2023年中衛(wèi)市高考第一次模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第∏卷第22、23題為選考題，其

他題為必考題.考生做答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本

試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1、答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的準(zhǔn)考證

號、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上.

2、選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選

擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.

3、請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.

4、保持卡面清潔，不折疊，不破損.

5、做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂

黑.

第I卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的，請將正確的答案涂到答題卡上）

L設(shè)集合A={2,3d-2α-3},B={θ,3}C={2,α}若BgA,A?C{2},則4=(

)

A.-3B.-IC.1D.3

..4

若復(fù)數(shù)=二■：,則的共輾復(fù)數(shù)

2.ZZW=()

A.1-iB.-l÷iC.-2+iD.2-i

3.已知Sina=3二，a∈τzg,ττ,tan(π-∕7)=?,則tan(α一萬)的值為()

52_

2211

A.——B.—

11T

4.已知a=log3；,=2^2?C=P)3，則()

A.a>b>cB.a>ObC.b>c>aD.c>b>a

5.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之粟9斗，豬主日：“我豬食半羊."羊主曰:

“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛?，，今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人

禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人說：“我羊所吃的

禾苗只有馬的一半馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的

主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了（）斗.

3921

A.-B.—C.3D.

55T

x+y-2≥0

6.若x,y滿足約束條件,2x-y-4≤0,則Z=X-y的最小值是（）

y≤4

A.-6B.-4C.0D.2

7.如圖是函數(shù)“（X）圖象的一部分，設(shè)函數(shù)/（x）=SinX,g（x）=J,則“（%）可以表示為（）

C./(X)+g(x)D./(x)-g(x)

8.已知函數(shù)J'(x)=CoSn-sin'x,則()

?ππ\(zhòng)

A.‘（'）在I-2，一7I上單調(diào)遞減B.f(χ)在一1,??j上單調(diào)遞增

C./3在［o,?）上單調(diào)遞減(Ji7TT、

D.F(X)在五J上單調(diào)遞增

9.過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航

天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖

擊五項.若這五項測試每天進(jìn)行一項，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重

耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

10.的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,滿足（SinB-SinC）2=si∏2A-sinBSinC.若

-ABC為銳角三角形，且α=3,則J3C面積最大為（）

93√3

D岑

244

??.設(shè)雙曲線E上=1左、右焦點分別為K，F(xiàn),,左頂點為A,點M是雙曲線E在第一象限內(nèi)的

3

一點，直線MG交雙曲線E的左支于點N,若N4〃,則點M與點N的橫坐標(biāo)的絕對值之比為（）

2328…3

A.—B.—C.4D.一

16172

12.利用"lnx≤x-1"可得到許多與“（”≥2且〃GN*）有關(guān)的結(jié)論①ln（〃+l）＜1+；+；++?,②

＜上，則結(jié)論

H----，③>e,④—+…+

e-1

正確的有（

A.1個B.2個C.3個D.4個

第∏卷（非選擇題共90分）

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知加＞（）,平面向量W=（τ√,機+2），1=（1,1＞若：//]，則實數(shù)加的值是.

14.已知（x+α）'的展開式為05%5+〃4》4+〃3%3+〃2》2+〃]%+〃0，若〃3-=15,貝IJa=.

P為橢圓上+X=I上一點，曲線兇+∣y∣=l與坐標(biāo)軸的交點為A,B,C,D,若

62211

?PA?+?PB?+?Pd[+?PD?=4-j6,則尸到X軸的距離為.

16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而

“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個

點，A,B,C,。滿足43=3C=CD=D4=DB=2cm,AC=3cm,則該“鞠”的表面積為

三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，Sll=2an-?.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）若勿=2〃+1,求數(shù)列｛《,+々J的前〃項和小

18.攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)，也稱作號碼攜帶、移機不改號，即無需改變自己的手機號碼，就能轉(zhuǎn)換運營商，并享受其提

供的各種服務(wù).2019年11月27日，工信部宣布攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)在全國范圍正式啟動.某運營商為提質(zhì)量?？蛻?，

從運營系統(tǒng)中選出300名客戶，對業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平的評價進(jìn)行統(tǒng)計，其中業(yè)務(wù)水平的滿意率為?j,服

2

務(wù)水平的滿意率為：，對業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平都滿意的客戶有180人.

