《6.3.1平面向量基本定理》教案【教材分析】本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量實(shí)際背景及基本概念、平面向量的線性運(yùn)算（向量的加法、減法、數(shù)乘向量、共線向量定理）之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容，它是引入向量坐標(biāo)表示，將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，使向量的工具性得到初步的體現(xiàn)，具有承前啟后的作用?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；3、能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量基底定理理解；2.邏輯推理：用基底表示向量；3.數(shù)學(xué)建模：利用數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用相等向量，比例等知識(shí)來進(jìn)行轉(zhuǎn)換.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：平面向量基本定理；難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入已知平面內(nèi)一向量a是該平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量b，c的和，怎樣表達(dá)？問題：如果向量b與ｅ１共線、c與ｅ２共線，上面的表達(dá)式發(fā)生什么變化？根據(jù)作圖進(jìn)行提問、引導(dǎo)、歸納，板書表達(dá)式：a=λ1要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本25-27頁(yè)，思考并完成以下問題1、平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？2、如何定義平面向量的基底？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1注意：(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，ｅ１、ｅ２唯一確定的數(shù)量.四、典例分析、舉一反三題型一正確理解向量基底的概念例1例1設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：①eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))；②eq\o(DA,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))；③eq\o(CA,\s\up16(→))與eq\o(DC,\s\up16(→))；④eq\o(OD,\s\up16(→))與eq\o(OB,\s\up16(→))，其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④【答案】B【解析】①eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))不共線；②eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\o(BC,\s\up16(→))，則eq\o(DA,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))共線；③eq\o(CA,\s\up16(→))與eq\o(DC,\s\up16(→))不共線；④eq\o(OD,\s\up16(→))＝－eq\o(OB,\s\up16(→))，則eq\o(OD,\s\up16(→))與eq\o(OB,\s\up16(→))共線．由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基底，故①③滿足題意．解題技巧（基底向量滿足什么條件）考查兩個(gè)向量能否作為基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以由這組基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟蹤訓(xùn)練一1、設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1【答案】B.【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴兩個(gè)向量共線，不能作為基底．題型二用基底表示向量例2如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線eq\o(AC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，試用基底a，b表示eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→)).【答案】eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.【解析】由題意知，eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)b.所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))－eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.解題技巧：(用基底表示向量的方法)將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，一般是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止．跟蹤訓(xùn)練二1、如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分別是DA，BC的中點(diǎn)，且eq\f(DC,AB)＝k，設(shè)eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，以e1，e2為基底表示向量eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).2、【答案】eq\o(DC,\s\up15(→))＝ke2.eq\o(BC,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.【解析】法一：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，eq\f(DC,AB)＝k，∴eq\o(DC,\s\up15(→))＝keq\o(AB,\s\up15(→))＝ke2.∵eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(DA,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.又eq\o(MN,\s\up15(→))＋eq\o(NB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AM,\s\up15(→))＝0，且eq\o(NB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))，∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝－eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(NB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.法二：同法一得eq\o(DC,\s\up15(→))＝ke2，eq\o(BC,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.連接MB，MC，由eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→)))得eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\f(k＋1,2)e2.題型三平面向量基本定理的應(yīng)用例3如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值．【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).【解析】設(shè)eq\o(BM,\s\up15(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up15(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CM,\s\up15(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CN,\s\up15(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分別共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AM,\s\up15(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up15(→))＝μeq\o(BN,\s\up15(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(PA,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))－eq\o(AP,\s\up15(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up15(→))，eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up15(→))，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).解題技巧（平面向量基本定理應(yīng)用時(shí)注意事項(xiàng)）若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．跟蹤訓(xùn)練三1．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，BE與CD交于點(diǎn)P，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，用a，b表示eq\o(AP,\s\up16(→)).【答案】eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b．【解析】如圖，取AE的三等分點(diǎn)M，使AM＝eq\f(1,3)AE，連接DM，則DM//BE.設(shè)AM＝t(t＞0)，則ME＝2t.又AE＝eq\f(1,4)AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，eq\f(CE,CM)＝eq\f(CP,CD)＝eq\f(9,11)，∴CP＝eq\f(9,11)CD，∴DP＝eq\f(2,11)CD，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AC,\s\up16(→))))＝eq\f(3,11)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b．五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)6.3.16.3.1平面向量基本定理1.平面向量基本定理例1例2例3注意：七、作業(yè)課本27頁(yè)練習(xí)，36頁(yè)習(xí)題6.3的1，11題.【教學(xué)反思】教學(xué)過程中說到基底問題時(shí)，要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng).特別是很多學(xué)生總是把他和單位向量分不開，教師需要給學(xué)生引導(dǎo)，要注意不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底這個(gè)思想.在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運(yùn)用相等向量，比例等知識(shí)來進(jìn)行；學(xué)生在解題時(shí)很少注意到這個(gè)問題，只是純粹的利用向量知識(shí)解題，所以很難找到思路.《6.3.1平面向量基本定理》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；3、能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量基底定理理解；2.邏輯推理：用基底表示向量；3.數(shù)學(xué)建模：利用數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用相等向量，比例等知識(shí)來進(jìn)行轉(zhuǎn)換.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：平面向量基本定理；【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本25-27頁(yè)，填寫。