2022-2023學(xué)年北師大版高一下數(shù)學(xué)：推理與證明

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?平南縣期中）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每人射擊5次，命中的環(huán)數(shù)如表所示:

甲1089810

乙999810

則下列說法正確的是（）

A.甲命中的平均環(huán)數(shù)比乙命中的平均環(huán)數(shù)多

B.乙命中的平均環(huán)數(shù)比甲命中的平均環(huán)數(shù)多

C.甲射擊的穩(wěn)定性比乙射擊的穩(wěn)定性好

D.乙射擊的穩(wěn)定性比甲射擊的穩(wěn)定性好

2.（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）機(jī)器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機(jī)器，機(jī)器人

具有感知、決策、執(zhí)行等基本特征可以輔助甚至替代人類完成危險(xiǎn)、繁重、復(fù)雜的工作，

提高工作效率與質(zhì)量，服務(wù)人類生活，擴(kuò)大或延伸人的活動(dòng)及能力范圍，為了研究4B

兩個(gè)機(jī)器人專賣店的銷售狀況，統(tǒng)計(jì)了2020年2月至7月48兩店每月的營(yíng)業(yè)額（單

位：萬元），得到如下的折線圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

――A店管業(yè)躺B店?duì)I業(yè)額

A.根據(jù)4店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，該店?duì)I業(yè)額的平均值在［34,35］內(nèi)

B.根據(jù)B店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，其營(yíng)業(yè)額總體呈上升趨勢(shì)

C.根據(jù)48兩店的營(yíng)業(yè)額折線圖，可得/店的營(yíng)業(yè)額極差比8店大

D.根據(jù)48兩店的營(yíng)業(yè)額折線圖，可得8店7月份的營(yíng)業(yè)額比工店多

3.（2021秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，直接決

第1頁（共19頁）

定了社會(huì)主義建設(shè)者和接班人的勞動(dòng)價(jià)值取向、勞動(dòng)精神面貌和勞動(dòng)技能水平.新學(xué)期

到來，夷陵中學(xué)開展了學(xué)農(nóng)基地勞動(dòng)實(shí)踐課，面向2021級(jí)學(xué)生開放.現(xiàn)設(shè)置種植白菜、

蘿卜、菠菜、油麥菜四個(gè)品類.某班班主任選完內(nèi)容后，其他三位同學(xué)根據(jù)班主任小夷

老師的興趣愛好對(duì)他選擇的內(nèi)容進(jìn)行猜測(cè).

甲說：“小夷老師選的不是白菜，選的是蘿卜

乙說：“小夷老師選的不是蘿卜，選的是菠菜

丙說：“小夷老師選的不是蘿卜，也不是油麥菜

己知三人中有一個(gè)人說的全對(duì)，有一個(gè)人說的對(duì)了一半，剩下的一個(gè)人說的全不對(duì)，由

此推斷小夷老師選擇的內(nèi)容（）

A.可能是油麥菜B.可能是白菜

C.可能是菠菜D.一定是蘿卜

4.（2021秋?江西期中）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗「汽油行駛的里程，如圖描

述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）

A.消耗「汽油，乙車最多可行駛5公〃

B.甲車以SOkmZh的速度行駛Ih消耗8Z汽油

C.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

D.若機(jī)動(dòng)車最高限速80AM〃，在相同條件下，乙，丙兩輛車節(jié)油情況無法比較

5.（2021秋?浙江期中）分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立

的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按

照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖.若記圖2中第〃行黑圈的個(gè)數(shù)

為an,則“5=（）

第2頁（共19頁）

第1行

o≤g≤gH爪…

°、oOOOOo第3行

圖1圖2

A.21B.25C.27D.30

6.（2021秋?靖遠(yuǎn)縣期中）根據(jù)第七次全國(guó)人口普查結(jié)果，居住在城鎮(zhèn)的人口為90199萬人,

占全國(guó)人口的63.9%,與第六次全國(guó)人口普查相比，城鎮(zhèn)人口比重上升14.2個(gè)百分點(diǎn).隨

著我國(guó)新型工業(yè)化、信息化和農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的深入發(fā)展和農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市民化政策落實(shí)落

地，年來我國(guó)新型城鎮(zhèn)化進(jìn)程穩(wěn)步推進(jìn)，城鎮(zhèn)化建設(shè)取得了歷史性成就.如圖所示的是

歷次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口及城鎮(zhèn)人口比重的統(tǒng)計(jì)圖：

萬人

100000∣——

90000-匚Zl城鎮(zhèn)人口

80000.

