5.1.1變化率問(wèn)題（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?北京順義?高二期末）降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時(shí)給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開(kāi)窗通風(fēng)

換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（C）隨開(kāi)窗通風(fēng)換氣時(shí)間G）的關(guān)系如下圖所示.則下列時(shí)間段內(nèi)，空

氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（????）

【答案】C

【分析】連接圖上的點(diǎn)，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；

【詳解】解：如圖分別令，=5、r=10、r=15、r=20、r=35所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B、C、D、E,

由圖可知0>>kλc>kAE>kAD,

故選：C

2.(202)全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間X單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(∕)=∕+∕+l

表示，則該物體在f=Is時(shí)的瞬時(shí)速度為(？??？)

A.0m∕sB.lm∕sC.2m∕sD.3m∕s

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時(shí)速度的概念即可利用平均速度取極限求解.

【詳解】該物體在時(shí)間段［1,1+4］上的平均速度為

包=￡(1+4)-w1)=(1+竺)2上(匕4。+1二(1史+1)=3+加,當(dāng)加無(wú)限趨近于O時(shí)，3+Δ∕無(wú)限趨近于3,

?r

即該物體在/=Is時(shí)的瞬時(shí)速度為3m∕s.

故選：D

3.(2022?福建寧德?高二期中)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其位移S與時(shí)間/的關(guān)系是6=4"，，則在f=l時(shí)的

瞬時(shí)速度為(????)

A.1B.3C.-2D.2

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的物理意義可直接求導(dǎo)得到結(jié)果.

【詳解】由s=4f-/得:s'=4-2t,

當(dāng)/=1時(shí)，√=2,

即物體在f=1時(shí)的瞬時(shí)速度為2.

故選：D.

4.(2022?廣東?深圳市寶安第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中)已知函數(shù)/(x)=Y+l,則Iim"2+一)一八上AX)=

心ToΔ%

(????)

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義計(jì)算可得；

【詳解】解:因?yàn)?x)=-+l,

22

所以lim∕(2+Ar)-∕(2-Ar)^?,?^(2+Aχ-)+l-(2-Ar)-1

?^→θ?rAr→O?r

.8?x

=I1im-----=8o

δXToAx

故選：D

02/18

5.(2022?新疆?克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)(理))已知函數(shù)y=f(x)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)為2,則

[im/U+Ax)-/(x0)=(????)

—?χ

A.0B.?-C.?D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系直接求解.

【詳解】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知Iim”忙Ar)二/5)=r(Xo)=2,

-?x

故選:D.

6.(2022?黑龍江?雙鴨山一中高二期末)已知/(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若

Hm/（3二版）-/（3+八）=4,則/“（3）=（????）

AYTo??

A.0B.—2C.1D.—

2

【答案】B

【分析】對(duì)條件變形，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解出到數(shù)值.

［詳解］因?yàn)镮im/（3-1r）-/（3+Ax）=∣,所以Iim-??）-/⑼+/⑶-/（3+ΔΛ）,

Δ*?→0?χAr→OAx

=-Iim"————“）—Iim'（、————“）=—2/⑶=4

-Δv→O-AyΔx→O?χ

故/"）=-2.

故選：B

7.(2022?河南?睢縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)(理))已知函數(shù)/(x),人(X),力(力，力(力,它們?cè)谄矫?/p>

直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則/'(%),Λ,(?).力'(%)，.力(而)的大小關(guān)系是(？??？)

A.Z,(?)>Λ,(?)>Λ,(?)>Λ,(?)

B?Z,(?)>Λ,(?)>Λ,(?)>Λ,(?)

c.Λ,(?)?Z,(?)>Λ,(?)>Λ,(?)

D.Z,(?)>Λ,(?)>Λ,(?)>Λ,(?)

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，畫(huà)出各個(gè)函數(shù)圖象在X=Xo處的切線，根據(jù)切線的斜率來(lái)判斷即可.

【詳解】依次作出工(x),ΛW-JKX)在X=Xo的切線，如圖所示：

根據(jù)圖形中切線的斜率可知X'(玉))>力'(%)>為'(XO)>U(玉)).

故選：A.

