1.4概率的基本性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修二（人教A版）第十章《10.1.4概率的基本性質(zhì)》，本節(jié)課主要從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，例如：概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之家的關(guān)系等等，注意對(duì)概率思想方法的理解。發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.B.理解概率的6條基本性質(zhì),重點(diǎn)掌握性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.C.能靈活運(yùn)用這幾條重要性質(zhì)解決相關(guān)的實(shí)際問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)化歸能力.1.數(shù)學(xué)建模：事件關(guān)系于概率性質(zhì)2.邏輯推理：事件互斥、互為對(duì)立的含義3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用概率性質(zhì)計(jì)算概率4.數(shù)據(jù)抽象：運(yùn)用集合的觀點(diǎn)分析事件關(guān)系【教學(xué)重點(diǎn)】：掌握性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.【教學(xué)難點(diǎn)】：理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、探究新知一般而言，給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概率的定義后，我們來(lái)研究概率的基本性質(zhì).我們從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，(1)概率的取值范圍；(2)特殊事件的概率；(3)事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系；等等。1.概率P(A)的取值范圍由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負(fù)的；在每次試驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(Φ)=0.2.概率的加法公式(互斥事件時(shí)有一個(gè)發(fā)生的概率)性質(zhì)3.如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以n(AUB)=n(A)+n(B),這等價(jià)于P(AUB)=P(A)+P(B),即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和，所以我們有互斥事件的概率加法公式：[破疑點(diǎn)]①事件A與事件B互斥，如果沒有這一條件，加法公式將不能應(yīng)用．②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．③在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)[破疑點(diǎn)]①公式使用的前提必須是對(duì)立事件，否則不能使用此公式．②當(dāng)一事件的概率不易直接求，但其對(duì)立事件的概率易求時(shí)，可運(yùn)用此公式，即使用間接法求概率．3.對(duì)立事件有一個(gè)發(fā)生的概率例1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率．[解析](1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事件．“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面為大于等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是對(duì)立事件，可用對(duì)立事件的方法處理．設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E，則事件eq\x\to(E)為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”，由(1)可知“射中7環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中10環(huán)”是彼此互斥的事件，∴P(eq\x\to(E))＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，從而P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－0.97＝0.03.∴不夠7環(huán)的概率為0.03.一般地，對(duì)于事件A與事件B,如果A?B,即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過事件B的概率。于是我們有概率的單調(diào)性：在古典概型中，對(duì)于事件A與事件B,如果A?B,那么n(A)≤n(B).于是即P(A)≤P(B)性質(zhì)5.如果A?B,那么P(A)≤P(B)由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)棣?A?Ω,所以0≤P(A)≤1.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,“兩個(gè)球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎？如果不相等，請(qǐng)你說明原因，并思考如何計(jì)算P(R1∪R2).因?yàn)閚(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).這是因?yàn)镽1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1,R2不是互斥的,容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).一般地，我們有如下的性質(zhì)：性質(zhì)6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)棣?A?Ω，所以0≤P(A)≤1.(1)對(duì)于P(A∪B)=P(A)+P(B)應(yīng)用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個(gè)事件的情況.如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.(2)若A與B互為對(duì)立,則有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對(duì)立.(3)對(duì)于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),當(dāng)A∩B=Φ時(shí),就是性質(zhì)3.例2.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么(1)C=“抽到紅花色”，求P(C);(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).解：(1)因?yàn)镃=A∪B,且A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以A與B是互斥事件.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5(2)因?yàn)镃與D互斥，又因?yàn)镃∪D是必然事件，所以C與D互為對(duì)立事件.因此P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.例3.為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少？分析：“中獎(jiǎng)”包括第一罐中獎(jiǎng)但第二罐不中獎(jiǎng)、第一罐不中獎(jiǎng)但第二罐中獎(jiǎng)、兩罐都中獎(jiǎng)三種情況。如果設(shè)A=“中獎(jiǎng)”，A1=“第一罐中獎(jiǎng)”，A2=“第二罐中獎(jiǎng)”，那么就可以通過事件的運(yùn)算構(gòu)建相應(yīng)事件，并利用概率的性質(zhì)解決問題.解：設(shè)事件A=“中獎(jiǎng)”，事件A1=“第一罐中獎(jiǎng)”，事件A2=“第二罐中獎(jiǎng)”，那么事件A1A2=“兩罐都中獎(jiǎng)”，A12=“第一罐中獎(jiǎng)，第二罐不中獎(jiǎng)”，1A2=“第一罐不中獎(jiǎng)，第二罐中獎(jiǎng)”，且A=A1A2∪A12∪1A2.因?yàn)锳1A2,A12,A12兩兩互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A12)+P(1A2).