專題三導數(shù)及其應用

考點7導數(shù)的計算與導數(shù)的幾何意義

題組

一、選擇題

1.［2023全國卷甲，5分］曲線y=￡■在點(1,3處的切線方程為(C)

eeee3e

AA.y=-%B.y=-xC.y=-x+-D.y=-%H——

y4,2,44z24

［解析］由題意可知y'==品，則曲線y=白在點(1，0處的切線

斜率k=y|%=1=3,所以曲線y=今在點(1，0處的切線方程為y-f=

即y=：%+：，故選c.

4,44

2.［2021新高考卷I,5分］若過點(a,匕)可以作曲線y=e%的兩條切線，則

(D)

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

［解析］設切點為(%o，yo)，M)>0，則切線方程為y-b=eXo(%-a),由

1°一匕；::“一。)'得e久。(1一&+a)=b，則由題意知關于&的方程

xx

e°(l—x0+a)=b有兩個不同的解.設/(%)=e(l—x+a),則/'(%)=

ez(l—x+a)—ex——ex(x—a),由/'(%)=0得％=a,所以當％<a時，

/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，當％>a時，/'(久)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以/(%)max=/(a)=e°(l-a+a)=e。，又當％<a時，a-%>0,所以

/(%)>0,當％T—00時/(%)T0，當％T+00時/(%)T—00,

畫出函數(shù)/(久)=眇(1一%+a)的大致圖象，如圖所示，因為/(光)的圖象與直

線y=b有兩個交點，所以0<匕<e。.故選D.

【速解】過點(a,6)可以作曲線)7=心的兩條切線，則點(a,b)在曲線y=心的

下方且在％軸的上方，得0<5<ea.故選D.

【方法技巧】導數(shù)的幾何意義把函數(shù)的導數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，曲線

/(%)在點(%0，/(久0))處的切線的方程為y-/(%o)=(%-%。)/'(%o),其中

/'(右)表示曲線/(%)在點(右,/(久0))處的切線的斜率.有關曲線的切線方程，若

沒有見到切點，應當先設出切點，再根據(jù)切點的“一拖三”(切點與切線斜率

相關、切點在切線上、切點在曲線上)來求切線方程.

3.［2019全國卷II,5分］曲線y=2sinx+cosx在點(n,—1)處的切線方程為

(C)

A.%—y—TT—1=0B.2x—y—2TT—1=0

C.2%+y—2ir+1=0D.x+y—TT+1=0

［解析］依題意得y'—2cosx—sinx,y'\x=lt—(2cosx—sinx)|x=1T=2cosTV—

sinTC——2,因此所求的切線方程為y+1=—2(%—n),即2%+y—2n+l=

0,故選C.

4.［2019全國卷III,5分］已知曲線牛=a二+%ln%在點(l,ae)處的切線方程為

y—2x+b，則(D)

A.a=e,b——1B.a—e,b—1C.a—e-1,b—1D.a=e_1,b—

-1

［解析］因為y'=ae*+In%+1,所以y1x=i=ae+1,所以切線方程為y-

ae-(ae+1)(%—1),即y=(ae+l)x—1,與切線方程y-2x+b對照，可

得｛片二'J2,解得｛:二，:故選D.

二、填空題

5.［2022新高考卷II,5分］曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為經(jīng)三

11

——X,V=——％.

e-e-

［解析］先求當久＞0時，曲線y=In%過原點的切線方程，設切點為(&,y()),則

由曠=工，得切線斜率為三，又切線的斜率為也，所以上=也，解得出=1,

人人0人0人0人0

代入y=ln%,得久°=e,所以切線斜率為切線方程為y=己%.同理可求得

當久＜0時的切線方程為y=-［%.綜上可知，兩條切線方程分別為y=

11

-x,y=——x.

ee

6.［2022新高考卷I,5分］若曲線y=(%+a)eX有兩條過坐標原點的切線，則

a的取取范圍是(-8,-4)U(0,+8).

［解析］因為y=(久+a)ex,所以y'=(久+a+l)e久.設切點為(久0+

a)e"。)，。為坐標原點，依題意得，切線斜率在。4=y'lx=x。=(&+a+

l)ex°=(x°+a)e°,化簡，得脂+a%。一a=0.因為曲線y=(%+a)e”有兩條過

x0

坐標原點的切線，所以關于久。的方程賄+axo-a=O有兩個不同的根，所以

/=a?+4a>0,解得a<-4或a〉0,所以a的取值范圍是(-8,-4)U

(0,+oo).

7.［2021新高考卷II,5分］已知函數(shù)/(%)=|e*—1］,小<0,x2>0,函數(shù)

/(%)的圖象在點2(%1，/g))和點B(%2，/(%2))處的兩條切線互相垂直，且分別

交y軸于M,N兩點，則黑的取值范圍是地□.

