單元素養(yǎng)檢測(一)(第六章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.在四邊形ABCD中,++=()A. B. C. D.【解析】選D.在四邊形ABCD中,++=++=+=.2.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且λa+μb=(2,8),則λμ=()A.5 B.5 C.1 D.1【解題指南】根據(jù)平面向量的坐標運算,得到方程組求出結果.【解析】選D.因為a=(1,1),b=(0,2),所以λa+μb=(λ,λ+2μ),因為λa+μb=(2,8),所以(λ,λ+2μ)=(2,8),所以λ=2,μ=3,所以λμ=1.3.已知△ABC中,D為AB上一點,滿足=2,且||=2||,則△ABC的形狀為()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選C.因為△ABC中,D為AB上一點,滿足=2,則=,且||=2||,如圖,延長CD到E,使=,則ACBE是平行四邊形,由向量加法的平行四邊形法則,得+==2,則||=||,所以平行四邊形ACBE是矩形,即△ABC的形狀一定為直角三角形.4.在平行四邊形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,DE交AF于H,記=a,=b,則=()A.QUOTEaQUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEaQUOTEb【解析】選B.如圖,過點F作BC的平行線交DE于G,則G是DE的中點,且=QUOTE=QUOTE,所以=QUOTE,則△AHD∽△FHG,從而=QUOTE,所以=QUOTE,=+=b+QUOTEa,所以=QUOTE=QUOTEa+QUOTEb.5.已知正六邊形OP1P2P3P4P5的邊長為1,則·(i=1,2,3,4,5)的最大值是()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解題指南】分別計算出當i=1,2,3,4,5時·的值,比較即可得出答案.也可以運用向量的投影比較大小.【解析】選B.方法一:分別作(i=1,2,3,4,5)在方向的投影,易得在方向的投影大于1,所以·=(+)·=+·=1+||||cos60°=1+QUOTE=QUOTE.方法二:如圖,當i=1,2,3,4,5時,·(i=1,2,3,4,5)的值相應是1,QUOTE,1,0,QUOTE,故最大值為QUOTE.【點睛】本題考查正多邊形的性質、余弦定理和向量數(shù)量積的運算等知識.6.(2019·全國卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,則·=()A.3 B.2 C.2 D.3【解析】選C.因為==(1,t3),又因為||=1,即12+(t3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.7.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=bcosC且c=6,A=QUOTE,則△ABC的面積為()A.2QUOTE B.3QUOTE C.4QUOTE D.6QUOTE【解析】選D.在△ABC中,由a=bcosC且c=6,A=QUOTE,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE=2a=2bcosC,所以c=2bsinCcosC=6.由余弦定理,得c2=a2+b22abcosC,即36=b2cos2C+b22b2cos2C=b2(1cos2C)=b2sin2C,因為sinC>0,所以bsinC=6,代入2bsinCcosC=6,得cosC=QUOTE,由于0<C<π,所以C=QUOTE,B=πAC=QUOTE,所以a=ctanA=2QUOTE,三角形的面積等于QUOTEacsinB=QUOTE×2QUOTE×6×1=6QUOTE.【補償訓練】在△ABC中,若·=2且∠BAC=30°,則△ABC的面積為()A.QUOTE B.2QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.在△ABC中,若·=2且∠BAC=30°,得cos30°=2,所以=QUOTE,則△ABC的面積為S=QUOTE||||sin30°=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.8.