（1）完成下面2x2列聯(lián)表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān)；

對服務(wù)水平滿意人數(shù)對服務(wù)水平不滿意人數(shù)合計

對業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)

對業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù)

合計

（2）為進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量在選出對服務(wù)水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進(jìn)意見，用X表示對

業(yè)務(wù)水平不滿意的人數(shù)，求X的分布列與期望.

?“2n(ad-be)2

附：K-=-------------------------,n-a+b+c+d.

(α+∕?)(C+d)(a+c)(?+d)

p(κ2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如圖，在三棱柱ABC-44G中，底面二ABC為等腰直角三角形，側(cè)面AAGC?1"底面ABC。為

AC中點，AB=BC=叵AAi=B

（1）求證：BDIA1D.,

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角A-CG-8的余弦值.

條件①：Λ1C11B1C；條件②：AAi=BiC.

20.在直角坐標(biāo)系XOy中，動點M到定點F（LO）的距離比到），軸的距離大1.

（1）求動點例的軌跡方程；

(2)當(dāng)x≥0時，記動點M的軌跡為曲線C,過F的直線與曲線C交于P,Q兩點，直線。P,OQ與直

線X=I分別交于4,B兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請

說明理由.

21.已知函數(shù)/(x)=2χ2-ainχ2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若〃x)22α-gq2,求.的取值范圍.

選考題：(請考生在第22、23兩道題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.作

答時請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑)

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為p=2√∑sin[e+;1,直線/的極坐標(biāo)方程為

PSin[。+：)=4.以極點為坐標(biāo)原點，以極軸為X軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系x0y.

(1)求圓C及直線/直角坐標(biāo)方程；

(兀、IoPl

(2)若射線e=α(Q>O)分別與圓C和直線/交于P,Q兩點，其中αe0,5,求第的最大值.

選修4-5：不等式選講

23.已知α>0,8>0,函數(shù)/(x)=∣2x+a∣+∣2x-b∣+l最小值為3.

(1)求α+Z?的值；

(2)求證：?+log3(―+?∣>4-α.

式α2b)

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分.每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的，請將正確的答案涂到答題卡上)

L設(shè)集合A="：/一2。-3},3={0,3},C={2,α}若BE人？。⑶，則”()

A.-3B.-IC.1D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合交集的結(jié)果可求。的值.

【詳解】因為3=?A,故/-2α-3=0,故α=-l或α=3,

若α=T,則A={2,3,0},C={2,-l},此時A?C{2},符合；

若α=3,則A={2,3,0},C={2,3},此時AC={2,3},不符合；

故選：B

2.若復(fù)數(shù)Z=匕L,則Z的共蒯復(fù)數(shù)I=()

1-i

A.1-iB.-l+iC.-2+iD.2-i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)z,結(jié)合共物復(fù)數(shù)的定義可得復(fù)數(shù))

l+i422(l+i).

【詳解】因為z=~=~=/,?J=l+ι因此，z=1-i?

v1-1γ1-1(l-ι)(l+ι)

故選：A.

3乃

3.已知sin。=-,a∈-,π,tan(π-Z?)=~,則tan(α-/?)的值為()

5L2J2

22

A.----B.—C.I—lDr.——U

111122

【答案】A

【解析】

31

【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式得tana=一—，tan0=-,再由差角正切公式求值即可.

4y2

431

【詳解】由題可得CoSa=--,Ianc=-一，tan/=---，

542

3I__1

tanα—tan￡42____2

所以tan(α-B)=--------------J=4.

1+tantztanβ?+?11

8

故選：A

2

4.已知a=log3；,z,=2^1,c=(g)?則<

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

【解析】

【分析】先確定與中間量0的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.

【詳解】tz=Iog3-<Iog3I=O,

0<?=22=

故c>6>α

故選：D.

5.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊羊主曰：

“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛.，，今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人

的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人說：“我羊所吃的

禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的

主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了（）斗.

3921

A.-B.—C.3D.—

555

【答案】B

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求解，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，求出馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù).

【詳解】由題意得：豬、羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)成等比數(shù)列，公比為2,

設(shè)豬的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為X,

3

則x+2x+4x+8x=9,解得：%=—,

12

故馬主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為4x=M,

1239

所以馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù)為=二.

故選：B

x+y-2>0

6.若x,y滿足約束條件<2尤一y-4≤0,則Z=X—y的最小值是（）

y≤4

A.-6B.-4C.0D.2

【答案】A

【解析】

【分析】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，由幾何意義求出最小值.