［解析］/(%)=1a一1|=C二;'：H，則當%>0時，/'(%)=屋，〃(%2)=

eX2；當％<0時,fz(x)=-ex,廣(%i)=-e*i.因為函數(shù)/(%)的圖象在點

4,B處的兩條切線互相垂直，所以一e%e久2=-1,即於1+&=1,所以%】十

%2=0.因為1-ex9,8(%2，a2—1),所以函數(shù)/(%)的圖象在點2,B處

的切線方程分別為y-(1-eX1)=-eX1(x一%J,y-(e%2-1)=

X2X2

e*2(%—%2),分別令％=0,得M(0,%遇工i+1—e*i),N(0,—x2e+e—

1),所以|4W|2=就+(久*%)2,|BN|2=詔+(%2院2)2,所以部

媚+(%送%1)2_x^+(xeX1)22x

1l+ei=e2X1.即罌=e%,因為%i<0，所以

x+xe%222-x2-2Xi

2(2)(-%i)+(-%iei)1+e\DN\

熱的取值范圍是(0,1).

8.［2020全國卷I,5分］曲線y=ln%+%+l的一條切線的斜率為2,則該切

線的方程為y=2%.

［解析］設切點坐標為(與,In&+&+1).由題意得y'=；+1，則該切線的斜率

k=G+1)|片與=A+1=2,解得出=1,所以切點坐標為(1,2),所以該

切線的方程為y—2=2(%—1),即y=2x.

9.［2020全國卷III,5分］設函數(shù)/(%)=三.若/，(1)=(則61=1.

［解析］由于/'(%)=4翳F，故/'(1)=品=，解得。=1?

I人"i(X)I-L"iIX)T(

10.［2019全國卷I,5分］曲線y=3(/+')講在點(0,0)處的切線方程為經(jīng)三

3x.

［解析］因為y=3(/+%)心，所以y'=3(/+3%+l)e工，所以y'lx=o=3,故

曲線y=3(一+%九久在點(0,0)處的切線方程為y—0=3(%—0),即y=3x.

11.［2019江蘇，5分］在平面直角坐標系％。y中，點4在曲線y=In久上，且該

曲線在點2處的切線經(jīng)過點(-e,-l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點2的坐標是

(e,1).

［解析］設2(%o/n%o),又y'=：，則曲線y=InX在點2處的切線方程為y-In

x--(x-x),將(一e,一1)代入得，-1-In%。=三(一e-%o),化簡得In

0XO0XO

x=—,解得%o=e,則點2的坐標是(e,1).

0%o

三、解答題

12.［2022全國卷甲，12分］已知函數(shù)/(為)=/—%,g(%)=/+0,曲線y=

/(%)在點(久1，/(久1))處的切線也是曲線y=g(%)的切線.

(1)若石——1，求a;

［答案］當/=-1時,/(—1)=0,所以切點坐標為(一1,0).

由/(%)=x3-x,得/'(%)—3%2-1,

所以切線斜率k=/'(一1)=2,

所以切線方程為y=2(%+1),即y=2%+2.

將y=2%+2代入y=/+a,—2x+a—2=0.由切線與曲線y=

g(%)相切，得/=(一2)2-4(a-2)=0,解得a=3.

(2)求a的取值范圍.

［答案］由/(%)=x3-x,得/'(%)=3%2-1,

所以切線斜率k=f=3就一1,

所以切線方程為y-(%i-%i)=(3xf-1)(%-,即y=(3xf-l)x-

2xf.

將y=(3%i—l)x—2x1代入y=x2+a,得x?—(3就—1)%+a+2xf=0.

由切線與曲線y=g(%)相切，得/=(3xf-l)2-4(a+2婢)=0,

整理，得4a=—6好+1.

令九(%)=9%4—8%3—6x2+1,則"(%)=36x3—24%2—12%—

12x(3%4-1)(%—1),

由九'(%)=0,得x=—1,0,1,

九(%)，九'(%)隨％的變化如下表所示：

%(-00,-0(_|,0)0(0,1)1(1，+8)

九'(%)-0+0-0+

%(%),極小值/極大值,極小值/

由上表知，當％=后時，九⑺取得極小值九(一1)=條

當尤=1時，九(%)取得極小值八(1)=-4,

易知當％T—8時，%(%)T+8，當％T+8時，九(%)T+8,所以函數(shù)Zl(%)

的值域為［一4,+8),

所以由4aG［—4,+oo),得aG［-1,+8),

故實數(shù)a的取值范圍為［—1,+8).