8.(2022?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))已知物體做直線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為S=SQ),其中S表示路程，r表示時(shí)間.則

S'(4)=10表示的意義是()

A.經(jīng)過(guò)4s后物體向前走了IOm

B.物體在前4秒內(nèi)的平均速度為IomzS

C.物體在第4秒內(nèi)向前走了IOm

D.物體在第4秒時(shí)的瞬時(shí)速度為IOmZs

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，SQ)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是，時(shí)刻的瞬時(shí)速度.求解即可.

【詳解】：物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為S=S(r),

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，S")函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是f時(shí)刻的瞬時(shí)速度，

.?.S'(4)=10表示的意義是物體在第4s時(shí)的瞬時(shí)速度為10m∕s.

故選：D.

04/18

9.(2022.浙江.高二期中)函數(shù)f(x)=f在區(qū)間［0,2］上的平均變化率等于(????)

A.?-B.1C.2D.-

22

【答案】C

【分析】根據(jù)平均變化率公式計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)锳y=/(2)—/(0)=4,加：=2—0=2,

所以M="21(O=2，即函數(shù)“H=/在區(qū)間［0，2］上的平均變化率為2:

故選：C

二、填空題

10.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示為物體甲、乙在時(shí)間0到6范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說(shuō)法正

確的序號(hào)是.

①在0到工。范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；

②在外時(shí)刻，甲的瞬時(shí)速度等于乙的瞬時(shí)速度；

③在九至此范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；

④在。到《范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度.

【答案】③④

【分析】根據(jù)平均速度的公式判斷①③④，從而①錯(cuò)誤，③④正確；

根據(jù)瞬時(shí)速度與切線斜率的關(guān)系作出判斷②錯(cuò)誤；

【詳解】在0到小范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為"=故①錯(cuò)誤.

瞬時(shí)速度為切線斜率，故②錯(cuò)誤.

1

在*,到a范圍內(nèi)，甲的平均速度為濘,乙的平均速度為?二9,因?yàn)橐?%>4-%>0,-r0>0,所

以FZF>?二手，故③正確.同理④正確.

t?~t0tl~t0

故答案為：③④.

11.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))己知函數(shù)y=∕(x),其中/(χ)=f-i,此函數(shù)在區(qū)間［1,相上的平均變化

率為3,則實(shí)數(shù)加的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)在區(qū)間［1,〃?］上的平均變化率，進(jìn)而可得加+1=3,解出方程可得機(jī)的值，即

可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)“χ)=χ2-l在區(qū)間［1,〃?］上的平均變化率為：

———/77十1

?rm-?m-?

.?./72+1=3

解得：tn=2

故答案為：2.

12.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)y=∕(x),其中/(χ)=χ2-3,則此函數(shù)在區(qū)間口,4］上的平均變

化率為.

【答案】5

【分析】根據(jù)平均變化率的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】函數(shù)/(x)在區(qū)間口,4］上的平均變化率為八?［⑴=I"-)=5.

故答案為：5

13.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)y=f(x),若/'(*=-3,則lin/G。+』-""。)=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)利用極限計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法求得正確答案.

【詳解】依題意，］而/>+1)_/5)=/5)__3.

V07

Λ→0h

故答案為：-3

14.(2022.全國(guó).高二單元測(cè)試)小明從家里到學(xué)校行走的路程S與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系表示如圖，記f時(shí)刻

的瞬時(shí)速度為v(f),區(qū)間［0∕J,［04］,上14］上的平均速度分別為W，匕，％，則下列判斷正確的個(gè)數(shù)

為.

06/18

(1)V1<v2<v3；

⑵空?々

(3)對(duì)于匕(i=l,2,3),存在∕∈(OJ2),使得u(n)=匕；

(4)整個(gè)過(guò)程小明行走的速度一直在加快.

【答案】3

【分析】對(duì)于(1)(2),根據(jù)平均速度的定義結(jié)合圖判斷即可，對(duì)于(3),由圖象可知從而

可得結(jié)論，對(duì)于(4),根據(jù)曲線在各點(diǎn)處的切線方程的斜率的大小判斷即可.

,

包一OSO-OSO5n

【詳解】解：由題意，可知上__幾，匕=\=手，v_°2_?.