我們借助樹狀圖來(lái)求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù).可以得到，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為n(Ω)=6×5=30,且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的.因?yàn)閚(A1A2)=2,n(A12)=8,n(1A2)=8,所以法2:注意到事件A的對(duì)立事件是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”，由于=“兩罐都不中獎(jiǎng)”，而n()=4×3=12,所以由知識(shí)回顧，類比提出問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過具體問題的事件分析，歸納出概率性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過實(shí)例分析，讓學(xué)生掌握概率性質(zhì)，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.給出以下結(jié)論:①互斥事件一定對(duì)立;②對(duì)立事件一定互斥;③互斥事件不一定對(duì)立;④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A與B互斥,則有P(A)=1-P(B).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:對(duì)立必互斥,互斥不一定對(duì)立,故②③正確,①錯(cuò);又當(dāng)A∪B=A時(shí),P(A∪B)=P(A),故④錯(cuò);只有事件A與B為對(duì)立事件時(shí),才有P(A)=1-P(B),故⑤錯(cuò).2.從集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一個(gè),若這個(gè)子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是34,則該子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是(A.35 B.25 C.1答案:C解析:該子集恰是{a,b,c}的子集的概率為P=1-343.若事件A,B滿足A∩B=?,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,則P(B)=.答案:0.74.盒子中有大小、形狀均相同的一些黑球、白球和黃球,從中摸出一個(gè)球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黃球的概率是0.18,則摸出的球是白球的概率是,摸出的球不是黃球的概率是,摸出的球或者是黃球或者是黑球的概率是.答案:0.400.820.605.一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲,甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63,問至少有一根熔斷的概率是多少?解:設(shè)A=“甲熔絲熔斷”,B=“乙熔絲熔斷”,則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96.6.據(jù)統(tǒng)計(jì),某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表:(1)求至多2人排隊(duì)等候的概率;(2)求至少2人排隊(duì)等候的概率.排隊(duì)等候的人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解:記在窗口排隊(duì)等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件A,B,C,則A,B,C兩兩互斥.(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少2人排隊(duì)等候的對(duì)立事件是“排隊(duì)等候人數(shù)為0或1”,而排隊(duì)等候人數(shù)為0或1的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排隊(duì)等候的概率為1-0.26=0.74.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1.概率加法公式是對(duì)互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).2.在求解復(fù)雜的事件的概率時(shí),通常有兩種方法,一是將所求事件的概率轉(zhuǎn)化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的對(duì)立事件的概率,特別是在涉及“至多”或“至少”問題時(shí),常常用此思維模式.再利用P(A)=1-P()來(lái)得出原問題的解.這種處理問題的方法稱為逆向思維,有時(shí)能使問題的解決事半功倍.五、課時(shí)練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】本節(jié)課主要學(xué)習(xí)概率的基本性質(zhì)，注意運(yùn)用集合運(yùn)算的觀點(diǎn)分析學(xué)習(xí)。概率的性質(zhì)主要是用于求復(fù)雜事件的概率，(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對(duì)立事件的概率，再求所求事件的概率等等。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。《10.1.4概率的基本性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.2.理解概率的6條基本性質(zhì),重點(diǎn)掌握性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.3.能靈活運(yùn)用這幾條重要性質(zhì)解決相關(guān)的實(shí)際問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)化歸能力.【教學(xué)重點(diǎn)】：掌握性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.【教學(xué)難點(diǎn)】：理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.【知識(shí)梳理】一、新知自學(xué)概率的基本性質(zhì)1.思考在拋擲質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中,我們定義如下事件:C1=“出現(xiàn)1點(diǎn)”,C2=“出現(xiàn)2點(diǎn)”,C3=“出現(xiàn)3點(diǎn)”,C4=“出現(xiàn)4點(diǎn)”,C5=“出現(xiàn)5點(diǎn)”,C6=“出現(xiàn)6點(diǎn)”,D1=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1”,D2=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4”,D3=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于6”,E=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7”,F=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”,G=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,H=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,等等.(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?提示E是必然事件;F是不可能事件.(2)如果事件C1發(fā)生,那么一定有哪些事件發(fā)生?反之,成立嗎?在集合中,集合C1與這些集合之間的關(guān)系怎樣描述?提示如果事件C1發(fā)生,那么一定發(fā)生的事件有D1,D3,E,H,反之,如果事件D1,D3,E,H分別成立,那么能推出事件C1發(fā)生的只有D1.所以從集合的觀點(diǎn)看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1與集合D1相等.(3)如果事件A與事件B互斥,則事件A∪B發(fā)生的頻數(shù)與事件A發(fā)生、事件B發(fā)生的頻數(shù)有什么關(guān)系?fn(A∪B)與fn(A),fn(B)有什么關(guān)系?進(jìn)一步得到P(A∪B)與P(A),P(B)有什么關(guān)系?提示若事件A與事件B互斥,則A∪B發(fā)生的頻數(shù)等于事件A發(fā)生的頻數(shù)與事件B發(fā)生的頻數(shù)之和,從而有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B),由此得到P(A∪B)=P(A)+P(B),這就是概率的加法公式.