13.［2021全國卷乙，12分］已知函數(shù)/(久)-x3—x2+ax+1.

(1)討論/(K)的單調(diào)性；

［答案］由題意知/(%)的定義域為R,fz(x)=3x2-2x+a,對于/'(%)=0,

/--(—2)2—4x3a=4(1―3a).

①當a2(時，/'(%)20,/(%)在R上單調(diào)遞增；

②當a時，令/'(尤)=0,即3/-2%+a=0,解得%［=—J［3a=

l+Vl-3a

3，

令/'(%)>0,則X<x1或%>x2；令/'(%)<0,則%i<x<x2.

所以f(K)在(一8,%1)上單調(diào)遞增，在(%1，%2)上單調(diào)遞減，在(%2，+8)上單調(diào)

遞增

綜上，當a2：時，/(%)在R上單調(diào)遞增；當a時，/(%)在

(_叫上與亞)，(上言,+8)上單調(diào)遞增，在(匕筍，上筍)上單調(diào)遞減.

(2)求曲線y=/(久)過坐標原點的切線與曲線y=/(K)的公共點的坐標.

［答案］記曲線y=/(%)過坐標原點的切線為，，切點為P(%o，*-%o+axo+

1).

因為/'(%o)=3%o-2x0+a,

所以切線，的方程為y-(%o-XQ+ax0+1)=(3%Q-2x0+a)(%一%o).

由Z過坐標原點，得2煽-%o-1=0,即(2*-2%o)+(%o-1)=

(%o一1)(2/+X。+1)=0，解得第o=1，所以切線/的方程為y=(1+a)x.

令第3—%2+ax+1=(1+a)x,

則第3—%2—%+1=0,解得％=±1,

所以曲線y=f(x)過坐標原點的切線與曲線y=/(%)的公共點的坐標為

(1,1+Q)和(―L—1—CL).

14.［2020新高考卷I,12分］已知函數(shù)f(%)=aex~r—In%+Ina.

［答案］/(%)的定義域為(0,+8),f'(x)=aeX-1_j.

(1)當a=e時，求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三

角形的面積；

［答案］當a=e時,/(%)=e*-In%+1,/'(1)=e-1,曲線y=/(%)在點

(1,/(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(%-1)，即y=(e-l)x+2.

直線y=(e-1)%+2在％軸，y軸上的截距分別為言,2.

因此所求三角形的面積為三.

e-1

(2)若/(%)>1，求a的取值范圍.

［答案］當0<a<1時，/(I)=a+Ina<1.

當a=1時，f(x)=ex~1—\nx,ff(x)=ex-1—；.當％G(0,1)時，/'(%)<

o；當Xc(1,+8)時，u(%)>o.所以當％=1時，f(x)取得最小值，最小值

為/(I)=1，從而/(%)>1.

當a>1時,/(%)=aex~1—In%4-Ina>ex-1—In%>1.

綜上，a的取值范圍是［1,+8).

【方法技巧】e"2%+1-12In%,ex>ex.

考點8導數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

題組一

一、選擇題

1.［2023新高考卷II,5分］已知函數(shù)/(%)=ae久—In%在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，

則a的最小值為(C)

A.e2B.eC.e-1D.e-2

［解析］因為函數(shù)/(%)=aex-Inx,所以/'(%)=aex一］.因為函數(shù)/(%)=aex-

Inx在(1,2)單調(diào)遞增，所以/'(久)>0在(1,2)恒成立，即ad-i>0在(1,2)

恒成立，易知a>0,則0<1￡%e*在(1,2)恒成立.設g(x)=%e久，則g'(%)=

(%+l)e".當％C(1,2)時,g'［x)>0,g(%)單調(diào)遞增，所以在(1,2)上，

g(%)〉g(l)=e,所以;We,即aN，=eT,故選C.

2.［2022全國卷甲，5分］當久=1時，函數(shù)/(%)=aln%+2取得最大值一2,則

/'⑵=(B)

11

A.-1B.--C.-D.1

22

［解析］由題意知，/⑴=aln1+b=b=-2.因為?一夕久>0),所

以/'(1)=a—b=0,所以a=—2,所以/'(2)=~~~=~~.故選B.

24Z

二、填空題

3.［2021新高考卷I,5分］函數(shù)/(%)=|2%-1|一2m％的最小值為1.

［解析］函數(shù)/'(%)=\2x-1|-2Inx的定義域為(0,+00).

①當%〉:時，/(%)=2%—1—21n%,所以/，(%)=2-：=2(；i)，當：<久<

1時，/'(%)<0,當％>1時，/'(%)>0,

所以/(%)min=/⑴=2-1-21nl=1；

②當0<%4時，/(%)=-2%—21n%在(0,芻上單調(diào)遞減，

所以/(%)min=/C)=-21nj=21n2=In4>Ine=1.