70000-城鎮(zhèn)人口比重

60000-

50000-

40000-

3（XX）0^J

20000-1

10000--

θLr□1

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次'

根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）

A.這七次全國(guó)人口普查的城鎮(zhèn)人口比重上升越來越快

B.第七次全國(guó)人口普查的城鎮(zhèn)人口比第六次全國(guó)人口普查的城鎮(zhèn)人口增加了63.9%

C.這七次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口逐次增加

D.這七次全國(guó)人口普查非城鎮(zhèn)人口逐次減少

7.（2021秋?會(huì)寧縣校級(jí)期中）圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第〃個(gè)圖形由"個(gè)正方形

組成：

n=ln=2M=3n=4

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第"個(gè)圖形中，火柴棒的根數(shù)為（）

A.3n-1B.3nC.3n+1D.3（n+l）

8.（2021春?運(yùn)城期中）用反證法證明命題''已知“，ft∈R,如果αb≠0,那么“，人都不為

第3頁（共19頁）

0”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（

A.a,Z）都為0B.a,6不都為0

C.a,b中至少有一個(gè)為0D.α不為0

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?越城區(qū)校級(jí)期中）楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章

算法》一書中被記載.如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個(gè)數(shù)是.（用數(shù)字

作答）

第1行I?

第2行I21

第3行1331

第4行14641

第5行1510105I

10.（2021秋?建華區(qū)校級(jí)期中）已知x、y€R,在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算X十y=孫+x+y

-1,則2十4=.

11.（2021秋?德州期中）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過4,B,C三個(gè)城市時(shí)，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市：

丙說：我們?nèi)齻€(gè)去過同一城市.

由此可判斷乙去過的城市為.

12.（2021春?武功縣期中）試求人戶、汽汽戶、聲、又產(chǎn)的值，由此推測(cè)盧=,

*+1=,i4n+2=,∕4"3=,Z1Z2Z3Z4-/2000=.

Ξ.解答題（共5小題）

logN

13.（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）（1）證明對(duì)數(shù)換底公式：當(dāng)N>0時(shí)?，ι,——≡-（其

0gbN=1nJ?K

中α>0且αWl,%>0且6W1）.

（2）證明：我是無理數(shù).

14.（2021春?成都期中）設(shè)復(fù)數(shù)MI=I+2i,〃=4-3i,i為虛數(shù)單位.

（1）若復(fù)數(shù)Z滿足加z=",求復(fù)數(shù)z；

（2）我們知道，對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)“、b,有Hb∣=∣α∣?∣6∣.類比這一結(jié)論，對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)zi、

Z2,請(qǐng)寫出類似的等式，并用復(fù)數(shù)機(jī)、〃檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論是否正確.

15.（2021春?譙城區(qū)校級(jí)期末）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖①②③④是刺

第4頁（共19頁）

繡中最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形的個(gè)數(shù)越多刺繡越

漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡，設(shè)第〃個(gè)圖案包含/(〃)個(gè)小正方形.

(1)求出/(5)的值；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與/(〃)之間的關(guān)系式，并根

據(jù)你的關(guān)系式求出/(〃)的解析式.

①②③④

16.(2020春?蚌山區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)f(χ)=L.

(1)若f>0,用分析法證明：f(t)+f(÷)<?

t3

(2)若α>0,b>0,且α+3>4,求證：af(?)與〃'(0)中至少有一個(gè)大于寺.

17.(2020秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中)若4,b,c,d∈R,且oc=2(b+d),求證：一元二次方程

x2+ax+h=0和x2+cx+d=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根.

第5頁(共19頁)

2022-2023學(xué)年北師大版高一下數(shù)學(xué)：推理與證明

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

I.(2021秋?平南縣期中)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每人射擊5次，命中的環(huán)數(shù)如表所示:

甲1089810

乙999810

則下列說法正確的是()

A.甲命中的平均環(huán)數(shù)比乙命中的平均環(huán)數(shù)多

B.乙命中的平均環(huán)數(shù)比甲命中的平均環(huán)數(shù)多

C.甲射擊的穩(wěn)定性比乙射擊的穩(wěn)定性好

D.乙射擊的穩(wěn)定性比甲射擊的穩(wěn)定性好

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；推理和證明；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】計(jì)算甲乙的平均數(shù)與方差可得答案.

