遼寧省葫蘆島市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.)

1,已知集合A={nT<A3K2},B={x?3≤x<4}t則CAB=(》

A.(2,3)∣(4,5)B.(2,3](4,5]

C.(2,3)∣,[4,5]D.(2,3][4,5]

K答案HC

K解析》由A={x∣T<x-3≤2}得：A={x∣2<x≤5},

又因為B={x∣3≤x<4},所以g5=(2,3)34,5],故選C.

5-i

Zi是虛數(shù)單位，則下的值為()

A.13B.√13C.5D.√5

K答案』B

5-i(5-i)(l-i)4-6i

K解析》因為》=>r-=2-3i,

1+1(l+ι)(l-ι)2

所以I=T=I2-3i∣=g.

故選：B.

3.若α,b,C為實數(shù)，且“<b,c>O,則下列不等關(guān)系一定成立的是()

A.a+c<b+cB.—<7-C.ac>bcD.

ab

K答案HA

K解析』對于A選項，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)

或同一個整式，不等號方向不變，則α<b=α+c<8+c,A選項正確；

對于B選項，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等

號方向改變，若α=-2,b=-l,則B選項錯誤；

ab

對于C選項，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等

號方向不變，c>0,O<a<b=>ac<hc,C選項錯誤；

對于D選項，因為“<b=>6-4>0,c>0,所以無法判斷b-α與C大小，D選項錯誤.

4.已知：，力為平面向量，且〉=(4,3)，2α+?=(3,18)>則：，］夾角的余弦值等于

()

,8C8c16CI6

A.—B.——C.—D.——

65656565

K答案2c

K解析????)=(4,3),，21(8,6).

又2：+1=(3,18)，,1=(-5,12)，

??b=4x(-5)+3x12=16?

又，∣=J42+32=5,lψ7(-5)2+122=13,

故選：C.

5.芙薩克?牛頓，英國皇家學(xué)會會長，英國著名的物理學(xué)家，著有《自燃哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》、

《光學(xué)》為太陽中心說提供了強有力的理論支持，推動了科學(xué)革命.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)

境下的溫度冷卻模型：6=(4-4)e"'+6{),其中f為時間(單位：min),4為環(huán)境溫度,

4為物體初始溫度，。為冷卻后溫度),假設(shè)在室內(nèi)溫度為20℃的情況下，一桶咖啡由Iooc

降低到60℃需要20min,則k的值為()

CIn?In2In3

B.----C.-------D.

2010^∏Γ

即口

K解析H依題意可得60=(100—20)e-2°*+20,所以-2(R=ln',

2

,,In2

所以Z=——.

20

故選：A

6.(x+y)(x—2y)6的展開式中/V的系數(shù)為()

A.-80B.-100C.100D.80

［答案DB

62

K解析》由(X—2y)6中含χ3y3的項為C*3(_2y)3,(χ.2j)中含√y的項為

C^x4(-2y)2,故(x+y)(x—2y)6=x(x-2γ)6+y(x-2y∕的展開式中x4/的項為

?e??3(-2y)3+(-2γ)2=-23C^x4/+22C^x4y3=-160x4y3+60x4/=-100x4y3

，故系數(shù)為-100,

故選：B

7.定義在區(qū)間(θ,?∣)上的函數(shù)y=2cosx的圖象與y=3tanx的圖象的交點為尸，過點P

作B尸，X軸于點外，直線QP與尸Sinr的圖象交于點尸2,則線段的長為()

A.-B.-C.?D.-

3325

K答案》c

3sinX

K解析》設(shè)P(XO,匕)),則6(??,0),由題意知2COS/=3tan/=——

COSX。

所以2cos?x0=3sinx0,

22

S>>jsinx0+cosx0=1,所以20-Sin2%)=3SinX0,

即2si∏2χo+3SinXO-2=（）,所以（2sin』-I）（Sin毛+2）=0,

所以SinXO=L,

2

直線％與函數(shù)y=sinX的圖象交于點八，可得E（AO,sinAO）,

所以=∣sinx0∣=?∣,

故選：C.

