2023-2024學年浙江強基聯(lián)盟高一數(shù)學上學期12月聯(lián)考卷

（試卷共150分.考試時間120分鐘）2023.12

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.集合的真子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.若。：*>1,尤2-3尤+2>0,則P的否定為（）

A>1,x2-3x+2<0B3A:<1,x2-3x+2<0QVx<1,x2-3x+2<0pVx>1,x2-3x+2<0

3.若。>0,b>0,則“a+bNl”是“27^21”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則此圓弧所對的圓心角。的弧度數(shù)為（）

7171

A.3B.2C.石D.2

2sin6Z-cosa

5.已知尸°⑶為角a終邊上一點，則sina+2cosc（）

A.-7B.1C.2D.3

6.若根<〃，P〈q,且（p_m）（p_〃）<0,①一相,貝ij（）

Am<p<n<qgp<m<q<nQm<p<q<n口p<m<n<q

'3X1,

logixx>V

7.已知函數(shù)f（x）=13則函數(shù)y=f（l—x）的大致圖象是（）

8.己知關(guān)于x的一元二次不等式，加-3x+l<0的解集為（a，。），則三+"％的最小值是（）

A.2B.2拒c.3D.3百

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知b>0,則下列各式正確的是（）

A.依-3）4=兀一3

1

sin—Fct———<a<_\

10.已知12J2,且22,則面t^兀+勾的值可能是（）

A/3A/3

A.B.3C.3D.四

11.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足“2-x）+〃x）=°,則下列命題成立的是（）

A.的圖象關(guān)于直線％=1對稱B.〃3）=。

C.函數(shù)“無一1）為偶函數(shù)D.函數(shù)〃x+l）為奇函數(shù)

12.函數(shù)外力=出］，己知實數(shù)”＞0,7?＞0,且m則下列命題正確的是（）

A.若/（叫=/（"）［則祖+〃22B.若?（叫＜/（"」,則1＜根＜〃

/m+n\+

C,存在心〃，使得/（2"）＜/（2"）D.I2J2恒成立

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（其中第16題第一空2分，第二空3分）

13.己知哥函數(shù)/（x）=（'"T）*"的圖象過點”⑵"），貝

14.在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦''指的是直角三角形的斜

邊.現(xiàn)將兩個全等的直角三角形拼接成一個矩形，若其中一個三角形“弦”的長度為4,則該矩形周長的最大

值為

logZ?+log.fi=—

15.已知實數(shù)人＞。＞1,且a4,貝州6-41114=

-2|產(chǎn)皿。

16.已知函數(shù)UgxT無＞。，則函數(shù)了⑺的零點為；若關(guān)于x的方程

［〃切+時（x）+l-3"=0有§個不同的實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范圍是

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17已知集合&={耳2±了48},3={了|〃7—14了447〃}

（1）若〃?=1,求ACB；

⑵若4。8,求實數(shù)機的取值范圍.

18.在平面直角坐標系xQv中，角a以x軸的非負半軸為始邊，它的終邊與單位圓爐+丁=1交于第二象限

內(nèi)的點尸（私〃）.

2

2sin（乃+a）+cosa

n=—cos—+tz+2cosa

⑴若5,求tan。及12）的值;

7

sina+cos。=——

⑵若13,求點尸的坐標.

19.某園林建設(shè)公司計劃購買一批機器投入施工.據(jù)分析，這批機器可獲得的利潤y（單位：萬元）與運轉(zhuǎn)

時間x（單位：年）的函數(shù)關(guān)系式為>=一/+14》-4（x<13,且xeN*）

（1）當這批機器運轉(zhuǎn)第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少？

（2）當運轉(zhuǎn)多少年時，這批機器的年平均利潤最大？

,._ax+b=—

20.函數(shù)1+爐是定義在上的奇函數(shù)，且10.

⑴求『（X）的解析式；

（2）利用單調(diào)性的定義證明,（X）在（一11）上為增函數(shù)；

（3）解不等式〃I）+〃2力<0

21.已知函數(shù)〃耳=（*一2乂2"a）,aeR

（1）當a=l時，解關(guān)于x的方程〃尤）=°；

⑵當X23時，恒有八力21,求實數(shù)a的取值范圍;

（3）解關(guān)于x的不等式Ax”。.

22.設(shè)a,6,%eR,若滿足（"療<（八療,則稱a比6更接近機.