(4)如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,P(A∪B)與P(A),P(B)又有什么關(guān)系?提示因?yàn)槭录嗀與事件B互為對(duì)立事件,所以A∪B為必然事件,所以P(A∪B)=1.由P(A∪B)=P(A)+P(B),得1=P(A)+P(B),從而得出P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).2.填空性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.即P(Ω)=1,P(?)=0性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)+P(A)=1,P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)性質(zhì)5如果A?B,那么P(A)≤P(B)性質(zhì)6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,則有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)歸納提升(1)對(duì)于P(A∪B)=P(A)+P(B)應(yīng)用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個(gè)事件的情況.如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.(2)若A與B互為對(duì)立,則有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對(duì)立.(3)對(duì)于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),當(dāng)A∩B=?時(shí),就是性質(zhì)3.3.做一做(1)從裝有20個(gè)紅球和30個(gè)白球的罐子里任取兩個(gè)球,下列情況中是互斥而不是對(duì)立的兩個(gè)事件是()A.至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球B.恰有一個(gè)紅球與都是白球C.至少有一個(gè)紅球與都是白球D.至多有一個(gè)紅球與都是紅球(2)擲一枚均勻的正六面體骰子,設(shè)A=“出現(xiàn)3點(diǎn)”,B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,則P(A∪B)等于.

(3)甲、乙兩人各射擊一次,命中率分別為0.8和0.5,兩人同時(shí)命中的概率為0.4,則甲、乙兩人至少有一人命中的概率為.

(4)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①互斥事件不一定是對(duì)立事件,但對(duì)立事件一定是互斥事件.()②在同一試驗(yàn)中的兩個(gè)事件A與B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).()③若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A,B是對(duì)立事件.()【學(xué)習(xí)過程】一、探究新知一般而言，給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概率的定義后，我們來(lái)研究概率的基本性質(zhì).我們從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，(1)概率的取值范圍；(2)特殊事件的概率；(3)事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系；等等。1.概率P(A)的取值范圍由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負(fù)的；在每次試驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(Φ)=0.2.概率的加法公式(互斥事件時(shí)有一個(gè)發(fā)生的概率)性質(zhì)3.如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以n(AUB)=n(A)+n(B),這等價(jià)于P(AUB)=P(A)+P(B),即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和，所以我們有互斥事件的概率加法公式：[破疑點(diǎn)]①事件A與事件B互斥，如果沒有這一條件，加法公式將不能應(yīng)用．②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．③在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)[破疑點(diǎn)]①公式使用的前提必須是對(duì)立事件，否則不能使用此公式．②當(dāng)一事件的概率不易直接求，但其對(duì)立事件的概率易求時(shí)，可運(yùn)用此公式，即使用間接法求概率．3.對(duì)立事件有一個(gè)發(fā)生的概率例1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率．一般地，對(duì)于事件A與事件B,如果A?B,即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過事件B的概率。于是我們有概率的單調(diào)性：在古典概型中，對(duì)于事件A與事件B,如果A?B,那么n(A)≤n(B).于是即P(A)≤P(B)性質(zhì)5.如果A?B,那么P(A)≤P(B)由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)棣?A?Ω,所以0≤P(A)≤1.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,“兩個(gè)球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎？如果不相等，請(qǐng)你說明原因，并思考如何計(jì)算P(R1∪R2).因?yàn)閚(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).這是因?yàn)镽1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1,R2不是互斥的,容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).一般地，我們有如下的性質(zhì)：性質(zhì)6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)棣?A?Ω，所以0≤P(A)≤1.(1)對(duì)于P(A∪B)=P(A)+P(B)應(yīng)用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個(gè)事件的情況.如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.(2)若A與B互為對(duì)立,則有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對(duì)立.(3)對(duì)于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),當(dāng)A∩B=Φ時(shí),就是性質(zhì)3.例2.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么(1)C=“抽到紅花色”，求P(C);(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).例3.為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少？【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.給出以下結(jié)論:①互斥事件一定對(duì)立;②對(duì)立事件一定互斥;③互斥事件不一定對(duì)立;④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A與B互斥,則有P(A)=1-P(B).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.32.從集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一個(gè),若這個(gè)子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是34,則該子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是(A.35 B.25 C.13.若事件A,B滿足A∩B=?,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,則P(B)=.