尤+2

8.已知函數(shù)y=sin（x—1）+1,y=------在［一。+1,。+1］（6^2,且2022）上有加個

x-1

交點（％，乂），（毛，％），（乙，%）則（石+Μ）+（毛+%）++（?+‰）=（）

A.0B.mC.ImD.2017

K答案》c

∣23、

K解析》因為y=sin（x-l）+l,關(guān)于點（1,1）對稱，函數(shù)y=-γ-=1+—關(guān)于點（1,1）

對稱，

作出函數(shù)y=sin（x—1）+1與y=±Y三-I-2大致圖象，

X-I

由圖可知交點成對出現(xiàn)，因為兩個函數(shù)都關(guān)于(1,1)對稱，

所以每對交點關(guān)于點(1,1)對稱，每對交點橫坐標和為2,縱坐標和為2,

所以(％+x)+(w+%)++(?,+‰)=y×2+y×2=2m.

故選：C.

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.)

9.已知a,b為空間中兩條不同直線，ɑ,夕為空間中兩個不同的平面，則下列命題一定成

立的是（）

A.a//β,αuα,b±β=>a±b

B.a//β,aVa,b工B=a//b

C.a工β,ar?β-a,b//β=>a//b

Dayβ,a±a,b工。=aLb

K答案》ABD

K解析》對于A,由α〃夕，αuα,得α〃/，又因為6，，，所以:，力，故A正確;

對于B,由α〃力，ala,得。_L6，因為〃，尸，所以a∕∕b,故B正確；

對于C,由a，/7,acβ=a,b//β,得。與/,異面或平行，故C錯誤；

對于D,由。_1耳，ala,得a//B或auB，又因為6_L，，所以;z,力，故D正

確；

故選：ABD.

10.一輛賽車在一個周長為3km的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖1反

應(yīng)了賽車在“計時賽”整個第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關(guān)系.

根據(jù)圖1,以下四個說法中正確的是（）

A.在這第二圈的2.6km到2.8km之間，賽車速度逐漸增加

B.在整個跑道，最長的直線路程不超過0.6km

C.大約在這第二圈的0.4km到0?6km之間，賽車開始了那段最長直線路程的行駛

D.在圖2的四條曲線（注：s為初始記錄數(shù)據(jù)位置）中，曲線B最能符合賽車的運動軌跡

K答案』AD

K解析》由圖1知，在2.6km到2.8km之間，圖象上升，故在這第二圈的2.6km到2.8km

之間，賽車速度逐漸增加，故A正確；

在整個跑道上，高速行駛時最長為(1?8,2.4)之間，但直道加減速也有過程，故最長的直線

路程有可能超過0.6km,故B不正確：

最長直線路程應(yīng)在14至Ij1.8之間開始，故C不正確；

由圖1可知，跑道應(yīng)有3個彎道，且兩長一短，故D正確；

故選：AD.

11.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品

率均為5%,加工出來的零件混放在一起，己知第1,2,3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的

25%,30%,45%,則下列選項正確的有()

A.任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.015

B.任取一個零件是次品的概率為0.0525

C.如果取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為"

D.如果取到的零件是次品，則是第3臺車床加工的概率為

K答案DABC

K解析HA：由題意任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為6%x25%=L5%,正

確；

B：由題設(shè)，任取一個零件是次品的概率為

6%X25%+5%X30%+5%X45%=5.25%,正確；

C：由條件概率，取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為

5%×30%2?