【詳解】畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)，

當(dāng)直線2=》一丁過點4(—2,4)時，Z取得最小值，zmin=-2-4=-6,

故最小值為-6.

故選：A

7.如圖是函數(shù)H(X)圖象的一部分，設(shè)函數(shù)/(x)=SinX,g(x)=，則“(X)可以表示為()

c?"x)+g(x)D./(x)-(g(x)

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合函數(shù)圖象利用奇偶性排除部分選項，再根據(jù)當(dāng)x>0時，X趨于O時，函數(shù)值趨于負(fù)無窮大判斷.

?吧與42=XSinX都是偶函數(shù),

【詳解】因為“χ)?g(χ)=排除A,B.

Xg(x)

因為/(χ)-g(χ)和/(χ)+g(χ)都是奇函數(shù)，且當(dāng)χ>o時，X趨于0時?，函數(shù)值趨于負(fù)無窮大，排除

D,

故選：C

8.已知函數(shù)/(x)=COS2χ-si∏2χ,則()

兀冗\（7171\

［一耳,一］上單調(diào)遞減B./（x）在［一］,五上單調(diào)遞增

C./*）在（θ,上單調(diào)遞減D./3在（?,上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】

【分析】化簡得出/（x）=cos2x,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.

【詳解】因為/（x）=COS2X-SiMx=Cos2x.

）7'）7/、I7tTC\

對于A選項，當(dāng)---<x<----時，一"<2xv---則/（X）在-5,一不上單調(diào)遞增，A錯;

263

---<2x<—,則/(x)在［一7,二I上不單調(diào)，B錯;

對于B選項,當(dāng)一卜咤時,

2-----6k412√

對于C選項，當(dāng)0<x<∕時，0<2x<葛，則”x）在（0,。）上單調(diào)遞減，C對；

對于D選項，當(dāng)工<x<衛(wèi)時，-<2x<-,則〃x）在（f,二［上不單調(diào)，D錯.

41226v7\412√

故選：C.

9.過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航

天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖

擊五項.若這五項測試每天進(jìn)行一項，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重

耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)特殊元素“失重飛行”進(jìn)行位置分類方法計算，結(jié)合排列組合等計數(shù)方法，即可求得總的測試

的安排方案種數(shù).

【詳解】①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項測試有A；=6種安

排方法，

此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；

②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有C；種選擇，超重耐力在第四、第五天有C；種選擇，剩下兩種

測試全排列A；,則有C；C；A；=8種安排方法，

此情況與失重飛行安排第四天方安排方案種數(shù)相同；

③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有C；種選擇，超重耐力在第一、第五天有C；種選擇，剩下兩種

測試全排列A；,則有C；C；A；=8種安排方法；

故選拔測試的安排方案有6x2+8x2+8=36種.

故選：B

l

10.-ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為α,b,c,滿足(sin8-sinC)?=sin?A-SinjBSinC.若

一A8C為銳角三角形，且α=3,則面積最大為（）

?9B2S9√3

2444

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理、三角形面積公式結(jié)合均值不等式求解作答.

【詳解】在ABC中，由（sin8—SinCf=SiYA—sinBsinC及正弦定理得：（/?—c>="一∕7c,

即/=/+,2—%,由余弦定理得CoSA=空維W=',在銳角.ABC中，A=1,

2bc23

而4=3,因此3?=〃+c?—A22hc-hc-he，當(dāng)且僅當(dāng)/?=C=3時取等號，

于是一ABC的面積S.=-hesinA=—be≤—，

^βlicc244

所以當(dāng)b=c=α=3時，的面積取得最大值名叵.

4

故選：D

11.設(shè)雙曲線E:/-工=1的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),,左頂點為A,點M是雙曲線E在第一象限內(nèi)的

3

一點，直線M片交雙曲線E的左支于點N,若NA//MF],則點〃與點N的橫坐標(biāo)的絕對值之比為（）

【答案】B

【解析】

X.=4%,+6

【分析】根據(jù)題意可得A三點坐標(biāo)，由24〃M瑪可利用相似比得《I,代入M,N兩點

Ui=4%

坐標(biāo)并聯(lián)立，解之即可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示:

所以耳即(玉+

M=4RN，2,%)=4(X2+2,y2),

x1+2=4(々+2)%=4々+6

y=4%E=4%

17

4x,+6>—(?j.=],聯(lián)立A^一3=

=1,解得X2—T；

3J

7

所以西=4%+6=],

7

咤X,土4士28

16

2g

點M與點N的橫坐標(biāo)的絕對值之比為一.