4.盒子中有大小、形狀均相同的一些黑球、白球和黃球,從中摸出一個(gè)球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黃球的概率是0.18,則摸出的球是白球的概率是,摸出的球不是黃球的概率是,摸出的球或者是黃球或者是黑球的概率是.

5.一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲,甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63,問至少有一根熔斷的概率是多少?6.據(jù)統(tǒng)計(jì),某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表:(1)求至多2人排隊(duì)等候的概率;(2)求至少2人排隊(duì)等候的概率.排隊(duì)等候的人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04【課堂小結(jié)】1.概率加法公式是對(duì)互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).2.在求解復(fù)雜的事件的概率時(shí),通常有兩種方法,一是將所求事件的概率轉(zhuǎn)化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的對(duì)立事件的概率,特別是在涉及“至多”或“至少”問題時(shí),常常用此思維模式.再利用P(A)=1-P()來(lái)得出原問題的解.這種處理問題的方法稱為逆向思維,有時(shí)能使問題的解決事半功倍.參考答案：知識(shí)梳理答案:(1)B(2)23(3)0.9(4)①√②×③解析:(1)由題意所有的基本事件可分為三類:兩個(gè)紅球,一紅一白,兩個(gè)白球.易知A選項(xiàng)的事件不互斥;C、D兩個(gè)選項(xiàng)中的事件為對(duì)立事件;而B項(xiàng)中的事件是互斥,同時(shí)還有“兩個(gè)紅球”的事件,故不對(duì)立.故選B.(3)設(shè)事件A=“甲命中”,事件B=“乙命中”,則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件A∪B,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)=16學(xué)習(xí)過程例1.[解析](1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事件．“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面為大于等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是對(duì)立事件，可用對(duì)立事件的方法處理．設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E，則事件eq\x\to(E)為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”，由(1)可知“射中7環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中10環(huán)”是彼此互斥的事件，∴P(eq\x\to(E))＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，從而P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－0.97＝0.03.∴不夠7環(huán)的概率為0.03.例2.解：(1)因?yàn)镃=A∪B,且A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以A與B是互斥事件.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5(2)因?yàn)镃與D互斥，又因?yàn)镃∪D是必然事件，所以C與D互為對(duì)立事件.因此P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.例3.分析：“中獎(jiǎng)”包括第一罐中獎(jiǎng)但第二罐不中獎(jiǎng)、第一罐不中獎(jiǎng)但第二罐中獎(jiǎng)、兩罐都中獎(jiǎng)三種情況。如果設(shè)A=“中獎(jiǎng)”，A1=“第一罐中獎(jiǎng)”，A2=“第二罐中獎(jiǎng)”，那么就可以通過事件的運(yùn)算構(gòu)建相應(yīng)事件，并利用概率的性質(zhì)解決問題.解：設(shè)事件A=“中獎(jiǎng)”，事件A1=“第一罐中獎(jiǎng)”，事件A2=“第二罐中獎(jiǎng)”，那么事件A1A2=“兩罐都中獎(jiǎng)”，A12=“第一罐中獎(jiǎng)，第二罐不中獎(jiǎng)”，1A2=“第一罐不中獎(jiǎng)，第二罐中獎(jiǎng)”，且A=A1A2∪A12∪1A2.因?yàn)锳1A2,A12,A12兩兩互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A12)+P(1A2).我們借助樹狀圖來(lái)求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù).可以得到，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為n(Ω)=6×5=30,且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的.因?yàn)閚(A1A2)=2,n(A12)=8,n(1A2)=8,所以法2:注意到事件A的對(duì)立事件是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”，由于=“兩罐都不中獎(jiǎng)”，而n()=4×3=12,所以達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.答案:C解析:對(duì)立必互斥,互斥不一定對(duì)立,故②③正確,①錯(cuò);又當(dāng)A∪B=A時(shí),P(A∪B)=P(A),故④錯(cuò);只有事件A與B為對(duì)立事件時(shí),才有P(A)=1-P(B),故⑤錯(cuò).2.答案:C解析:該子集恰是{a,b,c}的子集的概率為P=1-343.答案:0.74.答案:0.400.820.605.解:設(shè)A=“甲熔絲熔斷”,B=“乙熔絲熔斷”,則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96.6.解:記在窗口排隊(duì)等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件A,B,C,則A,B,C兩兩互斥.(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少2人排隊(duì)等候的對(duì)立事件是“排隊(duì)等候人數(shù)為0或1”,而排隊(duì)等候人數(shù)為0或1的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排隊(duì)等候的概率為1-0.26=0.74.《10.1.4概率的基本性質(zhì)》同步練習(xí)一、選擇題1．下列命題：①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對(duì)立事件．