在三角形ABC中,QUOTE=2,QUOTE=2QUOTE,∠BAC=45°,P為線段AC上任意一點,則·的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設=λ,=QUOTE,0≤λ≤1,·=·QUOTE=(1λ)(λ)·,結合題目中的條件得到原式=4(1λ)(12λ)=4QUOTE,0≤λ≤1,結合二次函數(shù)的性質得到范圍是QUOTE.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.在△ABC中,根據(jù)下列條件解三角形,則其中有一個解的是()A.b=10,A=45°,B=60°B.a=60,c=48,B=120°C.a=7,b=5,A=75°D.a=14,b=16,A=45°【解析】選ABC.若b=10,A=45°,B=60°,則由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,求得a=QUOTE,故△ABC有一解;若a=60,c=48,B=120°,則由余弦定理可得b2=a2+c22ac·cosB=8784,求得b只有一解,故△ABC有一解;若a=7,b=5,A=75°,則由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,求得sinB=QUOTE,再根據(jù)b<a,可得B為銳角,故角B只有一個,故△ABC有一解;若a=14,b=16,A=45°,則由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,求得sinB=QUOTE,再根據(jù)b>a,可得B>A,所以B可能是銳角也可能是鈍角,即角B有2個值,故△ABC有兩解.10.設點O是正方形ABCD的中心,則下列結論正確的是()A.= B.∥C.與共線 D.=【解析】選ABC.如圖,因為與方向相同,長度相等,所以A正確;因為B,O,D三點在一條直線上,所以∥,B正確;因為AB∥CD,所以與共線,C正確;因為與方向不同,所以≠,D錯誤.11.已知a∥b,QUOTE=2QUOTE=6,則QUOTE的值可能為()A.3 B.6C.8 D.9【解析】選AD.因為a∥b,QUOTE=2QUOTE=6,則QUOTE=6,QUOTE=3.當a,b方向相同時,QUOTE=QUOTE+QUOTE=9;當a,b方向相反時,QUOTE=QUOTE=3.【易錯警示】本題易忽略兩個向量方向相反的情形而漏解.當兩個非零向量共線時,如果沒有明確向量的方向相同或相反,要對兩種情形分類討論求值.12.點G為△ABC的重心,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,則下列等式成立的是()A.∠ACB=90° B.BG=QUOTEC.·=QUOTE D.·=QUOTE【解析】選ABCD.因為點G為△ABC的重心,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,由余弦定理,得AC2=AB2+BC22AB·BCcos60°=3,即AC=QUOTE,由勾股定理逆定理,得∠ACB=90°,所以∠BAC=30°.延長BG交AC于點D,則D為AC的中點,CD=QUOTE,在△BCD中,BD2=BC2+CD2=QUOTE,得BD=QUOTE,所以BG=QUOTEBD=QUOTE,則·=()·()=(+)+·=2+·=2·QUOTE+·=2+2×1×QUOTE=2×QUOTE+1=QUOTE.延長CG交AB于點E,則E為AB的中點,CE=1,CG=QUOTECE=QUOTE,則·=()·==QUOTE=QUOTE·QUOTE(+)=QUOTE(+)=QUOTE(·+)=QUOTEQUOTE(0+1)=QUOTE.【拓展延伸】三角形的四心與性質學習向量的加減法離不開三角形,三角形的重心、垂心、內心、外心是三角形性質的重要組成部分,你知道三角形“四心”的意義嗎?它們與向量的表示是什么?下面的幾個結論也許能給同學們一點幫助.一、三角形“四心”的意義重心:三角形三邊中線的交點.垂心:三角形三邊高線的交點.外心:三角形三邊中垂線的交點.內心:三角形三條內角平分線的交點.二、三角形“四心”的向量表示結論1:若點O為△ABC所在的平面內一點,滿足·=·=·,則點O為△ABC的垂心.