⑴設(shè)24比五+1更接近0,求x的取值范圍；

x+y—2m<]

⑵判斷‘x-y是“尤比》更接近機”的什么條件，并說明理由;

⑶設(shè)x>o且-x+i,試判斷了與y哪一個更接近6.

3

1.A

【分析】利用集合元素個數(shù)即可求出集合共有0'｛M'抄｝三個真子集.

【詳解】根據(jù)題意可知集合｛"'*中有3個元素，所以共有22-1=3個，

即有0，｛力，抄｝三個真子集.

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用存在量詞命題的否定求解即可.

【詳解】命題0：入>1,尤2-3尤+2>0是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，

所以命題〃的否定為VX>LY-3X+2V0.

故選：D.

3.A

【解析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷，注意基本不等式的應(yīng)用

即在。>。力>°的情況下，判斷兩個命題a+621n2疝21和2疝+.

b=—1\[ab=_<1I~~-

【詳解】解：取。=1,9,滿足a+621,但3，充分性不滿足；反過來，a+22^621成

立，故必要性成立.

故選：A.

4.C

【分析】畫圖設(shè)外接圓半徑廠=2,利用正三角形性質(zhì)可得圓弧長：26，再由弧度制定義可得a=6.

【詳解】不妨設(shè)正至°的外接圓半徑廠=2,圓心為°,

取8C的中點為。，連接A'℃,易知。在上，且/℃B=30,AD1BC.如下圖所示：

在RtaOCD中，OO=]OC=1,所以。=6,BC=2出；

依題意可知該圓弧長/=BC=2g,

a=L空―

所以圓心角r2

4

故選：c

5.B

【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tana=3,再利用齊次化將弦化切進行求解.

2sina-cosa_2tana-l51

【詳解】HU）為角a終邊上一點，故tana=3,故sina+2cosatana+25

故選：B

6.C

【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出。和加、〃的關(guān)系以及9和加、〃的關(guān)系，結(jié)合。<4即可求解.

【詳解】因為

所以加和"一個大于。，一個小于P,

因為機<〃，所以根<?<〃，

因為①一加）（4一〃）<0,

所以加和〃一個大于q,一個小于心

因為〃2<〃，所以機<q<〃，

因為

所以m

故選：C.

7.D

【分析】由/（引得到/。一力的解析式，根據(jù)函數(shù)的特殊點和正負判斷即可.

3x,x<l

一|logjX,X>1

【詳解】因為函數(shù)/（X）

、3

3J-x,x>0

=」og[(l_x),x<0

所以函數(shù)了（1一力

、3

當x=0時，y=f(l)=3,即y=f(l—x)的圖象過點(0,3),排除A；

當x=-2時，y=f(3)=-1,即y=f(l—x)的圖象過點(一2,—1),排除B；

l-x>l,/(l-x)=log,(1-元)<0

當x<°時，3,排除C,

故選：D.

8.A

67c—I——3—\-3ctb

【分析】由一元二次不等式解集可知“>°力>°,且滿足ab，將6化簡變形可得

-+3ab=4a+b-\a=~,b=l—+3ab

b，利用基本不等式即可求得當2時6的最小值是2.

【詳解】由一元二次不等式?X2-3X+1<0的解集為（“力）可得m>0,

5

73八

a+b=一>0

m

ab=—>0+J_=3

利用韋達定理可得m,即可得a+b=3M,且a>0為>0,4b

a__3ab-b____I<

—+5ab=---------b3ab=3a-l+a+b=^a+b-l

—+3ab

即b的最小值是2.

故選：A

9.ABD

【分析】根據(jù)指數(shù)的運算公式分別判斷各選項.

【詳解】A選項：由兀-3>0,得一兀一3)=無一3,4選項正確;

=a°b°=1

B選項:，B選項正確;

_%nj

(2=~~^=

",c選項錯誤;

C選項:

4官。導十——b3a§=-6a*可"''=-6a°bl=—6b

D選項：<>,D選項正確;

故選：ABD.

10.BC

sinf—+a>l=：cosa=---<a<—

【分析】由(2J2,結(jié)合22分情況討論即可求解.

=cosa=

tan(兀+a)=tana

【詳解】由題意得2

71Tt

——<a<—

因為22

71八

——<a<0cosa=——sina=-\/l-cos2a=--

當2時,因為2,所以2,

sina

tana=------衛(wèi)

此時cosa3,故B項正確;

6

0<?<^cosa=3sin?=VT^=l

當2時，因為2,所以2

sma75

tana=------=——

此時COSa3,故c項正確.

