【學(xué)生版】例析圓錐曲線中定點(diǎn)問題“多視角解析”

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容和熱點(diǎn)，知識綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生邏

輯思維能力、計(jì)算能力等要求很高，重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)

用；圓錐曲線中定點(diǎn)問題是圓錐曲線位置關(guān)系的典型代表，為了提高同學(xué)們解題效率，特別是高考備考效

率；本文以2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）第20題為例，“多視角”地進(jìn)行分析、

解答、比較，讓同學(xué)們在體驗(yàn)解析幾何的通性通法以及運(yùn)算技巧基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)與尋找更恰當(dāng)與創(chuàng)新的解題

“切入點(diǎn)”，以此拓寬同學(xué)們的審題視野，鍛煉解題能力，提高解決解析幾何綜合題的素養(yǎng)。

2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）

2

20.（12分）已知A,3分別為橢圓E:占+y2=l（α>l）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG-GB=8;

a~

P為直線x=6上的動點(diǎn)，與E的另一交點(diǎn)為C,P3與E的另一交點(diǎn)為

（1）求E的方程；

（2）證明：直線Co過定點(diǎn).

【通性通法基本視角】方法1：

分析；

解析如圖示：

說明本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓相交問題，第二問為圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，第二問中

需證明直線CD經(jīng)過定點(diǎn)，并求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，難度適中，思路較清晰；定點(diǎn)（定值）是圓錐曲線的代表

題型，定點(diǎn)（定值）問題也是歷年來高考中重點(diǎn)考查的題型；本解法通過直接求C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表

示直線CD,計(jì)算量較大。

【待定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)之代數(shù)視角】方法2：

分析(1)同方法1;(2)由題意設(shè)定C,。的坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，適當(dāng)簡化計(jì)算;

解析如圖示：

說明本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓相交問題；利用了動直線/過定點(diǎn)問題的解題步驟；

第一步：設(shè)直線y=kx+m,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系；第二步：由題意尋找“等量關(guān)系”，得一次

函數(shù)A=∕(ffi)或者m=fik);第三步：將Ar=∕i>)或者m=Jlk)代入y=kx+m,得y=k(χ-χ定)+y定；特點(diǎn)

是：利用代數(shù)方法解決“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”思路簡單，但是“計(jì)算量”龐大；是“通性通法”，

但不適宜“應(yīng)試”與呈現(xiàn)思維水平與能力創(chuàng)新。

【巧設(shè)動直線方程減少計(jì)算量視角】方法3：

分析(1)同方法1;(2)通過巧設(shè)動直線方程結(jié)合結(jié)合圖形的對稱性與根與系數(shù)關(guān)系，減少代數(shù)計(jì)算

量;

說明本解法只是在設(shè)動直線I時(shí)，微調(diào)一下；解題步驟如下；第一步：設(shè)直線x=ky+m,聯(lián)立曲線方

程得根與系數(shù)關(guān)系；第二步：由題意尋找“等量關(guān)系”，得一次函數(shù)A="")或者m=∕(A);第三步：將M

=∕(∕n)或者(A)代入X=Ay得X=A(J—y定)+x定；特點(diǎn)是：注意點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程

的“隱含條件”，觀察“等量關(guān)系”的代數(shù)特征并結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，則可“明顯地”減少計(jì)算量。

【利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找等量視角】方法4：

分析(1)同方法1:(2)利用平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算與“幾何圖形”的對稱性找：等量關(guān)系;

解析

說明本題其他與前3種解法“類似”，特點(diǎn)就是：巧用向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合幾何圖形的“對稱性”，更方

便地“尋找”待定坐標(biāo)的“等量關(guān)系”；

【利用向量共線的充要條件”設(shè)參而不求"視角】方法5：

分析(1)同方法1;(2)引入?yún)?shù)λ,μ來表示直線CD的方程從而

說明本題的特點(diǎn)是：結(jié)合本題的題設(shè)與結(jié)論具有“動”引起“定”的特點(diǎn)，結(jié)合幾何圖形的“對稱性”，

解之向量工具也具有“數(shù)、形”的特征，利用“設(shè)參而不求”代數(shù)變換突出“定”而簡化代數(shù)計(jì)算；

綜上，對于直線與圓錐曲線位置的綜合題，一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖

形角度求解；聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個

常用的方法，但是，“巧”設(shè)動直線方程與靈活利用向量的坐標(biāo)表示及其平行、共線與垂直的充要條件，

目標(biāo)“定點(diǎn)（定值）”，借助“設(shè)參而不求”的技巧，往往可以“事半功倍”從容應(yīng)考。

【教師版】例析圓錐曲線中定點(diǎn)問題“多視角解析”

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容和熱點(diǎn)，知識綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生邏

輯思維能力、計(jì)算能力等要求很高，重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)

用；圓錐曲線中定點(diǎn)問題是圓錐曲線位置關(guān)系的典型代表，為了提高同學(xué)們解題效率，特別是高考備考效

率；本文以2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）第20題為例，“多視角”地進(jìn)行分析、

解答、比較，讓同學(xué)們在體驗(yàn)解析幾何的通性通法以及運(yùn)算技巧基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)與尋找更恰當(dāng)與創(chuàng)新的解題

“切入點(diǎn)”，以此拓寬同學(xué)們的審題視野，鍛煉解題能力，提高解決解析幾何綜合題的素養(yǎng)。

2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）

2

20.（12分）已知A,3分別為橢圓E：A+y2=i（a>i）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG?G3=8;

a^

P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D；

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

【通性通法基本視角】方法1：

分析（1）求出AG?GB="7=8,解出α,求出E的方程即可；（2）聯(lián)立百級和橢圓的方程求出C.