---------------------------------,正確；

6%×25%+5%×30%+5%×45%7

D：由條件概率，取到的零件是次品，則是第3臺車床加工的概率為

5%×45%33n

--------------------------------=一,錯沃

6%×25%+5%×30%+5%×45%7

故選：ABC

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)〃x),g(x)滿足：①g(0)=L②對任意實數(shù)%,當滿足

g(?i-々)=/(XI)/(x2)+g(xjg(x2)；③存在大于零的常數(shù)機，使得/(〃?)=1，且

當x∈(0,m)時，/(χ)>O,g(x)>O.則()

A.g(m)=〃O)=O

B.當Xe(O,"?)時，，/(x)+g(x)>l

C.函數(shù)/(x)?g(x)在R上沒有最值

D.任取x∈R,/(加一x)=g(x)

K答案HABD

K解析D對于A,令玉=々=0,則有條件②可得

g(o)="o)∕(o)+g(o)g(o)=r(0)+g2(0)=l,故”0)=0,

令玉=m,x2=m,則

g(m-m)=∕(m)∕(∕w)+g(m)^(m)=∕2(∕w)+g2(m)=l+g2(m)=g(0)

=>g2(∕n)=0ng(m)=0,故A正確，

對于B,令玉=々=x，則g(0)=f2(x)+g2(χ)=ι,

當xe(0,7")時，/(x)>0,g(x)>0,所以0<∕(x)<l,0<g(x)<l,

故尸(χ)<∕(χ),g2(%)<g(χ),因此/(χ)+g(χ)>/(χ)+g'(χ)=ι,故B正

確，

對于C,由B可知g(0)=U(χ)+g2(χ)=ι,所以A(χ).g(X)I≤r乜)；1S)=；,所以

-∣≤∕(%)?g(%)≤∣,

當且僅當/(χ)=g(χ)=[,(取右邊等號)4x)=g(x)=_#(取左邊等號)時，

等號成立，

因此/(χ)?g(χ)有最大值為故C錯誤，

znzw

對于D,令X1=∕n,%2=-X得g(x)=∕(%)∕(m-x)+g()g(m-X)=/(m-x),故D正

確，

故選：ABD

第II卷(非選擇題，共90分)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.兩空題，第一空2分，第二空3分)

13.請估計函數(shù)/(X)=g—唾2%零點所在的一個區(qū)間.

R答案H(3,4)

K解析H根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，

函數(shù)/(X)=一—log?無為(0,+8)上的減函數(shù)，

函數(shù)的圖像在((),+8)上為一條連續(xù)不斷的曲線，

QQ1

又“3)=2-log23>2-log24=(),"4)=]-log24=∕-2=-∕<0,

所以函數(shù)/(X)=g—log?x零點所在的一個區(qū)間為(3,4).

故K答案》為:(3,4).

14.某校進行了物理學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測考試，將考試成績進行統(tǒng)計并制成如下頻率分布直方圖,

。的值為；考試成績的中位數(shù)為.

K解析』由頻率分布直方圖可知：

(0.005+0.010+0.015×2+0.020+0)×10=l=>?=0.035,

設(shè)中位數(shù)為X,則(0.010+0.015+0.020)×10+(Λ-70)×0.035=0.5nx=一,

故K答案U為：0.035,

15.設(shè)P為直線3x+4y+3=0上的動點，過點尸作圓C：爐+產(chǎn)-2%—2y+1=0的兩條切

線，切點分別為4B,則四邊形必底的面積的最小值為

K答案》√3

K解析》依題意，圓c：(χ-l)2+O-l)2=l的圓心是點C(l,l),半徑是1,

易知PC的最小值等于圓心C(l,l)到直線3x+4y+3=0的距離即y=2,且AC=r=l,

由四邊形PACB的面積為2SA%C=2X(?以/C)=WXC===Jp02-1，

.?.四邊形PACB的面積的最小值是√22-l=√3-

故K答案》為：√3

22

16.已知雙曲線M：三一27=1(4>0,。〉0)的左、右焦點分別為￡,F2,尸為雙曲線右

ab~

支上的一點，。為AGEP的內(nèi)心，且2Q6+3QE=4PQ,則M的離心率為.