故選：BC.

11.BD

【分析】由/（2一“+/（力=°及奇偶性可得函數(shù)的周期性與對稱性，進而判斷各選項.

【詳解】因為函數(shù)A*）為偶函數(shù)，

所以函數(shù)〃尤）關(guān)于y軸對稱，且〃2-x）=/（x-2）,又〃2-x）+〃x）=0,

所以〃x-2）+〃x）=0,且（尤）=_［_/（x+2）］=〃x+2）,

所以函數(shù)關(guān)于點（T'°）中心對稱，且周期為4,

所以函數(shù)關(guān)于。⑼對稱，A選項錯誤；

/⑶=/（-1）=0,B選項正確；

〃xT）由〃尤）向右平移一個單位得到，則〃xT）關(guān)于點（°，°）對稱，為奇函數(shù)，C選項錯誤;

/（x+1）由向左平移一個單位得到，則/（x+1）關(guān)于點（°，°）對稱，為奇函數(shù)，D選項正確；

故選：BD.

12.D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B,C選項，結(jié)合基本不等式可判斷A,D選項.

【詳解】由“到二111?？芍瘮?shù)〃尤）在（a+°°）上單調(diào)遞增，

若『（MH?。?則/㈣=一?。?，即=可得皿=］，

A選項：'"+心2面,當且僅當機="時等號成立，又相片“，則加+〃>2,A選項錯誤；

B選項：加7=1,m^n,則。<相<1<〃或°<〃<1（加，B選項錯誤;

C選項：若心〃，則2">2",則恒成立，c選項錯誤;

/m+n\1m+nf+_Inm+InH/—

f\-----=ln------mn

D選項：由（2J二F2-n

m+ni-m+n/—.m+nii—

------>yjmn------>7mnIn----->inylmn

又2,當且僅當加=〃時成立，又m乎n，所以2,則2,即

1

于（m+n}>"〃?）+/（“）

I2J2,D選項正確；

故選：D.

13.4

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義可得利=2,再根據(jù)函數(shù)圖象過點"（2"）,可得a.

【詳解】由函數(shù)7（*）=（根一1卜”為幕函數(shù)，得加T=0,即租=2,

所以〃x）=x;

又函數(shù)〃x）過點”（2,a）,

貝I]a=42）=2?=4,

故答案為：4.

14.80

【分析】確定/+〃=4?=16,矩形周長為2（。+6）,根據(jù)均值不等式計算得到答案.

【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為。，b,貝14+/=42=16,a，b>0.

矩形周長為2S+9,

（。+。）=[2++2aZ?<a?+Z?2+々2+=2（。2+）=32Q+/?<

當且僅當a=b=2及時等號成立,

故周長的最大值為8&.

故答案為：8夜.

15.0

InZ?Ina17In。

-------1-------————=44

【分析】通過換底公式可得In。inb4可得In，即可得解.

,7117

logaZ?+log^=—

【詳解】由4,換成以e為底,

InZ?ln〃17

-------1-------——

可得ln〃InZ?4,

InZ?

t----/+—二—

設(shè)Ina,則t4,

1

解得仁4或4,

8

InZ7

t=——>l1

又/?>〃>!_,lnZ?>ln?>0,貝|\na

所以％=4,gp]nb=4]na即lnZ?-4lna=0,

故答案為：。

x——I_^口x—IO

【分析】結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)令〃x）=°即可解得“X）的兩個零點為x=T-0和x=l°,畫出函數(shù)圖象，

利用換元法以及數(shù)形結(jié)合將方程根的問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于r的方程/+7加+1-3m2=°有兩個不相等的實根

且滿足4c（-弓>-1；再由一元二次方程根的分布即可求得實數(shù)加的取值范圍.