『+-。一2右"一-2(…)

由題中圖像可知4<%且%>%因此％=*<嗎=?，

而-2(，2_。)=2乙_/2>0，所以，2>2?2—4)，

因此匕=2<匕=2(j)fJ,此時(shí)W<V2<V3,所以(1)正確；

Γ112^

因?yàn)?3-2-。反++醞H,

Z2=。,UG：)匕2立，故卡>也成立,(2)正確；

2z1(z2—f1)t22tit2{t2—Z1)2%&F)2

由題中圖像可知，直線與曲線的交點(diǎn)為,，端)，故存在mie(0√2),使得v(%)=匕，即當(dāng)mi=4時(shí)，v(r,)=v1,

故(3)正確；

f時(shí)刻的瞬時(shí)速度為V(。，判斷瞬時(shí)速度的快慢，可以看整個(gè)曲線在各點(diǎn)處的切線方程的斜率，由題中圖

像可知，當(dāng)4時(shí)，切線方程的斜率最大,

故而在此時(shí)，瞬時(shí)速度最快，因此，(4)不正確.

故答案為：3.

15.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=s(f)=∣29+3("3)Q≤'<3,(位移S的單位:

3t2+2,t≥3

m,時(shí)間f的單位：s),則物體在IS時(shí)的瞬時(shí)速度為m∕s.

【答案】-12

【分析】根據(jù)瞬時(shí)速度的概念即可利用平均速度取極限求解

【詳解】物體在IS附近某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度為

s(l+加)τ(l)=29+3](1+4)-3>29-3X(1-3)2=3△—12,

?r?r

當(dāng)加趨近于。時(shí)，34-12趨近于-12,所以物體在IS時(shí)的瞬時(shí)速度是T2m∕s.

故答案為：-12

16.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，則當(dāng)d趨近于0時(shí),/0+止川)趨近于____.

3d

【答案】；/'(1)##迎

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)[fO時(shí)，即可得出結(jié)果

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(χ)在R上可導(dǎo)，且/(I+)/⑴J』。+)“。,

3d3d

當(dāng)d→o時(shí)，一+")寸⑴→r⑴,所以一川)→Oe

dv73d3v7

故答案為：?r(i)

三、解答題

17.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃X)=加T以+〃，∕,(1)=1,/(1)=2,求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】a=j3,?=∣5

【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出1(1),再由/'(1)=1可求出。，然后由/0)=2求出〃，

【詳解】解：?.?r(I)=Iim幺匕3H??

V7ASo?X

tz(l÷?x)2--6t(l+Δx)+?-∣6Z--<7+?I6z(?x)2?=limU÷^L2^1

=Iim------------------------------------?-------------1=Hm---------

Δα→O??ΔXT0△Xe>13J3

?〃_3

??Cl——.

2

45

又/⑴=Q-鏟+〃=2,Λ?=-.

M375

故〃=「b=：

22

08/18

18.(2022.全國(guó).高二期末)已知自由落體的物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=；g/，求:

(1)物體在t0到t0+?r這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；

(2)物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

【答案】(l)；g(2%+Af)

⑵典

【分析】(1)先求出%到f。+加這段時(shí)間內(nèi)路程的增量As,用公式：=竺即可求得平均速度.

?r

(2)求出(1)中平均速度在△/→()的極限值，即可得到％時(shí)刻的瞬時(shí)速度

⑴

1,1

解：物體在，。到辦+△/這段時(shí)間內(nèi)路程的增量以=y&+4)--色片，因此物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速

度；M+]

⑵

_1

物體在，0時(shí)刻的瞬時(shí)速度U=JjU=則,］g(2fo+Af)=g%.

19.(2022.全國(guó).高二課時(shí)練習(xí))試指出余弦函數(shù)/(x)=COSX在區(qū)間θ?和(號(hào)上的平均變化率哪一

個(gè)較大.

【答案】余弦函數(shù)/(x)=COSX在區(qū)間θ?上的平均變化率較大

【分析】根據(jù)平均變化率的定義分別求出函數(shù)在區(qū)間［o,g］和上的平均變化率，再比大小即可.

_6J143_

「πΛ≠fτK≠(0)3√i-6

【詳解】解：函數(shù)/(x)=CoSX在θ?上的平均變化率為------=生坐，

∣上的平均變化率為生=生謔

.π7^

在T

43κ7tjr

34

3√3-66-6√2

v，故余弦函數(shù)/(x)=CoSX在區(qū)間θ,?