【解答】解：~=1.(10+8+9+8+10)=9,TT=A(9+9+9+8+10)=9,

X甲5乙5

S甲2=春(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(10-9)2]=.l,

S乙2=/(9-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(10-9)2]=^..

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查均值和方差的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

2.(2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中)機(jī)器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機(jī)器，機(jī)器人

具有感知、決策、執(zhí)行等基本特征可以輔助甚至替代人類完成危險(xiǎn)、繁重、復(fù)雜的工作，

提高工作效率與質(zhì)量，服務(wù)人類生活，擴(kuò)大或延伸人的活動(dòng)及能力范圍，為了研究”,B

兩個(gè)機(jī)器人專賣店的銷售狀況，統(tǒng)計(jì)了2020年2月至7月48兩店每月的營(yíng)業(yè)額(單

位：萬元)，得到如下的折線圖，則下列說法錯(cuò)誤的是()

第6頁(共19頁)

營(yíng)業(yè)額/萬元

一一A店管業(yè)躺B店?duì)I業(yè)額

A.根據(jù)/店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，該店?duì)I業(yè)額的平均值在［34,35］內(nèi)

B.根據(jù)8店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，其營(yíng)業(yè)額總體呈上升趨勢(shì)

C?根據(jù)4,8兩店的營(yíng)業(yè)額折線圖，可得/店的營(yíng)業(yè)額極差比8店大

D.根據(jù)48兩店的營(yíng)業(yè)額折線圖，可得B店7月份的營(yíng)業(yè)額比/店多

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析.

【分析】根據(jù)折線圖逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解:根據(jù)N店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知該店?duì)I業(yè)額的平均值為14+20+26+45+64+36

6

?=34.17,故/正確；

根據(jù)8店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，其營(yíng)業(yè)額總體呈上升趨勢(shì)，故8正確；

“店?duì)I業(yè)額的極差為64-14=50,8店?duì)I業(yè)額的極差為63-2=61,故/店?duì)I業(yè)額的極

差比8店小，故C錯(cuò)誤；

由折線圖可知，8店7月份的營(yíng)業(yè)額比/店多，故。正確，

故選：C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折線圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2021秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，直接決

定了社會(huì)主義建設(shè)者和接班人的勞動(dòng)價(jià)值取向、勞動(dòng)精神面貌和勞動(dòng)技能水平.新學(xué)期

到來，夷陵中學(xué)開展了學(xué)農(nóng)基地勞動(dòng)實(shí)踐課，面向2021級(jí)學(xué)生開放.現(xiàn)設(shè)置種植白菜、

蘿卜、菠菜、油麥菜四個(gè)品類.某班班主任選完內(nèi)容后，其他三位同學(xué)根據(jù)班主任小夷

老師的興趣愛好對(duì)他選擇的內(nèi)容進(jìn)行猜測(cè).

甲說：“小夷老師選的不是白菜，選的是蘿卜

第7頁（共19頁）

乙說：“小夷老師選的不是蘿卜，選的是菠菜

丙說：“小夷老師選的不是蘿卜，也不是油麥菜

已知三人中有一個(gè)人說的全對(duì)，有一個(gè)人說的對(duì)了一半，剩下的一個(gè)人說的全不對(duì)，由

此推斷小夷老師選擇的內(nèi)容（）

A.可能是油麥菜B,可能是白菜

C.可能是菠菜D.一定是蘿卜

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；反證法；推理和證明；邏輯推理.

【分析】根據(jù)題意，依次假設(shè)小夷老師選擇的內(nèi)容，判斷是否符合題意，即可得到結(jié)果.

【解答】解：假設(shè)小夷老師選的是白菜，則甲全錯(cuò)，乙對(duì)了一半，丙全對(duì)，符合；

假設(shè)小夷老師選的是蘿卜，則甲全對(duì)，乙全錯(cuò)，丙對(duì)了一半，符合；

假設(shè)小夷老師選的是油麥菜，則甲對(duì)了一半，乙對(duì)了一半，丙對(duì)了一半，不符合；

假設(shè)小夷老師選的是菠菜，則甲對(duì)了一半，乙全對(duì)，丙全對(duì)，不符合；

故小夷老師選擇的可能是白菜，也可能為蘿卜.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查合情推理的應(yīng)用，注意邏輯推理的能力的培養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021秋?江西期中）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗「汽油行駛的里程，如圖描

述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）

B.甲車以80km∕h的速度行駛Ih消耗8￡汽油

C.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

D.若機(jī)動(dòng)車最高限速80%√∕1,在相同條件下，乙，丙兩輛車節(jié)油情況無法比較

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；推理和證明：邏輯推理.