【詳解】根據(jù)題意可得當xWO時，/（力=步+2%-1,

令〃力=°,解得彳=-1-0或》=-1+近（舍）；

當x>0時，/（x）=lgx_l,令/（x）=0,解得X=］0,

所以可得函數(shù)”無）的零點為x=T-3和x=l°；

于（）|x2+2x—1,x<0

因此可得［lgx-l,x>0,畫出函數(shù)圖象如下圖所示：

令/（力=',則方程［〃切2+〃礦（無）+1-3療=0可轉(zhuǎn)化為』+加+1—3/=0；

結(jié)合圖象可知，當'€（-2，T］時，函數(shù)y=f與函數(shù)“X）有三個交點,

當/=-2或r>T時，函數(shù)y=r與函數(shù)“X）有兩個交點,

當t<-2時，函數(shù)y=r與函數(shù)/（龍）有一個交點;

若關(guān)于X的方程［/（*）］+"礦（2+1-3"=°有5個不同的實數(shù)根,

則方程$+mt+1-3根2=0有兩個不相等的實根2,且滿足%e（―2,T/=—2或芍>T

9

__5

若‘2=-2可得3療+2優(yōu)-5=0,解得叫=1,'%一§；

經(jīng)檢驗當犯=1時，方程/+皿+1_3M=0即為『+"2=0,解得4=1/=-2,不合題意;

5「117

當嗎時，關(guān)于，的方程可化為#-5—22=0,解得「34一,不合題意；

所以可知方程/+皿+1-3療=°有兩個不相等的實根4，,2需滿足"6(-2,-1］且>T；

若%e(-2,-l)

22

A=m-4(l-3m)>0

(-1)--m+1-3m2<0

/259

(-2)-2m+l-3m2>0——<m<-\—<m<\

故，解得3或3

_2

若：=T,可得3%加一2=0,即/=T或

檢驗當丐=-1時，關(guān)于/的方程可化為*_—2=0,此時4=TJ2=2>-1,滿足題意;

2,1

m.=—、t,==—>—1

當3時，關(guān)于，的方程可化為3/+2/-1=0,此時3，滿足題意；

512

—<m<-l—<m<\

綜上可知，實數(shù)機的取值范圍為3或3,

所以實數(shù)用的取值范圍是

故答案為：x=-l_0和x=l0

【點睛】方法點睛：求解方程根的嵌套問題時，經(jīng)常利用換元法將方程轉(zhuǎn)化，再結(jié)合函數(shù)圖象利用根的分

布情況得出參數(shù)滿足的條件即可求得參數(shù)取值范圍.

17.(l)A8={x12WxW4}⑵2〈根<3

【分析】(1)將機=1代入可得3={x1°WxW4},由交集運算即可求得出結(jié)果;

(2)根據(jù)集合間的包含關(guān)系即可求得2VmV3.

［詳解］(1)由m=1可得5={X10?X44},

^A=[x\2<x<8]可得AB={x|2<x<4).

Jm-1<2

(2)若可得14加28,解得24相43,

所以實數(shù)加的取值范圍是24根<3.

10

311

18.(1)4.10(2)

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導公式化簡可得解;

（2）根據(jù)三角函數(shù)定義式列方程，解方程.

【詳解】（1）由已知角。的終邊與單位圓/+丁=1交于第二象限內(nèi)的點

n

.tana=—

則幾，22

sini=cosa=m?m,m+M=1?且根＜0,

-2x——+l

2sin(?+a)+cosa-2sina+cosa-2tan+1_I3J_ll

-sin+2cos-tana+21(4、10

cos—+a+2cosalx+2

再由誘導公式可得12J-N

77

sma+cosa=-m+n=一"/八”\八

(2)由13,得13,叫°，〃)°,

/\222c1c4960

(m+n)=m+n+2mn=I+2mn=----mn=------

又病+〃2=],貝1

169解得169,

(n-m)2=m2+n2-2mn=I+

所以')169169,

17

n-m=——

所以13

512

m=----

所以13,13

p

即

19.（1）當這批機器運轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤，最大利潤為45

（2）當運轉(zhuǎn)2年時，這批機器的年平均利潤最大

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得最大利潤；

（2）根據(jù)基本不等式可得年平均利潤的最大值.

【詳解】（1）由y=*+1以-4=-（》-7）2+45,x<i3）

可知當x=7時，y取最大值為45,

即當這批機器運轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤，最大利潤為45；

11

y-x2+14x-4

s——―......=.一..一+14=一2+14

xIX)

（2）由己知可得年平均利潤尤工X<139

5=-［x+-j+14<-274+14=10

則Ixj,

4

X=——

當且僅當X,即X=2時，等號成立，

即當運轉(zhuǎn)2年時，這批機器的年平均利潤最大.