綜上,/(%)min—1"

三、解答題

4.［2021全國卷甲,12分］設函數(shù)/(%)=a2x2+ax—3Inx+1，其中a>0.

(1)討論/(K)的單調(diào)性；

［答案］由題意，/(%)的定義域為(0,+8),/3=2a2%+a_：=2a工；ax-3=

(ax-l)(2a%+3)

X9

則當％〉5時，/'(%)〉0,/(%)單調(diào)遞增；當0<%<5時，/'(%)<0,/(%)

單調(diào)遞減.

故函數(shù)/(%)在(0,￡)上單調(diào)遞減，在0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)若y=/(%)的圖象與％軸沒有公共點，求a的取值范圍.

［答案］由(1)知函數(shù)/(%)的最小值為/(￡),

要使y=/(%)的圖象與無軸沒有公共點，只需/(%)的最小值恒大于0,即

/(￡)>0恒成立,

2

故小?(―)+a.—31n—F1>0,得a>-,

\Cl/CLCLe

所以a的取值范圍為G，+8).

5.［2021北京，15分］已知函數(shù)/(%)=9

(1)若a=0,求曲線y=/(%)在點處的切線方程;

3-2%2x2-6x-2a

因為/(%)=所以/'(%)=

x2+a(x2+a)2

［答案］若a=0,則/<1)=-4,/(1)=1,

代入y-/(I)=/'(1)(%-1),得4%+y-5=0,

所以曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的切線方程為4%+y-5=0.

(II)若函數(shù)/(%)在％=-1處取得極值，求/(%)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和

最小值.

［答案］由函數(shù)/(%)在％=-1處取得極值可知/'(—1)=0,即關去=0,解得

.十a(chǎn)j

a=4.

3-2%2(x-4)(x+l)

止匕時f(%)=所以廣(%)=

X2+4(X2+4)2

當久G(—8,—1)u(4,+8)時，/(%)>o,所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為

(―8,—1),(4+8);

當?shù)赪(—L4)時，/"(%)<0,所以f(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).

又當％->一8時,/(%)->0,當％->+8時，/(%)<0且/(%)70,

所以/(%)的最大值為/(-1)=1,/(%)的最小值為/(4)=—；.

4

6.［2020全國卷II,12分］已知函數(shù)/(%)=21n%+l.

(1)若/(%)W2%+c,求c的取值范圍；

［答案］設九(%)=/(%)—2%—c,則九(%)=2Inx—2x+1—c,

其定義域為(0,+8),?(%)=|-2.

當0<%<1時，九'(%)>0；當％>1時，九'(%)<0.所以九(%)在區(qū)間(0,1)單

調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞減.從而當久=1時，八(%)取得最大值，最大值

為九⑴=-1-c.

故當且僅當一1—cW0，即c>-1時，/(%)<2x+c.

所以C的取值范圍為LL+8).

(2)設a>0,討論函數(shù)g(￡)=與普的單調(diào)性.

［答案］9(%)=03=2(…na),xe(0,a)U(a,+oo).

x—ax-a

=2(/+lna-ln久)=2(1(+嗚

甘IJ(x-a)2(x-a)2.

由(1)可得，當I>0時，取c=—1得h(x)=21n%—2x+240恒成立，當

且僅當％=1時，h(x)=0，故當?shù)贓(0,a)U(a,+oo)時，2(1—三+In三)V

0,即g'(x)<0.

所以g(%)在區(qū)間(0,。)，(見+8)單調(diào)遞減.

7.［2019全國卷II,12分］已知函數(shù)/(%)=(x—l)ln%—%—1.證明：

(1)/(、)存在唯一的極值點；

［答案］f(%)的定義域為(0,+8).

f’(%)=七二+lnx—l=lnx-

XX

因為y=In久單調(diào)遞增，y=；單調(diào)遞減，

所以/'(%)單調(diào)遞增.又/'(1)=一1<0/'(2)=ln2-j=嚀二>0，故存在唯

一%0e(1,2)，使得/'(%o)=0?

又當為<%0時，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；當%>%0時，f"(x)>0,/(%)單

調(diào)遞增.

因此，/(%)存在唯一的極值點.

(2)/(為)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

［答案］由(1)知/(&)</(I)=-2，又/(")=e2-3>0,

所以/(%)=0在(%o,+8)內(nèi)存在唯一根％=a.

由a>Xo>1得(<1<%0.

又/(a)=C1)I”：!-1==0，故:是/(*)=0在(。，％0)的唯一根.

