專題突破練22圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題1.已知拋物線E:x2=4y,點P(1,2),斜率為k(k>0)的直線l過點P,與拋物線E相交于不同的兩點A,B.(1)求k的取值范圍;(2)斜率為k的直線m過點P,與拋物線E相交于不同的點C,D,證明:直線AC、直線BD及y軸圍成等腰三角形.2.設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,點P(m,2)(m>0)在拋物線C上,且滿足|PF|=3.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點G(0,4)的直線l與拋物線C交于A,B兩點,分別以A,B為切點的拋物線C的兩條切線交于點Q,求△PQG周長的最小值.3.設(shè)O是坐標(biāo)原點,以F1,F2為焦點的橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為22,以|F(1)求橢圓C的方程;(2)P是橢圓C外的一點,過P的直線l1,l2均與橢圓C相切,且l1,l2的斜率之積為m1≤m≤12,記u為|PO|的最小值,求u的取值范圍.4.已知橢圓C:x2a2+y2b2=(1)求橢圓C的方程;(2)點P是橢圓C上一點,且在第一象限內(nèi),過P作直線交y軸正半軸于點A,交x軸負半軸于點B,與橢圓C的另一個交點為E,且PA=AB,點Q是點P關(guān)于x軸的對稱點,直線QA與橢圓C的另一個交點為F.①證明:直線AQ,AP的斜率之比為定值;②求直線EF的斜率的最小值.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(1,0),B(1,0),C為動點,設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與邊AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,記點C的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)不過原點O的直線l與曲線E交于M,N,且直線y=12x經(jīng)過MN的中點T,求△OMN的面積的最大值6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>(1)求橢圓C的方程;(2)點F為橢圓C的右焦點,過橢圓C上一點A(x1,y1)(x1y1≠0)的直線l1:x1x+2y1y=2與直線l2:x=2交于點P,直線AF交橢圓C于另一點B,設(shè)AB與OP交于點Q.證明:①∠AFP=π2②Q為線段AB的中點.專題突破練22圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題1.(1)解由題意設(shè)l的方程為y+2=k(x1),與x2=4y聯(lián)立得,x24kx+4k+8=0.由Δ>0得k2k2>0,即k<1或k>2.又k>0,所以k的取值范圍是(2,+∞).(2)證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由(1)可得x1+x2=4k.由題意設(shè)m的方程為y+2=k(x1),與x2=4y聯(lián)立得,x2+4kx4k+8=0,得x3+x4=4k.kAC=y3-y1x3-因為kAC+kBD=x1+所以直線AC、直線BD及y軸圍成等腰三角形.2.解(1)由拋物線定義,得|PF|=2+p2=3,得p=故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y=kx+4,聯(lián)立y=kx+4,x2=4y,消去xΔ>0,x1+x2=4k,x1x2=16.設(shè)A,B處的切線斜率分別為k1,k2,則k1=x12,k2=在點A處的切線方程為yy1=x12(xx1),即y=x同理,在點B處的切線方程為y=x2x由①②得xQ=x1+x22=2k,代入①或②中可得yQ=kx1x124=y14y1=4,故Q(2k,設(shè)點G關(guān)于直線y=4的對稱點為G',則G'(0,12),由(1)知P(22,2),∵|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q|≥|G'P|=251,即P,Q,G'三點共線時等號成立,∴△PQG周長的最小值為|GP|+|G'P|=251+23.3.解(1)由題意可得2a=22,故a=2.因為以|F1F2|為直徑的圓和橢圓C恰好有兩個交點,則b=c,b2+c2=2b2=a2=2,可得b=c=1,因此橢圓C的方程為x22+y2=(2)由題意可知,直線l1,l2的斜率存在且不為零,設(shè)過點P(x0,y0)的切線l:yy0=k(xx0),聯(lián)立y-y0=k(x-x0),x22+y2=1,消去y可得(2k2+1)x2+由于直線l與橢圓C相切,則Δ=16k2(y0kx0)24(2k2+1)[2(y0kx0)22]=0,化簡并整理得(y0kx0)2=2k2+1.整理成關(guān)于k的二次方程得(x022)k22x0y0k+y021=0(易知x設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,易知k1,k2為關(guān)于k的二次方程(x022)k22x0y0k+y021所以k1k2=y02-1x02-2=m,y02=mx02+12m,故|PO|=x0易知當(dāng)x0=0時,有u=|PO|min=1-因為1≤m≤12,所以2≤u≤3即u的取值范圍是[2,34.(1)解由題意得2解得a所以橢圓C的方程為x22+y2=(2)①證明設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),因為點Q是點P(x0,y0)關(guān)于x軸的對稱點,PA=AB,所以Q(x0,y0),A0,所以直線QA的斜率為kQA=-y0-12y0x所以kQAkPA=3.所以直線AQ,②解設(shè)直線PA的方程為y=kx+m.聯(lián)立方程組y=kx+m,x2+2y2=2,化簡得(1+2k2)設(shè)點E的坐標(biāo)是(x1,y1),所以x0x1=2m所以x1=2m所以y1=2k所以點E的坐標(biāo)是2m2-2由①可知,直線QA的方程是y=3kx+m.所以點F的坐標(biāo)是2m2-2所以直線EF的斜率kEF=-6因為k>0,所以kEF=6k2+14當(dāng)且僅當(dāng)6k=1k即k=66時,kEF有最小值6所以直線EF的斜率的最小值是625.解(1)依題意可知,|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲線E是以A,B為焦點,長軸長為4的橢圓(除去與x軸的交點),因此曲線E的方程為x24+y2(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),顯然直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m(m≠0),代入x24+y23=1,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m則x1+x2=8km4k2+3,x1x2=4m2-124k2+3,所以y1+y故MN的中點T的坐標(biāo)為-4而直線y=12x經(jīng)過MN的中點T,得3m4k2+3=12×-4故(*)式可化簡為3x2+3mx+m23=0,故x1+x2=m,x1x2=m2由Δ=363m2>0且m≠0,得23<m<23且m≠0.又|MN|=1+k2|x1x2|=132×36-3m2則△OMN的面積S=12×2當(dāng)且僅當(dāng)m=±6時,等號成立,此時滿足23<m<23且m≠0,所以△OMN的面積的最大值為3.6.(1)解設(shè)橢圓C的半焦距為c,因為短軸的一個端點的坐標(biāo)為(0,1),所以b=1,所以a2c2=1.①因為e=ca=22,所以由①②,得c=1,所以a=2,所以橢圓C的方程為x22+y2=(2)證明①將x=2代入x1x+2y1y=2,得2x1+2y1y=2,解得y=1-x1y1又F(1,0),A(x1,y1),所以FA=(x11,y1),FP=1,1-x1y1,FA·FP=x11+y1·②由直線AB過焦點F(1,0),得直線AB的方程為