17

故選：B

12.利用"lnx≤x-l''可得到許多與〃(“≥2Ji"∈N*)有關(guān)的結(jié)論①In(〃+1)<1+/+§+H—,②

inπ44++XT(G)04]>e,(4)flT+f-T+?+f-T<-^-則結(jié)論

)?n)?n)?n)e-1

正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

時，等號成立，對于①，令x=l+'wl,得到

【分析】先證明出lnx≤x—1,當(dāng)且僅當(dāng)X=I

n

In[I+L]<l+?!■-I=L累加后得到①正確；對于②，推導(dǎo)出In(I-x)≤r,χ<l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時

?nJnn

等號成立，令X=L70,可得ln(l-!]<-』，累加后得到②正確；對于③，推導(dǎo)出

In[I+[]<l+]-l=],累加后得到③錯誤；對于④，將InX≤x-1中的X替換為L,推導(dǎo)出

\2J22n

n?n-≤i-n,故≤ei-",當(dāng)且僅當(dāng)i=〃時，等號成立，累加后得到④正確.

〃VnJ

1y_1

【詳解】令/(x)=X-ITn》,則f'{χ}=↑__=----,

XX

當(dāng)x>l時，f↑χ)>O,當(dāng)O<x<l時，∕,(x)<0,

故/(χ)=χ-l-lnx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,長。)上單調(diào)遞增，

故/(x)=X-1—Inx在χ=l處取得極小值，也時最小值，/(χ)min=0,

故InX≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立，

對于①，令X=I+，W1,所以In[I+，]<1+，-1二，，

n?nJnn

故ln[+'+ln(l+g)++In(l+^]<l+→+:'

其中In1+??+In[1+耳)++ln(ld—)=ln2—In1+In3—ln2++ln(∕z+l)—Inn

=ln(n+l)-lnl=ln(∕2÷l),

所以ln(幾+1)<l+5+3+H—,故①正確;

對于②，將InX≤x-l中的X替換為1一工，可得In(I-x)≤l-x-1=一次，x<l,

當(dāng)且僅當(dāng)X=O時等號成立，

令X=LW0,可得Infl—I<—,

1

所以Ir〃一1)>—

n

故In2-In1+In3-In2++ln〃-In(J2-1)>'+』++?,

23n

其中In2—Inl+ln3-In2++In/2-In(π-1)=In/?-In1=Inn

所以ln〃>—I—FH—，故②正確;

23n

對于③，將InX≤x—1中的X替換為1+5，顯然1+91,

,,1「1,1

則InIH----<1+--------1=—

I2n〃)TT

故In(I+口+In1+++lnfu?11!<1，

<一+r+

2)I2"J222

故T1+l+∕]<e,故③錯誤;

對于④，將InX≤x-l中的X替換為一，其中ieN*,〃eN*，則ln-≤一一1,

nnn

?/?

則n?n-≤i-n,故—≤e"",當(dāng)且僅當(dāng)i=〃時，等號成立,

nnJ

z,(1—e")-el^"e

n,e*^e

則π÷m÷L÷κ<e'^n+e2^,'+L+e"-"=—-?——/=故④正確.

n)?n)?n)1-ee-1e-1

故選：C

【點睛】思路點睛：導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)〃的不等式代替

函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常用到裂項相消法求和）達(dá)到證明的目的.

第II卷（非選擇題共90分）

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知加＞0,平面向量］=（m2,m+2），a=（1,1）?若://W，則實數(shù)加的值是■

【答案】2

【解析】

【分析】利用向量共線坐標(biāo)運算求實數(shù)〃?的值.

【詳解】平面向量W=(z√,m+2)>7=(1,1)，

若;〃X，則W?=根+2，由加>0，解得m=2.

故答案為：2

5432

14.已知(x+α)’的展開式為P5X+p4x+p3x+P2X+p∣x+%,若P3-P4=15,貝∣]。=.

3

【答案】一或T

2

【解析】

【分析】利用二項式定理求解即可.

【詳解】(x+0)5展開式的通項公式為乙+1=C；/-Z，，廠=0,1,2,3,4,5,

令r=2,則4==]θ/尤3,即〃§=IOQ2,*

4*6i4

令尸=1,IjiiJT2-C[xa=5ax,即%=5。，

3

由題意可得10q2-5α=i5,即2cJ-α-3=0,解得Q=不或a=—1,

2

3

故答案為：一或-1

2

15.P為橢圓工+X=I上一點，曲線N+∣y∣=l與坐標(biāo)軸的交點為A,B,C,D,若

62211

I期+1P6∣+1pq+1，則P到X軸的距離為.