ππ

上的平均變化率較大.

20.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))己知函數(shù)/(X)=2X2+3X-5.

(1)求當(dāng)X1=4,且Ar=I時(shí)，函數(shù)增量力和平均變化率包：

?x

(2)求當(dāng)西=4,且AX=O.1時(shí)，函數(shù)增量△)，和平均變化率包；

?x

(3)若設(shè)工2=%+-，分析(1)(2)問(wèn)中的平均變化率的幾何意義.

【答案】⑴Ay=21,包=21；

?x

⑵Ay=I.92,包=19.2；

?x

(3)答案見(jiàn)解析.

【分析】(1)(2)由解析式展開(kāi)并化簡(jiǎn)Ay=∕α+?χ)?√α),再將4、Δx代入求值即可.

(3)根據(jù)尹=‘02)-"王),結(jié)合直線斜率的兩點(diǎn)式說(shuō)明幾何意義即可.

ΔΛX2-X1

(1)

22

?y=/(x1+?x)-/(Λ1)=2(x1+?x)+3(x1+Δx)-5-2x1-3x1+5=4x1?x+2(?x)~+3?x.

當(dāng)占=4且?χ=l時(shí)，Δy=4×4×l+2+3=21,

所以平均變化率包=5=21.

?x1

(2)

當(dāng)再=4且??=O.1時(shí)，?y=4×4×0.1÷0.02÷0.3=1.92,

所以平均變化率包=空=19.2.

?r0.1

(3)

在⑴中，"=以止辿="匕上，

?xx2-X15-4

它表示曲線上兩點(diǎn)兄(4,39)與爪5,60)所在直線的斜率；

在(2)中，AyJ(W)Ta)/Rf

?xx2-X14.1-4

它表示曲線上用(4,39)與￡(4.1,40.92)所在直線的斜率.

【能力提升】

一、單選題

1.(2022?廣東廣州?高二期末)在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度

10/18

h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系∕z(f)=-4?9產(chǎn)+43+11.該運(yùn)動(dòng)員在US時(shí)的瞬時(shí)

速度(單位：m∕s)為(????)

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

【答案】D

【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把f=l代入即可求解.

【詳解】解：因?yàn)榈?=-4.9/+4.8f+11,

所以旗f)=-9.8f+48,

令f=l,得瞬時(shí)速度為-5.

故選：D.

2.(2022?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=x(xT)(x-a),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(？??？)

A.當(dāng)α=T時(shí)，函數(shù)/(x)在-l?上的平均變化率為

B.當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/(x)的圖象與直線y=-1有1個(gè)交點(diǎn)

C.當(dāng)α=2時(shí)，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱(chēng)

D.若函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)玉,演，則西+々=2中2+§

【答案】C

【分析】對(duì)于A,根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算即可：對(duì)于B,構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

對(duì)于C,根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的充要條件來(lái)判斷：對(duì)于D,極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即f'(x)=0的實(shí)根，結(jié)

合韋達(dá)定理即可判斷

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)α=Y時(shí)，/(x)=x(x7)?(x+4),

故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)α=l時(shí)，,/'(X)=Λ(X-1)^=X3-2X2+X,則

設(shè)g(χ)=∕(χ)+ι,則函數(shù)“X)的圖象與直線y=τ交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)

g,(x)=3X2-4X+1=(3X-1)(X-1),

令g'(x)=O,得尤=§或X=1,

當(dāng)x>l或時(shí)，g,(x)>O,當(dāng)g<χ<l時(shí)，g,(x)<O,

??

.?.g(χ)在[-∞t)和(L+∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又g(T)=-3<0,g(；)=*>0，g(l)=l>O,

所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/(x)的圖象與直線y=τ只有一個(gè)交點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)α=2時(shí)，/(X)=X(JC-1)(X-2)=(X-1)∣^(X-1)2-1J=(X-1),-(X-1),

則/(x)+/(-x)=(x-l)-(X-∣)+(-X-1)3-(-X-1)=-6X2≠2,

.?.∕(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,/(x)=x(x-l)(x-a),∕,(x)=(x-l)(x-a)+x(2x-α-l)=3x2-2(α+l)x+a,

令r(x)=0,則3χ2-2(α+l)x+α=0,.?.=4(/-a+l)=(2α-l)~+3>0,

又函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)4，X],

.??A,4為方程3d-2(α+l)x+α=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

2/,?