綜上，/(%)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

題組二

一、選擇題

1.［2022全國卷乙,5分］函數(shù)f(%)=cosx+(%+l)sinx+1在區(qū)間［0,2互］的

最小值、最大值分別為(D)

A.--B.--C.--,-+2D.--+2

22222222

［解析］/(%)=cos%+(x+l)sin%+1,xE［0,2ir］,貝!J/'(%)=—sin%+sin%+

(%+l)cos%=(%+l)cos%.令/'(%)=0,解得％=—1(舍去)，%=］或％=

3?因為f(5)=c嗎+魯+l)s嗎+l=2+//(T)=cos^+

倍+1)sin：+1=—號，又/(0)=cos0+(0+l)sin0+1=2,/(2ir)=

cos2n+(2TT+l)sin2n+1=2，所以/(%)max=/Q)=2+,/(x)min=

/(引=_號.故選D.

2.［2021全國卷乙，5分］設aW0，若％=a為函數(shù)/(%)=a(%—a)2(%—b)的極

大值點，貝U(D)

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

［解析］因為函數(shù)f(%)=a(x-a)2(%-b),所以f'(%)=2a(x-a)(%-b)+

a(%—a)2=a(x—a)(3%—a—2b).令/'(%)=0,結(jié)合aW0可得％=a或%=

a+2b

3?

(1)當a>0時，若％=a為函數(shù)/(%)的極大值點，則a<史告，即b>a.

(2)當a<0時，若％=a為函數(shù)/(%)的極大值點，則a>的券，即b<a.

綜上，a>0且b>a滿足題意，a<0且b<a也滿足題意.

據(jù)此可知，必有ab>a?成立.故選D.

【速解】易知a與b為/(久)圖象與％軸交點的橫坐標.因為%=a為函數(shù)/(久)的

極大值點，所以當a>0時，根據(jù)題意畫出函數(shù)/(久)的大致圖象，如圖1所

示，觀察可知匕>a;

當a<0時，根據(jù)題意畫出函數(shù)/(%)的大致圖象，如圖2所示，觀察可知a>

b.

綜上可知，必有必>a2成立.故選D.

二、解答題

3.［2023全國卷乙，12分］已知函數(shù)/(久)=G+a)ln(l+%).

(1)當a=—1時，求曲線y=/(久)在點(1,/(1))處的切線方程.

［答案］當a=-1時，/(%)=(；-1)ln(l+%),/<%)=-*ln(l+%)+

(i-1),

\x/1+x

所以/'(1)=-In2,

又/(l)=0,所以所求切線方程為y-0=-(%-l)ln2,即％In2+y-In2=

0.

(2)若函數(shù)/(久)在(0,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

+x,xx

X+1

［答案］由題意得/'(%)=-點ln(l+%)+G+。>氏=x2------2

0(%>0),即竺*-ln(l+x)>0(x>0).

設9(%)=*-ln(l+%)(%>0),則g'(x)=*等—擊=

人I_L1人"iJ.)人i_.L

當名外>0)

(%+1)2、/

當。工0時，則g'(x)<0在(0,+oo)上恒成立，即g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以9(%)<。(。)=0，不滿足題意.

當a>0時，令a%+2a-1=0，則%=上空.

a

若/￡40,即a之|,則g(%)在(0,4-00)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)=0,

滿足題意.

若詈〉0,即0<a<］則9(%)在(0,詈)上單調(diào)遞減，在(詈,+8)上

單調(diào)遞增，則有g(詈)<g(0)=0，不滿足題意.

綜上，a的取值范圍是［j,+8).

4.［2023新高考卷II,12分］

(1)證明:當0<%<1時,％—x2<sin%<%;

［答案］令h(%)=%—%2—sin%,

則//(%)=1—2x—cosx,

令p(%)=1—2%—cosx，則p'(%)=-2+sin%<0,

所以p(%)即〃(%)單調(diào)遞減，又八'(0)=o,

所以當0V%V1時，”(%)<〃(0)=0,/i(x)單調(diào)遞減，

所以當0V%<1時，/i(x)<h(0)=0，即%—%2<sin%.

令g(%)=sin%%,

則“(%)=cos%—1<0,

所以g(%)單調(diào)遞減，又g(0)=0,

所以當0V%<1時，g(%)<g(0)=0，即sin%<x.

綜上，當0V%V1時，%—%2<sin%<%.

(2)已知函數(shù)/(%)=cosax-ln(l-%2)，若X=0是/(%)的極大值點，求Q的

取值范圍.

［答案］解法一由/(%)=cosax-ln(l-x2)(-l<x<1),

得/'(%)=/(-%)，所以/(久)為偶函數(shù).

/'(%)=—asinax+(―1<%<1),

令t(x)=—asinax+不區(qū)(―1<%<1),

貝!Jt'(x)=—a2cosax+(―1<%<1).