K答案D4

K解析Il如圖所示，在焦點三角形中，處長PQ交EK于點A,

所以右固一四M-M

因為。為.耳KP的內(nèi)心,,

'?AFi??QA??PF2??AF2?

PQ=陶?QAnPQ=陶?(Q6+64)n∣A用，Q=IPKHQG+耳4)

n∣A^?PQ=∣P6∣?Q6+∣P6∣∕An∣A/PQ=∣P闈?Q6+∣P6∣]^?6E

∣i4∕7∣

n∣A制，Q=∣PG∣?QE+∣P周.渦?(KQ+QK)

n∣A用.閨用?PQ=∣P用M閭?QG+IPKHAGMEQ+QQ

=∣AFJ∣M閭.瑾=IMM閭?QE+閥∣?∣㈱∣?κθ+閥HMl.砒

=IMH耳耳∣?尸O=I尸用?∣M∣?CE+∣尸制?∣M∣?QE

=∣6用，Q=號喏丹?。片+∣P6∣?Q6

IWl

n在用?P?！贯?用.。6+1PKl?Qg

^?FtF2?-PQ=?PF2?-QFi+?PFt?-QF2,

因為2QK+3Q8=4PQ,

所以有國用=4k「用=3周P閭=2左，

因此M的離心率為?=葛=瑞褊=4,

故K答案》為：4

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前項和為S,,,已知q+4+%=9,4?4=21,等比數(shù)列也｝

31

滿足4+2=1，Zz≠4=M?

(1)求加

(2)設(shè)Cn=,求證：c1+c2+c3++%v4.

q+兄+4=9

(1)解：由題意得＜CI解得，%=3,%=7,所以d=2,4=1

a2?a4=21

n(n-↑]d

從而，S=HalH-------------=n9

"n12

,,3

h1+h-,=一

2.41

(2)證明：由題意得，1解得：&二:，伍

14。卷所以左停)

以她=—r

04

又%=后勿=〃［；）,令l,=c∣+C2+C3+…+C”，

O2w-?

有4=1?(1)、眇3管+…+加.

1、1〃-1)?(J÷-(∣)

^τn=1J?+2?

2好

兩式相減得，-TJ-01?2

nl÷I+

2(2(22)-咱

整理得看=4一(〃+2)工＜4,得證.

“XZ?n-?

18.在ASC中，角A,B,C所對的邊分別為“,),c.Sin(A—3)=Sin(A+8)-Sin(A+C),

角A的角平分線交BC于點。，且匕=3,c=6.

(?)求角A的大小;

(2)求線段AO的長.

解：(1)在一A6C中，由已知Sin(A-B)=Sin(A+3)—Sin(A+C),可得:

則有：SinAcosB-CosAsinB=SinACOSB+cosASinB-SinB，

即2cos4sinB-SirtB=0

又SinB≠(),即有COSA=

2

而A∈(0,7l),所以A=5.

Tr

(2)在-ABC中，由(1)知A=；,因為A。為角A的角平分線,

則有NBAD=ZCAD=30°,

由SABC=S48。+SACD得：

,χ3x6XSin60°」xAOχ6xsin300+,χ3XAOXSin30°

222

解得AD=26

所以線段AO的長為

19.如圖，在四棱錐P—ABCZ)中，AD//BC,ABVAD,PA=PD,ABLPA，AD=4,

AB=BC=2.E為PO的中點.

P

D

(1)求證：CE〃平面以8；

(2)再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：點。到平面以8的距

離.

條件①：四棱錐匕>"BCO=4;

條件②：直線尸8與平面/88所成的角正弦值為

3

(1)證明：設(shè)/為QA中點，連接EE、BF，因為E為P力的中點,

所以Ef是三角形尸AD的中位線，所以七戶〃AZ)且EE=工AO

2

又因為AO〃BC,AD=4,AB=BC=2,所以6C=^AL>,

2

所以BC=EF且BC〃EF,

所以四邊形BCEE是平行四邊形，

所以EC〃8E,又CEa平面Q45，BFU平面PAB,

所以CE〃平面RW;

(2)解：過P作PoJ.AD于0,連接。C.