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．42．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．3．若A，B為對(duì)立事件，則下列式子中成立的是（）A． B． C． D．4．在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是（）A． B． C． D．5．（多選題）10．黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表：血型ABABO該血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同種血型的人可以輸血，O型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可以給血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血，下列結(jié)論正確的是（）A．任找一個(gè)人，其血可以輸給B型血的人的概率是0.64B．任找一個(gè)人，B型血的人能為其輸血的概率是0.29C．任找一個(gè)人，其血可以輸給O型血的人的概率為1D．任找一個(gè)人，其血可以輸給型血的人的概率為16．（多選題）在一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭校O(shè)A表示一個(gè)隨機(jī)事件，表示A的對(duì)立事件.以下結(jié)論正確的是（）A． B． C．若，則 D．二、填空題7．在10000張有獎(jiǎng)明信片中，設(shè)有一等獎(jiǎng)5個(gè)，二等獎(jiǎng)10個(gè)，三等獎(jiǎng)l00個(gè)，從中隨意買l張．(1)P(獲一等獎(jiǎng))=______，P(獲二等獎(jiǎng))=______，P(獲三等獎(jiǎng))=______．(2)P(中獎(jiǎng))=______，P(不中獎(jiǎng))=______．8．在拋擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件表示“不大于4的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件發(fā)生的概率為________（表示的對(duì)立事件）．9．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中甲級(jí)屬正品，乙、丙兩級(jí)屬次品.若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)產(chǎn)品的概率為0.03，出現(xiàn)丙級(jí)產(chǎn)品的概率為0.01，則對(duì)成品任意抽查一件抽得正品的概率為__________.10．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一個(gè)球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，那么摸出紅球的概率為________．三、解答題11．在某次數(shù)學(xué)考試中，小江的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是0.25，在的概率是0.48，在的概率是0.11，在的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.計(jì)算：（1）小江在此次數(shù)學(xué)考試中取得80分及以上的概率；（2）小江考試及格（成績(jī)不低于60分）的概率.12．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主至多購(gòu)買一種保險(xiǎn).（1）求該地位車主購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；（2）求該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率.《10.1.4概率的基本性質(zhì)》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．下列命題：①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對(duì)立事件．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題意①中，根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系，可得是正確；②中，當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正確的；③也不正確．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，還可能小于1；④也不正確．例如：袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A＝{摸到紅球或黃球}，事件B＝{摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.2．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．【答案】A【解析】∵甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，∴甲不輸?shù)母怕蕿镻=．故選項(xiàng)為：A．3．若A，B為對(duì)立事件，則下列式子中成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若事件A與事件B是對(duì)立事件，則為必然事件，再由概率的加法公式得.故選：D.4．在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】從五個(gè)球中任取兩個(gè)，共有種取法，其中1，2；1，5；2，4，三種取法數(shù)字之和為3或6，利用古典概型可得取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是，故選C.5．（多選題）10．黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表：血型ABABO該血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同種血型的人可以輸血，O型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可以給血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血，下列結(jié)論正確的是（）A．任找一個(gè)人，其血可以輸給B型血的人的概率是0.64B．任找一個(gè)人，B型血的人能為其輸血的概率是0.29C．任找一個(gè)人，其血可以輸給O型血的人的概率為1D．任找一個(gè)人，其血可以輸給型血的人的概率為1【答案】AD【解析】任找一個(gè)人，其血型為A、B、、O型血的事件分別記為、、、，它們兩兩互斥.由已知，有，，，.因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，所以“可以輸給B型血的人”為事件，根據(jù)概率的加法公式，得，故A正確；B型血的人能為B型、型的人輸血，其概率為，B錯(cuò)誤；由O型血只