(l-x2)2

1

令九(%)=—a2cosax+J，：、?，貝!Jn/(x)=a3sinax+?(二)

當a=0時，

當0<x<1時，/'(%)>0/(%)單調(diào)遞增，當一1<%<0時，f'Q)<0/(%)

單調(diào)遞減，

所以比=0是/Q)的極小值點，不符合題意.

當a>0時，?。慌c1中的較小者，為m,

2a

則當0<x<m易知n'(%)>0,

所以九(久)即?久)在(0,m)上單調(diào)遞增，

所以t'(%)>tz(0)=2—a2.

①當2—a220,即0<aW魚時,t'(%)>0(0<x<m).

所以武久)在(0,ZH)上單調(diào)遞增，

所以t(x)>t(0)=0，即/'(久)>0.

那么/(久)在(0,771)上單調(diào)遞增，

由偶函數(shù)性質(zhì)知/(久)在(-犯0)上單調(diào)遞減.

故久=0是/(久)的極小值點，不符合題意.

②當2—a?<0,即a>V2時，

當工<1,即a>2時，

2a2

因為"0)<0“勺>0,

所以?久)在(0,771)上存在唯一零點久1,

且當0<X<%1時,?%)<0,t(x)單調(diào)遞減,

因為t(0)=0，所以當0<%<時，t(x)<0,即/'(%)<0,

所以/(%)在(0,久1)上單調(diào)遞減，

因為/(%)為偶函數(shù)，所以/(久)在(-久1,0)上單調(diào)遞增，

故可得％=0是/(%)的極大值點，符合題意.

當二>1,即/<a<1時，

2a2

因為t'(0)<0,t'(I)=—a2cos￡+￡>0,

所以t'(%)在(0,7H)上存在唯一零點%2,

且當0<%<%2時，t'(%)<0，t(x)單調(diào)遞減.

因為t(0)=0，所以當0<%<冷時，t(x)<0,即/'(%)<0,

所以/(%)在(0,X2)上單調(diào)遞減.

因為/(%)為偶函數(shù)，所以/(久)在(-冷，。)上單調(diào)遞增，

故可得％=0是/(%)的極大值點，符合題意.

當a<0時，由偶函數(shù)圖象的對稱性可得a<-/.

綜上所述，a的取值范圍是(一8,-a)u(VX+8).

解法二由/(%)=cosax—ln(l—%2)，得/'(%)=—asinax+(—1<x<1),

令O=—asinax+工^(—1<%<1),

則?%)=—a2cosax+乎+：、?(-1<%<1).

(1-

由％=0是/(%)的極大值點，易得/'(0)=0,t'(0)<0,(二級結(jié)論：已知函數(shù)

/(%)的導函數(shù)為/'(%)，令g(%)=/'(%)，若%=%0為/(%)的極小值點，則

7

f(%0)=o,g'(&)>o；若％=%0為/(%)的極大值點，則/'(久o)=o,g'(&)<0)

所以2—a2<0,

解得a<一立或a〉V2.

所以a的取值范圍是(一8,-魚)U(V2,+oo).

5.［2020全國卷III,12分］已知函數(shù)f(%)=x3—kx+k2.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

［答案］/'(%)=3x2-k.

當kW0時，/'(%)=3x2—k>0,故/(%)在(—8,+00)上單調(diào)遞增.

當攵>0時，令/'(%)=0,得X=±苧.當8,-苧)時，f'(x)>0；當

%C(—亨，亨)時，f"(%)<0；當％C(苧,+8)時，/<%)>0.故/(%)在

(-T)，(書+8)上單調(diào)遞增，在(-苧，苧)上單調(diào)遞減.

(2)若/(%)有三個零點，求k的取值范圍.

［答案］由(1)知，當kWO時，/(%)在(一8,+8)上單調(diào)遞增，/(%)不可能有

三個零點.當k>0時，％=-苧為/(%)的極大值點，%?為/(%)的極小值

點.此時，—k—1<—~~~<~~<左+1且/(—k—1)<0,/(/c+1)〉0,

/(一苧)>0.根據(jù)/(%)的單調(diào)性，當且僅當/(苧)<0,即興―獨泮<0

時，/(%)有三個零點，解得左<；因此k的取值范圍為(0,—.

6.［2019全國卷III,12分］已知函數(shù)f(%)=2x3—ax2+2.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

［答案］/'(%)=6答—2ax=2x(3%—a).

令/'(%)-0,得%—0或%—］,

若a>0,則當％e(-8,o)ua+8)時，f'(x)>0；當％e(o,g時，

//(%)<0.故/(%)在(一8,0),(|,+00)上單調(diào)遞增，在(0,§上單調(diào)遞減.