因為ΛB?LAT),又因為AB_LQ4，

且AZ)CjR4=A,A。,PAU平面PAO,所以AB上平面Q4Z).

又ABu平面ABCr),所以平面BAD，平面ABCO.

因為E4=PD,所以。為A。中點，

又因為平面B4O_L平面ABCr>,所以Po1平面ABCO.

又OCU平面ABcD,所以PO,OC,

如圖建立空間直角坐標系O-xyz.

設(shè)PO=α,由題意得，A(0,2,0),B(2,2,0),C(2,0,0),D(O,-2,0),P(0,0,α),

所以A8=(2,0,0),M=(0,2,-?),AD=(0,4,0).

r

設(shè)平面∕?5的法向量為〃=(χ,y,z),則

n±ABn?AB=OFx=O

<=<n<，

nVPA[/7-PA=O[2y-az^0

令z=2,則V=",所以〃=(OM,2).

選擇條件①

114+2

由l,-ABCD=Q*^ΛBCDX尸。=IXX2Xa=4,解得4=2,

設(shè)O到平面的距離為d,

rllWAol?4a?r

則d————=—產(chǎn)—2?J2；

同2√2

選擇條件②

連接OB,則OB是依在平面ABCD內(nèi)的射影,

所以直線PB與平面ABCO所成的角為NOBP,

在RtPOB中，SinZOBP=-^―,

~BPBP

在RtZkAQB中，BO?yjAO2+AB2=2√2-

6P==所以g=￡，所以。=2,

3BP

設(shè)D到平面的距離為d,

?n-AD??4a?-

所以d==埠=20r?

|?|2√2

3

20.在平面直角坐標系中，已知點A(-2,0),8(2,0),直線Rl與直線PB的斜率乘積為-一,

4

點P的軌跡為M.

(1)求M的方程；

(2)分別過￡(-1,0),6(Lo)做兩條斜率存在的直線分別交加于C,。兩點和E,F兩

117

點’且同+兩=TP求直線8的斜率與直線"的斜率之積?

3

解：(1)設(shè)P(X,〉)，因為直線RI與直線尸8的斜率乘積為-^，

所以T?T=-1,

X—2x+24

22

整理得點P的軌跡為M為?+=l(yW0)

(2)設(shè)直線Co為：y=Z∣(x+l)①

設(shè)直線EF為：y=L(x-1)②

將①與曲線M聯(lián)立得：(3+4?,2)x2+8#%+44-12=0,

-附4?,2-12

設(shè)C(Xl,χ),O(X2,必)'，?i+?

3+4￠X也3+44

所以Ieq=Jl+%：J(Xl+%2)~—4X∣%2

2

12(1+?l)

3+46

將②與曲線〃聯(lián)立得：(3+4抬)f—8后％+4片—12=0,

設(shè)E(Λ3,%),F(X4，”)，W+X4=W'X3Z=兼青，

所以￡用=4^-12

Iy∣i+k∣y∣(xi+x4↑-4X3X4-4×

3+44

12（1+盾）

3+4?2

11_3+4?,23+4g_8"6+7（4+片）+6_7

P+2+-2

?CD??EF?~12（1+Λl）12（1+^）12（l+?1+?∣+?）^12,

解得好抬=1,所以&他=±1

21.新冠疫情過后，國內(nèi)相繼爆發(fā)了甲型HINl流感病毒（甲流）和諾如病毒感染潮，為了

了解感染病毒類型與年齡的關(guān)系，某市疾控中心隨機抽取了部分感染者進行調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計,

2

甲流患者數(shù)是諾如病毒感染者人數(shù)的2倍，在諾如病毒感染者中60歲以上患者占在甲

流患者中60歲以上的人數(shù)是其他人數(shù)的一半.