【分析】/、由乙車的燃油效率最高值在（5,10）之間，可判斷；

第8頁（共19頁）

8、由甲車以8（Um"的速度行駛時(shí)，對(duì)應(yīng)的燃油效率為I（MTM/A,可推斷；

C、由甲車的燃油效率最高，知甲車最省油；

D、比較限速80加"時(shí)，兩車的燃油效率，燃油效率越高越省油.

【解答】解：選項(xiàng)4乙車的燃油效率最高值在（5,10）之間，所以消耗1升汽油，

乙車最多可行駛的路程超過5千米，即/錯(cuò)誤；

選項(xiàng)8,甲車以80癡/4的速度行駛1%,路程為80Zτn,對(duì)應(yīng)的燃油效率為10加〃，

所以消耗的汽油為強(qiáng)=83即8正確：

10

選項(xiàng)c,甲車的燃油效率最高，所以三輛車中，甲車最省油，即C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)。，當(dāng)限速80Zτn//?時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，

所以用丙車比用乙車更省油，即。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查合情推理，對(duì)折線圖的認(rèn)識(shí)和對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理能力，考查邏輯推

理能力，屬于中檔題.

5.（2021秋?浙江期中）分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立

的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按

照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖.若記圖2中第〃行黑圈的個(gè)數(shù)

為an,則as—（）

第1行

第2行

第3行

A.21B.25C.27D.30

【考點(diǎn)】歸納推理.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；推理和證明；邏輯推理.

【分析】根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個(gè)白圈分形為1個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為

1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，根據(jù)第三行的數(shù)據(jù)可求出第四行的黑圈的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可求第五行的黑

圈數(shù).

【解答】解：根據(jù)題圖（1）所示的分形規(guī)律，可知1個(gè)白圈分形為1個(gè)白圈1個(gè)黑圈，

1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，把題圖（2）中的樹形圖的第1行記為（1,0）,第2

第9頁（共19頁）

行記為（1,1）,第3行記為（2,3）,第4行的白圈數(shù)為2+3=5,黑圈數(shù)為2+2X3=8,

所以第4行的坐標(biāo)為（5,8）,同理可得第5行的坐標(biāo)為（13,21）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了合情推理中的歸納推理，是基礎(chǔ)題.

6.（2021秋?靖遠(yuǎn)縣期中）根據(jù)第七次全國(guó)人口普查結(jié)果，居住在城鎮(zhèn)的人口為90199萬人,

占全國(guó)人口的63.9%,與第六次全國(guó)人口普查相比，城鎮(zhèn)人口比重上升14.2個(gè)百分點(diǎn).隨

著我國(guó)新型工業(yè)化、信息化和農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的深入發(fā)展和農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市民化政策落實(shí)落

地，年來我國(guó)新型城鎮(zhèn)化進(jìn)程穩(wěn)步推進(jìn)，城鎮(zhèn)化建設(shè)取得了歷史性成就.如圖所示的是

歷次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口及城鎮(zhèn)人口比重的統(tǒng)計(jì)圖：

萬人歷次人口普查城鎮(zhèn)人口%

IOOOOOr70

90000-匚Zl城鎮(zhèn)人口

60

80000.

70000-50。城鎮(zhèn)人口比重

60000-二0

50000-

40000-30

30000-20

20000-10

10000-

0.0

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）

A.這七次全國(guó)人口普查的城鎮(zhèn)人口比重上升越來越快

B.第七次全國(guó)人口普查的城鎮(zhèn)人口比第六次全國(guó)人口普查的城鎮(zhèn)人口增加了63.9%

C.這七次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口逐次增加

D.這七次全國(guó)人口普查非城鎮(zhèn)人口逐次減少

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；推理和證明；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)觀察計(jì)算即可解決此題.

【解答】解：第三次城鎮(zhèn)人口比重-第二次城鎮(zhèn)人口比重=20.9-18.3=2.6,

第二次城鎮(zhèn)人口比重-第一次城鎮(zhèn)人口比重=18.3-13.3=5>2.6,可知/錯(cuò)；

...63.9-49.63.9%,.?B錯(cuò)；

49.7

由圖表可知這七次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口逐次增加，.??C對(duì)；

第10頁（共19頁）

圖表不顯示非城鎮(zhèn)人口變化情況，...。錯(cuò).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2021秋?會(huì)寧縣校級(jí)期中）圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第〃個(gè)圖形由〃個(gè)正方形

組成：

n=ln=2n=3〃=4

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第〃個(gè)圖形中，火柴棒的根數(shù)為（）

A.3n-1B.3〃C.3n+lD.3（〃+1）

【考點(diǎn)】歸納推理.