1、定理探究：平面向量基本定理：注意：(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的;(2)基底不惟一，關(guān)鍵是；(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式.即λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量小試牛刀1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任意兩個(gè)向量都可以作為基底． ()(2)一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．()(3)零向量不可以作為基底中的向量．()2．設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是()A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2 D．e1，e1＋e23．A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為R，則eq\o(PR,\s\up16(→))等于()A．a(chǎn)－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a4．已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y＝________.【自主探究】題型一正確理解向量基底的概念例1設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：①eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))；②eq\o(DA,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))；③eq\o(CA,\s\up16(→))與eq\o(DC,\s\up16(→))；④eq\o(OD,\s\up16(→))與eq\o(OB,\s\up16(→))，其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④跟蹤訓(xùn)練一1、設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1題型二用基底表示向量例2如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線eq\o(AC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，試用基底a，b表示eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→)).跟蹤訓(xùn)練二1、如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分別是DA，BC的中點(diǎn)，且eq\f(DC,AB)＝k，設(shè)eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，以e1，e2為基底表示向量eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).題型三平面向量基本定理的應(yīng)用例3如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值．跟蹤訓(xùn)練三1．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，BE與CD交于點(diǎn)P，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，用a，b表示eq\o(AP,\s\up16(→)).【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．已知e1，e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2，4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e22．設(shè)向量e1與e2不共線，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為()A．0，0B．1，1C．3，0D．3，43．如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，且eq\o(BP,\s\up16(→))＝3eq\o(PA,\s\up16(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)4．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為以a，b為基向量的線性組合，即e1＋e2＝________．5．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)．若eq\o(AM,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))＋μeq\o(BC,\s\up16(→))，則λ＋μ＝________.6．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．答案小試牛刀1.(1)×(2)√(3)√2．B.3．B.4.3自主探究例1【答案】B【解析】①eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))不共線；②eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\o(BC,\s\up16(→))，則eq\o(DA,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))共線；③eq\o(CA,\s\up16(→))與eq\o(DC,\s\up16(→))不共線；④eq\o(OD,\s\up16(→))＝－eq\o(OB,\s\up16(→))，則eq\o(OD,\s\up16(→))與eq\o(OB,\s\up16(→))共線．由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基底，故①③滿足題意．跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】B.【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴兩個(gè)向量共線，不能作為基底．例2【答案】eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.【解析】由題意知，eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)b.所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))－eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】eq\o(DC,\s\up15(→))＝ke2.eq\o(BC,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.【解析】法一：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，eq\f(DC,AB)＝k，∴eq\o(DC,\s\up15(→))＝keq\o(AB,\s\up15(→))＝ke2.∵eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(DA,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.又eq\o(MN,\s\up15(→))＋eq\o(NB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AM,\s\up15(→))＝0，且eq\o(NB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))，∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝－eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(NB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.法二：同法一得eq\o(DC,\s\up15(→))＝ke2，eq\o(BC,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.連接MB，MC，由eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→)))得eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\f(k＋1,2)e2.例3【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).【解析】設(shè)eq\o(BM,\s\up15(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up15(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CM,\s\up15(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CN,\s\up15(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分別共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AM,\s\up15(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up15(→))＝μeq\o(BN,\s\up15(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(PA,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))－eq\o(AP,\s\up15(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up15(→))，eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up15(→))，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).跟蹤訓(xùn)練三1．【答案】eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b．【解析】如圖，取AE的三等分點(diǎn)M，使AM＝eq\f(1,3)AE，連接DM，則DM//BE.設(shè)AM＝t(t＞0)，則ME＝2t.又AE＝eq\f(1,4)AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，eq\f(CE,CM)＝eq\f(CP,CD)＝eq\f(9,11)，∴CP＝eq\f(9,11)CD，∴DP＝eq\f(2,11)CD，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AC,\s\up16(→))))＝eq\f(3,11)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b．當(dāng)堂檢測(cè) 1-3.CDD4.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b5.eq\f(2,3)6.【答案】（1）見解析.（2）c＝2a＋b.（3）λ，μ的值分別為3和1.【解析】(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共線，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．(2)設(shè)c＝ma＋(m，n∈R)，則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ，μ的值分別為3和1.《6.3.1平面向量基本定理》課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固1．如果是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么在下列各命題中不正確的有（）①可以表示平面內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面內(nèi)的任一向量，使的實(shí)數(shù)，有無數(shù)多對(duì)；③若向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；④若實(shí)數(shù)，使，則.A．①② B．②③C．③④ D．②2．已知向量，不共線，實(shí)數(shù)x，y滿，則的值是（）A．3 B． C．0 D．23．如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．如圖，在平行四邊形中，分別為上的點(diǎn)，且，，連接交于點(diǎn)，若，則的值為（）A． B． C． D．5．已知△ABC中，，則（）A．1 B． C