Xι+%2=](α+l)2

,XX

..xl÷x2=212+—,

XIX2=§

故D正確.

故選:C

3.（2022?河南?南陽(yáng)市第二完全學(xué)校高級(jí)中學(xué)高二期中（理））函數(shù)F（X）=W在區(qū)間［0,2］上的平均變化

率等于X=機(jī)時(shí)的瞬時(shí)變化率，則加=（????）

A.?B.1C.2D.-

22

【答案】B

【分析】分別求出在區(qū)間［0,2］上的平均變化率和在x=，"時(shí)的瞬時(shí)變化率，利用相等求解即可.

【詳解】函數(shù)/S）=Y在區(qū)間［0,2］上的平均變化率等于g=2,

/（X）=f在X=加時(shí)的瞬時(shí)變化率為Iim/（〃，+—）-"〃，）=∣（△》+）=2m,

',Λ-、八ZX一一Ai?m、八2m

所以2=2加,解得zn=l.

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故選：B

4.(2022?新疆?哈密市第一中學(xué)高二期中(理))已知點(diǎn)P(X。,/)是拋物線/(力=3/+6工+1上一點(diǎn)，且

∕,(?)=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(????)

A.(1,10)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-1,10)

【答案】B

【分析】對(duì)/(x)=3Y+6x+l求導(dǎo)，然后解方程尸(XO)=0,可得答案.

【詳解】設(shè)/(x)=3χ2+6x+l,則/'(x)=6x+6,

故?∕"'(X())=°,即6xo+6=O,X(>=-l,則/(—1)=3—6+1=—2，

故P(―1,-2),

故選：B.

5.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))設(shè)曲線>=：在點(diǎn)P(l,l)處的切線與X軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，則QAB的面積等于(????)

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出曲線y=g在點(diǎn)P(Ll)處的切線的斜率，寫(xiě)出切線方程，求出直線在坐標(biāo)軸上

的截距，即可得解.

1___?

【詳解】A)=χ+AX\_\《+詞=],

?r?xX(X÷ΔX)?ΔΛx(x+?x)

所以y'=[2—1=-Λ,故在點(diǎn)P(U)處的切線的斜率為T(mén),

切線方程為y-l=-(X—1),即y=τ+2.令X=O,得y=2,令y=0,得x=2,

χ

所以^ΛOΛB=~2×2=2,

故選：B

二、多選題

6.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))下列有關(guān)導(dǎo)數(shù)的說(shuō)法，正確的是(????).

A./'(%)就是曲線/(x)在點(diǎn)(毛,/(毛))處的切線的斜率

B.尸(不)與Iy(X。汀的意義是一樣的

C.設(shè)s=s(f)是位移函數(shù)，則s'(f0)表示物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度

D.設(shè)v=u(r)是速度函數(shù)，則丫'&)表示物體在f=/。時(shí)刻的瞬時(shí)加速度

【答案】ACD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及幾何意義判斷ACD,根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為O判斷B.

【詳解】/'(與)表示曲線/(x)在點(diǎn)(如/(%))處的切線的斜率，故A正確；

[/(%)]'表示對(duì)函數(shù)值/W求導(dǎo),因?yàn)?不)是常函數(shù)'所以["x0)]'=0,

與一'(X。)的意義不一樣，故B錯(cuò)誤；C,D易知正確.

故選：ACD

三、填空題

7.(2022.廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)如圖所示，函數(shù)y=∕(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程為y=-2x+5,

貝4⑵+尸⑵=.

y=—2x+5

【答案】-1

【分析】由切線方程及導(dǎo)數(shù)的幾何意義知r(2)=-2,由(2J(2))在切線上求f(2),即可求/(2)+∕'(2).

【詳解】函數(shù)y=∕(x)的圖象在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程是y=-2x+5,

.??∕,(2)=-2,/(2)=-4+5=l,

.?.∕(2)+Γ(2)=-2+l=-l.

故答案為：T.