【專題】規(guī)律型；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；直觀想象.

【分析】第”個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是第〃-1個(gè)圖形的根數(shù)基礎(chǔ)上增加3根火柴棒即可,

據(jù)此求解可得結(jié)論.

【解答】解：第1個(gè)圖形中有4根火柴棒，

第2個(gè)圖形中有7根火柴棒，

第3個(gè)圖形中有10根火柴棒，

第〃個(gè)圖形中有3〃+1根火柴棒.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的變化規(guī)律，得到火柴棒的根數(shù)是在4的基礎(chǔ)上增加幾個(gè)3的關(guān)

系是解決本題的關(guān)鍵.

8.（2021春?運(yùn)城期中）用反證法證明命題“已知“，Z）∈R,如果HWO,那么α,b都不為

0”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（）

A.a,b都為0B.a,6不都為0

C.a,方中至少有一個(gè)為0D.α不為0

【考點(diǎn)】反證法.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；反證法；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯推理.

【分析】反設(shè)是一種對(duì)立性假設(shè)，即想證明一個(gè)命題成立時(shí)，可以證明其否定不成立，

由此得結(jié)論.

第11頁（共19頁）

【解答】解：由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其

否定成立進(jìn)行推證.

命題"a,?∈R,如果MWO,那么α,6都不為0”的否定是“a,6中至少有一個(gè)為0”.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反證法證明命題的方法，考查命題的否定，是基礎(chǔ)題.

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?越城區(qū)校級(jí)期中）楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章

算法》一書中被記載.如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個(gè)數(shù)是15.（用數(shù)字作

答）

第O行I

第I行I

第2"2

第3行

第4行I464

第5行IIOIO5

【考點(diǎn)】歸納推理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；推理和證明；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)楊輝三角得到規(guī)律是第N行，第，?（1≤?！躆+1）個(gè)數(shù)為CrT求解即可.

【解答】解：由楊輝三角知:

第一希c??Cb

012

C,C,C

第二行:222

第三行:c?C?,C?C?

。1234

CCC,C?C

，

第四行:4，4444

由此可得第n行,第，,(1WrW"+l)個(gè)數(shù)為C：T,

所以第15行第15個(gè)數(shù)是C孺=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理和楊輝三角知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2021秋?建華區(qū)校級(jí)期中）已知x、yeR,在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算X十y=中+x+y

-1,則2+4=13.

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理；函數(shù)的值.

第12頁（共19頁）

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；推理和證明；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，由運(yùn)算的定義，直接計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，234=2X4+2+4-1=13,

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查合情推理的應(yīng)用，注意理解X十y=xy+x+y-1的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2021秋?德州期中）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過B,C三個(gè)城市時(shí)，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過8城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)齻€(gè)去過同一城市.

由此可判斷乙去過的城市為A.

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【專題】邏輯推理.

【分析】可先由乙推出，可能去過/城市或8城市，再由甲推出只能是/,8中的一個(gè),

再由丙即可推出結(jié)論.

【解答】解：由乙說：我沒去過C城市，則乙可能去過力城市或3城市，

但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過8城市，則乙只能是去過/,8中的任一個(gè)，

再由丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市，

則由此可判斷乙去過的城市為4

故答案為：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單的合情推理，要抓住關(guān)鍵，逐步推斷，是一道基礎(chǔ)題.

12.（2021春?武功縣期中）試求入P、汽汽戶、入入產(chǎn)的值，由此推測(cè)產(chǎn)=1,

4+2

*+1=i,i"=-1,/+3=-i,∕>∕2z?3f4...嚴(yán)00=1.

【考點(diǎn)】歸納推理.

【專題】計(jì)算題；歸納猜想型；函數(shù)思想：歸納法；推理和證明；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先求出i∣=3i2--1,i3--i>i4-?,i5-i,i6--1,i1--i,Z8-I,發(fā)現(xiàn)每

4個(gè)一循環(huán)，再根據(jù)規(guī)律即可求解.

