第4講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積1．正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為________．解析：S底＝6×eq\f(\r(3),4)×42＝24eq\r(3)，S側(cè)＝6×4×6＝144，所以S全＝S側(cè)＋2S底＝144＋48eq\r(3)＝48(3＋eq\r(3))．答案：48(3＋eq\r(3))2．將一個(gè)邊長分別為4π，8π的矩形卷成一個(gè)圓柱，則這個(gè)圓柱的表面積是________．解析：當(dāng)以長度為4π的邊為底面圓時(shí)，底面圓的半徑為2，兩個(gè)底面的面積是8π；當(dāng)以長度為8π的邊為底面圓時(shí)，底面圓的半徑為4，兩個(gè)底面圓的面積為32π.無論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積32π2.故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π3．一個(gè)球與一個(gè)正方體的各個(gè)面均相切，正方體的棱長為a，則球的表面積為________．解析：由題意知，球的半徑R＝eq\f(a,2).所以S球＝4πR2＝πa2.答案：πa24．以下命題：①以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；②圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；③一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為________．解析：命題①錯(cuò)，因這條腰必須是垂直于兩底的腰．命題②對(duì)．命題③錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才行．答案：15．(2019·江蘇省重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(二))在一次模具制作大賽中，小明制作了一個(gè)母線長和底面直徑相等的圓錐，而小強(qiáng)制作了一個(gè)球，經(jīng)測量得圓錐的側(cè)面積恰好等于球的表面積，則圓錐和球的體積的比值等于________．解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R，則圓錐的母線長為2r，高為eq\r(3)r.由題意可知πr×2r＝4πR2，即r＝eq\r(2)R.所以eq\f(V圓錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)πr2×\r(3)r,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))3＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)6．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，點(diǎn)E為棱CD上一點(diǎn)，則三棱錐E-PAB的體積為________．解析：因?yàn)閂E-PAB＝VP-ABE＝eq\f(1,3)S△ABE×PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×4＝4.答案：47．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(四))如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面為平行四邊形，E為棱CD的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐E-ADD1A1的體積為V1，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為V2，則V1∶V2＝________．解析：由題意，將側(cè)面ADD1A1作為四棱柱的底面，設(shè)頂點(diǎn)C到平面ADD1A1的距離為2h，因?yàn)镋為棱CD的中點(diǎn)，所以E到平面ADD1A1的距離為h，所以V1∶V2＝VE-ADD1A1∶VBCC1B1-ADD1A1＝eq\f(1,3)S四邊形ADD1A1h∶S四邊形ADD1A1(2h)＝1∶6.答案：1∶68．(2019·南京市、鹽城市高三年級(jí)第二次模擬考試)在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分所示)，折疊成底面邊長為eq\r(2)的正四棱錐S-EFGH(如圖2)，則正四棱錐S-EFGH的體積為________．解析：設(shè)正四棱錐S-EFGH的高為h，體積為V，點(diǎn)S到HG的距離為h′，則2h′＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，得h′＝eq\f(3\r(2),2)，所以h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝2，所以V＝eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×2＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)9．(2019·江蘇省名校高三入學(xué)摸底卷)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著．書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，若某陽馬的底面積為7，最長的側(cè)棱長為5eq\r(2)，則該陽馬的體積的最大值為________．解析：設(shè)該陽馬的底面邊長分別為a，b，高為h，最長的側(cè)棱長為l，則ab＝7，由于l2＝a2＋b2＋h2且l＝5eq\r(2)，所以h2＝l2－(a2＋b2)≤(5eq\r(2))2－2ab＝50－2×7＝36(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\r(7)時(shí)取等號(hào))，即有hmax＝6，所以該陽馬的體積的最大值為eq\f(1,3)abhmax＝eq\f(1,3)×7×6＝14.答案：1410．(2019·江蘇省重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(八))中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示，四邊形ABCD、ABFE、CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個(gè)羨除的體積是________．解析：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥CD，AM⊥EF，過點(diǎn)B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分別為P，M，Q，N，連結(jié)PM，QN，將一側(cè)的幾何體補(bǔ)到另一側(cè)，組成一個(gè)直三棱柱，底面積為eq\f(1,2)×10×3＝15.棱柱的高為8，體積V＝15×8＝120.答案：12011．一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面的邊長分別為8cm、18cm，側(cè)棱長是13cm，求它的全面積．