（1）若根據(jù)卡方檢驗，有超過99.5%的把握認為“感染病毒的類型與年齡有關(guān)”，則抽取

的諾如病毒感染者至少有多少人？

（2）研究發(fā)現(xiàn)，針對以上兩種病毒比較有效的藥物是奧司他韋和抗病毒口服液，并且發(fā)現(xiàn)

奧司他韋治療以上兩種病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍.現(xiàn)對兩種藥物進行臨床試

驗，對抗病毒口服液共進行兩輪試驗，每輪試驗中若連續(xù)2次有效或試驗3次時，本輪試

驗結(jié)束；對奧司他韋先進行3次試驗，若至少2次有效，則試驗結(jié)束，否則再進行3次試

驗后方可結(jié)束，假定兩種藥物每次試驗是否有效均互相獨立，且兩種藥物的每次試驗費用

相同.請結(jié)合以上針對兩種藥物的臨床試驗方案，估計哪種藥物的試驗費用較低？

附：Q=(α+∕>)(α+c)S+d)S+d)(其中〃

p(2

κ≥ka)0.100.050.0100.0050.001

402.7063.8416.6357.87910828

解：（1）設(shè)感染諾如病毒的患者為X人，則感染甲流的患者為2x人,

2

感染兩種病毒的60歲以上的患者人數(shù)均為IX,由題意必有K2>7,879，

"2124T

3x—XX—X—XX—X

而—×A————-------?-?>7,879>所以X>26.28,

x×x×x×2x

22

又因為X為整數(shù)，故抽取的諾如病毒感染者至少有27人.

(2)設(shè)抗病毒口服液治療有效的概率為P,每次試驗花費為加，

則奧司他韋治療有效的概率為2〃<1,故0<P<g，

設(shè)抗病毒口服液試驗總花費為X，X的可能取值為4m,5m,6m,

P(X-4/77)=p4,

P(X=5m)=2(p2-p4),

∕,(X=6∕n)=(l-p2)2

故E(X)=4m∕?4+10m(/?2—/?4)+6∕n(p'—2p?+1)=-2mp1+6m

設(shè)奧司他韋試驗總花費為匕V的可能取值為3m,6m,

P{Y=3ni)=(?(2p)2(l-2p)+(2p)3=12p2-16p3,

P(y=6m)=l+16√-12p2,

所以E(Y)=48〃/-36mp2+6m,

由0<〃<3所以石(丫)一石(乂)=2/吵2(24.—17)<0,

所以E(y)<E(X),所以奧司他韋試試驗平均花費較低.

22.已知函數(shù).f(x)=lnx,g(%)=%-l.

(1)((X)=(X+l)f(x)—2g(x),x∈[l,+∞),求〃(無)的最小值;

(2)設(shè)0(X)=X2∕(χ)

①證明：e(x)≥g(x);

11e+1

'11+--------->''

②若方程e(x)=m(m∈R)有兩個不同的實數(shù)解玉萬2證明:

X；x；1—∣x∣-X01

解：⑴/?(x)=(x÷l)lnx-2(x-l)

Ar(x)=(x+l)!+InLX-2=山+4-1

1Y一1

令"(X)=Inx+——1,H'(x)=-τ-

XX

”(X)在[L+∞)單調(diào)遞增，則H(x)≥"(I)=0,即〃'(x)20

所以，〃(x)在[1,+8)單調(diào)遞增，∕zmin(x)=Zz(I)=O

所以〃(χ)的最小值為0

⑵①要證明°(x)=χ2InX,可令G(X)=O(X)-g(x)=χ2]nχ-χ+l,即證：G(x)≥0

于是G(X)=2xIn尤+x-1

易知，當O<x<l時G(X)<0,當x>l時，G(X)>0

當Xe(0,1)時，G(x)<0,當x∈(l,+∞)時G'(x)>0

所以G(X)((U)單調(diào)遞減，在(l,+∞