18

【解答】解：由3=i,P=-i,P=-,4=1）i5=ifi6=-iti=-i,z=l,

由此推測(cè)*=1,*+1=3

*+2=-i,*+3=-j,

第13頁（共19頁）

i?i2i3i4...z.2000^（山2科4）500=⑻500=],

故答案為：1,3-1,-i,1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理，歸納推理的一般步驟是：通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同

性質(zhì)，從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.

Ξ.解答題（共5小題）

logN

13.（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）⑴證明對(duì)數(shù)換底公式：當(dāng)N>0時(shí)，IOgbN=——≡-（其

blogb

<1

中”>0且“≠l,6>0且方￥1）.

（2）證明：√旗無理數(shù).

【考點(diǎn)】反證法；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；換底公式的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；反證法；推理和證明；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）設(shè)bg∕>N=x,寫成指數(shù)式〃=M兩邊取以。為底的對(duì)數(shù)，得xbg,乃=IOgaM

兩邊可除以IOg"6,即可證明；

（2）直接利用反證法的證明方法，設(shè)√5是有理數(shù)，推出矛盾即可.

【解答】證明：（1）：設(shè)Iog力N=X,寫成指數(shù)式〃=N,

兩邊取以。為底的對(duì)數(shù)，得XIOgab=IO劭N,

因?yàn)閎>0,?≠1,loga?≠0,

logN

因此上式兩邊可除以log/,得X=——匕-

Iogab

Llθg%N

所以，IogbN=---------

Dlog.b

（2）假設(shè)√E是有理數(shù)，則不妨設(shè)次=典（加，〃為互質(zhì)正整數(shù)）,

n

從而：（處）2=3,陽2=3〃2,可見加是3的倍數(shù)，

n

設(shè)加=3p（P是正整數(shù)），貝U3n2=m2=9p2,可見〃也是3的倍數(shù),

這樣，加，〃就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）,

所以火=典不可能,

n

所以√E是無理數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)換底公式的證明和反證法的證明方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

第14頁（共19頁）

14.(2021春?成都期中)設(shè)復(fù)數(shù)加=l+2i,〃=4-33i為虛數(shù)單位.

(1)若復(fù)數(shù)Z滿足wz=",求復(fù)數(shù)z；

(2)我們知道,對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)〃、b,^?ab?=?a???b?.類比這一結(jié)論，對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)zi、

Z2,請(qǐng)寫出類似的等式，并用復(fù)數(shù)機(jī)、〃檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論是否正確.

【考點(diǎn)】類比推理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：定義法：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，計(jì)算即可；

(2)寫出∣zιz2∣=∣zι∣?∣z2∣,分別計(jì)算憾〃I和阿?|〃|,驗(yàn)證相等即可.

【解答】解：(1)復(fù)數(shù)機(jī)=l+2i,"=4-3i,且mz=”,

所以z=n=4-3i=(4-3i)(l-2i)=-2-lIi=-2_Ui,

ml+2i(l+2i)(l-2i)555,

(2)由題意知，∣z1z2∣=團(tuán)卜㈤,

由加〃=(1+萬)(4-3i)=10+53

計(jì)算|〃?川=Il0+5力=J1()2+52=5√5,

∣zw∣=∣l+2f∣=2+22=^5?

I川=∣4-3i∣={42+(—3)2=5,

所以W"∣=∣加舊結(jié)論正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.(2021春?譙城區(qū)校級(jí)期末)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖①②③④是刺

繡中最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形的個(gè)數(shù)越多刺繡越

漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡，設(shè)第"個(gè)圖案包含/(")個(gè)小正方形.

(1)求出/(5)的值；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與/(〃)之間的關(guān)系式，并根

據(jù)你的關(guān)系式求出了(〃)的解析式.

①②③④

【考點(diǎn)】歸納推理.

第15頁(共19頁)

【專題】規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；歸納法；推理和證明.

【分析】(1)先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1,1+4,1+4+8,…從而得出/‘(5)；

(2)將(1)總結(jié)一般性的規(guī)律：/(A7+1)與/(〃)的關(guān)系式，再?gòu)目偨Y(jié)出來的一般性

的規(guī)律轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解即得

【解答】解：(1)(1)=1,/(2)=5,/(3)=13,/(4)=25,

Λ∕(2)-/(1)=4=4X1.

/(3)-∕<2)=8=4X2,

/(4)-/⑶=12=4X3,

/(5)-/(4)=16=4X4

Λ∕(5)=25+4X4=41.

(2)由上式規(guī)律得出/(〃+1)-f(n)=4〃.