。的坐標(biāo)，求出直線CD的方程，判斷即可；\2

解析如圖ZK：

(1)由題意A(-α,0),β(a,0),G(OJ),

所以，AG=(aJ),Gβ=(a,-1),AGGB=a2-1=8,解得：a=3,

故橢圓E的方程是］+f=l;

(2)由(1)知A(-3,0),8(3,0),設(shè)P(6,m),則直線上4的方程是y=∕(x+3),

22

聯(lián)立n(9+A√)x+6∕√x+9∕Π-81=0,

W-81-3∕√+27

由韋達(dá)定理-3XC=

代入直線出的方程為尸章'+3）得：耗,即α*?,占”

直線只5的方程是y=g（x-3）,

X2,

7+?=11

聯(lián)立方程=>(1+m2)x2-6nι2x+9w2-9=0,

y=-(χ-3)

g2-Q

由韋達(dá)定理3%=也wVnXD_3療-3

l+∕n2

代入直線所的方程為y號…得加=I^,即以告-2m

l+w2

則①當(dāng)XC=XD時(shí)，即27—3"=即二時(shí),有加2=3,此時(shí)XC=而=2,即直線CD的方程為X=』；

9+m*^m+122

4m

②當(dāng)乙≠/時(shí)，直線CD的斜率KCD=A如=?

xc-XD3(3一")

所以‘直線8的方程是W]≡=V?x一需)‘整理得:4/n3、

y=---------5-z(x—),

-3(3-W2)2

故直線8過定點(diǎn)(3,0):

2

說明本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓相交問題，第二問為圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，第二問中

需證明直線CD經(jīng)過定點(diǎn)，并求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，難度適中，思路較清晰；定點(diǎn)(定值)是圓錐曲線的代表

題型，定點(diǎn)(定值)問題也是歷年來高考中重點(diǎn)考查的題型：本解法通過直接求C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表

示直線CD,計(jì)算量較大。

【待定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)之代數(shù)視角】方法2：

分析(1)同方法1;(2)由題意設(shè)定C,。的坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，適當(dāng)簡化計(jì)算;

解析如圖不：

(1)同方法1,故橢圓E的方程是/+y=i;

(2)由(1)知A(-3,0),β(3,0),

當(dāng)CO_LX軸，不妨設(shè)C(X,χ),D(xl,-yl),

則直線Q4的方程為：y=」一(x+3),

x1+3

則直線PS的方程為：y=W^(x-3),

xl-3

由P為直線x=6上的動點(diǎn)，不妨令x=6,則由題意，得2」=口-,解得玉=3,

xl+3xl-32

3

即直線CD的方程為X=3；

2

當(dāng)Co不垂直X軸時(shí)，設(shè)C(Jq，M),Z)(x2,y2),直線Co的方程為：y=kx+m9

rn???-n-i—+y2=1,,,.ISkm9m-9

聯(lián)立方程J9=>(1÷9?72)x27+1Sknvc+9???92-9=0,則r玉+/=-------,XX=-------

9k129k

y=κfx+m1+1+

又由則直線Q4的方程為：y=-^-(χ+3),則直線總的方程為：y=上一(X-3),

Xj+3X2-3

令x=6,則由題意，得21—=且?-,整理得3々b一9)，「玉%-3%=0，

x1+3x2-3

所以3%("I+加)-9(履］+m)-x1{kx2+m)-3(A^2+m)=0,

-mχ

整理得2處/3^(?^∣+x2)÷3(∣+?)-(6Λ+4m)xl-12m=0,

Q/77^—Q—1Rkm

將(**)代入，得2k?：+(3加一3&)—^-(6?+4m)x-12m=0

1+9/1+9Pτ11

即-9km(3k+2m)-3(3?+2m)-(3k+2∕n)(l+9A?)Xl=O,

則3Z+2m=0,即機(jī)=一T女，則直線CD的方程為：γ=?(%-∣),

a

故直線CZ)過定點(diǎn)(；，0)；

說明本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓相交問題；利用了動直線/過定點(diǎn)問題的解題步驟；

第一步：設(shè)直線y=kx+m,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系；第二步：由題意尋找“等量關(guān)系”，得一次

函數(shù)A=∕(wι)或者m=/泳)；第三步：將A=∕(nι)或者,〃=大朽代入y=Ax+機(jī)，得y=&(X-X定)+yjg;特點(diǎn)

是：利用代數(shù)方法解決“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”思路簡單，但是“計(jì)算量”龐大；是“通性通法”，

但不適宜“應(yīng)試”與呈現(xiàn)思維水平與能力創(chuàng)新。

【巧設(shè)動直線方程減少計(jì)算量視角】方法3：

分析(1)同方法1;(2)通過巧設(shè)動直線方程結(jié)合結(jié)合圖形的對稱性與根與系數(shù)關(guān)系，減少代數(shù)計(jì)算

解析(1)同方法1,故橢圓E的方程是《+丁=1;

9?