8.(2022?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)/(x)和g(x),若存在函數(shù)〃(九)="+》出

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，為常數(shù))，對(duì)任給的正Iz數(shù)如—存在—.相應(yīng)的拓皿使得當(dāng)?且…。時(shí),總有fθ柿<f心{x))-一hg{x)(<χmi’則

稱(chēng)直線/：y=丘+人為曲線y=∕(χ)和y=g(χ)的“分漸近線給出定義域均為。={無(wú)∣χ>D的四組函數(shù)如

下：

①/(x)=χ2,g(x)=6;

②/(x)=ιCr+2,g(χ)=?l;

自，/、f+l..XlnX+1

③?(?)=------,g(x)=---------;

XInx

④/(X)=",g(x)=2(x-l-叩

x+1

其中，曲線y=/(χ)和y=g(χ)存在“分漸近線”的是.

【答案】②④

【分析】根據(jù)分漸近線的定義，對(duì)四組函數(shù)逐一分析，由此確定存在“分漸近線”的函數(shù).

【詳解】/(χ)和g(χ)存在分漸近線的充要條件是χ→8時(shí)，/(χ)-g(χ)→0,∕(χ)>g(χ).

對(duì)于①/(χ)=Vg(x)=G,當(dāng)x>ι時(shí)，令尸(X)=y(x)-g(x)=χ2-4

由于k(x)=2x-在>0,所以MX)為增函數(shù)，不符合X'8時(shí)，"x)-g(尤)→(),所以①不存在；

對(duì)于②F(X)=10^x+2>2,g(X)=三廣<2,(x>1).?.∕(x)>g(x)

/(x)-g(x)=IOT+2-=di+°，

XIlOJχ

因?yàn)楫?dāng)X>l且X→8時(shí)，/(χ)-g(χ)→0,所以存在分漸近線;

對(duì)于③F(X)=土土?XlnX+1

g(χ)=

Inx

“、/、X2+1xlττx+l11?__1_

/(x)-g(x)=--------------------=x+-

XInxXInxXInx

與均單調(diào)遞減，但的遞減速度比快,

當(dāng)x>l且x→8時(shí),1LTL

XInxXInx

所以當(dāng)x→8時(shí)/(x)-g(x)會(huì)越來(lái)越小，不會(huì)趨近于0,

所以不存在分漸近線；

72.、

對(duì)于④f(x)=^r—,g(x)=2(x-l-e-*),當(dāng)x→8時(shí),

于(x)~g(x)=-------2x+2+2eλ

x÷l

2,x~-2x~—2x+2x+2_r

x÷l

=三2+22→o,且F(X)-g(χ)>o

x+Ie

因此存在分漸近線.

故存在分漸近線的是②④.

故答案為②④.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義概念的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

四、解答題

9.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))如圖，船以定速直行，航線距燈塔L的最近距離為500m.已知燈塔對(duì)小

船現(xiàn)在的位置B及小船航線與燈塔的最近點(diǎn)P的張角NaP=83。，且該角正以0.8o∕min的比率減小，求

小船的速度.

［答案］470(m/min)

【分析】由題意有S=500tan，，將其看成時(shí)間，的函數(shù)，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【詳解】設(shè)所求小船速度為u(m∕nιin),BP=S(m),/BLP=%則S=500tan8(其中。是時(shí)間，的函數(shù))，

所以米tan(^÷?^)-tan^

500XX-------

△0?r

5m

當(dāng)f→0時(shí)，s,'=N?χ/,

cos-θ

TT

又d=(0.8×)rad∕min,

故小船的速度V=5咒.X≈470(/min),

cos83180

10.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))若一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S=r+3(位移單位：m,時(shí)間單位：s),則在

時(shí)間段［3,3+△”上的平均速度是多少？

【答案】Δ∕+6

【分析】由平均速度的計(jì)算公式可得答案.

【詳解】S(3+Δr)=(3+Δr)2+3,S(3)=(3)2+3=12,

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所以S(3+Af)-S⑶=(3+Δr)2+3-12=△產(chǎn)+6加，

κc∣>ιJE4.∕T?∣?a5(3+Δ∕)-5(3)Δr2+6Δ∕/

所以平均速度是—.....-———=-------=Δλ∕+6.

Δ/?r

11.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知曲線y=-+2x~-3x+1.

(1)求該曲線斜率為-3的切線方程；

(2)當(dāng)曲線的切線斜率最大時(shí)，切點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作直線/與X軸、y軸的正半軸交