證明:由·=·,得··=0,即·()=0,⊥.同理可證⊥,故O為△ABC的垂心.結論2:若點O為△ABC所在的平面內一點,滿足+=+=+,則點O為△ABC的垂心.證明:由+=+,得+()2=+()2,所以·=·.同理可證·=·.容易得到·=·=·,由結論1知O為△ABC的垂心.結論3:若點G為△ABC所在的平面內一點,滿足++=0,則點G為△ABC的重心.證明:由++=0,得=+.設BC邊中點為M,則2=+,所以=2,即點G在中線AM上.設AB邊中點為N,同理可證G在中線CN上,故點G為△ABC的重心.結論4:若點G為△ABC所在的平面內一點,滿足=QUOTE(++),則點G為△ABC的重心.證明:由=QUOTE(++),得()+()+()=0,得++=0.由結論3知點G為△ABC的重心.結論5:若點P為△ABC所在的平面內一點,并且滿足=+λ(+)(或=+λ(+)),則點P為△ABC的內心.證明:由于=+λ(+),可得=λ(+).設與同方向的單位向量為e1,與同方向的單位向量為e2,則=λ(e1+e2),因為e1、e2為單位向量,所以向量e1+e2在∠A的平分線上.由λ>0,知點P在∠A的平分線上.同理可證點P在∠B的平分線上.故點G為△ABC的內心.結論6:若點O為△ABC所在的平面內一點,滿足(+)·=(+)·=(+)·=0,則點O為△ABC的外心.證明:因為=,所以(+)·=||2||2.同理得(+)·=||2||2,(+)·=||2|OA|.由題意得||2||2=||2||2=||2||2,所以||2=||2=||2,得||=||=||.故點O為△ABC的外心.注意:||=||=||?||2=||2=||2?(+)·=(+)·=(+)·=0.以上幾個結論不僅展示了三角形的“四心”的向量表示,而且是向量加減法應用的很好典例,值得大家關注.三、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知a=(2,2),b=(x,2),若a·b=6,則x=________.

【解析】因為a=(2,2),b=(x,2),所以a·b=2x4,又因為a·b=6,所以2x4=6,解得x=5.答案:514.(2019·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=QUOTE,則△ABC的面積為________.

【解析】因為cosB=QUOTE,又因為b=6,a=2c,B=QUOTE,可得c2=12,解得c=2QUOTE,a=4QUOTE,則△ABC的面積S=QUOTE×4QUOTE×2QUOTE×QUOTE=6QUOTE.答案:6QUOTE15.(2019·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點D在線段AC上,若∠BDC=45°,則BD=________,cos∠ABD=________.

【解析】如圖,在△ABD中,由正弦定理有:QUOTE=QUOTE,而AB=4,∠ADB=QUOTE,AC=QUOTE=5,sin∠BAC=QUOTE=QUOTE,cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE.cos∠ABD=cos(∠BDC∠BAC)=cosQUOTEcos∠BAC+sinQUOTEsin∠BAC=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE【補償訓練】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosB=QUOTE,b=4,S△ABC=4QUOTE,則△ABC的周長為________.

【解題指南】先根據(jù)cosB=QUOTE求出sinB,再由S△ABC=4QUOTE求出ac,最后再由余弦定理可求出a2+c2,進而可求出a,c的值,即可求出周長.【解析】由cosB=QUOTE,得sinB=QUOTE,由三角形面積公式可得QUOTEacsinB=QUOTEac·QUOTE=4QUOTE,則ac=12①,結合余弦定理b2=a2+c22accosB,可得16=a2+c22×12×QUOTE,則a2+c2=24②,由①②聯(lián)立可得a=c=2QUOTE,所以△ABC的周長為4QUOTE+4.答案:4QUOTE+416.已知點M是△ABC所在平面內的一點,若滿足62=0,且S△ABC=λS△ABM,則實數(shù)λ的值是________.