解：上底面周長為c′＝3×8＝24cm，下底面周長c＝3×18＝54cm，斜高h(yuǎn)′＝eq\r(132－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18－8,2)))\s\up12(2))＝12cm，所以S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c′＋c)h′＝eq\f(1,2)×(24＋54)×12＝468cm2，S上底面＝eq\f(\r(3),4)×82＝16eq\r(3)cm2，S下底面＝eq\f(\r(3),4)×182＝81eq\r(3)cm2，所以正三棱臺(tái)的全面積為S＝468＋16eq\r(3)＋81eq\r(3)＝(468＋97eq\r(3))cm2.12．如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1-B1EDF的體積．解：法一：連結(jié)A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連結(jié)B1D，EF，過O1作O1H⊥B1D于H.因?yàn)镋F∥A1C1，且A1C1?平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離．因?yàn)槠矫鍮1D1D⊥平面B1EDF，平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O(shè)1H⊥平面B1EDF，即O1H為棱錐的高．因?yàn)椤鰾1O1H∽△B1DD1，所以O(shè)1H＝eq\f(B1O1·DD1,B1D)＝eq\f(\r(6),6)a.所以VC1-B1EDF＝eq\f(1,3)S四邊形B1EDF·O1H＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·EF·B1D·O1H＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(3)a·eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,6)a3.法二：連結(jié)EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.由題意得，VC1-B1EDF＝VB1-C1EF＋VD-C1EF＝eq\f(1,3)S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.1．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則過圓錐的高的中點(diǎn)的平面截圓錐所得的圓臺(tái)的體積為________．解析：如圖，在正三角形SAB中，AB＝2，SO＝eq\r(3)，OB＝1，O1O＝eq\f(\r(3),2)，圓臺(tái)的體積為V＝eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)＝eq\f(1,3)π×eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,2)×1＋1))＝eq\f(7\r(3)π,24).答案：eq\f(7\r(3)π,24)2．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________．解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)椤螦OB＝90°，所以S△AOB＝eq\f(1,2)R2.因?yàn)閂O-ABC＝VC-AOB，而△AOB面積為定值，所以當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO-ABC最大，所以當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO-ABC最大為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，所以R＝6，所以球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π.答案：144π3．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則三棱柱的側(cè)面積為________．解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則A1D⊥平面ABC，因?yàn)锽C?平面ABC，所以A1D⊥BC，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AD⊥BC，又AD∩A1D＝D，AD?平面A1AD，A1D?平面A1AD，所以BC⊥平面A1AD，因?yàn)锳1A?平面A1AD，所以BC⊥A1A.又因?yàn)锳1A∥B1B，所以BC⊥B1B.又因?yàn)槿庵膫?cè)棱與底面邊長都等于2，所以四邊形BB1C1C是正方形，其面積為4.作DE⊥AB于E，連結(jié)A1E，則AB⊥A1E，又因?yàn)锳D＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，DE＝eq\f(AD·BD,AB)＝eq\f(\r(3),2)，所以AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\f(3,2)，所以A1E＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－AE2)＝eq\f(\r(7),2)，所以S四邊形ABB1A1＝S四邊形AA1C1C＝eq\r(7)，所以S三棱柱側(cè)＝2eq\r(7)＋4.答案：2eq\r(7)＋44.(2019·蘇州市高三調(diào)研測試)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來．若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為________．(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π)解析：由題意知，可將問題轉(zhuǎn)化為求長、寬、高分別是1，2，5的長方體的外接球的表面積，易知該球的直徑2R＝eq\r(12＋22＋52)＝eq\r(30)，則該球的表面積為4πR2＝30π.答案：30π5．四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積．解：(1)如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點(diǎn)為P，BC的中點(diǎn)為E，連結(jié)BP、EP、CP，得到AD⊥平面BPC，所以VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·a·eq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r(（3a2－x2）x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝\f(\r(6),2)a時(shí)取等號(hào))).所以該四面體的體積的最大值為eq\f(1,8)a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為eq\f(\r(6),2)a，所以S表＝2×eq\f(\r(3),4)a2＋2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)a×eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(6),2)a×eq\f(\r(10)a,4)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(15)a2,4)＝eq\f(2\r(3)＋\r(15),4)a2.6．把邊長為a的正三角形鐵皮的三個(gè)角切去三個(gè)全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的正三角形底