【答案]叵

13

【解析】

22

【分析】首先表示出A,B,c,。的坐標(biāo)，依題意可得IPq+1Pq=2?,即可得到P為橢圓二+匕=1

56

上一點，聯(lián)立兩橢圓方程，求出V，即可得解.

【詳解】解：不妨設(shè)A(-2,0),B(2,0),C(0,-l),D(0,l),

22

則A,8為橢圓上+二=1的焦點，所以∣Q4∣+∣P8∣=2",

62

又∣%∣+∣PB∣+∣PC+IPo=4指，所以IPq+|尸。|=2后，

2a=2√6

a=?/e

且Ieq=2<∣PC∣+∣PL>∣,所以P在以C、。為焦點的橢圓上,且《c=l，所以，

b=E

C2a2-b2

22

所以P為橢圓工+匕=1上一點,

56

22

土+匕=IAL

6

由<.2,解得V=G,則3=-^?

%y13ll13

—+—=I1

156

故P到X軸的距離為叵.

13

√78

故答案為:IT

16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而

“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.如圖所示，已知某“鞠'’的表面上有四個

點,A,B,C,。滿足AB=6C=CD=/M=OB=2cm,AC=3cm,則該“鞠”的表面積為

28π)

【答案】-----cm^

3

【解析】

【分析】由題意畫出圖形，可得4ABO,ACBO均為等邊三角形，設(shè)球心為。，ABCD的中心為0',

取中點尸，連接4凡CF,OB,0'B,AO,構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解棱錐外接球的半徑,

再由球的表面積公式求解.

【詳解】由已知得AABO,ACBD均為等邊三角形，如圖所示,

取5。中點F,連接AF,CF,0B,0'B,A0,

則AF_LBD，CFYBD,而AFCb=/，AfbU平面Ab,1平面AcT7，

LAC1

73÷3—9

可求得A/=CE=Gcm而AC=3cm,cosZAFC=2χ貝IjzAFC=I20,

在平面AFC中，過點A作C/的垂線，與C廠的延長線交于點E,

由平面ACE,AEU平面AC尸，得班）1AE,

又CFLAE,CFBD=F,CfBoU平面Be。，故AE_L平面6CO,

過點。作OG_L4E于點G,則四邊形O'EGo是矩形,

而O'8=8Csin60°χ2=空Cm,O'F-O'Bcm

3323

設(shè)球的半徑為R,OO'=X(Cm),則由O'O2+O'B2=OB2，OA2=AG2+GO2，

zs?4d2f3Vf√3√3?0,

得χ-+—=/?-,--%+—+—=R-,

3U)[32J

解得X=ICm,R=?em，

3

28

故三棱錐A-BCD外接球的表面積為S=4π∕?2=—π(cm2).

3

....、,28兀2

故答AA案f為：----Cm~

3

【點睛】方法點睛：對于三棱錐外接球的三種模型

第一種模型為常見墻角模型，此時將三棱錐看作長方體中的一個部分，將長方體進(jìn)行補全之后就可以找到

外接球半徑與長方體三邊之間的關(guān)系.

第二種模型為對邊相等的三棱錐外接球，方法同樣將其補形為長方體，我們可以通過畫出一個長方體，標(biāo)

出三組互為異面直線的對邊，然后通過每一組在直角三角形中的滿足勾股定理的形式而列出方程，然后再

將三組方程相加之后就可以得到長方體三邊的平方的關(guān)系，繼而可以求出外接球的半徑.

第三種模型為確定球心來構(gòu)造直角三角形，這種模型最關(guān)鍵的就是利用底面三角形的外心來確定球心，然

后來構(gòu)造直角三角形將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，在直角三角形當(dāng)中來求出球的半徑.

三、解答題：(本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知數(shù)列｛4,,｝的前"項和為S"，Sn=2an-?.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)若d=2〃+1,求數(shù)列｛%+a｝的前〃項和7；.

n

【答案】(1)an=2-'

n2

(2)Tn=2+n+2n-?

【解析】

【分析】(1)令"=1可求得l的值，令〃≥2,由S“=2a”—1可得S,-=2”,--1,兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)

列｛4,｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可得出數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)利用分組求和法可求得力,.