(2)由(1)知A(-3,0),8(3,0),

設(shè)C(Xl,χ),D(X2,y2),P(6,f)

當(dāng)點(diǎn)P在X軸上時(shí)，直線Co為X軸；

當(dāng)點(diǎn)P不在X軸上時(shí)，設(shè)直線CD的方程為：x=ky+m,

2

聯(lián)立方程(3"+)^>(9+k2)y2+2kmy+m2-9=0,則X+%=一2kmm-9

9+氏29+公

[x=ky+m

又由直線B4的方程為：vn?ɑ+?),則直線P6的方程為：y=*-(無-3),

x1÷3x2-3

令x=6,則由題意，得2」=2L,整理得二2L=3V(***),

x∣÷3W—3x∣÷3W—3

又W-+%2=l,即々?一鄉(xiāng)=—%:整理得(***)為3^=土電，

9x2-3-9y2

結(jié)合為-=且“，通過等量傳遞得-^?-=土2,整理得-27y%=(x∣+3)(x,+3),

x1+3x2-3xl+3-9y2

9(/?72-A:2)18m

又xx=(?y+InXky+m)=x+Λ=(ky+m)+(ky+m)=

l2129+公l2i29+k2

??m-9%m~-k)54m(m+3)(2w-3).)、

所tx以ιu一27-=-?—++9,即-----J——-=0n(由題意據(jù)圖加。-3)

9+k29+k29+k279+k2

所以加=三3，

2

a

綜上，直線CD過定點(diǎn)(；，0)；

說明本解法只是在設(shè)動直線/時(shí)，微調(diào)一下；解題步驟如下；第一步：設(shè)直線聯(lián)立曲線方

x=ky+m,

程得根與系數(shù)關(guān)系；第二步：由題意尋找“等量關(guān)系”，得一次函數(shù)％=/(，")或者機(jī)=TlA);第三步：將發(fā)

=人機(jī))或者機(jī)=//)代入X=Ay+wι,得X=Wy—y定)+x定；特點(diǎn)是：注意點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程

的“隱含條件”，觀察“等量關(guān)系”的代數(shù)特征并結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，則可“明顯地”減少計(jì)算量。

【利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找等量視角】方法4：

分析(1)同方法1;(2)利用平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算與“幾何圖形”的對稱性找：等量關(guān)系;

解析(1)同方法1,故橢圓E的方程是方+>2=1；

(2)由(1)知A(-3,0),8(3,0),

設(shè)C(X1,χ),P(6,f)

D(X2,y2),

當(dāng)點(diǎn)P在X軸上時(shí)，直線Co為X軸；

當(dāng)點(diǎn)P不在X軸上時(shí)，設(shè)直線Co的方程為：x=ky+m,

設(shè)P(6,f),

C(6∣+"Z,M),D(ky2+m,y2),

2

ττιz.._—+y=17972kmm-9

聯(lián)立方程｛9'=>(9+公)>2+26)，+機(jī)~-9=0,則弘+%=一^~萬，%%=Q.，

>yK

X=κy+m9+K

又由AC//AP,貝!19χ=(6]+m+3)，①，由DB/1BP,則3%=(@2+加一3)，②

由①、②消去，得2。1%+3(m-3)(χ+為)=2(2加-3)為(****)，

..2kmm2-9,.??,、

將x+%=一?^T'Xy2=^T代入(****)

7T7_??

整理得(2加一3)(萬七一%)=0,所以2〃?一3=0,即加=;，

綜上，直線C￡＞過定點(diǎn)(2,0)；

2

說明本題其他與前3種解法“類似”，特點(diǎn)就是：巧用向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合幾何圖形的“對稱性”，更方

便地“尋找”待定坐標(biāo)的“等量關(guān)系”；

【利用向量共線的充要條件”設(shè)參而不求"視角】方法5：

分析(1)同方法1;(2)引入?yún)?shù)λ,μ來表示直線CD的方程從而得出定點(diǎn)，由此簡化代數(shù)運(yùn)算。

解析(1)同方法1,故橢圓E的方程是土+V

9-

由⑴知A(-3,0),8(3,0),設(shè)C(x,,yl),D(x2,y2),

(x,+3,γ)=Λ(9√)

設(shè)AC=；IAP,BD=KBP,貝人l

*2-3,弘)=〃(3,/)'

x=9A—3X=3〃+3

由向量相等，可解得《l2