/（x）=X,,xe（-l,l）

20.（1）1+x（2）證明見解析；（3）13

【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性定義以及函數(shù)值可求得。=1人=°可得解析式;

（2）根據(jù)單調(diào)性定義按照取值、作差、變形定號、下結(jié)論等步驟證明即可;

（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,結(jié)合定義域得出不等關(guān)系即可解得不等式解集為1

x_-ax+b

都有TC（TI）,所以八一町=1+、；

【詳解】（1）對于

/x_ax+b

又函數(shù),"-1+一是定義在（T』）上的奇函數(shù),

-ax+bax+b

1+/，可得b=0,所以

33

——a——

1010

，解得。=1;

因此/（尤）的解析式為〃x）一V'Xe（一”）

(2)取%,%e(-1,1),且王<龍2

無］（1+彳；）一尤2（1+無；）=（3一工2）（1_%了2）

（1+才）（1+4）（1+片）（1+引

則

因為石，*2e（-1,1）,且為<尤2,所以為一%<。,X］尤2<1,即1—網(wǎng)工2>0

（百一々）（1-）々）;0

可得（1+芍）（1+巷）,所以/（%）-/（蒼）<。,即〃占）</（9）;

12

所以“X）在（T，l）上為增函數(shù)；

（3）將不等式〃"T）+/（2x）＜0轉(zhuǎn)化為，（xT）＜-f（2x）,

又是定義在（T°上的奇函數(shù)，所以可得，（xT）＜〃一2”,

x—1＜—2x

＜-1＜x-l＜1］

再根據(jù)（2）中的結(jié)論可知〔一1＜及＜1,解得3.

即不等式〃1）+〃2力＜0的解集為

21.（1尸=2或x=。；（2）（r〃］；（3）答案見解析；

【分析】（1）將。=1代入即可解出方程〃x）=°的根為＞2或x=。；

/、a＜\2x--------J,xe［3,+oo）

（2）將不等式町恒成立問題轉(zhuǎn)化為＜彳-2人必，再利用函數(shù)單調(diào)性即可得滿

足題意；

（3）對參數(shù)。的取值進行分類討論，結(jié)合不等式即可求得其解集.

【詳解】（1）當。=1時，方程〃x）=°即為"X）=（X-2"T）=°,

解得x=2或x=°；

（2）當了23時，不等式“X）21可化為""2一口，

a＜\2x--------|,xe［3,+oo）

依題意可知，需滿足I尤-2Alio,

___i_

由于函數(shù)＞=2*在［3,+00）上單調(diào)遞增，函數(shù),一一三i在［3,E）上單調(diào)遞增；

》=2'———s\a＜（2x一——1=23一一—=7

所以函數(shù)尤-2在上單調(diào)遞增，因此Ix-24n3-2

即實數(shù)。的取值范圍是（—"］；

（3）由小絲。可得（》一2乂2'-＞0,

①當時，可得2=。＞0,不等式等價為彳-2\0,此時不等式解集為［2,日）；

②當。＜a＜4時，方程。一2）（21）=°有兩根，即占=2,々=1嗎"，且2＞log2。；

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此時不等式解集為［2,"）53,log2?］.

③當。=4時，方程（“一2乂2"一〃）=°僅有一根，即彳=2,此時不等式解集為R；

④當a>4時，方程（尤_2）（2'_4）=0有兩根，即&=2,々=log2。，且Zvlog?。；

此時不等式解集為Eg?。，y）u（e,2］；

22.（1）［°』）（2）充分不必要條件，理由見解析；（3）丫更接近6

【分析】（1）依據(jù)定義列出不等式，結(jié)合一元二次不等式解法即可求得x的取值范圍；

（2）根據(jù)已知條件分別判斷充分性和必要性是否成立即可得出結(jié)論；

（3）由x>。且"""一,利用函數(shù)單調(diào)性，分別對°<x<△和x>百時W一閩與卜一叫的大小進

行比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴根據(jù)題意可得（2"一°）<（"+1一°）,即力-2?-1<0；

可得卜五+1）（G）<°,解得―；

即x的取值范圍為［°」）；

x+y-2m］（x-m）+（y-m）］

（2）充分性：顯然％工九由工一丁可得、—丁,

①若x-y<o,則"一根）+（丫一機）>y-x,可得無一根>0；

又為一丫<°可得x<y,所以、一根>尤一%>o；

即可得（x-M,<（、-/,此時可以得出“X比y更接近加”；

②若