【小問1詳解】

解：當(dāng)〃=1時，4=S[=2tz∣-1,解得4=1；

當(dāng)〃≥2時,?Sn=2an-1可得S"T=2α,,.1-l,

上述兩個等式作差可得an=2an-2a,l^,則an=2an.l,

所以，數(shù)列｛為｝是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故q,=lχ2"T=2"τ.

【小問2詳解】

rt

解：由題意可知，S,,=2α,l-l=2-l,

因為d=2〃+1,則bn+x-hn=2(/1+1)+1-2/1-1=2,則數(shù)列出｝為等差數(shù)列，

所以數(shù)列出｝的前〃項和為紇="(3+j+l)=〃2+2〃，

所以,I=(q+α)+3+H)++(%+2)=(α∣+4++%)+佃+2++2)

n2

=Sn+B,l=2+n+2n-l.

18.攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)，也稱作號碼攜帶、移機不改號，即無需改變自己的手機號碼，就能轉(zhuǎn)換運營商，并享受其提

供的各種服務(wù).2019年11月27日，工信部宣布攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)在全國范圍正式啟動.某運營商為提質(zhì)量?？蛻簦?/p>

13

從運營系統(tǒng)中選出300名客戶，對業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平的評價進(jìn)行統(tǒng)計，其中業(yè)務(wù)水平的滿意率為百，服

務(wù)水平的滿意率為:，對業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平都滿意的客戶有180人.

(1)完成下面2x2列聯(lián)表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān)；

對服務(wù)水平滿意人數(shù)對服務(wù)水平不滿意人數(shù)合計

對業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)

對業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù)

合計

(2)為進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量在選出的對服務(wù)水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進(jìn)意見，用X表示對

業(yè)務(wù)水平不滿意的人數(shù)，求X的分布列與期望.

附：K=——幽處——

n-a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+C)S+d)

p(κ2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平滿意與服務(wù)水平滿意有關(guān)

2

(2)分布列見解析，y

【解析】

【分析】(I)利用題意可完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式求出K2,再對照臨界值表即可得出結(jié)論;

(2)根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望

【小問1詳解】

132

有題可得對業(yè)務(wù)水平滿意的有300x上=260人，對服務(wù)水平滿意的有3OOx：=200人，得2x2列聯(lián)表

153

對服務(wù)水平滿意人數(shù)對服務(wù)水平不滿意人數(shù)合計

對業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)18080260

對業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù)202040

合計200100300

經(jīng)計算得K"='O鏢濾X薩=M5.769<6.635,

所以沒有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平滿意與服務(wù)水平滿意有關(guān)

【小問2詳解】

X的可能值為0,1,2,

P(X=O)=率=理P(X=D=警嗤，&χ=2)=m=孩

2

JCoo495vzIOO力JOo

所以X的分布列如下

X012

3163219

P

49599495

則X的期望E(X)=O*配g+IX衛(wèi)+2XU■=2

495994955

19.如圖，在三棱柱ABC-4B∣C∣中，底面j4BC為等腰直角三角形，側(cè)面AAGCJ.底面ABC。為

AC中點，AB=BC=厄AAi=B

(1)求證：BDVAxD.

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角A-CG-8的余弦值.

條件①：AC1?BiC；條件②：AAi=BlC.

【答案】(1)證明見解析

(2)-

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得BDl平面A&GC，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)選①，取4G的中點￡，連接與E,CE,證明AC，A。，再以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

利用向量法求解即可.

選②，取4G的中點E，連接B∣E,CE,DE,利用勾股定理證明AOL4。，再以點。為原點，建立空間

直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

因為AB=JBC,。為Ae中點，

所以BOLAC,

又因為面AACC?L面ABC,面AAGC面ABC=AC,5。U面A8C，

所以B￡＞工平面A4CC，

又AQU平面AAlGC，所以8。，為。；

【小問2詳解】

選①，取4G的中點E,連接4E,CE,

則AE//DC且AE=OC，

所以四邊形AOCE為平行四邊形，所以4。//CE,

因為44=4G，E為AG的中點，

所以AG_LgE,

又Ael■1片。,四。門用￡：=4，耳。,與￡(=平面。4￡：,

所以ACJ.平面CB∣E,

又ACIlAC所以AC，平面CB∣E,

又CEU平面CB∣E,所以/C±CE,

因AQ/1CE,所以AC_LAQ，

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

由AB=BC=√5,A41