若a=0,則/(%)在(一8,+8)上單調(diào)遞增.

若a<0,則當％e(-8,§u(0,+8)時，/<%)〉o；當％6(三,0)時，

/'(%)<0.故/(%)在(一8,§,(0.+OO)上單調(diào)遞增，在G，0)上單調(diào)遞減.

(2)當0<a<3時，記/(%)在區(qū)間［0,1］上的最大值為M,最小值為m,求

M-m的取值范圍.

［答案］當0<a<3時，由⑴知，/(%)在(0馬上單調(diào)遞減，在91)上單調(diào)

遞增，所以/(%)在［0,1］上的最小值為/(§=—9+2,最大值為/(0)=2或

/(I)=4一a.于是

4—Q,0VaV2,

m+2

=-^^M=2,2<a<3.

2—aH---f0VaV2,

所以M—m=

—,2<a<3.

“3

當0<a<2時，可知y=2-a+—單調(diào)遞減，所以M-zn的取值范圍是

當2W"3時，y=9單調(diào)遞增，所以M—m的取值范圍是嗜,1).

綜上，M-m的取值范圍是碌,2).

7.［2019北京，14分］已知函數(shù)f(%)=-x3—x2+x.

(I)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

［答案］由/(%)—工工3—X2+X得/'(%)=-X2—2%+1.

44

令/'(%)—1，即I，—2%+1=1，得％=0或%=|.

又/(。)=。，/(1)=%

所以曲線y=/(%)的斜率為1的切線方程是y=x與y-%1，即y=%與

y=x---6-4-.

,27

(II)當％G［—2,4］時，求證：x—6</(%)<x;

［答案］令g(x)=/(%)-x,xE［-2,4］.

由g(x)=^x3—x2得g'(x)=—2x.

令。'(%)—0得x-0或％—|.

g'(x),g(x)的情況如下:

X-2(-2,0)084

(弱3厚4)

g'M+0-0+

g(%)-6706470

27

所以g(x)的最小值為-6，最大值為0.

故一6<g(x)<0，即％-6</(%)<x.

(III)設F(x)=|/(x)-(x+a)|(aG/?),記F(%)在區(qū)間［—2,4］上的最大值為

M(a).當M(a)最小時，求a的值.

［答案］由(II)知，

當a<—3時,M(a)>F(0)=|g(0)—a\=—a>3；

當a〉—3時,M(a)>F(—2)—|g(—2)—a|=6+a>3；

當a=-3時,M(a)=3.

綜上，當M(a)最小時,a=-3.

8.［2019浙江，15分］已知實數(shù)a中0，設函數(shù)/(無)=alnx+V1+x,x>0.

(I)當a=時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

4

［答案］當a=--時,/(%)=--In%+/1+%,%>0.

44

夕、_(Vl+X-2)(2Vl+%+l)

J⑺=4%V1+^'

令/'(%)>0，得％>3；令/'(%)<0，得0<%<3.

所以函數(shù)/(第)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)，單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+8).

(II)對任意久G裝,+8)均有/(久)w3，求a的取值范圍.

注:e=2.71828...為自然對數(shù)的底數(shù).

[答案]由/(I)W5,得0<aW當.

2.CL4

當0<aW立時，/(%)￡立等價于與一次正—21nx20.

472aa2a

令t=L則tZ2/.

a

設=t2y/x—2t7\+x—21nx,t>2A/2，則

(i)當《,+8)時，1+工工2立,則

/\l%

g⑴>9(2魚)=8y—4\/2V1+x—21nx.

記p(%)=4y-2V2V1+x—In%,x>，則

12^Xy/x+1.—yf2x-\/x+l,(X—1)[1+V2X

、2x+2—

P'8二尢gX%Vx+l

1)]%V%+1(V^+l)(Vx+1+V2x).

故

X11(L+8)

7(川

P'O)-0+

P(%)p(9極小值p(l)7

所以，p(x)>p(l)=0.

因此，g(t)>g(2近)=2P(%)>0.

(ii)當46日,分時，

令q(%)=2V%lnx+(%+1),xG則

//、Inx+2,y、八

q(%)=-+1>o,

故式%)在Ej上單調(diào)遞增，

所以q(x)<qQ).

由①得，qg)=—『p(I)<_?p(i)=o.

所以q(%)<0.因止匕g(t)>g(J1+：)=一等>0.

由①(ii)知對任％EE，+8)"C［2V2,+00),g(t)>0，即對任意％G,+00),

均有/(%)￡今

綜上所述，所求a的取值范圍是(0，爭.