【解析】記2=,因為+22=0,所以=2,如圖,得S△ABN=QUOTES△ABC,又因為S△ABM=QUOTES△ABN,所以S△ABC=3S△ABM,從而有λ=3.答案:3四、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知向量|a|=2,a·b=1,a在b方向上的投影為1.(1)求向量a,b的夾角;(2)求|ab|.【解析】(1)因為|a|=2,a·b=1,由a在b方向上的投影為1,得QUOTE=1,所以QUOTE=1,向量a,b的夾角θ滿足cosθ=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],得θ=QUOTE.(2)|ab|2=(ab)2=a22a·b+b2=42×1+1=3,所以|ab|=QUOTE.18.(12分)已知a=(1,2),b=(3,2),當k為何值時,(1)ka+b與a3b垂直?(2)ka+b與a3b平行?平行時它們是同向還是反向?【解析】由a=(1,2),b=(3,2),得ka+b=k(1,2)+(3,2)=(k3,2k+2),a3b=(1,2)3(3,2)=(10,4),(1)(ka+b)⊥(a3b),得(ka+b)·(a3b)=10(k3)4(2k+2)=2k38=0,解得k=19.(2)(ka+b)//(a3b),得4(k3)=10(2k+2),解得k=QUOTE,此時ka+b=(QUOTE,QUOTE)=QUOTE(10,4),所以方向相反.【補償訓練】如圖,已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,動點M,N滿足=λ,=μ,λ,μ≠0.(1)當λ=μ=QUOTE時,求||的值;(2)若·=2,求QUOTE+QUOTE的值.【解題指南】(1)λ=μ=QUOTE時,M,N分別為BC,CD的中點,可得==QUOTE,根據(jù)模長的計算公式得到結果;(2)根據(jù)平面向量基本定理得到·=(+)·(+),按照向量點積公式展開得到結果.【解析】(1)當λ=μ=QUOTE時,M,N分別為BC,CD的中點,此時易得==QUOTE且,的夾角為60°,則==QUOTE=QUOTE.(2)·=(+)·(+)=·+·+·+·,所以2=2×2×QUOTE+2×2μ+2×2λ+2λ×2μ×(QUOTE),所以4(λ+μ)=2λμ,所以2(λ+μ)=λμ,故QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.19.(12分)設向量m=QUOTE,n=QUOTE,在△ABC中a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且2csinC=(2ba)sinB+(2ab)sinA.(1)求角C;(2)若m⊥n,邊長c=2,求△ABC的周長l和面積S的值.【解析】(1)由已知可得2c2=(2ba)b+(2ab)a,即c2=b2+a2ab,所以cosC=QUOTE=QUOTE,所以C=QUOTE.(2)由題意可知m⊥n,可得aQUOTE+bQUOTE=0,所以a+b=ab,由余弦定理可知4=a2+b2ab=(a+b)23ab,則(a+b)23(a+b)4=0,即a+b=4,故周長為4+2=6,面積為S=QUOTEabsinC=QUOTE·4·sinQUOTE=QUOTE.20.(12分)已知在△ABC中,三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量p=(sinAcosA,1sinA),q=(2+2sinA,sinA+cosA),p與q是共線向量,且QUOTE≤A≤QUOTE.(1)求角A的大小;(2)若sinC=2sinB,且a=QUOTE,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.【解析】(1)因為p∥q,所以(sinAcosA)(sinA+cosA)2(1sinA)(1+sinA)=cos2A2cos2A=0,所以1+2cos2A=0,所以cos2A=QUOTE.因為QUOTE≤A≤QUOTE,所以QUOTE≤2A≤π,所以2A=QUOTE,所以A=QUOTE.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:由cosA=QUOTE,a=QUOTE及余弦定理得b2+c2bc=3.又sinC=2sinB,由正弦定理得c=2b.聯(lián)立可得QUOTE解得QUOTE所以a2+b2=(QUOTE)2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.21.(12分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=QUOTE,BC=1,P為△ABC內一點,∠BPC=90°.(1)若PC=QUOTE,求PA;(2)若∠APB=150°,求△ABP的面積S.【解析】(1)因為在△ABC中,∠ABC=90°,AB=QUOTE,BC=1,所以sin∠PBC=QUOTE=QUOTE,可得∠PBC=60°,BP=BCcos60°=QUOTE.因為∠PBA=90°∠PBC=30°,所以△APB中由余弦定理,得PA2=PB2+AB