考點9導數(shù)的綜合應用

題組一

解答題

1.12023全國卷甲，12分］已知函數(shù)/(久)=a%—注，％C(0,-).

cosx2

(1)當a=1時，討論/(%)的單調(diào)性；

cosxcos2x-sinx(-2sinxcos%)cos2x+2sin2x

［答案］由題意可得/'(%)=a一=a—

cos4xcos3x

2-cos2%

CL一

cos3x

2-cos2xCOS3X+COS2X-2

當Q=1時,f\x)=1-

cos3xCOS3X

因為％E(0,；)，所以COSXE(0,1),COS3X+COS2%<2故/''(%)<0，

故當a=1時，/(%)在(0用上單調(diào)遞減.

(2)若/(久)+sin%<0,求a的取值范圍.

sinx

［答案］依題意，/(%)+sin%=a%-+sin%=ax+sin%(1-----),xG

COS2%\cos^x/

。弓

①當aW0時,易知/(%)+sin%<0;

②當a>0時，因為汽e(0,；)時滿足sin第<%,

所以/(%)+sin%=ax+sin%(1-----)>asin%+sin%(1-----)=

\cos2%/\cos2%/

sin%(Q+1....-),

\coszx/

因為函數(shù)y=二b(％e(0,9)的值域為(l,+8),a+1〉1,所以對于任意大

COSX\\2/J

于0的參數(shù)a，一定存在%oe(0,；),使得總需<a+l,

即存在&G(。彳)，使得f(%o)+sinx0>0,故a>0不能確保/(%)+sin%<

0,與題意矛盾，故a>0不成立.

綜上，a的取值范圍為(一8,0］.

2.［2022全國卷乙，12分］已知函數(shù)/(久)=ax—|—(a+l)lnx.

(1)當a=0時，求/(無)的最大值；

［答案］當a=0時，/(%)=-：-In%(%>0),

所以/'(%)=或一；1-x

X2

若％G(0,1),/'(%)>0,f(x)單調(diào)遞增；

若“E(1,+00),/<%)<0,/(%)單調(diào)遞減,

所以/(%)max=/(l)=-1.

(2)若/(久)恰有一個零點，求a的取值范圍.

［答案］由/(%)=ax--(a+l)lnx(x>0)，得/'(%)=a+*-號=

弋尸(%>0).

當a=0時，由(1)可知，/(%)不存在零點；

當a<0時，/'(無)=代色7,

若％G(0,1),/'(%)>0,/(x)單調(diào)遞增，

若%e(1,+oo),f'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以/(%)max=/(I)=a-1<0,所以/(%)不存在零點；

當a〉0時，/'(%)=,若a=1,/'(%)>0,/(%)在(0,+oo)上單

調(diào)遞增，因為/(I)=a—1=0,所以函數(shù)/(%)恰有一個零點，

若a>l,/(%)在(0,J,(l,+8)上單調(diào)遞增，在0,1)上單調(diào)遞減，因為

/(I)=a—1>0,所以/&)>/(I)〉0,當％-0+時，f(x)一-8,由零點

存在定理可知/(%)在(0，。上必有一個零點，所以a>1滿足條件，

若0<a<l,/(%)在(0,1),G，+8)上單調(diào)遞增，在(1,￡)上單調(diào)遞減，因為

f(l)=a-1<0,所以/(J</(I)<0，當％t4-00時，/(%)t4-00,由零

點存在定理可知/(%)在G，+00)上必有一個零點，即0<a<1滿足條件.

綜上，若/(%)恰有一個零點，a的取值范圍為(0,+8).

3.［2022新高考卷II,12分］已知函數(shù)/(%)=xeax-ex.

(1)當a=1時，討論/(%)的單調(diào)性；

［答案］當a=1時，/(%)=xex—ex,fz(x)=xex,

當％>0時，/'(%)=xex>0,函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增;當％<0時，

f'(X)=xex<0,函數(shù)f(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減.

(2)當汽>0時，f(%)<-1,求Q的取值范圍；

［答案］f'(%)=(1+ax)eax—ex(xE(0,+oo),

①當a21時，/'(》)=(1+ax)eax—ex>eax—ex>ex—ex=0,

???/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，???/(%)>-1,與題意矛盾.

②當a<0時，/'(%)<eax-ex<1—ex<0.

???/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，.?./(%)<-1,滿足題意.

1/XXYX

③當0<aW；時/'(%)<(1+0ez-e%=e"(l+［|)一e可，

x.11%

設G(%)=1+-v-e2(%>0)，則G'Cr)=---e2<0,

???G(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

x

??.G(x)<0/'(%)=e5G(%)<0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

???/(%)<-1,滿足題意.

④當］<a<1時，/'(%)=eax［l+ax-e(-a)x］,

令H(x)=